75

D i a g n o s t y k a m a s z y n t e c h n i c z n y c h

dr inż. Jacek Piątkowski

Ć w i c z e n i e 5

Temat:

Niestabilność działania łożysk hydrodynamicznych

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z budową i zasadą działania łożysk

hydrodynamicznych. Omówione zostaną zjawiska towarzyszące pracy łożysk hydro-
dynamicznych oraz efekty niestabilności filmu olejowego.

2. Wprowadzenie

Człowiek już od najdawniejszych czasów podejmował świadome działania mające

na celu tworzenie prostych form łożysk ślizgowych, pozwalających na zmniejszanie
sił tarcia. Za najstarsze odnalezione łożyska uważa się zawiasy drzwi, które były już
stosowane 6000 do 7000 lat temu. Około 330 r. p.n.e. Arystoteles zauważył, że
w przypadku obiektów toczących się tarcie jest mniejsze niż przy ślizganiu. Wiele lat
później, w XV wieku Leonardo da Vinci prowadził szereg eksperymentów pozwalają-
cych na obliczanie współczynników tarcia. Jednakże dopiero potrzeby wieku dzie-
więtnastego i dwudziestego – z powszechnym dążeniem do zmniejszania oporów ru-
chu i zwiększania prędkości poruszania – oraz ogólny rozwój technologii pozwoliły na
tworzenie coraz bardziej zaawansowanych konstrukcji łożyskowych oraz substancji
stanowiących podstawę produkcji smarów.

Łożyska ślizgowe są powszechnie stosowane w wielu współczesnych maszynach

i urządzeniach. Do najczęściej stosowanych rozwiązań należą konstrukcje, w których,
dla zmniejszenia oporów ruchu, przemieszczające się względem siebie elementy (patrz
rys.1) są rozdzielone warstwą smaru stałego lub cieczy lub gazu.

Łożyska, w których smarem jest ciało stałe (rys.1.a) są tanie, niezawodne

w użyciu i wygodne w eksploatacji. Charakteryzują je jednak stosunkowo duże opory
ruchu i stosunkowo duża intensywność zużycia. Łożyska smarowane smarami stałymi
są niezastąpione w warunkach próżni lub gdy wypływ smaru z łożyska jest niedopusz-
czalny (np. w urządzeniach przemysłu spożywczego). Mogą też pracować
w szerokim zakresie temperatur (-50

÷

250

°

C). Smarami stałymi mogą być tworzywa

sztuczne, węgiel i grafit, dwusiarczek molibdenu [1].

76

W zdecydowanej większości współczesnych maszyn stosuje się jednak łożyska śli-

zgowe smarowane cieczami lub gazami, które to łożyska wykazują doskonałe własno-
ści nawet przy bardzo dużych prędkościach obrotowych.

Łożyska smarowane cieczą lub gazem, w zależności do sposobu działania, dzielą

się na hydrostatyczne (rys1.b) i hydrodynamiczne (rys.1.c). W przypadku tych pierw-
szych szczelina smarna, rozdzielająca współpracujące ze sobą powierzchnie, jest wy-
twarzana przez smar wtłaczany do łożyska pod pewnym ciśnieniem. W przypadku
tych drugich obecność warstwy smaru i rozkład ciśnień w tej warstwie jest efektem
względnego ruchu współpra-cujących powierzchni, które muszą tworzyć odpowiednio
zbieżną szczelinę. Zagadnienia dotyczące zasady działania, zastosowania i warunków
pracy łożysk hydrodynamicznych omawiane będą w następnych rozdziałach niniejszej
instrukcji.

2.1.

Smarowanie hydrodynamiczne.

Smarowaniem hydrodynamicznym nazywa się proces tworzenia klina smarowego
– warstwy płynu smarnego (cieczy lub gazu) posiadającej zdolność rozdzielnia dwóch
współpracujących powierzchni obciążanych elementów lub ciał, które poruszają się
względem siebie (patrz rys. 2).

