1.  Postulaty statyki 

1)Zasada równoległoboku  R=P

1

+P

2 

2)Dwie  siły  przyłożone  do  ciała  sztywnego  równoważą  się  tylko  wtedy,  gdy  działają  wzdłuż  tej 
samej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe  
3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy 
lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił tzw. układ zerowy  
4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona 
przez zesztywnienie tego ciała 
5)Każdemu  działaniu  towarzyszy  równe  co  do  wartości  i  przeciwnie  skierowane  wzdłuż  tej  samej 
prostej przeciwdziałanie  
6)Każde  ciało  nieswobodne  można  myślowo  oswobodzić  od  więzów,  zastępując  przy  tym  ich 
działanie odpowiednimi reakcjami. 
 

2.  Twierdzenie o trzech siłach 

Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztywne były  
w równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym 
 punkcie, a same siły tworzyć trójkąt zamknięty. 
 

3.  Twierdzenie Varigonon 

Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej  
dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych 

 względem tego punktu.  

𝑀

⃗⃗ 

0

= 𝑟 

⃗⃗  ×  𝑅⃗   gdzie 𝑅⃗  = 𝐹 

1

+ 𝐹 

2

 

 

4.  Para sił 

Układ dwóch sił równoległych 

𝑃⃗ 

′

= −𝑃⃗ , 𝑃

′

= 𝑃    nie leżących  

na jednej prostej Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie  
znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi 
być równa zeru.

            𝑀

0

+ 𝑀

0

′

= 𝑃(ℎ

1

− ℎ

2

) = 𝑃𝑎 = 𝑀 

                    

5.  Moment siły 

Momentem wektora a względem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn wektorowy 

wektora r

A 

= OA o początku w punkcie O i końcu w początku wektora a przez wektor a. Moment 

wektora względem punktu będziemy oznaczać w następujący sposób

    M

0

(a) = r

A

× a  Wektor 

momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej 
płaszczyźnie, to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par.

 

 

 

 

 

6.  Kratownice 

Jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną. 
Warunek sztywności p=2w-3; Przy rozwiązywaniu kratownicy w prętach siły w prętach zakłada się 
następująco: 

rozciąganie:   

   ściskanie   

 

7.  Redukcja płaskiego układu sił 

      Dana  siła   

𝑃⃗ .  Do  dowolnego  punktu  O  ciała  przykładamy  układ  zerowy.  𝑃⃗  𝑖 𝑃⃗ 

′ 

=   −𝑃⃗   

Otrzymujemy układ:  siła  

𝑃⃗ ,  para sił o momencie M

O

 = aP

 

 

8.  Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił 

 

dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu 

 

zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną  
w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił. 
   

 

𝑅⃗  =   ∑ 𝑃

𝑖

⃗⃗  

9.  Tarcie 

zjawisko  powstawania  sił  stycznych  do  powierzchni  styku  dwóch  ciał.  Siły  te  nazywamy 

siłami tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia 
nie  było.  Tarcie  spoczynkowe  (statyczne),  występujące  między  dwoma  ciałami  gdy  nie 
przemieszczają się względem siebie. Tarciem ruchowym (kinematyczne)- nazywa się gdy dwa ciała 
ślizgają się lub toczą po sobie. Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi. 

 

 

10. Kinematyczne równania ruchu punktu 

Położenie punktu w przestrzeni określić możemy za pomocą trzech  
współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych 0xyz  
który traktujemy jako nieruchomy układ odniesienia. W przypadku  
gdy punkt porusza się czyli zmienia z upływem czasu swe położenie  
współrzędne x,y i z tego punktu które oznaczamy przez A,  
ulęgają również zmianie czyli sa pewnymi funkcjami czasu t. 
x=f

1

(t),  y=f

2

(t), z=f

3

(t) – równania parametryczne toru punktu lub 

 

 

11. Definicja prędkości 

Prędkość punktu jest wektorem określonym przez  
pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu. 

