Mechanika płynów zaliczenie wykładów
1. Model ośrodka ciągłego. Definicja elementu płynu.
Ośrodek ciągły – continuum materialne – bryła geometryczna zawierająca nieskończoną ilość cząsteczek
tworzących jednolitą strukturę materialną.
Element płynu rzeczywistego – taka objętość ΔV, której wymiary liniowe są wielkościami małymi wyższego rzędu
w porównaniu z wymiarami naczynia zawierającego płyn, lub ciała stałego zanurzonego w płynie, ale która – z
drugiej strony – zawiera tak dużą liczbę cząsteczek płynu, że własności makroskopowe płynu, określone w
odniesieniu do tej objętości zachowują sens fizyczny.
2. Gęstość płynu – definicja i określenie ilościowe.
Gęstością (masą właściwą) płynu w punkcie A(x,y,z) w chwili t nazywa się granicę ilorazu różnicowego
, w przypadku, gdy płyn jest jednorodny
.
3. Hipoteza Newtona.
Naprężenie styczne jest w płynie wprost proporcjonalne do szybkości ciśnienia
., eta – dyn wsp lepkości
4. Lepkość płynu – zdolność płynu rzeczywistego do przenoszenia naprężeń stycznych podczas jego ścinania.
Związek między dynamicznym i kinematycznym współczynnikiem lepkości – współczynnik proporcjonalności w
prawie Newtona eta nosi nazwę dynamicznego współczynnika lepkości i zależy od rodzaju płynu, temperatury
oraz ciśnienia. Inną miarą lepkości płynu jest kinematyczny wsp. lepkości zdefiniowany jako stosunek
dynamicznego współczynnika lepkoci do gęstości płynu. Wszystkie płyny spełniające prawo tarcia wewnętrznego
Newtona (Hipotezę Newtona) nazywamy płynami Newtonowskimi.
5. Wyprowadzić twierdzenie Eulera oraz sformułować wniosek wypływający z tego twierdzenia.
Ciśnienie działające w dowolnym punkcie płynu rzeczywistego pozostającego w spoczynku lub poruszającego się
płynu doskonałego jest niezależne od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt.
Dowód: wyodrębniamy element płynu w kształcie czworościanu -> działanie płynu zastępujemy naprężeniami p
x
,
p
y
, p
z
p
n
->oznaczamy normalną zewnętrzną do elementu powierzchniowego ds. przez n -> alfa to kąt między
osiami x,n; beta między y,n; delta miedzy z,n -> z warunku równowagi sił w kierunku osi x wynika
Z powyższych wynika
Wniosek: ciśnienie hydrostatyczne w płynie zarówno doskonałym jak i lepkim, pozostającym w stanie spoczynku
jest funkcją położenia p=p(x,y,z) i może być traktowane jako liczba.
6. Siły masowe – siły działające na wyodrębniony element płynu związane z masą płynu. Są wynikiem oddziaływania
określonego zewnętrznego pola przyspieszeń na każdy element płynu, np. siła ciężkości, bezwładności itp.
Wartość liczbowa siły masowej
w punkcie A(x,y,z) jest zawsze proporcjonalna do masy elementu płynu Δm
zawartej w otoczeniu punktu A. współczynnikiem proporcjonalności w tej zależności jest tzw. Jednostkowa siła
masowa zdefiniowana za pomocą wzoru
, gdzie gdzie X,Y,Z są
składowymi jednostkowej siły masowej
7. Siły powierzchniowe dzielimy na ZEWNĘTRZNE występujące między ściankami naczynia a płynem (napór
hydrostatyczny) lub między ciałem stałym a opływającym je płynem. WEWNĘTRZNE (działające na wyodrębnione
myślowo elementy płynu lub powierzchnie płynne). Siły powierzchniowe są zawsze w sposób ciągły na
powierzchni i opisywane za pomocą naprężeń. NAPRĘŻENIE Naprężeniem
w punkcie A(x,y,z) płynu nazywamy
granicę ilorazu różnicowego
8. Równania różniczkowe równowagi płynu – Eulera
Wyodrębniony myślowo element płynu w kształcie prostopadłościanu o wymiarach dx, dy, dz w stanie równowagi
(wypadkowa wszystkich sił działających na ten element jest równa 0) opisujemy w kierunku osi x równaniem:
po zrzutowaniu tych sił na osie y i z otrzymujemy
ostatecznie układ równań różniczkowych równowagi płynu – Eulera:
Przy założeniu, że gęstość jest stała równania opisują stan równowagi cieczy. W wyniku scałkowania, przy
zadanych siłach masowych, można znaleźć prawo rozkładu ciągnienia po objętości cieczy znajdującej się w stanie
równowagi i określić kształt, jaki przyjmuje ciało ciekłe w stanie równowagi
Równowaga cieczy jest możliwa tylko wtedy, gdy jednostkowe siły masowe działające na ciecz posiadają
potencjał, tzn. gdy ciecz znajduje się w potencjalnym polu sił masowych.
