3U]\NáDG8NáDGEHONRZ\]áR*RQ\

3ROHFHQLHZ\]QDF]\üUHDNFMHSRGSRURZHRUD]RGG]LDá\ZDQLDZSRáF]HQLDFKSU]HJXERZ\FK

L Z WHOHVNRSLH GOD SRQL*V]HJR XNáDGX REFL*RQHJR REFL*HQLHP FLJá\P  R VWDá\P QDW *HQLX

q

1

 = q i q

2

 = 2q

VLáVNXSLRQ

P =  2 ql oraz momentem skupionym M = ql

2

.

Przyjmujemy oznaczenia dla podpór: A, B, C i D

 RUD] GOD SRáF]H SU]HJXERZHJR

1 i

teleskopowego 2.

8ZDOQLDP\XNáDGRGZL ]yZ]DVW SXMFSRGSRU\UHDNFMDPL2]QDF]RQDOLWHU

A podpora jest

WXOHM D ZL F Z SXQNFLH

A

 G]LDáDM QDVW SXMFH UHDNFMH UHDNFMD SLRQRZD

R

A

 SURVWRSDGáD GR

NLHUXQNX PR*OLZHJR SU]HVXZX RUD] PRPHQW

M

A

. W miejscu podpory przegubowej

przesuwnej B

 G]LDáD UHDNFMD SLRQRZD

R

B 

SURVWRSDGáD GR NLHUXQNX PR*OLZHJR SU]HVXZX

podobnie w punkcie C 

G]LDáD UHDNFMD SLRQRZD

R

C

 3UDZD SRGSRUD R]QDF]RQD OLWHU

D, jest

SRGSRU SU]HJXERZ QLHSU]HVXZQ ]DWHP Z SXQNFLH

D

 G]LDáDM GZLH QLH]DOH*QH RG VLHELH

VNáDGRZH UHDNFML SLRQRZD

V

D

 i pozioma H

D

 2EFL*HQLH FLJáH

q

1

=q

 ]DVW SXMHP\

Z\SDGNRZ

W

1

]D

q

2

=2q dwiema wypadkowymi W

2

 i W

3

.

l

2 l

2 l

2 l

2 l

l



 = 45

o

A

B

D

q

1

 = q

q

2

 = 2q

M = ql

2

P =  2 ql

cos

.

 = 

5

3

sin

.



= 

5

4

cos



 = 

2

1

sin



 = 

2

1

C

2

1

.

q

1

 = q

q

2

 = 2q

M = ql

2

P =  2 ql

.

cos

.

 = 

5

3

sin

.



= 

5

4

cos



 = 

2

1

sin



 = 

2

1

l

2 l

2 l

2 l

2 l

l



 = 45

o

l

2 l

2 l

2 l

2 l

l

W

1

W

2

W

3

R

C

R

B



 = 45

o

A

B

D

M = ql

2

P =  2 ql

.

C

2

1

M

A

R

A

V

D

H

D

x

y

2

:\SDGNRZHREFL*HQLDFLJáHJRZ\QRV]

W

1

 = q

1

 

Â

l = q 

Â

l = ql

W

2

 = q

2

 

Â

l = 2q 

Â

l = 4ql

W

3

 = q

2

 

Â

l = 2q 

Â

l = 4ql

']LHOLP\ ]áR*RQ\ XNáDG EHONRZ\ QD EHONL SRMHG\QF]H SRGXNáDG\ WZRU]F VFKHPDW SUDF\

UR]SDWU\ZDQHJR XNáDGX : SRáF]HQLX SU]HJXERZ\P

1

 G]LDáDM GZLH QLH]DOH*QH VNáDGRZH

RGG]LDá\ZDQLDSLRQRZD

V

1

 i pozioma H

1

3RGREQLHZSRáF]HQLXSU]HJXERZ\P

C

Z\VW SXM

GZLHQLH]DOH*QHVNáDGRZHRGG]LDá\ZDQLDSLRQRZD

V

C

 i pozioma H

C

1DWRPLDVWZSRáF]HQLX

teleskopowym 2

Z\VW SXMHRGG]LDá\ZDQLH

R

2

RNLHUXQNXSURVWRSDGá\PGRRNáDGHNWHOHVNRSX

oraz moment M

2

.