 

 
 

12. Definicja przyspieszenia 

                                      
Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub  
dugą pochodną wektora położenia względem czasu  

 

13. Przyspieszenie styczne, przyspieszenie normalne 

przysp. styczne - 

  przysp. normalne - 

,   gdzie p- promień krzywizny 

 
 

 

 
 

Droga 

to długość odcinka toru (krzywej lub prostej), jaką pokonuje ciało lub punkt materialny podczas swojego 

ruchu. Droga nie oznacza odległości pomiędzy dwoma punktami wyznaczającymi początek i koniec ruchu. Liczy się ją 
po torze ruchu, czyli po krzywej, po której porusza się ciało. Droga jest sumą dróg przebytych przez ciało w 
nieskończenie małych odcinkach czasu dt, co wyraża wzór 

 

𝑠 = ∫ 𝑣𝑑𝑡 

15. Rodzaje ruchów bryły 

Ruch  postępowy-  jeżeli  bryła  porusza  się  tak  że  jej  chwilowe  położenia  są  równoległe  do  położenia 
początkowego 
Ruch obrotowy- Jeżeli dwa punkty bryły są stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły

 

Ruch  płaski  -taki  ruch,  w  którym  tory  wszystkich  punktów  bryły  są  równoległe  do  pewnej  płaszczyzny 
nazywanej płaszczyzną ruchu.  
Ruchem  kulistym  nazywamy  taki  ruch  bryły,  w  czasie  którego  jeden  z  punktów  z  nią  związanych  jest 
nieruchomy. 

 

16. Prędkość i przyspieszeni punku bryły w ruchu postępowym 

Prędkość: Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem postępowym są w danej 
chwili wektorami równoległymi.

 

𝑟 

𝑖

= 𝑟 

𝐴

+ 𝑝 

𝑖

       𝑝 

𝑖

= 0 

Przyspieszenie:  Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej chwili 
wektorami równoległymi. 

 

𝑣 

𝑖

= 𝑣 

𝐴

                      𝑎 

𝑖

= 𝑎 

𝐴

 

 

17. Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym 

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu 
 obrotowym jest równa iloczynowi wektorowemu  
wektora prędkości kątowej przez wektor położenia  
punktu (początek układu na osi obrotu).

 

Przyspieszenie: 

 

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu  
obrotowym jest sumą geometryczną przyspieszeń: Obrotowego i do osiowego 

 

18. Prędkość kątowa

 wielkość wektorowa opisująca ruch 

 

obrotowy ciała, określona wzorem: ω = dθ/dt, gdzie:  
dθ - elementarny skierowany kąt płaski opisujący obrót  
ciała w chwili dt wokół chwilowej osi obrotu.

 

 

 

19. Przyspieszenie kątowe 

jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby 

prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy 
jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi 

 

         

 23.  

Prędkość liniowa punktu, a prędkość kątowa bryły 

Każdy  punkt  obracającej  się  bryły  ma  inną  prędkość  liniową,  natomiast  prędkość  kątowa  wszystkich 
punktów bryły jest taka sama. Punkt odległy od osi obrotu o r ma prędkość liniową v.

 

       24.  

Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim 

Prędkość (sum. Geo.V.pot+V.obrot) : Przyspieszenie( sum.geo.a post+a.obrot+a.doosiowego) 

 

 

25.Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły sztywnej poruszającej się w ruchu płaskim. 

Metoda rzutów prędkości – oparta jest na twierdzeniu Charlesa.