Warunki równowagi cieczy. Warunkami koniecznymi na to, aby siły masowe miały potencjał są warunki
SCHWARZA:
9. Potencjałem jednostkowych sił masowych jest pewna funkcja skalarna U=U(x,y,z). gdy wyrażenie (Xdx+Ydy+Zdz)
jest różniczką zupełną takiej funkcji to równanie dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) daje się scałkować tylko gdy
Wynika stąd wniosek dotyczący równowagi cieczy w potencjalnym polu sił masowych.
10. Powierzchnia izobaryczna to powierzchnia w cieczy, na której w każdym jej punkcie panuje jednakowe ciśnienie
hydrostatyczne (dp=0)
11. Powierzchnia ekwipotencjalna to taka powierzchnia w cieczy na której w każdym jej punkcie pauje jednakowy
potencjał.
Związek między powierzchniami izobaryczną i potencjalną. W cieczy znajdującej się w stanie równowagi
powierzchnie izobaryczne pokrywają się z powierzchniami ekwipotencjalnymi: dp=0 =>dU=0
12. Równowaga względna cieczy wirującej wraz z naczyniem ze stałą prędkością kątową – wyprowadzenie równania
powierzchni swobodnej
Analizujemy równowagę względną cieczy znajdującej się w wirującym ze stałą prędkością kątową naczyniu o
dowolnym kształcie wokół osi z. jednostkowe siły masowe przyjmują tu postaci:
Uwzględniając te wzory w równaniach różniczkowych opisujących rodzinę powierzchni ekwipot., tj:
Otrzymujemy:
I po scałkowaniu otrzymujemy równanie rodziny powierzchni ekwipotencjalnych w postaci:
Szczególnym przypadkiem powierzchni ekwipotencjalnej jest powierzchnia swobodna. Wykorzystując następujące
warunki brzegowe równania x=0, y=0, z=z
0
Wtedy stała c=z
0
, zatem powierzchnia swobodna w opisywanym przypadku jest paraboloidą obrotową opisaną
równaniem:
13. Prawo rozkładu ciśnienia po objętości cieczy wirującej wraz z naczyniem ze stałą prędkością kątową
Rozpoczynając od równania:
oraz
Otrzymujemy
Po podstawieniu warunków brzegowych π=0, z=z
0
, p=p
0
ostatecznie
Równanie rodziny powierzchni ekwipotencjalnych cieczy znajdującej się w stanie równowagi w jednorodnym polu
grawitacyjnym ziemi
Składowe siły masowej przyjmują w tym przypadku wartości X=0, Y=0, Z=g. Wobec tego równanie
Przyjmuje postać dU=gdz=0, po scałkowaniu otrzymujemy równanie rodziny powierzchni ekwipotencjalnych w
postaci z=const.
14. Ciśnienie hydrostatyczne w danym punkcie nieruchomej cieczy, niezależnie od lepkości samej cieczy ma kierunek
i zwrot normalnej wewnętrznej do elementu powierzchniowego przechodzącego przez dany punkt. Ciśnienie
hydrostatyczne w płynie, zarówno doskonałym jak i lepkim pozostającym w stanie spoczynku jest funkcją
położenia p=p(x,y,z) i może być traktowane jako liczba.
15. Prawo Pascala – przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednerodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w
stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych, wywołuje zmianę ciśnienia o taką samą wielkość w każdym
innym punkcie.