Rys.1. Przykłady sposobu smarowania w łożyskach ślizgowych.

a) smarowanie smarami stałymi,
b) smarowanie hydrostatyczne,

c)

smarowanie hydrodynamiczne

Rys.2. Schemat tworzenia się klina smarowego pomiędzy poruszającymi się płaszczyznami

77

Powstająca w klinie smarowym siła unosząca P

u

(patrz rys.2) – przeciwdziałająca wy-

padkowej obciążeń zewnętrznych Q i nie pozwalająca na zachodzenie bezpośredniego
styku powierzchni ciał stałych – jest wywołana ciśnieniem cieczy smarnej. Ciśnienie
to powstaje wówczas, gdy spełnione zostaną cztery podstawowe warunki:
- istnieje odpowiednio duża prędkość względna (różnica prędkości) przemieszczają-

cych się powierzchni ślizgowych nieodkształcalnych ciał stałych,

- płyn smarujący ma odpowiednią lepkość zapewniającą występowanie przepływu

lami-narnego,

- istnieje

niezbędna dla utworzenia klina smarowego zwężająca się szczelina (luz

konstru-kcyjny) pomiędzy powierzchniami ślizgowymi poruszających się wzglę-
dem siebie ciał,

- obciążenie prostopadłe do powierzchni ślizgowych Q jest mniejsze od nośności

hydrodynamicznej smaru.
Analogiczne warunki muszą być

zachowane dla utworzenia klina sma-
rowego pomiędzy współ-pracującymi
ze sobą powierzchniami cylindrycz-
nymi, przedstawionymi na rys.3.
W tym przypadku dla powstania zwę-
żającej się szczeliny wał musi mieć
średnicę nieco mniejszą od średnicy
nieruchomej powierzchni ślizgowej
(panwi). Obracający się wał przyjmuje
położenie mimo-środowe, w którym
środek wału 0

w

jest przesunięty

względem środka panwi 0

p

(patrz

rys.3). Na skutek ciśnienia wytworzo-
nego w klinie smarnym powstaje siła
unosząca P

u

przeciwdziałająca wy-

padkowej obciążeń zewnętrznych Q .

Smarowanie hydrodynamiczne jest

wykorzystywane w różnego rodzaju
łożyskach ślizgowych. Spośród wielu
konstrukcji łożysk ślizgowych najczę-
ściej spotykane są łożyska poprzeczne
(rys.4), przeznaczone do przenoszenia

Rys.3. Schemat tworzenia się klina smarowe-
go pomiędzy elementami cylindrycznymi

Rys.4. Schemat łożyska poprzecznego

78

obciążeń skierowanych promieniowo (poprzecznie) do wirującego wału. W wielu du-
żych maszynach energetycznych stosowane są także łożyska wzdłużne (rys. 5), często
zwane łożyskami oporowymi, których zadaniem jest z kolei przenoszenie obciążeń
działających wzdłuż osi obracającego się wału.

Mechanizm smarowania hydrodyna-

micznego jest przedmiotem badań teore-
tycznych od ponad stu lat. Prekursorem
tych badań był Reynolds, który w 1886 r.
przedstawił matematyczny opis mechani-
zmu smarowania hydrodynamicznego.

Zależności opisujące rozkłady ciśnień dla
różnego typu łożysk hydrodynamicznych,
ze względu na ograniczony zakres tego
ćwiczenia, nie będą jednak dokładnie ana-
lizowane.

Szczegółowe informacje dotyczące zasad tworzenia klina smarnego i pozyskiwania

odpowiednich nośności łożysk hydrodynamicznych można znaleźć m.in. w pozycjach
[1][2][3].

2.2. Przykłady rozwiązań konstrukcyjnych poprzecznych łożysk hydrodyna-
micznych.

Najczęściej występującymi łoży-

skami hydrodynamicznymi są łoży-
ska poprzeczne z nieruchomą pan-
wią.

W najprostszym przypadku

(patrz rys. 6) łożysko takie składa się
z ruchomego wału (czopa) o średni-
cy 2r i odpowiednio dopasowanej
nieruchomej, cylindrycznej panwi
(o średnicy 2R) obejmującej czop.
Jak już wspomniano w rozdziale 2.1.
średnica czopa jest mniejsza od
średnicy panwi, a różnica pro-mieni
c = R – r jest nazywana luzem pro-
mieniowym.