 

Twierdzenie Charlesa – w bryle sztywnej podczas dowolnego  
ruchu, rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów na  
prostą łączącą te punkty są sobie równe. vAcosα=vBcosβ 
 

       26. Chwilowy środek obrotu 

Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.  
Wyznaczenie środka obrotu:  

 W układzie ruchomym 

             W układzie nie ruchomym 

 

      
  29.   Układ Eulera 

Prędkość   

 

φ

  

Kąt obrotu własnego, 

𝜓  Kąt precesji,  𝜐 Kąt nutacji 

 
    

31.   Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej 

Przyspieszenie  kątowe  występuje  w  ruchu  obrotowym  -  jest  pseudowektorem  leżącym  na  osi  obrotu  i 
skierowanym  zgodnie  z  regułą  śruby  prawoskrętnej.  prędkość  kątową  oznaczymy  jako  ω,  a  wartość 
przyspieszenia kątowego jako  ε  

 

      33.  

Ruch złożony punktu 

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy 
 ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego 
 ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem  
układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia 

 

       34. 

 Prędkość bezwzględna 

Jest  wypadkową  prędkości  unoszenia  i  prędkości  względnej 

 

Prędkość  punktu  M 

względem  układu

 

nieruchomego  współrzędnych   Oxyz   nazywamy  prędkością  bezwzględną  (absolutną)  i 

oznaczamy ją symbolem 

. 

 

 

r

c

'

o'

2

r

c

o'

r

c

'

d

dt

m

1

m

2

... m

n

P

1

P

2

... P

n

P

k

m

1

m

2

r

2

       

35. Przyspieszenie bezwz

. Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia,  

względnego i przyspieszenia Coriolisa        
 
 

36. 

Przyspieszenie Coriolisa - 

związane z ruchem obrotowym ziemi, występuje w ruchu złożonym

 

𝑎 

𝑐

= 2𝜔

⃗⃗ 

𝑢

× 𝑉⃗ 

𝑤

 (Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości kątowej i 

prędkości względnej) Nie ma przyspieszenia Coriolisa (

𝑎 

𝑐

= 0), gdy nie ma obrotu 𝜔

⃗⃗ 

𝑢

= 0, albo 𝑉⃗ 

𝑤

= 0, 

lub jeżeli 

𝜔

⃗⃗ 

𝑢

jest równoległy do 

𝑉⃗ 

𝑤

 (

𝜔

⃗⃗ 

𝑢

∥ 𝑉⃗ 

𝑤

) 

    

37.   Prawa ruchu Newtona    

 

Prawo  pierwsze.  Każde  ciało  trwa  w  stanie  spoczynku  lub  w  stanie  ruchu  jednostajnego  prostoliniowego 
dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.  
Prawo  drugie.  Zmiana  ilości  ruchu  (czyli  pędu  lub  impulsu)  jest  proporcjonalna  do  siły  działającej  i  ma 
kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt materialny, a przez 
mv  jego  pęd  (m  -  masa,  v  -  prędkość),  treść  drugiego  prawa  Newtona  możemy  wyrazić  następującym 
równaniem wektorowym F=m*a 
Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne 
działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.  
Prawo  czwarte.  Jeżeli  na  punkt  materialny  o  masie  m  działa  jednocześni  kilka  sił,  to  każda  z  nich  działa 
niezależnie  od  pozostałych,  a  wszystkie  razem  działają  tak,  jak  jedna  tylko  siła  równa  wektorowej  sumie 
wektorów danych sił.  

 

Prawo  piąte  (grawitacji).  Każde  dwa  punkty  materialne  przyciągają  się  wzajemnie  z  siłą  wprost 
proporcjonalną do iloczynu ich mas (m

1

, m

2

) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r  między 

nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. 

     W  ruchu  punktu  materialnego  układ  sił  czynnych  i  reakcji  więzów  równoważy  się  z  pomyślaną 

siłą bezwładności.  
 
    

39.  Zasada zachowania pędu: 

Równanie: 

 

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa sumie 
sił  działających  na  dany  punkt.  Powyższe  równanie  jest  ogólniejszym  sformułowaniem  drugiej 

zasady dynamiki. Jeżeli teraz: 

 

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu. 

       

40. 

Zasada pędu i popędu - 

(lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu 

materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych 
działających na ten układ.

   







t

dt

W

p

t

p

0

)

0

(

)

(

 

  41. 