16. Całkowite parcie hydrostatyczne cieczy na powierzchnię płaską o dowolnym konturze jest co do wartości
bezwzględnej równe iloczynowi pola rozpatrywanej powierzchni i ciśnienia hydrostatycznego panującego w jej
środku ciężkości. P=p
0
S + γz
c
S. Efektywny napór hydrostatyczny N na ścianę płaską o dowolnym konturze jest co
do wielkości równy ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest dana ściana, a wysokością – głębokość położenia
jej środka ciężkości pod powierzchnią swobodną cieczy. N=P-p
0
S=γz
c
S
17. Współrzędne środka naporu na pochyłą ściankę płaską, czym różni się środek naporu od środka ciężkości pochyłej
ścianki płaskiej? Punkt w którym napór hydrostatyczny przebija płaszczyznę ściany nazywamy środkiem naporu i
oznaczamy przez A(x
A
, y
A
, z
A
). W celu znalezienia współrzędnej y
A
stosuje się twierdzenie Varignona względem osi
X:
Ale:
Oraz
->
gdzie Jx jest momentem bezwładności pola S względem osi
X. zgodnie z twierdzeniem Steinera: Jx=Jc + y
c
2
S i ya = yc + Jc/Cs wynika stąd, że ya>yc, czyli środek naporu na
płaską ścianę pochyłą leży zawsze głębiej niż jej środek ciężkości.
, wynika stąd, że
gdize Dxy jest momentem dewiacji pola S względem osi x,y.
Ostatecznie, wzory określające współrzędne środka naporu przyjmują następujące postaci:
;
;
18. Składowe naporu na ściankę zakrzywioną
Mierzona w dowolnym kierunku skłądowa pozioma naporu hydrostatycznego na powierzchnię zakrzywioną
równa jest naporowi hydrostatyczniemu na rzut tej powierzchni na płaszczyznę prostopadłą do przyjętego
kierunku poziomego. Składowa pionowa naporu na dowolną powierzchnię zakrzywioną równa się ciężarowi bryły
cieczy ograniczonej daną powierzchnią, tworzącymi pionowymi przechodzącymi przez kontur tej powierzchni oraz
płaszczyznę zwierciadła cieczy. Prosta działania składowej pionowej naporu N
z
przechodzi przez środek ciężkości
tej bryły.
19. Wypór hydrostatyczny
Różnicę składowych pionowych naporu na dolną i górną powierzchnię ciała nazywamy wyporem
hydrostatycznym:
Gdzie, V1 objętość cieczy ograniczonej górną powierzchnią ciała, tworzącymi pionowymi przechodzącymi przez
kontur K i zwierciadłem cieczy; V2 – objętość cieczy ograniczonej dolną powierzchnią ciała, tworzącymi
pionowymi przechodzącymi przez kontur K i zwierciadłem cieczy
20. Prawo Archimedesa – każde ciało zanurzone w płynie traci pozornie na ciężarze tyle, ile waży płyn wyparty przez
to ciało. Wartość bezwzględna siły wyporu równa się ciężarowi cieczy wypartej. Prosta działania siły wyporu
przechodzi przez środek ciężkości c bryły ciekłej o objętości V, zwany środkiem wyporu i jest zawsze pionowa.
21. Warunek pływania – ciało pływa w stanie częściowo zanurzonym, gdy spełniony jest warunek pływania:
22. Rodzaje równowagi ciała stałego całkowicie zanurzonego w cieczy:
Równowaga stateczna – gdy środek ciężkości S ciała stałego leży poniżej środka ciężkości C bryły, traktowanej
jako ciało jednorodne, nawet gdy położenie ciała w cieczy jest w początkowej chwili t przypadkowe, oś pływania
przyjmie po pewnym czasie położenie pionowe.
Równowaga obojętna – gdy punkt S pokrywa się z punktem C
Równowaga niestateczna – gdy punkt S leży powyżej punktu C, niewielkie wychylenie ciała spowoduje wtedy, że
po pewnym czasie ciało przyjmie położenie jak w równowadze statecznej.
23. Metoda Eulera – analiza
lokalna – polega na tym, że w wydzielonym obszarze przestrzeni wypełnionej poruszającym się płynem
przyjmujemy zbiór stałych punktów obserwacyjnych A(x,y,z) i badamy, jakim zmianom z upływem czasu podlegają
prędkości (lub inne parametry) elementów płynu przepływających przez te punkty. Metoda Eulera jest najczęściej
stosowana w mechanice płynów, gdyż w praktyce czujniki pomiarowe prędkości lokalnej zainstalowane są
nieruchomo w określonych miejscach przestrzeni przepływu. W metodzie Eulera ruch jest kinematycznie
określony, gdy dane jest pole prędkości:
, x,y,z,t – zmienne Eulera
24. Pole przyspieszeń w metodzie Eulera można określić następująco:
25. Pochodna substancjalna d/dt. Opisuje ona całość zmian, jakim podlega dana wielkość fizyczna w czasie i
przestrzeni. Jest sumą pochodnej lokalnej
oraz pochodnej konwekcyjnej – unoszenia.
