Zadania 2

1. Wyznaczyć dziedzin

,

e funkcji:

a) f (x) = log(x + 3)

f) f (x) =

1

log(1

− x)

+

√

x + 2

b) f (x) =

√

5

− 2x

g) f (x) = log(

√

x

− 4 +

√

6

− x)

c) f (x) =

1

x

2

+ 1

h) f (x) =

1

sin x

d) f (x) =

2x

x

2

− 3x + 2

i) f (x) = log tg x

e) f (x) =

1

√

x

3

− x

j) f (x) = ctg(2x + π).

2. Naszkicować wykresy funkcji i wskazać przedziały monotoniczności każdej z

nich.

a) f (x) = x

2

+ 1

g) f (x) = sin 2x

b) f (x) = (x + 1)

2

h) f (x) = 2 sin x

c) f (x) = (x

− 1)

2

i) f (x) = 2 cos(2x

− 2)

d) f (x) = x

2

− 3x + 2

j) f (x) =

x

− 2

x

− 1

e) f (x) = log x

2

k) f (x) = tg(x +

π

2

)

f) f (x) = log 10x

l) f (x) = ctg(

−x).

3. Wyznaczyć funkcje odwrotne do funkcji oraz określić ich dziedzin

,

e:

a) f (x) = 2x + 1

e) f (x) = 5

x

−4

b) f (x) = x

2

dla x

­ 0

f) f (x) = log

3

(x

− 7)

c) f (x) = x

2

dla x

¬ 0

g) f (x) =

2

x

2

x

+1

d) f (x) = 2

x

− 3

h) f (x) =

2x

1 + x

2

.

4. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji i zbiór f (A), gdy

a) f (x) = x

2

i A = [

−1, 2]

e) f (x) =

|x| i A = [−4, 2]

b) f (x) = x

2

i A = (

−1, 2)

f) f (x) =

|x| i A = [−4, 2]

c) f (x) = log

2

x i A = [2, 8]

g) f (x) = sin x i A = [0, π]

d) f (x) = log

2

x i A = [2, 8] h) f (x) = sin x i A = (2π

−

π

2

, 2π +

π

2

)

5. Podać wzory funkcji złożonych f

◦ g(x) i g ◦ f(x) i wyznaczyć ich dziedziny,

gdy:

a) f (x) = x

2

i g(x) =

−2x

e) f (x) = x

2

+ x + 1 i g(x) =

√

x

− 1

b) f (x) = x

2

i g(x) = 3x

−

x

− 1

x + 1

f) f (x) = 1

− x

2

i g(x) = sin x

c) f (x) =

√

x i g(x) = 1

− x

2

g) f (x) = sin x i g(x) =

x

2

1

− x

2

d) f (x) = log x i g(x) = x + 3

h) f (x) = tgx i g(x) =

2x

1 + x

2

1

2

6. Nast

,

epuj

,

ace funkcje przedstawić jako funkcje złożone. Wskazać funkcje zewn

,

etrzn

,

a

i wewn

,

etrzn

,

a każdej z nich.

a) f (x) = log(x + 3)

f) f (x) =

1

log(1

− x)

+

√

1

− x

b) f (x) =

√

5

− 2x

g) f (x) = log(

√

x

− 4 +

√

6

− x)

c) f (x) =

1

x

2

+ 1

h) f (x) =

1

sin x

d) f (x) = sin(sin x)

i) f (x) = log tg x

e) f (x) =

1

√

x

3

− x

j) f (x) = ctg(2x + π).

7. Który z poniższych ciągów jest postępem arytmetycznym, a który geometrycz-

nym:

a) a

n

= 2n

− 5

c) b

n

= 6n +

1

2

e) u

n

= 3

· 4

n

g) f (n) = n

2

+ 1

b) c

n

= (n

− 1)2

n

d) d

n

= 3

n

f) g

n

= (

−1)

(n+1)

· n

8. Podać wzór na a

n

(n-ty wyraz) dla ciągów zaczynających się następująco:

a) 1,5,9,13;

b) 0,

2

3

,

4

5

,

6

7

c) 3,

−6, 12, −24

d) 10,

−16, 22, −28

9. Dla każdego z poniżej zdefiniowanych ciągów podaj 5 początkowych wyrazów

oraz wyraz setny.

a)







a

1

= 3,

a

n+1

= a

n

+ 2,

dlan

∈ IN

;

c)











b

1

= 1,

b

n+1

=

2

b

n

,

dla n

∈ IN

;

b)







c

1

= 2,

c

n+1

= c

n

+ (

−1)

n

,

dla n

∈ IN

;

d)















f

0

= 0,

f

1

= 1,

f

n+2

= f

n+1

+ f

n

,

dla n

∈ IN

.