-DNRSLHUZV]H]DSLV]HP\UyZQDQLHU]XWyZVLáQDRSR]LRPGOD

III 

F] FLXNáDGXZFHOX

REOLF]HQLDRGG]LDá\ZDQLDSR]LRPHJR

H

1

 w przegubie 1.

∑

=

i

III

ix

P

0

:          

2 ql 

Â

2

1

 

í

H

1

 = 0          

⇒

           H

1

 =  ql

3RZ\]QDF]HQLXZDUWRFLRGG]LDá\ZDQLD

H

1

]DSLV]HP\UyZQDQLHU]XWyZVLáQDRSR]LRPGOD

( I 

F] FLXNáDGX]NWyUHJRREOLF]\P\ZDUWRüRGG]LDá\ZDQLD

R

2

 w teleskopie 2.

l

2 l

2 l

2 l

2 l

l

90

o

R

C

R

B

B

W

1

W

2

C

2

.

V

C

H

C

M

2

R

2

IV

A

M = ql

2

P =  2 ql

1

M

A

R

A

V

1

H

1

III

D

C

V

D

H

D

W

3

V

C

H

C

II

I

.

2

1

V

1

H

1

90

o

M

2

R

2

I

I I

.

2

1

V

1

H

1

 =  ql

90

o

M

2

R

2

2 l

I

3

0

=

∑

i

I

ix

P

:         H

1

 

í

R

2

 

ÂFRV

o

 

í.

 ) = 0          

⇒

           R

2

 = 

4

5

 ql

= UyZQDQLD U]XWyZ VLá QD R SLRQRZ GOD 

I 

 F] FL XNáDGX PR*HP\ MX* Z\]QDF]\ü

RGG]LDá\ZDQLHSLRQRZH

V

1

 w przegubie 1.

0

=

∑

i

I

iy

P

:          V

1

 + R

2

 

ÂFRV.

  = 0          

⇒

           V

1

 =  

í

4

3

 ql

Ostatnim równaniem zapisanym dla ( I 

F] FLXNáDGXE G]LHUyZQDQLHPRPHQWyZZ]JO GHP

punktu 2

 ] NWyUHJR REOLF]\P\ ZDUWRü RGG]LDá\ZDQLD

M

2

 w teleskopie 2. W równaniu tym

QLHZ\VWSLRGG]LDá\ZDQLD

H

1

 i R

2

SRQLHZD*OLQLHG]LDáDQLDW\FKVLáSU]HFKRG]SU]H]SXQNW

2.

∑

=

i

I

i2

M

0 :          M

2

 

í

V

1

 

Â

l = 0          

⇒

           M

2

 =  

í

2

3

 ql

2

5HDNFM SLRQRZ

R

A

 na podporze A

PR*HP\Z\]QDF]\ü]UyZQDQLDU]XWyZVLáQDRSLRQRZ

dla ( III 

F] FLXNáDGX

∑

=

i

III

iy

P

0

:           

R

A

 

í

2 ql 

Â

2

1

 

í

V

1

 = 0          

⇒

           R

A

 = 

4

1

 ql

W celu wyznaczenia momentu podporowego M

A

 w tulei A zapiszemy równanie momentów

Z]JO GHPSXQNWX

A dla ( III 

F] FLXNáDGX

∑

=

i

III

iA

M

0

:          

í

M

A

 

í

2 ql 

Â

2

1

Â

l 

í

M 

í

V

1

 