Zasada zachowania krętu. 

Pochodna  względem  czasu  krętu  ukł.  Obliczonego  względem  pkt.  nieruchom  S  lub  wzg.  Środka 
masy równa jest sumie momentów sil zewn. Działających na układ obliczonych względem pkt S Lub 
środka masy Ks_=sum(n;i=1) pi_x(mi*vi_)  

       

42. 

Zasada krętu i pokrętu. 

Przyrost  krętu  układu  materialnego  względem  dowolnego  nieruchomego  punktu  jest  równy 
pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.  







t

O

O

O

dt

M

k

t

k

0

)

0

(

)

(

 

       43. 

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego. 

 Powstają z podwójnego całkowania 

44. 

Definicja pracy. 

Jeśli  na  jakiś  pkt.  działa  siła  P_  i  przesuwa  się  o  s_,  to  mówimy,  ze  P_  wykonała  prace: 

L=P_*S_=P*s*cosa [J=(kg*m^2)/s^2] 

      45. Moc  mechaniczna. 

Mocą  siły  nazywamy  pracą  wykonaną  w  jednostce  czasu.  Jeśli  praca  siły 

zmienia się z czasem to wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu: 

 

M=dL/dt=P_*dr_/dt=P_*V_ 

M=P_*v_=P*v*cosa [W=J/s]

 

       

46. 

Zasada  równoważności  pracy  i  energii  kinetycznej. 

Jeżeli  na  poruszający  się  punkt 

materialny  o  masie  m  działa  siła  czynna  P  to  przyrost  en.  kinetycznej  tego  punktu  jest  równy  pracy 
wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV

2

k 

- 1/2mV

2

p

 

  48.   Potencjalne  (zachowawcze)  pole  sił 

takie  pole  sił,  w  którym  praca  wykonywana  podczas 

przesuwania  jakiegoś  ciała  nie  zależy  od  toru,  po  którym  porusza  się  ciało,  a  jedynie  od  jego  położenia 
początkowego  i  końcowego.  Polem  zachowawczym  jest  np.  pole  grawitacyjne  i  pole  elektryczne. 
Wyobraźmy  sobie,  że  na  parapecie  okna  na  drugim  piętrze  stoją  dwie  identyczne  rośliny  w  doniczkach. 
Jedna z nich została przywieziona windą a druga wniesiona po schodach. Nagle doniczki zaczynaja spadać, 
w tym samym momencie. Która będzie miała większą energię kinetyczną, gdy osiągnie chodnik? Nie będzie 
żadnej  różnicy.  Dlaczego?  Ponieważ  wartość  energii  na  danej  wysokości  nie  zależy  od  toru,  po  którym 
wniesiono donice

 

49. 

Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych. 

, gdzie 



F -R, 



W =0      

0

2

2

2

2

Mr

dt

d

m r

dt

d





; Mr

0

’’=R 

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego środku 
masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne.                               → →                                                                   
                                                                                                                                M ro = R 

  50. 

Pęd układu punktów materialnych.

 

R

MV

dt

d



0

; Q=MV

0

=



mV  -  pęd ukł. Punktów materialnych; 

R

dt

dQ



 - zasada pędu 

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew. 
R=0 >> Q=const 
Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.Pęd dotyczy tylko 

ruchu postępowego, nie obrotowego, bo nie ma masy, bezwładności, prędkości kątowej. 

Zasada zachowania pędu: 

Jeżeli  na  układ  nie  działają  siły  lub  działające  siły  się  znoszą  to  pęd  jest  stały,  czyli  zachowany  R=0  to 
Q=const. Określa się go tylko przy ruchu postępowym, przy ruchu obrotowym nie istnieje. 

       51. 

Kręt układu punktów materialnych. 

K

s

=



ρ

i

*mV

i

 – kręt    

c

c

M

dt

dK



 

Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ 
brany względem nieruchomego punktu lub środka masy. 
M

c

=0 >> K

c

=const 

      

52. Energia kinetyczna układu punktów materialnych. 

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii poszczególnych pkt. 
T=sum (mi*vi^2)/2                        

      

  

53. 

