Kolokwium II

rok 2009/2010

Zadanie 2.

Wyznacz promień i środek zbieżności, narysuj przedział zbieżności, zbadaj

zbieżność (i określ jej rodzaj) w lewym krańcu przedziału zbieżności szeregu.

(

(

Rozwiązanie:

Przekształcamy nasz szereg tak, żeby łatwo móc znaleźć

oraz f(x). Ważne jest,

aby przy zmiennej x nie stała żadna liczba oraz, żeby potęga, do której podnosimy wyrażenie z

iksem była równa n.

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

, natomiast ( (

Środek zbieżności wyznaczymy z warunku: (

(

Promień i przedział zbieżności:

Korzystamy z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamard’a.

lim

lim

(

(

lim

(

(

(

lim

(

(

(

, który otrzymaliśmy odnosi się do wyrażenia kwadratowego (

, więc chcąc

obliczyć promień dla wyrażenia stopnia pierwszego (

ń wystarczy

spierwiastkować

(

:

(

(

( (

(

(

Szereg jest zbieżny bezwzględnie w (

.

Zbieżność w lewym krańcu przedziału zbieżności szeregu:

(

(

(

(

(

A) Żeby zbadać zbieżność i rodzaj powyższego szeregu musimy skorzystać z kryterium
Leibniza dla

, ponieważ szereg jest naprzemienny.

I.

, bo .

II.

, bo

ł

ą ą

III. lim

B Żeby zbadać rodzaj zbieżności muszę sprawdzić czy

(

jest zbieżny czy rozbieżny.

(

, więc szereg rozbieżny.

Łącząc podpunkt A oraz B wnioskujemy, że szereg w lewym krańcu przedziału jest zbieżny
warunkowo.

Odpowiedź:

Promień zbieżności szeregu:

, środek zbieżności szeregu:

, przedział

zbieżności bezwzględnej szeregu: (

, zbieżność i jej rodzaj w lewym krańcu

przedziału zbieżności szeregu: szereg zbieżny warunkowo.

Autor: Artur Chełchowski grupa 2

10.12.2013

x

x = 2

Rx=

W lewym krańcu przedziału
zbieżności, szereg jest zbieżny,

ale nie wiemy w jaki sposób.