Rys.5. Schemat łożyska wzdłużnego

Rys.6. położenie wału w panwi łożyskowej

79

W takcie pracy obracający się wał zajmuje położenie mimośrodowe, jak pokazano na
rys.6. Kąt nachylenia linii przechodzącej przez środek czopa O

c

i środek panwi O

p

względem linii odniesienia, którą zazwyczaj jest kierunek działania wypadkowej sił
obciążenia zewnętrznego, jest nazywany kątem położenia (

ϑ

). Odległość środka czopa

od środka panwi nazywana jest mimośrodowością (e = O

c

O

w

), natomiast

ε

= e/c

współczynnikiem mimośrodowości lub mimośrodowością względną.

Najbardziej istotnym elementem łożyska hydrodynamicznego jest szczelina smar-

na, w której gromadzi się smar i w której w trakcie ruchu czopa tworzy się klin smar-
ny. Luz promieniowy pomiędzy czopem i panewką dobierany jest zwykle tak by sto-
sunek luzu promieniowego do promienia panwi (c/R) zawierał się w granicach od
0,001 do 0,05, przy czym większe luzy stosuje się zwykle dla większych prędkości
obrotowych wału.

Jeżeli panew ma kształt cylindryczny (jak na rys. 6) w łożysku tworzy się jeden

klin smarny równoważący obciążenie łożyska. W tym przypadku pozycja środka wału
jest jednak mało stabilna i w trakcie ruchu wał może wykonywać pewne oscylacje
wzbudzające drgania całej maszyny. W celu poprawy pracy łożyska często stosowane
są panwie o przekroju owalnym, soczewkowym, z dodatkowymi rowkami czy też
z ruchomymi powierzchniami ślizgowymi co powoduje powstanie dwóch lub trzech
klinów smarnych stabilizujących położenie środka wału. Przykłady różnych rozwiązań
panwi łożysk hydrodynamicznych przedstawiono na rys.7.

80

Poprzeczne łożyska hydrodynamiczne stosowane są najczęściej w dużych maszy-

nach przepływowych takich jak turbogeneratory czy turbosprężarki. Na rys.8 przed-
stawiono przykładowo schemat turbogeneratora typu 13K215 o mocy 200 MW, w któ-
rym wał, składający się ze sprzęgniętych ze sobą trzech wirników turbiny (części wy-
soko, średnio i niskoprężnej) oraz wirnika generatora, jest podparty na siedmiu łoży-
skach hydrodynamicznych. Łożyska te przenoszą obciążenia powstające w trakcie
pracy maszyny, której wirniki o łącznej masie 113 ton obracają się z prędkością obro-
tową 3000 obr/min.

Rys.7. Przykłady rozwiązań konstrukcyjnych panwi łożyskowych stabilizujących położenie

środka wału [4]:

a), b) – panwie cylindryczne z dwoma i trzema rowkami wzdłużnymi,
c) panew eliptyczna z rowkami, d) przesunięte półpanwie cylindryczne,
e) panew z ruchomymi płytkami, f) panew z rowkiem tamującym ruch klina smarnego.

a) b)

d)

c)

e) f)

81

R

ys.7. Schemat turbo

generatora t

yp

u 13K215 o moc

y 200 MW. 1

÷

7 h

ydrod

ynamiczne

ło

ży

ska

pod

piera

ją

ce wa

ły

wirników.

1

5

4

3 6

2

7

Wirnik cz

ęś

ci wysoko-

pr

ęż

nej (

∼

8 ton)

Wirnik cz

ęś

ci

niskokopr

ęż

nej (

∼

50 ton)

Wirnik cz

ęś

ci

średnio-

pr

ęż

nej (

∼

15 ton)

Wirnik

generatora (

∼

40 ton)

82

Niestabilność poprzecznych łożysk hydrodynamicznych.

W łożyskach hydrodynamicznych czop jest osadzony w panwi z pewnym luzem,

który jest niezbędny do powstania klina olejowego. Zależnie zatem od konstrukcji i
warunków działania łożyska (prędkości obrotowej wału, obciążenia, lepkości oleju)
środek czopa wału zajmuje różne położenia wewnątrz panwi łożyskowej. Podczas
postoju maszyny, nieruchomy wał spoczywa bezpośrednio na powierzchni panwi
a jego środek zajmuje najniższe z dopuszczalnych położeń. Wprowadzenie wału
w ruch obrotowy prowadzi do formowania się klina olejowego i unoszenia czopa do
góry. Zrównoważenie sił ob-
ciążenia zewnętrznego (Q),
promieniowych (P

r

) oraz sił

stycznych (S) zachodzi przy
mimośrodowym położeniu
środka wału, przy czym – jak
pokazano na rys.9 – jeżeli wał
obraca się w prawo (zgodnie
z ruchem wskazówek zegara)
środek czopa jest przesunięty
w lewo. Środek czopa jest
natomiast przesunięty w prawo dla obrotów w kierunku przeciwnym do ruchu wska-
zówek zegara. Wzrost prędkości obrotowej wału prowadzi do zmniejszania się mimo-
środowości i teoretycznie przy nieskończenie dużej prędkości obrotowej wał zajmuje
w panwi położenie centralne.

