Informatyka I – Lab 06, r.a. 2011/2012
prow. Sławomir Czarnecki
Zadania na laboratorium nr. 6
Po utworzeniu nowego projektu, dołącz bibliotekę
bibs.h
.
1. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a, b oznaczamy przez nwd(a,b). Zdefiniuj
funkcję
(
)
int
in
,
t
int
nwd
a
b
implementującą iteracyjną wersję Algorytmu Euklidesa
znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych
{
}
,
1, 2,...
a b ∈
=
ℕ
.
Algorytm Euklidesa
start
naturalne
nwd, a, b, A, B ;
czytaj a ;
czytaj b ;
A = a ;
B = b ;
dopóty dopóki a
b
≠ wykonuj:
jeśli a
b
> to:
a
a b
= − ;
w przeciwnym przypadku: b
b
a
= − ;
nwd = a ;
wyświetl A, B, nwd;
koniec
2. Udowodnij poprawność Algorytmu Euklidesa. W tym celu udowodnij, że funkcja zdaniowa
(
)
(
)
(
)
,
0
0
,
,
P a b
a
b
nwd a b
nwd A B
=
> ∧ > ∧
=
, gdzie a, b, A, B są identyfikatorami
zmiennych zdefiniowanych powyżej, jest prawdziwa w każdym kroku algorytmu oraz, że
liczba kroków jest liczbą skończoną.
3. Zdefiniuj funkcję
(
)
int
in
,
t
int
NWD
a
b
implementującą rekurencyjną wersję Algorytmu
Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych
{
}
,
1, 2,...
a b ∈
=
ℕ
.
4. Zdefiniuj funkcję
(
** ,
** , )
?
?
double
double
mm
a
b
, która oblicza iloczyn
m n
M
×
∈
c
macierzy
m k
M
×
∈
a
i
k n
M
×
∈
b
, tj.
=
c
a b
. Przetestuj funkcję wywołując ją dla losowo
wygenerowanych składowych macierzy
m k
M
×
∈
a
i
k n
M
×
∈
b
.
5. Zadanie problemowe z kinematyki bryły sztywnej (nawiązanie do materiału z rozdz. 8.8
na stronie 137, Ruch Płaski w podręczniku R. Nagórski, W. Szcześniak, Mechanika
Teoretyczna, t.1, OW PW 1993 oraz do materiału z rozdz. 6 na stronie 207, Ruch Płaski
Układu Materialnego w podręczniku W. Szcześniak, Zbiór Zadań z Mechaniki Teoretycznej –
Kinematyka, OW PW 2001).
Wzdłuż poziomej linii prostej toczy się ze stałą prędkością kątową
ω
oraz bez poślizgu
szpulka
Ω
o mniejszym promieniu r i o większym
R
. Dla uproszczenia interpretacji formuł
zakładamy, że
R = ∞
. W chwili początkowej
0
t
= , środek szpulki znajduje się w początku 0
globalnego układu współrzędnych kartezjańskich – por. Rys.1.
Rys.1. Szpulka w ruchu płaskim – toczenie się bez poślizgu ze stałą prędkością kątową
ω
. Na
rysunku pokazano szpulkę w chwili początkowej t = 0.
Ruch szpulki
Ω
w globalnym układzie współrzędnych kartezjańskich i w przedziale czasu
[
)
0,
T =
∞
opisuje odwzorowanie
(
)
( )
( )
( )
( )
0
1
0
2
0
1
1
cos
sin
:
,
,
,
sin
cos
X
t
X
t
r t
x
F
T
F
t
X
t
X
t
x
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
Ω× →
=
=
−
+
x
X
ℝ
,
(1)
gdzie
0
2
1
x
x
=
∈
x
ℝ
oznacza punkt przestrzenny definiujący położenie punktu
materialnego
0
1
X
X
=
∈ Ω
X
identyfikującego punkt szpulki
Ω
w chwili t
T
∈ .
Zdefiniuj funkcję
(
*
,
?
, )
?
double
d uble
t
o
F
X
, która opisuje ruch szpulki w opisie
materialnym lub w tzw. opisie Lagrange’a.
Definiując trajektorię jako zbiór
( )
(
)
{
}
,
,
t
F
t
T
ℑ =
∈
Ω
×
x
odwzorowanie odwrotne
1
:
G
F
−
=
ℑ → Ω
do odwzorowania
2
:
F
T
Ω× → ℝ
możemy zdefiniować następująco:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
0
0
1
1
cos
sin
cos
:
,
, ,
sin
cos
sin
x
t
x
t
r t
t
X
G
G
t
x
t
x
t
r t
t
X
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
ℑ → Ω
=
=
+
−
X
x
.
(2)
Zdefiniuj funkcję
(
* ,
?
, )
?
double
d uble
t
o
G
x
, która opisuje ruch szpulki w opisie
przestrzennym lub w tzw. opisie Eulera.
Rys.2. Trajektoria
3
2
0 xy
czas
ℑ ⊂
=
×
ℝ
ℝ
ℝ
szpulki w pewnym przedziale czasu
[
]
max
0, t
.
Widok „z góry” oraz widok izometryczny.
Rys.3. Szpulka w ruchu płaskim w chwili początkowej t = 0 i w dowolnej chwili
0
t
> . Na
rysunku pokazano zdefiniowany w zadaniu punkt materialny X oraz punkt przestrzenny x.
