III. RENTY ŻYCIOWE

Rentą życiową nazywamy ciąg okresowych płatności dokonywanych w równych od-

stępach czasu od momentu zawarcia umowy rentowej do końca życia rentobiorcy lub

do końca kontraktu.

Czas trwania umowy rentowej może być ograniczony lub nieograniczony, a mo-

ment pierwszej wypłaty może nastąpić natychmiast po zawarciu umowy rentowej lub być

odroczony na pewien okres czasu.

Renty życiowe płatne są miesięcznie, kwartalnie lub rocznie.

W niniejszym rozdziale omówimy metody wyznaczania jednorazowej składki netto dla

rent życiowych. Dla zrozumienia wyprowadzanych wzorów niezbędna jest znajomość teo-

rii rent pewnych, o których najważniejsze informacje zamieszczono w dodatku A.

3.1. RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST

Dla wyprowadzenia wzoru na jednorazową składkę netto renty życiowej płatnej

natychmiast z dołu wprowadzimy następujące założenia (por. Rozdział 2.1)

a) K - zmienna losowa oznaczająca liczbę pełnych lat życia od momentu zawarcia ubez-

pieczenia do momentu śmierci

b) raty renty życiowej są stałe i są równe jednostce pieniężnej (1zł, 1 tys. zł, 1mln zł)

c) w momencie zawierania umowy rentowej ubezpieczony jest w wieku x lat

d) r - techniczna stopa procentowa (r=0,05)

e) v = (1+r)

-1

- czynnik dyskontujący

Przyjmując wyżej zapisane założenia możemy stwierdzić, że wartość początkowa oma-

wianej renty życiowej jest kapitałem losowym określonym przez zmienną losową postaci

{

Y

v v

v

v

a

K

K r

1

2

3

=

+

+

+

+

=

⏐

. . .

(3.1)

dla K=1,2, . . . ,w-x

gdzie:

a

K r

⏐

- wartość początkowa renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przez K lat

(por. dodatek B)

v

-(1+r)

-1

- czynnik dyskontujący v+(1+r)

-1

60

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y

1

jest związany z rozkładem dalszego

trwania życia i jest określony wzorem:

Pr

(

)

Pr (

)

ob Y

a

ob K

k

p q

k r

k x x k

1

=

=

=

=

+

(3.2)

dla k=0,1,2, ..., w-x.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y

1

możemy zapisać w tablicy (por. roz-

kład zmiennej losowej S

1

)

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y

1

k

0

1

2

. . . .

i

. . .

w-x

y

k

a

r

0

a

r

1

a

r

2

a

i r

. . . .

a

w x r

−

P(Y

1

=y

k

)

q

x

1

1

p q

x x

+

2

2

p q

x x

+

. . . .

i x x i

p q

+

. . . .

w x x w

p q

−

Porównując rozkłady zmiennych losowych S

1

i Y

1

zauważmy, że

Pr (

)

Pr (

)

ob Y

a

ob S

v

k r

k

1

1

1

=

=

=

+

(3.4)

dla k=0,1,2, ..., w-x.

Korzystając z wzoru na wartość początkową pewnej renty jednostkowej (por. dodatek A)

otrzymujemy:

Y

a

v

r

k r

k

1

1

=

= −

⏐

a stąd

v r Y

v S

⋅ ⋅

= −

1

1

co daje

Y

r

r

r

S

1

1

1

== −

1

+

(3.5)

Wzór (3.5) podaje relację między zmiennymi losowymi Y

1

i S

1

oraz pozwala wyznaczyć

jednorazową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z

dołu z wykorzystaniem jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia na wypa-

dek śmierci.