Przy mimośrodowej pozycji czopa wału łożysko, charakteryzuje się wysokim

współczynnikiem tłumienia co zapewnia stabilność jego pracy [3]. Przykładowo, jeżeli

wskutek impulsowego za-
działania siły zewnętrznej
czop zostanie przesunięty
z położenia pierwotnego
w dowolnym kierunku (po-
łożenie O’

c

– rys.10.a ) to

środek wału wykonując
ruch spiralny bardzo szyb-
ko wróci do zajmowanego
poprzednio położenia.

Rys.9. Położenie czopa w panwi łożyskowej wału obra-

cającego się w stronę: a) prawą , b) lewą

a) b)

Rys.10. Ilustracja mechanizmu przemieszczania się środka wa-

łu względem położenia równowagi dla stabilnej (a) i
niestabilnej (b) pracy łożyska hydrodynamicznego

a) b)

83

W przypadku jednak gdy czop wału zajmie pozycję o małej mimośrodowości ( bliską
pozycji centralnej ) wówczas współczynnik tłumienia łożyska jest bliski zeru, a jego
praca staje się niestabilna. Jeżeli teraz impuls siły zewnętrznej spowoduje wy-chylenie
czopa z położenia równowagi to jego środek będzie krążył ( patrz rys.10.b ) po za-
mkniętej orbicie albo po spirali rozbiegającej się do granic luzu łożyskowego. Zbyt
mała mimośrodowość prowadząca do niestabilności pracy łożyska może być powo-
dowana m.in. przez:
- niewłaściwą konstrukcję łożyska,
- wzrost

prędkości obrotowej wału,

- zmianę obciążenia i warunków działania łożyska (temperatura, ciśnienie oleju),
- zmianę geometrii łożyska spowodowaną np. zużyciem.

Wewnątrz łożyska hydrodynamicznego wraz z obracającym się wałem wiruje tak-

że i film olejowy. Prędkość wirowania filmu olejowego zmienia się przy tym (patrz
rys.11) od zera – dla warstewki przylegającej do powierzchni panwi, do prędkości ką-
towej wału (

Ω

) – dla warstewki przylegającej do powierzchni czopa. Średnia prędkość

kątowa filmu olejowego (V

a

) jest zatem mniejsza od prędkości kątowej wału i stosunek

tych dwóch prędkości

λ

= V

a

/

Ω

jest zazwyczaj niewiele mniejszy od 1/2. W przypad-

ku zatem zbyt małej mimośrodowości środek czopa wytrącony z położenia równowagi
wpadnie w rezonans z wirującym filmem olejowym.

Niestabilność działania łożysk hydrodynamicznych objawia się w postaci tzw. wiru

i bicia olejowego, które w terminologii angielskojęzycznej określane są odpowiednio
nazwami „oil whirl” oraz „oil whip” [4].

Rys.11. Rozkład prędkości w filmie olejowym [4]

84

Drgania warstwy olejowej są drganiami o charakterze samowzbudnym, powodują-

cymi precesję wału, przy czym trajektorie środka wału mogą posiadać kształt kołowy
lub eliptyczny. W sygnale wibroakustycznym występuje wyraźna składowa okresowa
o częstotliwości (f

wo

), która dla wiru olejowego zawiera się w przedziale (0.3

÷

0.49)f

Ω

[4], gdzie f

Ω

jest częstością obrotową wału. Częstotliwość f

wo

zależy od konstrukcji

łożyska oraz mimośrodowości względnej wywołanej promieniowym obciążeniem wa-
łu [5][6]. Jeżeli obciążenie promieniowe oraz mimośrodowość względna są niezależne
od zmian prędkości obrotowej wału (np. w trakcie rozbiegu czy też wybiegu), wów-
czas stosunek częstotliwości f

wo

/

f

Ω

nie ulega zmianie.

