Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski, dr inż. Witold Staszewski 

Matematyka Dyskretna – ćw. 4 

Kombinatoryka 

Kombinacja bez powtórzeń i z powtórzeniami, zadania różne 

 

Kombinacja bez powtórzeń: 

Niech  dany  będzie  zbiór 

 

 

  złożony  z  n  różnych  elementów.  k-elementową  (

     )  kombinacją  bez 

powtórzeń  ze  zbioru 

 

 

  nazywamy  każdy  k-elementowy  podzbiór  utworzony  z  elementów  zbioru 

 

 

.  Skoro 

podzbiór, to elementy nie mogą się powtarzać. Symbol: 

 

 

 

. 

Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 

 

 

 wyraża się wzorem: 

  

 

 

     

 
    

  

           

 

Zachodzi: 



 

  

 

 

      

 

   

 , gdyż  

 
      

 

       



 

  

 

 

      (zbiór pusty) 



 

  

 

 

      (cały zbiór) 



 

  

 

 

      

 

   

      

Kombinacja z powtórzeniami: 

Niech dany będzie zbiór 

 

 

 złożony z n różnych elementów. k-elementową kombinacją z powtórzeniami ze 

zbioru 

 

 

 nazywamy każdy k-elementowy wielozbiór utworzony z elementów zbioru 

 

 

. Skoro wielozbiór, to 

elementy mogą się powtarzać. Symbol: 

 

 

 

. 

Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 

 

 

 wyraża się wzorem: 

  

 

 

              

 

   

            

           

 

Zad. 1. Ile zostanie rozegranych meczów w turnieju szachowym dziesięciu zawodników gdzie 
każdy grał z każdym dokładnie jeden raz? 

Zad. 2.  Ile zespołów liczy liga jeżeli w sezonie letnim rozegrano 120 meczów (każdy grał z 
każdym dokładnie jeden raz)? 

Zad. 3. Ile jest możliwych skreśleń sześciu liczb w Lotto? 

Zad.  4.  Na  ile  sposobów  można  pomalować  czterema  kolorami  sześć  nierozróżnialnych 
przedmiotów? 

symbol Newtona 

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski, dr inż. Witold Staszewski 

 

 

Zad. 5. Ile jest rezultatów rzutu: 

(a)  trzema nierozróżnialnymi kostkami? 
(b) trzema rozróżnialnymi kostkami? 

Zad. 6. Pewna grupa studencka składa się z 10 mężczyzn i 6 kobiet. Na ile sposobów można 
ich wpisać na numerowaną listę tak aby: 

(a)  lista zwierała tylko siedem osób? 
(b) lista zawierała trzech mężczyzn i cztery kobiety? 
(c)  lista zawierała cztery kobiety lub siedmiu mężczyzn? 
(d) lista zawierała dwóch mężczyzn i cztery kobiety lub trzech mężczyzn i trzy kobiety? 

Zad. 7. Ile jest rezultatów rzutu: 

(a)  pięcioma nierozróżnialnymi monetami? 
(b) pięcioma rozróżnialnymi monetami? 

Zad. 8. Znajdź liczbę układów kart w pokerze następujących rodzajów: 

(a)  poker (strit w kolorze) 
(b) kareta (cztery karty o tej samej wartości) 
(c)  kolor (pięć kart w tym samym kolorze, ale nie poker) 
(d) trójka (dokładnie trzy karty o tej samej wartości, reszta kart o innych wartościach) 
(e)  para (dokładnie dwie karty o tej samej wartości, reszta kart o innych wartościach) 

Czy liczy się 

kolejność? 

Nie 

Kombinacje 

Czy są 

powtórzenia? 

Nie 

Kombinacje 

bez powtórzeń 

Tak 

Kombinacje 

z powtórzeniami 

Tak 

Wariacje 

Czy są 

powtórzenia? 

Nie 

Wariacje 

bez powtórzeń 

Tak 

Wariacje 

z powtórzeniami