61

a

E Y

E

r

r

r

S

r

r

r

A

x

x

=

=

− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= − +

( )

1

1

1

1

1

1

1

(3.7)

a stąd po wprowadzeniu zależności (2.5) mamy

a

r

r

r

M

D

x

x

x

= − + ⋅

1

1

(3.8)

gdzie:

a

- jednorazowa składka netto jednostkowej renty życiowej płatnej natychmiast

z dołu

x

Wzór (3.5) pozwala również wyznaczyć wariancję zmiennej losowej Y

1

D Y

D

r

r

r

S

d

D S

2

1

2

1

2

2

1

1

1

1

( )

( )

=

− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

(3.9)

gdzie: D

2

(S

1

) - oznacza wariancję jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia

na wypadek śmierci (por. 2.14)

d - równoważna stopa dyskontowa d=r(1+r)

-1

Wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y

1

(jednorazową składkę netto a

x

) może-

my również wyprowadzić korzystając bezpośrednio z definicji wartości oczekiwanej oraz

wzorów (3.1) i (3.2).

a

E Y

a

p q

x

k r

k

w x

k x x k

=

=

⏐

=

−

+

∑

( )

1

1

(3.10)

,który po przekształceniach przyjmuje postać

12

a

v

x

k

k

k

w x

x

=

p

=

−

∑

1

(3.11)

Korzystając z (3.11) możemy wyprowadzić kolejny wzór na jednostkową składkę netto

renty życiowej a

x

12

Wzór (3.11) można również otrzymać traktując zmienną losową Y

1

jako sumę zmiennych losowych S

3

-

ubezpieczenia na dożycie k=0,1,2, ...,w-x lat.

62

a

v

l

l

v

l

v l

x

k x k

x

k

w x

x k

x k

x

x

k

w x

=

=

+

=

−

+

+

=

−

∑

∑

1

1

a po wprowadzeniu liczb komutacyjnych (por. wzory 2.6 - 2.9) otrzymujemy:

a

D

D

N

D

x

x k

x

k

w x

x

x

=

=

+

=

−

+

∑

1

1

(3.12)

Wyżej przeprowadzone rozumowanie pozwala w prosty sposób wyznaczyć jedno-

razową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z góry.

Renta ta określona jest przez zmienną losową

r

1

K

K

3

2

1

a

v

...

v

v

v

1

Y

⏐

+

=

+

+

+

+

+

=

&&

&&

(3.13)

dla K=0,1,2, . . . , w-x o rozkładzie prawdopodobieństwa

k

x

x

k

r

1

k

1

q

p

)

k

K

(

ob

Pr

)

a

Y

(

ob

Pr

+

⏐

+

=

=

=

= &&

&&

(3.14)

dla k = 0,1,2,. . . w-x .

Porównując wzory (3.1) i (3.2) oraz (3.13) i (3.14) zauważymy prosty związek między

zmiennymi losowymi Y

1

oraz

1

Y&

&

1

1

Y

1

Y

+

=

&&

(3.15)

Konsekwencją zależności (3.15) są następujące wzory:

x

1

1

x

a

1

)

Y

(

E

1

)

Y

(

E

a

+

=

+

=

=

&&

&&

(3.16)

x

x

x

D

M

r

1

r

r

1

1

a

⋅

+

−

+

=

&&

(3.17)

x

x

x

D

N

a

=

&&

(3.18)

)

S

(

D

d

1

)

Y

(

D

)

Y

(

D

1

2

2

1

2

1

2

=

=

&&

(3.19)

Dla

zilustrowania

rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y

1

sporządzono

rysunek 3.1, na którym umieszczono rozkład tej zmiennej dla przypadku mężczyzny i ko-

63

biety w wieku 40 lat oraz technicznej stopy procentowej r =0,05. Dane do rysunku wybra-

no z tablicy 1.1 oraz dodatku B.

Rys.3.1.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOWA

DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST Z GÓRY.

ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

0,000000

0,005000

0,010000

0,015000

0,020000

0,025000

0,030000

0,035000

0,040000

0,

952

4,

329

7,

108

9,

394

11,

274

12,

821

14,

094

15,

141

16,

003

16,

711

17,

294

17,

774

18,

169

18,

493

18,

761

18,

980

OBECNA WARTOŚĆ RENTY w tys.zł.

PRAWDOPODOBIE

Ń

STW

A

WYP

Ł

ATY

Prob-Mężczyzna 40 lat

Prob-Kobieta 40 lat

W tablicy 3.1 zamieszczono wartość jednorazowej składki netto omawianej renty.

Tablica 3.1. Jednostkowa renta życiowa dożywotnia płatna natychmiast z góry.

Składka jednorazowa netto.

Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA

ubez.

w

latach

Składka

jednorazo-

wa w tys. zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

Składka

jednorazowa

w tys. zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

x A

x

D V A

x

D V

18 18,584 2,549

0,137

19,544

1,589

0,081

19 18,484 2,607

0,141

19,479

1,626

0,083

20 18,381 2,659

0,145

19,410

1,665

0,086

21 18,277 2,705

0,148

19,338

1,708

0,088

22 18,171 2,746

0,151

19,262

1,753

0,091

23 18,061 2,785

0,154

19,183

1,802

0,094

24 17,946 2,826

0,157

19,099

1,853

0,097

25 17,825 2,873

0,161

19,012

1,909

0,100

26 17,698 2,927

0,165

18,920

1,967

0,104

27 17,563 2,987

0,170

18,825

2,029

0,108

28 17,423 3,051

0,175

18,724

2,093

0,112

29 17,276 3,118

0,180

18,620

2,159

0,116

30 17,125 3,186

0,186

18,511

2,226

0,120

31 16,968 3,255

0,192

18,397

2,294

0,125

64

32 16,805 3,323

0,198

18,279

2,364

0,129

33 16,638 3,392

0,204

18,156

2,434

0,134

34 16,464 3,462

0,210

18,029

2,505

0,139

35 16,286 3,531

0,217

17,896

2,575

0,144

36 16,102 3,599

0,223

17,759

2,646

0,149

37 15,913 3,666

0,230

17,617

2,717

0,154

38 15,719 3,732

0,237

17,470

2,786

0,159

39 15,520 3,796

0,245

17,317

2,855

0,165

40 15,315 3,859

0,252

17,160

2,921

0,170

41 15,106 3,921

0,260

16,998

2,987

0,176

42 14,892 3,980

0,267

16,830

3,050

0,181

43 14,673 4,037

0,275

16,658

3,112

0,187

44 14,451 4,089

0,283

16,479

3,172

0,192

45 14,226 4,137

0,291

16,295

3,230

0,198

46 13,998 4,179

0,299

16,106

3,286

0,204

47 13,768 4,216

0,306

15,911

3,339

0,210

48 13,535 4,248

0,314

15,709

3,391

0,216

49 13,297 4,276

0,322

15,500

3,444

0,222

50 13,056 4,303

0,330

15,283

3,499

0,229

Z analizy danych zawartych w tablicy 3.1 wynika, że omawiana renta (zmienna

losowa

) charakteryzuje się relatywnie małą zmiennością. Dla ilustracji danych zawar-

tych w tablicy 3.1 sporządzono rysunek 3.2.

1

Y&

&

Rys.3.2.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA

PŁATNA NATYCHMIAST Z GÓRY. SKŁADKA JEDNORAZOWA

NETTO.

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WYSOKO

ŚĆ

SK

Ł

ADK

I

w tys.z

ł.

Składka ax-mężczyzna

Składka ax-kobieta

65

66

3.1. RENTA ŻYCIOWA TERMINOWA PŁATNA PRZEZ N LAT

Rentą życiową terminową płatną przez n lat nazywamy ciąg corocznych płatności,

który wygasa w momencie śmierci rentobiorcy lub po upływie n lat.

Przyjmując założenia poczynione w rozdziale 3.1. możemy wartość początkową

omawianej renty życiowej płatnej z dołu zdefiniować jako kapitał losowy określany przez

zmienną losową

Y

a

dla K

n

a

dla K n

K r

n r

2

0 1 2

1

=

=

−

≥

⎧
⎨

⎪

⎩⎪

⏐

, , ,...

|

(3.19)

o rozkładzie prawdopodobieństwa

Pr (

) Pr

(

)

ob Y

a

ob K k

p q

k r

k x x k

2

=

=

=

=

⏐

+

(3.20)

Pr (

) Pr

(

)

ob Y

a

ob K k

p

n r

n x

2

=

=

≥

=

⏐

(3.21)

gdzie: n - kontraktowy termin wypłacania renty.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y

2

możemy zapisać w tablicy

(por. rozkład zmiennej S

4

)

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y

2

k

0

1

2

. . . .