Amplituda drgań warstwy olejowej zależy od obciążenia oraz prędkości obrotowej

wału. Dla zupełnie nieobciążonych wirników osadzonych w łożyskach cylindrycznych
amplitudy mogą osiągać do 95% wielkości luzu promieniowego [6], który przykłado-
wo dla łożysk wspomnianego wcześniej turbogeneratora 13K215 wynosi około
0,5 mm. Utrata stabilności następuje przy pewnej granicznej prędkości obrotowej, za-
leżnej od chwilowych warunków działania maszyny, przede wszystkim od obciążenia
i warunków działania łożyska. Przejście od stanu stabilnego do filmu olejowego
o znacznej amplitudzie może nastąpić nawet w ciągu kilku obrotów wału.

Dla maszyn o wirnikach elastycznych

1

, których nominalna prędkość obrotowa jest

większa od pierwszej i mniejsza od drugiej prędkości rezonansowej, wir olejowy może
przekształcić się w rezonansową precesję hydrodynamiczną zwaną biciem olejowym
(oil whip). Ma to miejsce wtedy, gdy utrata stabilności filmu olejowego następuje po
osiągnięciu prędkości obrotowej dwukrotnie większej od prędkości krytycznej i kiedy
częstotliwość drgań olejowych jest bliska częstotliwości rezonansowej. Od tego mo-
mentu częstotliwość składowej drgań związanej z drganiami olejowymi przestaje być
proporcjonalna do prędkości obrotowej wirnika.

Dla maszyn o wirnikach sztywnych

2

, których nominalna prędkość obrotowa jest

mniejsza od pierwszej prędkości rezonansowej bicie olejowe praktycznie nie występu-
je.

Drgania warstwy olejowej mogą być skutecznie identyfikowane na wykresach ka-

skadowych zawierających widma drgań otrzymywane przy zmienianych kolejno pręd-
kościach obrotowych wału. Na rys.12 [7] przedstawiono przykładowy wykres kaska-
dowy z charakterystycznymi symptomami wiru i bicia olejowego. Na wykresie tym

1

Dla wirników elastycznych zalecanym jest by ich nominalna prędkość obrotowa była zawarta w zakresie

1,2

Ω

krI

<

Ω

< 0,7

Ω

krII

).

2

Dla wirników sztywnych zalecanym jest by ich nominalna prędkość obrotowa była zawarta w zakresie

0,5

Ω

krI

<

Ω

< 0,8

Ω

krI

).

85

widać że utrata stabilności filmu olejowego następuje nagle przy prędkości nieco
większej niż 1000 obr/min. Wzbudza się wtedy wir olejowy z charakterystycznym dla
niego stałym stosunkiem częstotliwości f

wo

/

f

Ω

≈

0,48, które występują do prędkości

4000 obr/min. Przy prędkości 4000 obr/min, dwukrotnie większej od prędkości (2000
obr/min) przy której występował rezonans widoczny w postaci piku dla składowej 1x
wzbudzone zostają drgania typu oil whip, których częstotliwość przestaje być propor-
cjonalna do prędkości obrotowej i które występują do prędkości około 7700 obr/min.
Powyżej prędkości 8000 obr/min widać ponowne występowanie drgań typu oil whirl.
Wraz ze wzbudzeniem się wiru bądź bicia olejowego następuje kilkakrotny wzrost
amplitudy drgań, zagrażający bezpieczeństwu eksploatacji maszyny. Bardzo często
drganiom olejowym towarzyszy przycieranie wirujących elementów maszyny

o elementy nieruchome co, większości przypadków prowadzi do trwałego ich uszko-
dzenia bądź też zniszczenia.