26. Pochodna lokalna
opisuje zmiany danej wielkości fizycznej, jakie zachodzą w czasie dt w danym punkcie
przestrzeni.
27. Pochodna konwekcyjna
reprezentuje zmiany badanej wielkości fizycznej przy przejściu z
punktu A(x,y,z) do sąsiadującego z nim punktu A`(x+dx,y+dy,z+dz) w czasie dt.
Załóżmy, że H=H(x,y,z,t) jest dowolną (skalarną, wektorową, tensorową) wielkością fizyczną i obliczamy jej
pochodną po czasie:
Ale:
Stąd:
28. Linia prądu jest to linia pola wektorowego prędkości. Z analizy postaci równania wektorowego wynika, że układ
trzech równań skalarnych linii prądu można wyrazić następująco:
29. Równanie ciągłości jednowymiarowego przepływu ustalonego. W tym przypadku Obszar kontrolny ograniczony
jest dwoma przekrojami o polach S
1
i S
2
i powierzchnią boczną S
b
. w ruchu jednowymiarowym zakłada się, że
każda z wielkości fizycznych i geometrycznych są funkcjami wyłącznie zmiennej łukowej s. adaptując równanie
ciągłości dla takiego przypadku przepływu mamy:
30. Wyodrębniamy element płynu w kształcie prostopadłościanu o wymiarach dx,Dy,dz poruszającego isę w polu
jednostkowych sił masowych z przyspieszeniem
. Oznacza to odrzucenie części płynu i zastąpienie jej siłami
powierzchniowymi działającymi na każdą ze ścianek elementu płynu. Z bilansu sił działających na element płynu w
kierunku osi x wynika równanie:
Zatem:
Postępując analogicznie, tzn. dokonując bilansu sił w kierunku osi y i z oraz rozwijając pochodne substancjalne
występujące po prawej stronie uzyskanych w ten sposób równań, otrzymujemy równania różniczkowe ruchu
płynu doskonałego – Eulera:
Wobec tego należy je uzupełnić czwartym równaniem – ciągłości:
31. Równanie Bernoulliego – szczególnym przypadkiem całki Bernoulliego
, gdy ruch płynu
odbywa się w polu grawitacyjnym ziemskim (X=Y=0, Z=-g) tzn. dU=-gdz+C (U=-gz + C) jest równanie Bernoulliego
Przy czym, w przypadku strugi cieczy o przekroju skończonym obowiązuje równanie ciągłości v
1
S
1
=v
2
S
2
32. Interpretacja fizykalna równania Bernoulliego
Równanie Bernoulliego przedstawia zasadę zachowania energii w odniesieniu do elementarnej strugi cieczy
(zasada zachowania energii w mechanice płynów). Suma energii kinetycznej i potencjalnej (odniesionych do
jednostki masy) jest stała w każdym przekroju strugi płynu doskonałego.
Interpretacja geometryczna – Oznaczmy
, którą nazywamy wysokością prędkości,
nazywamy
wysokością ciśnienia oraz z, którą nazywamy wysokością niwelacyjną.
Równanie Bernouliego możemy zapisać w postaci:
Suma wysokości: prędkości, ciśnienia i położenia jest stała w dowolnym przekroju strugi elementarnej cieczy.
33. Czas częściowego opróżniania zbiornika przez mały otwór
Wypływ nieustalony cieczy ze zbiornika zachodzi wtedy, gdy poziom cieczy w zbiorniku opada lub gdy poziom
cieczy w zbiorniku podnosi się.
Bilans masy cieczy wypływającej i dopływającej do zbiornika w czasie dt jest następujący:
Czas częściowego opróżniania zbiornika obliczyć można za pomocą wzoru:
Brak minusa wynika z zamiany granic całkowania.