n-1

n

y

k

a

r

0

a

r

1

a

r

2

a

n

r

−1

a

n r

P(Y

2

=y

k

)

q

x

1

1

p q

x x

+

2

p q

x x

+2

−

. . . .

n

x x n

p q

−

+

1

1

n x

p

Porównując rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Y

2

i S

4

(por. rozdział 2.4)

zauważymy, że

Y

a

v

r

k r

k

2

1

=

= −

⏐

co daje

v r Y

v S

⋅ ⋅

= −

2

4

67

a stąd (por.3.5)

Y

r

r

r

S

2

1

1

== −

4

+

(3.22)

a

E Y

E

r

r

r

S

x n

:

( )

=

=

− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

4

1

1

a

r

r

r

A

x n

x n

:

= −

:

+

1

1

(3.23)

Z zależności (3.22) możemy również wyprowadzić wariancję zmiennej losowej Y

2

.

D Y

d

D S

2

2

2

2

4

1

( )

( )

==

(3.24)

Gdzie: d - równoważna stopa dyskontowa d = r(1+r)

-1

.

Jeżeli natomiast posłużymy się definicją wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y

2

, to

otrzymujemy

a

E Y

a

p q

a

x n

k r k

k

n

x x k

n r n x

:

|

( )

⏐

⏐

p

=

−

+

=

=

+

⋅

∑

2

0

1

(3.25)

Po przekształceniu wzoru (3.25) mamy:

a

E Y

v

x n

k

k

n

k x

:

( )

⏐

p

=

−

=

=

∑

2

0

1

(3.26)

Po wprowadzeniu funkcji tablicowych i liczb komutacyjnych do wzoru (3.26) otrzymuje-

my:

a

v

l

l

v

l

v l

D

D

D

D

D

D

x n

k x k

x

k

n

x k

x k

x

x

k

n

x k

x

k

n

x k

x

x k

x

k n

w x

k

w x

:

⏐

+

=

−

+

+

=

−

+

=

+

+

= +

−

=

−

=

=

=

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

0

1

0

1

1

1

1

=

Ostatecznie (por 2.9)

a

N

N

D

x n

x

x n

x

:

⏐

+

+

=

+

−

1

1

(3.27)

W podobny sposób możemy wyprowadzić wzór opisujący jednostkową terminową rentę

życiową płatną przez n lat z góry

68

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

−

=

=

⏐

+

n

K

dla

a

1

n

,...

2

,

1

,

0

K

dla

a

Y

r|

n

1

K

2

&&

&&

&&

(3.28)

o rozkładzie prawdopodobieństwa

k

x

x

k

r

1

k

2

q

p

)

k

K

(

ob

Pr

)

a

Y

(

ob

Pr

+

⏐

+

=

=

=

= &&

&&

(3.29)

dla k=0,1,2, . . . n-2

x

n

|

n

2

p

)

1

n

K

(

ob

Pr

)

a

Y

(

ob

Pr

=

−

≥

=

= &&

&&

(3.30)

dla k=n-1

Porównując wzory (3.19 - 3.21) z wzorami (3.28-3.30) zauważymy, że

(3.31)

)

1

n

(

2

2

Y

1

Y

−

+

=

&&

gdzie:

- oznacza jednostkową rentę życiową płatną z dołu przez n-1 lat

Y

n

2

1

(

− )

,a stąd otrzymujemy następujące zależności dla zmiennej losowej

- jednostkowej ter-

minowej renty życiowej płatnej przez n lat z góry

2

Y&

&

⏐

−

−

⏐

+

=

+

=

=

1

n

:

x

)

1

n

(

1

2

n

:

x

a

1

)

Y

(

E

1

)

Y

(

E

a

&&

&&

(3.31)

x

n

x

x

n

:

x

D

N

N

a

+

⏐

−

=

&&

(3.32)

Można również wykazać następujący związek między zmiennymi losowymi

oraz S

2

Y&

&

4

d

S

1

Y

4

2

−

=

&&

(3.34)

z którego wynika, że

d

A

1

a

4

n

:

x

n

:

x

⏐

⏐

−

=

&&

(3.34)

oraz, że

)

S

(

D

d

1

)

Y

(

D

4

2

2

2

2

=

&&

(3.35)

69

gdzie: d - równoważna stopa dyskontowa d = r(1+r)

-1

.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

zilustrowano na rysunku 3.3, który

wykonano na podstawie danych zawartych w tablicy 2.10, dodatku B, technicznej stopy

procentowej r=0,05 oraz przy założeniu, że 25 letnia renta życiowa oferowana jest męż-

czyźnie lub kobiecie w wieku 40 lat.