1. Opis stanowiska pomiarowego.

Ćwiczenie jest realizowane przy wykorzystaniu modelu maszyny wirnikowej wy-

posażonego w łożysko hydrodynamiczne. Pomiaru drgań i przetwarzania sygnałów
pomiarowych jest realizowany przy pomocy aparatury kontrolno pomiarowej ADRE.
W szczególności w skład stanowiska pomiarowego przedstawionego na rys.13 wcho-
dzą:

Rys.12. Wykres kaskadowy z charakterystycznymi symptomami wiru i bicia olejowego [7]

86

1) model maszyny wirnikowej (Rotor-Kit),
2) model łożyska hydrodynamicznego,
3) pompa olejowa,
4) przystawka z łożyskiem kulkowym do wymuszania przeciążenia łożyska hydrody-

namicznego,

5) układ zasilania i regulacja prędkości obrotowej silnika modelu maszyny wirniko-

wej,

6) przetwornik wiroprądowy układu regulacji prędkości obrotowej silnika,
7) przetwornik wiroprądowy układu znacznika fazy,
8) przetworniki wiroprądowe (X-Y) do pomiaru drgań względnych w łożysku hydro-

dynamicznym,

9) przetworniki wiroprądowe (X-Y) do pomiaru drgań względnych wału,
10) PROXIMITOR – układ zasilania przetworników wiroprądowych i kondycjonowa-

nia sygnałów pomiarowych,

11) DAIU 208P – układ akwizycji i przetwarzania sygnałów pomiarowych,
12) komputer wraz z oprogramowaniem ADRE,
13) drukarka
14) lampa stroboskopowa

Rys.13. Schemat stanowiska pomiarowego

87

2. Przebieg ćwiczenia.

W takcie ćwiczenia należy dokonać obserwacji symptomów towarzyszących sta-

bilnemu i niestabilnemu działaniu łożyska hydrodynamicznego. W obydwu przypad-
kach, posługując się lampą stroboskopową, należy dokładnie przyjrzeć się krążącej
w łożysku warstwie filmu olejowego, a następnie za pomocą oprogramowania syste-
mu ADRE należy sporządzić:
- wykresy

trajektorii

środka wału wraz

z prze-biegami czasowymi sygnałów,
których złożeniem jest trajektoria
(Orbit Timebase plot) – patrz rys.14,

- wykresy zmiany uśrednionego poło-

żenia środka wału w obszarze luzu
promieniowego łożyska (Shaft avera-
ge centerline position plot) – patrz
rys.15,

- wykresy kaskadowe (Cascade plot) –

patrz rys.16.

Na podstawie wyników uzyskanych dla niestabilnej pracy łożyska należy określić:

- zakres

prędkości obrotowych występowania wiru olejowego i maksymalnych am-

plitud drgań dla sygnałów rejestrowanych w kierunkach X i Y,

- zakres

prędkości obrotowych występowania bicia olejowego i maksymalnych am-

plitud drgań dla sygnałów rejestrowanych w kierunkach X i Y,

- wpływ zmiany prędkości obrotowej na wir olejowy,
- wpływ zmiany prędkości obrotowej na bicie olejowe,

Rys.14. Wykres trajektorii środka wału

i przebiegów czasowych drgań
względnych.

Rys. 15. Wykres uśrednionego położenia

środka wału

Rys. 16. Wykres kaskadowy

88

Dokonując porównania uzyskanych wyników dla stabilnej i niestabilnej należy

omówić w jaki sposób występowanie drgań olejowych wpływało na:
- amplitudy

drgań rejestrowanych w kierunku pionowym i poziomym,

- kształt i rozmiar trajektorii środka wału,
- zakres

zmian

średniego położenia środka wału.

Literatura
1. M. Dietrych : Podstawy konstrukcji maszyn, Tom III, PWN, Warszawa 1989,
2. F.T.Barwel : Łożyskowanie, PWN, Warszawa 1984,
3. J.Kiciński: Teoria i badania hydrodynamicznych poprzecznych łożysk ślizgowych,

Maszyny Przepływowe Tom 15, Ossolineum, 1994

4. Bently Nevada : Advanced Machinery Dynamic Course 2000, Warszawa 2000,
5. W. Moczulski : Typowe relacje diagnostyczne, III Konferencja Naukowo Tech-

niczna „Metrologia w energetyce”, Świnoujście 1988,

6. C. Cempel : Dignostyka maszyn, Międzyresortowe Centrum Naukowe Eksploata-

cji Majątku Trwałego, Radom 1992,

7. A. Muszynska : Multimode Whirl and Whip in Rotor/Bearing Systems, Dynamics

of Rotating Machinery, Proceedings of the Second International Symposium on
Transport Phenomena , Dynamics, and Design of Rotating Machinery, v.2, pp.269-
283, Hemisphere Publishing Corporation, Honolulu, Hawaii 1988.