10. Rozpisać następujące sumy i obliczyć je

a)

4

X

i=2

i

c)

7

X

k=1

3k

e)

4

X

i=1

i

2

g)

3

X

j=1

j

3

b)

4

X

i=1

2

i

d)

1

X

l=

−2

2

l+3

f)

5

X

i=1

(

−1)

i

· i

3

;

3

X

j=0

j(j + 1).

11. Następujące sumy zapisać w postaci sigmowej:

a) 7+12+17+22+27+32;

d) 3+6+12+24;

b) 1 +

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

;

e)

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

;

c)

1

2

+

2

3

+

3

4

+

4

5

;

f)

1

1 + 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+

1

4 + 5

+

1

5 + 6

.

12. Następujące postępy arytmetyczne i geometryczne przedstawić w notacji sig-

mowej

a) 1+4+7+10+ . . . +61;

c) 3+8+13+18+ . . . +73;

b) 2+6+18+ . . . +162;

d) 5+15+45+ . . . (12 wyrazów).

3

13. Obliczyć

a)

n

X

i=1

i;

b)

n

−1

X

i=0

i;

c)

2n

X

i=n+1

i;

d)

n

X

i=1

(n

− i).

Uwaga! Aby dokładnie zrozumieć powyższe sumy, najlepiej najpierw podsta-
wić zamiast n pewne konkretne liczby naturalne, np. 1, 2, 3, 4.

14. Niech a

ij

oznacza element i-tego rzędu i j-tej kolumny w następującej macierzy:

A =






1

4

−2

2

−7

0

8

3

2






.

Podać wartość

a)

3

X

i=1

a

ij

, dla j = 3;

c)

3

X

j=1

a

ij

, dla i = 3;

b)

3

X

j=2

a

ij

, dla i = 2;

d)

3

X

i=1

(

3

X

j=1

a

ij

).

15. Obliczyć granice funkcji

a) lim

x

→2

x

2

+ 4

x + 2

e) lim

x

→4

x

2

− 2x − 8

x

2

− 9x + 20

i) lim

x

→0

√

x

2

+ 1

− 1

√

x

2

+ 25

− 5x

b) lim

x

→2

x

2

− 4

x

− 2

f) lim

x

→−2

3x

2

+ 5x

− 2

4x

2

+ 9x + 2

j) lim

x

→0

(2 + x)

2

− 2

2

x

c) lim

x

→2

x

3

− 8

x

− 2

g) lim

x

→1

x

5

− 1

x

− 1

k) lim

x

→0

(y + x)

3

− y

3

x

d) lim

x

→3

27

− x

3

x

− 3

h) lim

x

→0

√

x

2

+ 1

−

√

x + 1

1

−

√

x + 1

l) lim

x

→0

√

y + x

−

√

y

x

.

16. Obliczyć granice funkcji

a) lim

x

→∞

x

2

+ 1

x

2

− 1

f) lim

x

→−∞

x

3

− 2x + 1

x

4

+ 2x

2

+ 4

k) lim

x

→∞

x

3

− 2x + 1

4x

2

− 2x + 1

b) lim

x

→−∞

3x

2

+ 2x

− 1

x

− 5

− 3x

g) lim

x

→∞

√

x + a

−

√

x

l) lim

x

→∞

√

x

2

+ 1

− x

c) lim

x

→−∞

√

x

2

+ 1

− x

h) lim

x

→∞

x

2

− 1

x

− 3

−

x

2

− 1

x

− 5

m) lim

x

→∞

√

x

2

+ 4

x + 2

d) lim

x

→∞

x

2

+ 9

x(x + 3)

i) lim

x

→∞

2x

−

√

x

2

− 1

x + 3

n) lim

x

→∞

3x

2

− 9

x(x + 3)

.

e) lim

x

→∞

2x

− 3x

3

4x

2

+ 2x

− 1

j) lim

x

→−∞

2x

−

√

x

2

− 1

x + 3

o) lim

x

→∞

(x + 2)

3

− x

3

x(x + 3)

.