Nietrudno jest analitycznie sprawdzić, że dla dowolnych X, x, t :
( )
,
,
F G
t t =
x
x
oraz
(
)
, ,
G F
t t =
X
X
.
Dla losowo wygenerowanych wartości X, x, t sprawdź numerycznie obie powyższe relacje.
Wektor prędkości v definiujemy jako pole materialne
(
)
( )
( )
( )
( )
0
1
0
2
0
1
1
sin
cos
v
:
,
, ,
cos
sin
v
X
t
X
t
r
F
T
t
X
t
X
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
+
∂
Ω× →
=
=
−
−
∂
v
v
X
ℝ
.
(3)
Opis przestrzenny V wektora prędkości v definiujemy jako pole przestrzenne
( )
1
0
2
0
1
:
,
,
,
,
x
r
V
G
t t
x
r t
V
ω ω
ω ω
+
ℑ → Ω
=
=
−
+
V
V
v
x
.
(4)
Formułę (4) otrzymujemy ze wzoru (3), w którym składowe
0
X i
1
X obliczone są za pomocą
relacji (2), tj.
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
c
v
,
sin
cos
cos
sin
c
si
cos
sin
si
os
sin
n
sin
c
n
cos
os
sin
s
sin
cos
s
in
cos
os
o
c
c
in
s
os
x
t
t
x
t
t
x
x
t
X
t
X
t
r
x
t
x
t
r t
t
t
t
x
t
x
t
r t
t
t
r
t
x
t
t
r t
t
t
r
r
t
t
t
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
= −
+
+
=
= −
−
−
+
+
+
−
+
=
= −
+
+
+
+
+
−
+
=
=
X
( )
( )
( )
2
2
1
1
0
sin
cos
,
t
r
x
r
x
V
t
t
ω
ω
ω
ω
ω ω
+
+
=
+
=
x
oraz
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
1
0
0
2
1
1
0
0
0
1
0
1
v
cos
cos
,
cos
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
co
si
s
s
n
cos
cos
s
s
in
in
si
in
sin
s
n
co
t
X
t
X
t
x
t
x
t
r t
t
t
x
t
x
t
r
x
t
t
x
t
x
t
t
t
t
r t
t
t
r
t
x
t
t
x
t
t
t
t
t
x
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
= −
−
=
−
−
−
+
−
+
−
=
= −
+
+
+
−
−
+
=
= −
−
X
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
0
1
2
cos
si
s
n
,
in
r t
t
r t
t
x
r t
V
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
= −
+
+
=
x
Zdefiniuj funkcję
v(
*
,
,
?
?
)
double
do
le
t
ub
X
, która opisuje pole prędkości szpulki (prędkość
dowolnego punktu
∈Ω
X
w chwili t) oraz funkcję
V(
* ,
,
?
?
)
double
do
le
t
ub
x
, która definiuje
opis przestrzenny prędkości szpulki (prędkość szpulki w miejscu
2
∈
x
ℝ
i w chwili t).
Głównym celem ćwiczenia jest stabelaryzowanie powyższych wzorów (1), (2), (3), (4) dla
wartości
1.0 [ ]
r
m
=
,
3.0 [1/ ]
s
ω
=
,
max
5.0 [ ]
t
s
=
w
100
n
=
równo odległych od siebie
chwilach
max
0,1,...,
1,
1
i
t
t
i
t i
n
t
n
= ×
=
−
=
−
△
△
dla punktu materialnego
0
r
=
∈ Ω
−
X
oraz
punktu przestrzennego
2
0
r
=
∈
x
ℝ
. Stabelaryzowane wartości należy zapisać do plików w
celu wizualizacji w Excelu.
Po poprawnie oprogramowanym zadaniu, 4 wykresy w Excelu obejmujące:
• wizualizację trajektorii danego punktu materialnego X
• wizualizację w kolejnych chwilach czasowych punktów materialnych X
przechodzących przez dany punkt x przestrzeni
• wizualizację w kolejnych chwilach czasowych wektora prędkości v danego punktu
materialnego X (stycznego do jego trajektorii) oraz
• wizualizację wektora prędkości poruszającego się ciała (szpulki) w danym miejscu x
(opis przestrzenny V pola materialnego prędkości v)
powinny wyglądać jak na poniższych rysunkach:
Rys.4. Trajektoria punktu materialnego
[
]
0
T
r
=
−
∈ Ω
X
w przedziale czasu
[
]
max
0, t
.
Rys.5. Punkty materialne
∈Ω
X
„przechodzące” przez miejsce zdefiniowane w punkcie
przestrzennym
[
]
2
0
T
r
=
∈
x
ℝ
w przedziale czasu
[
]
max
0, t
.
Rys.6. Wektor prędkości punktu materialnego
2
0
r
=
∈
−
X
ℝ
(lewy rysunek)
oraz wektor prędkości szpulki w miejscu zdefiniowanym przez punkt przestrzenny
2
0
r
=
∈
x
ℝ
(prawy rysunek) w przedziale czasu
[
]
max
0, t
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Lab 06 2011 2012 NWD
Lab 06 2011 2012 NWD
Lab 02 2011 2012
Lab 09 2011 2012
Lab 10 2011 2012
Lab 05 2011 2012
Lab 04 2011 2012
Lab 09 2011 2012
Lab 03 2011 2012
Lab 03 2011 2012
Lab 08 2011 2012
Lab 07 2011 2012 Suplement
Lab 02 2011 2012
Lab 09 2011 2012
więcej podobnych podstron