1.Postulaty statyki

1)Zasada równoległoboku R=P

1

+P

2

2)

Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej

prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe 3)Działanie układu sił przyłożonych do
ciał sztyw. nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejm. dowolny układ równoważących się sił
tzw. układ zerowy 4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie
zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała 5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości
i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie 6)Każde ciało nieswobodne można
myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.
2. Twierdzenie o

trzech siłach- Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztyw. były w

równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym punkcie, a same siły tworzyć trójkąt

zamknięty.

3. Varignon

Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów

sił wypadkowych względem tego punktu.
4. Para sił - Układ dwóch sił równoległych nie leżących na jednej prostej. Aby pary sił działające w jednej
płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi
być równa zeru.
5.Moment siły – Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił
na osie układu muszą być równe zero. M

o

=rFsin(r,F) ∑M

i

=0

6. Kratownica

– jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać

geometryczną. Warunek sztywności p=2w-3

7. Redukcja płaskiego układu sił

P’=P a’=-a



8.

Redukcja

przestrzennego ukł. Sił –

dowolny

układ

sił

przyłożonych do jednego

punktu

zastąpić

możemy

jedną

siłą

wypadkową przyłożoną

w tym punkcie i równą

sumie

geometrycznej

sił.

9.Tarcie

– zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy siłami

tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było

10. Kinematyczne równania ruchu – x=f

1

(t), y=f

2

(t), z=f

3

(t)

– równania parametryczne toru punktu lub

11.

Definicja prędkości - Prędkość punktu jest wektorem określonym przez pierwszą pochodną wektora

położenia względem czasu.

12. Definicja przyspieszenia -

Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub dugą

pochodną

wektora

położenia

względem

czasu

13. Przyspieszenie styczne; p. normalne

– przysp. styczne -

; przysp. normalne -

, gdzie p-

promień krzywizny

14. Droga

– s=∫vdt

15. Rzut pionowy

– rzut punktu materialnego z daną prędkością w kierunku pionowym. Szczególnym

przypadkiem jest spadek swobodny

x=0
y=(gt

2

)/2

16. Rzut poziomy
x=V

o

t

y=(gt

2

)/2

17. Rzut ukośny

x=V

o

tcosα

y=V

o

tsinα

18 Rodzaj

e ruchów bryły

Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że
jej chwilowe położenia są równoległe do
położenia początkowego.
Ruch obrotowy-

Jeżeli dwa punkty bryły są

stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły
Ruch płaski- traktujemy jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu






19 Prędkość i przyspieszenie
Punktu

bryły w ruchu postępowym

Prędkość:

Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem
postępowym są w danej chwili wektorami równoległymi.

Przyspieszenie:

Przyspieszenia

wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej

chwili wektorami równoległymi.

20 Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym

Prędkość:

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym
jest równa iloczynowi wektorowemu wektora prędkości
kątowej przez wektor położenia punktu (początek układu na
osi obrotu).
Przyspieszenie:

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest sumą geometryczną
przyspieszeń:
Obrotowego i poosiowego

21

Prędkość kątowa

22 Przyspieszenie kątowe
jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli
współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość
przyspieszenia kątowego ε wynosi:

d

dt

d

2

dt

2

1

s

2

24 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim
Prędkość:

Przyspieszenie

26 Chwilowy środek obrotu
Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.
Wyznaczenie środka obrotu
W układzie ruchomym

r

c

'

o'

2

W

układzie nie ruchomym

r

c

o'

r

c

'

27 Centroida
Kr

zywa łącząca chwilowe środki obrotu

Ruchoma

Miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu figury płaskiej w układzie ruchomym

Nieruchoma

Miejsce geometryczne (nie ściągaj!!) chwilowych środków obrotu figury płaskiej w

układzie nieruchomym

28 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu kulistym
prędkość

przyspieszenie

29 Układ Eulera
Prędkość

31 Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej

d

dt

2

1

2

2

1

32 Ruch ogólny
Podstawowy + kulisty 6 stopni swobody

33 ruch złożony punktu
Ruch p

unktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem układu

ruchomego

ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego

nazywamy ruchem unoszenia

34 Prędkość bezwzględna

Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej

35 Przyspieszenie bezwz.
Jest

sumą wektorową przyspieszenia unoszenia, względnego i przyspieszenia Coriolisa

a

b

a

u

a

w

a

c

36.Przyspieszenie Coriolisa,

dodatkowe przyspieszenie liniowe, które ma w ruchomym układzie

odniesienia (np. związanym z obracającą się Ziemią) poruszające się względem niego ciało dzięki
ruchowi obrotowemu tego układu.
37 Prawa ruchu Newtona
Prawo pierwsze.

Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego

prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.
Prawo drugie.

Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i

ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt
materialny, a przez mv

jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy

wyrazić następującym równaniem wektorowym

d m

dt

P

Jeżeli m=const. To P=ma
Prawo trzecie.

Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli

wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.
Prawo czwarte.

Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich

działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa

wektorowej sumie wektorów danych sił.

d

dt

m

1

m

2

... m

n

P

1

P

2

... P

n

Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu ich mas (m

1

, m

2

) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r

między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

P

k

m

1

m

2

r

2

38 Zasada d’Alemberta
W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną siłą

bezwładności.

39.Zasada zachowania pędu:

Równanie:

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa
sumie sił działających na dany punkt. Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej
zasady

dynamiki.

Jeżeli

teraz:

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.

40.Zasada

pędu

i

popędu.

Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu)
Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora
głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.







t

dt

W

p

t

p

0

)

0

(

)

(

41.Zasada zachowania krętu.
Pochodna względem czasu krętu punktu materialnego względem nieruchomego bieguna O jest
równa momentowi względem tego bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny.
dK

0

/ dt = M

0

42.Zasada krętu i pokrętu.
Zasada krętu i pokrętu
Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi
momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.







t

O

O

O

dt

M

k

t

k

0

)

0

(

)

(

43.Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

44.Definicja pracy.
Praca jest to mechaniczny sposób przekazu energii.Jednostką pracy jest Jul.

45.Moc mechaniczna.
Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia się z czasem to

wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu: M=

dt

dL

[W ]

46.Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.
Jeżeli na poruszający się punkt materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej
tego punktu jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV

2

k

- 1/2mV

2

p

48.Potencjalne (zachowawcze) pole sił.
Pole jest potencjalnym polem sil, gdy praca przy przesowaniu punktu nie zalezy od drogi (tzn praca po
drodze zamknietej = 0)
centralne pole sil:
pole sil o tej wlasnosci ze linie dzialania sil tego pola zawsze przechodza przez jeden punkt
Zdolność do wykonania pracy ciała znajdującego się w spoczynku nazywamy en. potencjalną E

p

:

E

p

=mgh.

49.Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.



 





W

F

mr '

'

,

gdzie



F

-R,



W

=0

0

2

2

2

2

Mr

dt

d

mr

dt

d





; Mr

0

’’=R

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego
środku masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne.

→ →

M ro = R

50.Pęd układu punktów materialnych.

R

MV

dt

d



0

; Q=MV

0

=



mV

-

pęd ukł.

punktów_materialnych;

R

dt

dQ



-

zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.
R=0 >> Q=const
jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.
ped dotyczy tylko ruchu postepowego, nie obrotowego, bo nie ma masy bezwladnosci predkosci
katowej
zasada zachowania pedu: jeżeli na uklad nie dzialaja sily lub dzialajace sily się znosza to ped jest
staly czyli zachowany r=0 to q=const.
okresla się go tylko przy ruchu postepowym, przy ruchu obrotowym nie istnieje.

51.Kręt układu punktów materialnych.

K

s

=



ρ

i

*mV

i

– kręt

c

c

M

dt

dK



Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ
brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.
M

c

=0 >> K

c

=const

52.Energia kinetyczna układu punktów materialnych.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej w ruch
postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka masy C układu.
E =½V

c

p+½ωK

c

; p=mV

c

; K

c

=I

c

ω

53.Twierdzenie Koeniga.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby
pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii
kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

54. Zasada zachowania energii mechanicznej -

w układzie izolowanym suma składników

wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie
zmienia się w czasie).



55. Wahadło matematyczne

0

sin

"

0

sin

"

sin

"

sin

2

2































l

g

g

ml

ml

mgl

ml

mgl

M

z

86. Macierz bezwładności
Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną. Elementy na przekątnej – momenty bezwładności.
Elementy poza przekątną – momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności.

56. Wahadło fizyczne
Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego
punktu.

0

sin

"

sin

"

sin





























g

I

ms

mgs

I

mgs

M

y

F

M

z

z

z

z

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy

ms

I

l

z

red



długość zredukowana

Okres wahadła

mgs

I

g

l

g

l

T

z

red







2

2

2









Rozwiązanie:

)

cos(

0











t

A

57. Drgania swobodne
Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły

F



przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu
F = -kx, k-

stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać
mx” = F
mx” = -kx lub







m

k

x

m

k

x

0

"

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych











,

0

"

2

x

x

częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

)

sin(



 



t

a

x

(a-amplituda(max.wychylenie),



-

faza początkowa ruchu drgań

)

(



 

t

-faza

drgań)
Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

k

m

T

m

k

T









2

,

2







58. Drgania tłumione
Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

'

*

x

R

x













-

siła tłumiąca.