17. Obliczyć granice jednostronne funkcji

a) lim

x

→3

+

x

2

+ 1

x

− 3

d) lim

x

→3

−

x

2

+ 1

x

− 3

g) lim

x

→2

+

x

3

(x

− 2)

2

b) lim

x

→2

−

x

3

(x

− 2)

2

e) lim

x

→2

±

x

2

+ x

− 1

x

− 2

h) lim

x

→2

±

x

2

− 3x + 2

x

2

− 4x + 4

.

c)

lim

x

→−1

±

x

− 5

1 + x

f) lim

x

→2

±

x

2

+ 2x

− 5

x

− 2

i) lim

x

→2

±

x

2

− 3x − 4

x

2

+ 3x + 2

.

Uwaga: Zapis lim

x

→a

±

oznacza że należy obliczyć granice lewostronn

,

a i prawo-

stronn

,

a w punkcie a.

4

18. Obliczyć pochodne funkcji:

a) f (x) = 2x

2

+ 3

h) f (x) =

x

2

− 2x − 8

x

2

− 9x + 20

b) f (x) =

√

x

2

+ 1

− x

2

i) f (x) =

2

3x

− 1

c) f (x) =

3

√

x

2

+

5

x

3

− 2x

4

j) f (x) =

(2 + x)

3

− x

2

x

d) f (x) = sin

x

2

k) f (x) =

4

√

x

5

+ e

x

−2

e) f (x) = (x

2

sin x + 2x cos x)

2

l) f (x) = (x

2

− 5)

6

(2x

− 1)

f) f (x) =

x

3

+ 1

x

m) f (x) = ln(x

2

+ x

−2

)

g) f (x) = (1 + x) sin x

n) f (x) = x

3

ln x.

19. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

a) f (x) = (x

− 2)

5

(2x + 1)

4

h) f (x) =

x

ln x

b) f (x) = x

√

x

− x

2

i) f (x) = 3x

5

− 25x

3

+ 60x + 4

c) f (x) = x

− sin x dla(0 ¬ x ¬ 2π)

j) f (x) =

10

4x

3

− 9x

2

+ 6x

d) f (x) =

1

− x − x

2

1 + x + x

2

k) f (x) = 2 sin x + cos 2x dla (0

¬ x ¬ 2π)

e) f (x) = x

2

e

−x

l) f (x) = x

− e

x

f) f (x) = x + cos x

m) f (x) = 2x

2

− ln x

g) f (x) =

x

2

1

− x

n) f (x) =

x

3

x

2

− 1

20. Wyznaczyć ekstrema funkcji:

a) f (x) = 2x

3

− 3x

2

g) f (x) = x

2

√

x

2

+ 2

b) f (x) = x

− ln(1 + x

2

)

h) f (x) =

3x

2

+ 4x + 4

x

2

+ x + 1

c) f (x) =

3

√

x

3

− 3x

2

+ 8

2

i) f (x) = x sin x + cos x

1
4

x

2

d) f (x) =

1

ln(x

4

+ 4x

3

+ 30)

j) f (x) =

4

√

3

9x

√

1

− x

e) f (x) = e

x

+ e

−x

k) f (x) = 2x

3

− 6x

2

− 18x + 7

f) f (x) = x

− ln(1 + x)

21. Wyznaczyć najwi

,

eksz

,

a i najmniejsz

,

a wartość funkcji w przedziale:

a) f (x) = x

4

− 2x

2

+ 5

[

−2, 2]

f) f (x) = x + 2

√

x

[0, 4]

b) f (x) = x

5

− 5x

4

+ 5x

3

+ 1

[

−1, 2]

g) f (x) =

1

x

+

4

1

− x

(0, 1)

c) f (x) = x

3

− 3x

2

+ 6x

− 2

[

−1, 1]

h) f (x) = sin 2x

− x

[π/2, π/2]

d) f (x) =

√

100

− x

2

[

−6, 8]

i) f (x) =

1

− x + x

2

1 + x + x

2

[0, 1]

e) f (x) =

x

− 1

x + 1

[0, 4]

j) f (x) =

2x

1 + x

2

[

−4, 4]