Â

l = 0           

⇒

           M

A

 = 

4

1

 ql

2

5HDNFM  SR]LRP QD SRGSRU]H

D 

REOLF]\P\ ] UyZQDQLD U]XWyZ VLá QD R SR]LRP GOD FDáHJR

XNáDGX

0

=

∑

i

ix

P

:           2 ql 

Â

2

1

 + H

D

 = 0          

⇒

           H

D

 = 

í

ql

= UyZQDQLD PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

C dla ( II

  F] FL XNáDGX Z\]QDF]\P\ UHDNFM

SLRQRZ

V

D

 na podporze D

 : UyZQDQLX W\P QLH Z\VWSL RGG]LDá\ZDQLD

V

C

 i H

C

 oraz

reakcja H

D

JG\*OLQLHG]LDáDQLDW\FKVLáSU]HFKRG]SU]H]SXQNW

C.

A

M = ql

2

P =  2 ql

1

M

A

R

A

V

1

 =  

í

4

3

 ql

H

1

 =  ql

III

2 l

l

II

D

C

V

D

H

D

 = 

í

ql

W

3

 = 4 ql

V

C

H

C

2 l

4

0

=

∑

i

II

iC

M

:           V

D

 

Â

l 

í

W

3

 

Â

l = 0          

⇒

           V

D

 = 2ql

.RU]\VWDMF ] UyZQDQLD U]XWyZ VLá QD R SLRQRZ GOD 

II

  F] FL XNáDGX Z\]QDF]\P\

RGG]LDá\ZDQLHSLRQRZH

V

C

 w przegubie C

QDWRPLDVW]UyZQDQLDU]XWyZVLáQDRSR]LRPGOD

( II

F] FLXNáDGXZ\]QDF]\P\RGG]LDá\ZDQLHSR]LRPH

H

C

.

∑

=

i

II

iy

P

0

:           

V

C

 

+ V

D

 

í

W

3

 = 0          

⇒

           V

C

 = 2ql

0

=

∑

i

II

ix

P

:           H

C

 + H

D

 = 0          

⇒

            H

C

 =  ql

$E\ Z\]QDF]\ü UHDNFM 

R

B

 ]DSLV]HP\ UyZQDQLH PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

C dla ( IV )

F] FLXNáDGX

∑

=

i

IV

iC

M

0 :       R

2

 

ÂFRV.

 

Â

l 

í

M

2

 

í

R

B

 

Â

l + W

1

 

Â

2

5

l + W

2

 

Â

l = 0      

⇒

       R

B

 = 

8

41

 ql

-DNR RVWDWQL QLHZLDGRP Z\]QDF]DP\ UHDNFM 

R

C

 ] UyZQDQLD U]XWyZ VLá QD R SLRQRZ

zapisanego dla ( IV 

F] FLXNáDGX

∑

=

i

IV

iy

P

0 :           R

C

 + R

B

 

í

R

2

 

ÂFRV.

 

í

W

1

 

í

W

2

 = 0          

⇒

           R

C

 = 

8

21

 ql

: UR]ZL]DQLX ]DGDQLD QLH Z\NRU]\VWDOLP\ UyZQDQLD U]XWyZ VLá QD R SR]LRP GOD 

IV )

F] FL XNáDGX =DSLV]HP\ WR UyZQDQLH Z FHOX VSUDZG]HQLD SRSUDZQRFL Z\NRQDQ\FK

REOLF]H

∑

=

i

IV

ix

P

0

:           

R

2

 

ÂFRV

o

 

í.

 ) 

í

H

C

  = 

4

5

 ql

  

Â

5

4

 

í

ql = ql 

í

ql = 0

5yZQDQLHVSHáQLRQHMHVWWR*VDPRFLRZR

90

o

R

C

R

B

B

W

1

 = ql

W

2

 = 4 ql

C

2

.

