Rachunek ró»niczkowy II

Zadanie 1. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji:

a) f(x) =

√

x cos(x − 1)

w punkcie (1, f(1)),

b) f(x) =

sinx

e

x

w punkcie (0, f(0)),

c) f(x) =

√

e

x

+ x

w punkcie (0, f(0)),

d) f(x) = ln

√

x + 1

w punkcie (0, f(0)),

e) f(x) = arctg(−x

2

)

w punkcie (1, f(1)),

f) f(x) =

√

x

2

+ 1 − 2

w punkcie o odci¦tej x

0

=

√

3

,

g) f(x) =

x

2

2

x

w punkcie (1, f(1)),

h) f(x) = (1 +

√

x)

ln

√

x

w punkcie (1, y

0

)

.

Zadanie 2. Obliczy¢ k¡t, pod którym wykresy funkcji y = x

2

, y =

3

√

x

przecinaj¡ si¦ we wn¦trzu

pierwszej ¢wiartki ukªadu wspóªrz¦dnych.

Zadanie 3. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji y = 3

−x

. Styczn¡ wystawi¢ w punkcie

(x

0

,

√

3)

.

Zadanie 4. Obliczy¢ k¡t, pod którym wykres funkcji f(x) = e

√

3x

− 1

przecina o± OX.

Zadanie 5. Napisa¢ rónanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 3 − x

2

, która tworzy k¡t

π

3

z dodatni¡

cz¦±ci¡ osi OX.

Zadanie 6. Wyznaczy¢ k¡t, pod jakim o± OX jest przeci¦ta przez wykres funkcji f(x) = xe

x
2

.

Zadanie 7. Dla jakich warto±ci parametrów a i b wykres funkcji f(x) = −x

2

+ ax + b

jest styczny do

prostej y = x w punkcie (−1, −1)?

Zadanie 8. Obliczy¢ k¡ty, pod jakimi przecinaj¡ si¦ wykresy funkcji: f(x) = 4 − x, g(x) = 4 −

x

2

2

.

Zadanie 9. Wykorzystuj¡c ró»niczk¦ funkcji obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia:

a) sin 211

o

,

b) cos 209

o

,

c) arcctg 0, 999,

d) 3

1,98

.

Zadanie 10. Napisa¢ wzór Taylora dla funkcji:

a) f(x) =

3

√

x

i punktu x

0

= 8

z reszt¡ R

4

,

b) f(x) = ln(1 + x) i punktu x

0

= 0

z reszt¡ R

3

,

Zadanie 11. Stosuj¡c wzór Maclaurina obliczy¢:

a) ln 1, 2 z dokªadno±ci¡ 10

−3

,

b)

√

e z dokªadno±ci¡ 10

−2

,

c) sin 3

o

z dokªadno±ci¡ 10

−4

.

Zadanie 12. Dla funkcji f(x) =

√

1 + x

napisa¢ wzór Maclaurina z reszt¡ R

5

. Korzystaj¡c z tego

wzoru obliczy¢ przyli»on¡ warto±¢

√

2

i oszacowa¢ bª¡d tego przybli»enia.

Zadanie 13. Dla funkcji f(x) = sin

2

x

napisa¢ wzór Maclaurina z reszt¡ R

4

. Korzystaj¡c z tego wzoru

obliczy¢ przyli»on¡ warto±¢ sin

2 1

5

i oszacowa¢ bª¡d tego przybli»enia.

1

Zadanie 14. Dla funkcji f(x) =

n

√

1 + x

napisa¢ wzór Maclaurina z reszt¡ R

4

. Korzystaj¡c z tego

wzoru obliczy¢ przyli»on¡ warto±¢

3

q

3
2

i oszacowa¢ bª¡d tego przybli»enia.

Zadanie 12. Oszaowa¢ bª¡d przybli»onego wzoru:

a)

5

√

1 + x ≈ 1 +

x

5

dla

0 < x ≤ 0, 1

,

b)

√

1 + x ≈ 1 +

x

2

−

x

2

8

dla

0 ≤ x ≤ 1.