5

22. Zbadać wypukłość i wyznaczyć punkty przegi

,

ecia funkcji:

a) f (x) = 2x

3

− 3x

2

+ 14

e) f (x) = x

2

√

x

2

+ 3

b) f (x) = x

2

√

x

2

− 4

f) f (x) =

4

x

2

+ 3

c) f (x) =

4x

x

2

+3

g) f (x) =

4x

x

2

−4

d) f (x) = (x + 2)

6

+ 2x + 2

h) f (x) = ln(1 + x

2

)

23. Wyznaczyć asymptpty funkcji:

a) f (x) =

x

2

+ 1

x

− 3

d) f (x) =

x

2

+ 1

x

− 3

g) f (x) =

x

3

(x

− 2)

2

b) f (x) =

x

3

(x

− 2)

2

e) f (x) =

x

2

+ x

− 1

x

− 2

h) f (x) =

x

2

− 3x + 2

x

2

− 4x + 4

.

c) f (x) =

2x

2

− x − 1

3x

2

− 4x + 1

f) f (x) =

3x

2

+ 7x + 2

4x

2

+ 7x

− 2

i) f (x) = 2x

−

√

x

2

− 1.

24. Zbadać istnienie ekstremów lokalnych nast

,

epuj

,

acych funkcji:

a) f (x, y) = 2xy

− 3x

2

− 2y

2

+ 10

c) f (x, y) = 4(x

− y) − x

2

− y

2

e) f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

+ x

− y + 1

b) f (x, y) = 3x

2

− 8xy − 3y

2

− 4x + 22y + 4

d) f (x, y) = x

3

+ 2xy

− 9y

2

+ 9x

− 7

f) f (x, y) =

xy

x

2

+ y

2

+ 1

.

25. Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

(x

5

− 2x

3

+ 3x

− 7)dx

f)

Z

cos 2x

cos x

− sin x

dx

k)

Z

x

3x + 7)

dx

b)

Z

(x

2

+ 1)(x

2

− 2)

x

3

dx

g)

Z

(x

− 3)

7

dx

l)

Z

2x

1

− 3x

2

dx

c)

Z

(

√

x + 1)(x

−

√

x + 1)dx

h)

Z

x

4

− 1

x

− 1

dx

m)

Z

e

−3x+1

dx

d)

Z

sin

5

x cos xdx

i)

Z

x

2

e

x

dx

n)

Z

ln xdx

e)

Z

tg x

cos

2

x

dx

j)

Z

√

x ln xdx

o)

Z

x

2

cos xdx

26. Obliczyć całki oznaczone

a)

Z

3

−1

(1

− 2x + 3x

2

)dx

d)

Z

π

0

sin

3

xdx

g)

Z

9

4

√

x

√

x

− 1

dx

b)

Z

1

0

√

1 + xdx

e)

Z

π

0

x cos xdx

h)

Z

1

0

xe

−x

dx

c)

Z

−1

−2

2x

− 1

x

− 2

dx

f)

Z

e

−1

0

ln(x + 1)dx

i)

Z

π

0

e

x

sin xdx

27. Dla pewnego przedsi

,

ebiorstwa funkcja kosztów krańcowych jest postaci K(x) =

3x

2

+ 100. Wiedz

,

ac, że stały składnik w funkcji kosztów całkowitych jest równy

2000, obliczyć, przy jakiej wartości produkcji koszt przeci

,

etny b

,

edzie najmniej-

szy.

6

28. Załóżmy, że C(x) jest funkcją kosztów produkcji pewnego towaru. Obliczyć,

dla jakiej wielkości produkcji koszt średni będzie najmniejszy. Jaka powinna
być wielkość produkcji aby przy cenie zbytu p uzyskać maksymalny zysk.
Wykonać obliczenia gdy

a) C(x) = 0, 03x

2

+ 15x + 300 i p = 24.

b) C(x) = 0, 02x

2

+ 10x + 200 i p = 16.

29. Znaleźć równanie kierunkowe prostej najlepiej przybliżaj

,

acej nast

,

epuj

,

acy układ

punktów na płaszczyźnie: [1,2] , [2,3] , [3,5] , [4,6] , [5,7]. Po wykonaniu obliczeń,
przedstawić rozwi

,

azanie w postaci graficznej.