2

Y&

&

Rys.3.3.JEDNOSTKOWA TERMINOWA RENTA ŻYCIOWA

PŁATNA Z GÓRY PRZEZ 25 LAT.

ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA

0,000000

0,100000

0,200000

0,300000

0,400000

0,500000

0,600000

0,700000

0,800000

0,900000

1,

000

2,

859

4,

546

6,

076

7,

463

8,

722

9,

863

10,

899

11,

838

12,

690

13,

462

14,

163

14,

799

OBECNA WARTOŚĆ RENTY w tys.zł.

PRAWDOPODOBIE

Ń

STW

O

WYP

Ł

ATY

Prob-mężczyzna 40 lat

Prob- kobieta 40 lat

W tablicy 3.2 zamieszczono wyliczenia jednorazowej składki netto jednostkowej

terminowej renty życiowej płatnej z góry przez 25 lat dla mężczyzny i kobiety w wieku od

18 do 50 lat.

70

Tablica 3.2. Jednostkowa terminowa renta życiowa płatna z góry przez 25 lat.

Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA

ubez.

w

latach

Składka

jednorazo-

wa w tys. zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

Składka

jednorazowa

w tys. zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

x A

x

D V A

x

D V

18 14,538 1,378

0,095

14,727

0,719

0,049

19 14,520 1,424

0,098

14,723

0,732

0,050

20 14,503 1,465

0,101

14,717

0,748

0,051

21 14,485 1,499

0,103

14,711

0,768

0,052

22 14,468 1,528

0,106

14,704

0,790

0,054

23 14,449 1,554

0,108

14,696

0,817

0,056

24 14,427 1,584

0,110

14,686

0,847

0,058

25 14,402 1,621

0,113

14,675

0,883

0,060

26 14,373 1,667

0,116

14,663

0,923

0,063

27 14,339 1,721

0,120

14,650

0,967

0,066

28 14,301 1,782

0,125

14,635

1,015

0,069

29 14,260 1,849

0,130

14,618

1,066

0,073

30 14,214 1,918

0,135

14,600

1,120

0,077

31 14,165 1,991

0,141

14,580

1,177

0,081

32 14,111 2,066

0,146

14,559

1,236

0,085

33 14,054 2,144

0,153

14,536

1,298

0,089

34 13,991 2,225

0,159

14,511

1,361

0,094

35 13,924 2,308

0,166

14,484

1,426

0,098

36 13,852 2,393

0,173

14,454

1,493

0,103

37 13,774 2,480

0,180

14,423

1,561

0,108

38 13,691 2,569

0,188

14,389

1,630

0,113

39 13,603 2,658

0,195

14,352

1,700

0,118

40 13,508 2,748

0,203

14,313

1,771

0,124

41 13,407 2,840

0,212

14,271

1,842

0,129

42 13,300 2,932

0,220

14,225

1,913

0,134

43 13,187 3,024

0,229

14,176

1,985

0,140

44 13,068 3,114

0,238

14,123

2,057

0,146

45 12,944 3,200

0,247

14,065

2,130

0,151

46 12,814 3,283

0,256

14,002

2,202

0,157

47 12,680 3,361

0,265

13,933

2,275

0,163

48 12,538 3,436

0,274

13,858

2,349

0,170

49 12,390 3,509

0,283

13,774

2,428

0,176

50 12,233 3,581

0,293

13,682

2,511

0,184

71

Dla ilustracji danych zawartych w tablicy 3.2 sporządzono rysunek 3.4

Rys.3.4.JEDNOSTKOWA TERMINOWA RENTA ŻYCIOWA

PŁATNA Z GÓRY PRZEZ 25 LAT. JEDNORAZOWA SKŁADKA

NETTO.

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WARTO

ŚĆ

RENTY w

tys.z

ł.

Składka ax-mężczyzna

Składka ax-kobieta

72