V

C

 = 2ql

H

C

 =  ql

M

2

 =  

í

2

3

 ql

2

R

2

 = 

4

5

 ql

IV

2 l

l

l

2 l

2 l

2 l

2 l

l

W

1

 = ql

W = 4 ql + 4 ql = 8 ql

R

C

 =

8

21

ql

R

B

 =

8

41

ql



 = 45

o

A

B

D

M = ql

2

P =  2 ql

.

C

2

1

M

A

 = 

4

1

 ql

2

R

A

 = 

4

1

 ql

V

D

 = 2ql

H

D

 = 

í

ql

5

'ODVSUDZG]HQLDZ\QLNyZVNRU]\VWDP\UyZQLH*]UyZQDQLD]DSLVDQHJRGODFDáHJRXNáDGXQD

SU]\NáDG ] UyZQDQLD PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

D

 : UyZQDQLX W\P PR*HP\ ]DVWSLü

Z\SDGNRZH REFL*HQLD FLJáHJR

W

2

 i W

3

 Z\SDGNRZ

W

 E GF LFK VXP NWyUHM OLQLD

G]LDáDQLDSU]HFKRG]LSU]H]SXQNW

C.

∑

=

L

0

iD

M

:   

í

M

A

 

í

R

A

 

Â

l + 2 ql 

Â

2

1

Â

l 

í

ql

2

 + W

1

 

Â

2

9

 l + W 

Â

l 

í

R

B

 

Â

l 

í

R

C

 

Â

l =

= 

í

4

1

 ql

2

 

í

4

1

 ql 

Â

l + 9 ql

2

 

í

ql

2

 + ql  

Â

2

9

 l + 

 

8 ql 

Â

l 

í

8

41

 ql 

Â

l 

í

8

21

 ql 

Â

l =

= ql

2

 

(

í

4

1

 

í

2

5

 + 9 

í

2

9

 + 16  

í

2

41

 

í

4

21

) 

= 0

3RZ\*V]HUyZQDQLHWH*VSHáQLRQHMHVWWR*VDPRFLRZR

=H Z]JO GX QD Z\VW SRZDQLH SRGSRU\ SU]HJXERZHM

C

 Z PLHMVFX SRáF]HQLD SU]HJXERZHJR

F] FL

II ) i ( IV

PR*HP\UyZQLH*SU]\MüLQQ\VFKHPDWSUDF\XNáDGX

:DUWRü UHDNFML SRGSRURZ\FK RUD] RGG]LDá\ZD Z SU]HJXELH

1 i teleskopie 2

 QLH ]DOH* RG

Z\ERUX SU]\M WHJR GR REOLF]H VFKHPDWX SUDF\ XNáDGX EHONRZHJR MHGQHJR ] GZX

SUH]HQWRZDQ\FK1DWRPLDVWZDUWRFLRGG]LDá\ZDSLRQRZ\FKZSU]HJXELH

C

E GUy*QH

V

C



V

C

*

  : SLHUZV]\P VFKHPDFLH SU]\M W\P GR UR]ZL]DQLD ]DGDQLD V WR RGG]LDá\ZDQLD

Z\VW SXMFH SR SUDZHM VWURQLH SRGSRU\

C

 : SRZ\*V]\P VFKHPDFLH RGG]LDá\ZDQLD WH

Z\VW SXM SR OHZHM VWURQLH SRGSRU\

C. Gdyby podpora C

 E\áD SRGSRU SU]HJXERZ

QLHSU]HVXZQWRPRJá\E\WH*Uy*QLüVL RGG]LDá\ZDQLDSR]LRPHZSXQNFLH

C.

I

.

2

1

V

1

H

1

90

o

M

2

R

2

I

l

2 l

2 l

2 l

2 l

l

90

o

R

B

B

W

1

W

2

C

2

.

V

C

*

H

C

*

M

2

R

2

IV

A

M = ql

2

P =  2 ql

1

M

A

R

A

V

1

H

1

III

C

V

D

H

D

W

3

V

C

*

H

C

*

II

R

C

D