34. Klasyczne doświadczenie Reynoldsa
W swoim stanowisku Reynolds użył szklanej rury, przez którą wypływała woda. Za pomocą innej, cieńszej,
szklanej rurki wprowadzał barwnik (anilinę) centrycznie w osi większej rury. W urządzeniu istniała możliwość
regulowania prędkości przepływu zarówno wody czystej jak i zabarwionej. Dla małych prędkości przepływu
ciecz zabarwiona przepływała cienką stróżką przez środek rury praktycznie w nienaruszonym stanie, można
było zauważyć, że woda zabarwiona nie mieszała się z wodą czystą (ruch laminarny). Dalsze zwiększanie
prędkości przepływu powodowało osiągnięcie pewnej wartości granicznej po przekroczeniu której ciecz
zabarwiona tuż za wylotem mieszała się z cieczą czystą (ruch burzliwy). Rodzaj przepływu charakteryzuje
liczba Reynoldsa
Re<2100 ruch laminarny Re>15000 turbulentny – wymiana pędu
35. Równanie Bernoulliego dla strugi płynu rzeczywistego o przekroju skończonym. Wysokość strat lokalnych i tarcia
wewnętrznego
Alfa – wsp. Corriolisa, uwzględnia on nierównomierność rozkładu prędkości w przekroju przewodu. Równanie
obowiązuje tylko wtedy, gdy źródłem dydypacji energii jest wyłącznie tarcie wewnętrzne w cieczy, w pozostałych
przypadkach, tzn. gdy strumień cieczy napotyka w czasie ruchu na innego typu przeszkody, np. kolana, zawory,
wysokość strat zwiększa się o wartość
którą nazywamy wysokością strat miejscowych. Wówczas równanie
przyjmuje taką samą postać z H
str
które jest sumą miejscowych i tarcia.
36. Przepływ laminarny osiowo-symetryczny
Przyjmujemy założenia upraszczające:
1) P=P(x)
2) Przepływ jest ustalony i izotermiczny, dp/dx=C=const
Z bilansu sił działających na wyodrębniony walcowy element płynu wynika, że
Stałe całkowania C i C
1
wyznaczamy z warunków brzegowych:
X=0 i p=p1 -> c1=p1
X=L i p=p2 -> c=(p2-p1)/L
Różnicę p1-p2 nazywamy skalą lub różnicą ciśnień, natomiast p1-p2/L spadkiem ciśnienia
Po uwzględnieniu powyższych równań otrzymujemy prawo rozkładu naprężeń stycznych w przekroju
poprzecznym rury:
Jest to liniowa funkcja zmiennej promieniowej, osiąga maksimum na ściance przewodu
Zgodnie z Hipotezą Newtona lub według
Po rozdzieleniu zmiennych:
I scałkowaniu
Z warunkiem brzegowym: r=R, v=0 ->
Otrzymujemy rozkład prędkości
Profil prędkości opisany jest parabolą, przy czym maksymalna prędkość:
występuje w osi rury.
Prawo Hagena-Poiseuille’a
Obliczamy elementarny strumień objętości przez powierzchnię pierścienia o grubości dr:
dQ=2πrv(r)
Po podstawieniu mamy
Rezultatem całkowania jest prawo Hagena…
Objętościowe natężenie przepływu w rurze o przekroju kołowym jest proporcjonalne do spadku ciśnienie i do
czwartej potęgi średnicy wewnętrznej rury
37. Równanie Darcy’ego – współczynniki oporów przepływu
Ogólne równanie wymiarowe opisujące badany przepływ cieczy w rurach gładkich ma postać:
Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama można je sprowadzić do postaci bezwymiarowej
jest tzw. Współczynnikiem tarcia wewnętrznego, natomiast Re jest liczbą Reynoldsa.
Przekształcając równanie współczynnika c
j
ze względu na Δp
Powyższe równanie nosi nazwę równania Darcy’ego, posiada trzy inne postaci:
Wysokość strat tarcia wewnętrznego
Spadek hydrauliczny
Spadek ciśnienia
- wsp. oporów przepływu
38. Zależność współczynnika oporów przepływu od liczny Reynoldsa w przypadku laminarnego przepływu cieczy w
rurze gładkiej
Ze wzoru określającego średnią prędkość przepływu wynika, że
Z równania Darcy’ego mamy natomiast:
Porównując stronami otrzymujemy
39. Wysokość strat tarcia wewnętrznego w zakresie laminarnym i turbulentnym
, γ=ρ*g
– równanie Darcy’ego
Równanie Darcy’ego stosuje się do przewidywania wysokości strat tarcia wewnętrznego. Obowiązuje ono w całym
zakresie przepływu, z tym, że wzory opisujące zależność funkcyjną różnią się od siebie w zakresie
laminarnym przepływu i w zakresie turbulentnym.
Laminarny:
Turbulentny wg Blasiusa