Równania ruchu:

m

n

m

k

x

nx

x

x

kx

mx

























2

,

0

'

2

"

'

"

2

Ponieważ równanie charakterystyczne

0

2

2

2













n

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)

1.Małe tłumienie

0









n



Rozwiązanie:

)

sin(

2

2













t

n

ae

x

nt

Jeżeli

0

,







tox

t

-

drgania

zanikają.

Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

















2.Duże tłumienie.

0









n



Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań.

Rozwiązanie

)

sinh(

2

2













t

n

ae

x

nt

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.
3.Tłumienie krytyczne

0









n



Rozwiązanie:

)

(

2

1

t

C

C

e

x

nt







Brak okresowości, brak drgań.
60. Drgania wymuszone
Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.
Siła wymuszająca S=H sin(pt),
p-

czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

m

H

h

m

k

pt

h

nx

x

pt

H

kx

mx















,

)

sin(

'

2

"

)

sin(

"



Rozwiązanie ostateczne tych drgań

)

sin(

)

sin(

2

2

pt

p

h

t

a

x















Jest to złożenie dwóch

drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych

2

2

p

h

B







zależy od częstości drgań wymuszonych.

Jeżeli







toB

p

,



i występuje rezonans. W przypadku rezonansu

rozwiązanie drgań będzie miało postać.

)

cos(

2

)

sin(

t

t

h

t

a

x















61. Rezonans-

zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem

energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych
częstotliwości drgań.

62. Amplituda-

nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

71. Reakcje dynamiczne

dynamiczne

reakcje

R

R

const

B

A

_

,

.







Korzystamy z zasady d’Alemberta
Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą

0

0

0

0

_

2

2

2

2





























xzdm

l

R

yzdm

l

R

momenty

ydm

R

R

xdm

R

R

sił

równania

Bx

By

By

Ay

Bx

Ax









Oznaczając

















xz

yz

c

c

D

xzdm

D

yzdm

my

ydm

mx

xdm

,

,

mamy

0

0

0

0

2

2

2

2





















xz

Bx

yz

By

c

By

Ay

c

Bx

Ax

D

l

R

D

l

R

my

R

R

mx

R

R









2

2

2

2

By

Bx

B

Ay

Ax

A

R

R

R

R

R

R









Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

0

,

0

,

0

,

0









yz

xz

c

c

D

D

y

x

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności



72

Długość zredukowana wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

73 Kręt bryły w ruchu obrotowym

74 Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

75 Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

76 Środek masy bryły

77 Środek masy układu punktów materialnych
Środek masy określony jest następująco:

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona

ponieważ występują parami.

Pi -

siły zewnętrzne;

Wi -

siły wewnętrzne;

78 Definicja mo

mentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny,
osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego punktu od
płaszczyzny, osi lub bieguna.
I = mr

2

79 Główny moment bezwładności
Momenty bezwładności względem punktu
I

xx

=



x

2

dm

I

yy

=



y

2

dm

I

zz

=



z

2

dm

Momenty bezwładności względem osi
I

x

=



(y

2

+ z

2

) dm = I

yy

+ I

zz

I

y

=



(x

2

+ z

2

) dm = I

xx

+ I

zz

I

z

=



(x

2

+ y

2

) dm = I

xx

+ I

yy

Momentem dewiacji (zboczenia)





80 Dewiacyjne mome

nty bezwładności

Momentem dewiacji (zboczenia)

w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych karteziańskich jest całka

iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.
I

xy

= I

yx

=



xy dm

I

yz

= I

zy

=



yz dm

I

zx

= I

xz

=



zx dm

81 Tw. Steinera
Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej
przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej
układu przez kwadrat odległości obu osi.
I

z

= I

xx

+ I

yy

= I

z’

+ md

2

I

l

= I

0

= md

2

82 Moment bezwładności względem dowolnie skierowanej osi
Moment bezwładności względem osi: I=



V

r

2

dm, zatem:

I = I

x

cos

2

α + I

y

cos

2

β + I

z

cos

2

γ−2Dxy cos α cos β − 2Dyz cos β cos γ − 2Dzx cos γ cos α

83 Główna oś bezwładności
Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I

1

x

2

+ I

2

y

2

+ I

3

z

2

= k

2

gdzie I

1

,

2

,

3

-

główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda prosta

⊥ do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której

leżą środki mas warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami
prostopadłymi do
tej prostej.

84. Centralna oś bezwładności
85. Główna centralna oś bezwładności
Są to osie główne przechodzące przez środek masy