Twierdzenie Koeniga.  

Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii 

kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy 

oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

  

 

       54. 

 Zasada  zachowania  energii  mechanicznej

  –w  układzie  izolowanym  suma  składników 

wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się 
w czasie). 

 

       55.  

Wahadło matematyczne 

0

sin

"

0

sin

"

sin

"

sin

2

2































l

g

g

ml

ml

mgl

ml

mgl

M

z

 

     56.  Wahadłem  fizycznym 

nazywamy  swobodnie  obracające  się  ciało  materialne  względem  stałego 

punktu.

 

0

sin

"

sin

"

sin





























g

I

ms

mgs

I

mgs

M

y

F

M

z

z

z

z

 

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy 

ms

I

l

z

red



długość zredukowana 

Okres wahadła 

mgs

I

g

l

g

l

T

z

red







2

2

2









 

Rozwiązanie: 

)

cos(

0











t

A

 

       

57. 

 Drgania swobodne 

Aby  wystąpiły  drgania,  punkt  musi  poruszać  się  ruchem  prostoliniowym  pod  wpływem  siły 

F



przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań. 
Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu 
F = -kx, k-stała sprężystości. 
Równanie będzie miało postać 
mx” = F 
mx” =  -kx   lub 







m

k

x

m

k

x

0

"

 

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych 











,

0

"

2

x

x

częstość ruchu. 

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie: 

)

sin(



 



t

a

x

 

(a-amplituda(max. wychylenie),



- faza początkowa ruchu drgań  

)

(







t

-faza drgań) 

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie   

k

m

T

m

k

T









2

,

2







 

       58.  

Drgania tłumione 

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości 

'

*

x

R

x













-siła tłumiąca. 

Równania ruchu: 

m

n

m

k

x

nx

x

x

kx

mx

























2

,

0

'

2

"

'

"

2

 

Ponieważ równanie charakterystyczne

0

2

2

2













n

 

 jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0) 
1.Małe tłumienie 

0









n



Rozwiązanie: 

)

sin(

2

2













t

n

ae

x

nt

 

Jeżeli 

0

,







tox

t

-drgania zanikają. Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

















 

2.Duże tłumienie. 

0









n



 Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie 

)

sinh(

2

2













t

n

ae

x

nt

 

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań. 
3.Tłumienie krytyczne 

0









n



Rozwiązanie: 

)

(

2

1

t

C

C

e

x

nt







 

Brak okresowości, brak drgań. 

    
 59. 

 Logarytmiczny dekrement tłumienia  

Dekrement tłumienia jest to stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

 

             gdzie 

A

n

 - amplituda n-tego drgania, 

A

n+1

 - amplituda następnego drgania. 

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dekrementu tłumienia 

 

    

    

60.   Drgania wymuszone 

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone. 
Siła wymuszająca S=H sin(pt),  
p-czestość siły wymuszającej. 
Równanie ruchu tych drgań 

m

H

h

m

k

pt

h

nx

x

pt

H

kx

mx















,

)

sin(

'

2

"

)

sin(

"



 

Rozwiązanie ostateczne tych drgań 

)

sin(

)

sin(

2

2

pt

p

h

t

a

x















Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda 

drgań wymuszonych 

2

2

p

h

B







 

zależy od częstości drgań wymuszonych. 
Jeżeli







toB

p

,



i  występuje  rezonans.  W  przypadku  rezonansu  rozwiązanie  drgań  będzie  miało 

postać. 

)

cos(

2

)

sin(

t

t

h

t

a

x















 

    

   61.  

Rezonans 

-  zjawisko  fizyczne  zachodzące  dla  drgań  wymuszonych,  objawiające  się 

pochłanianiem  energii  poprzez  wykonywanie  drgań  o  dużej  amplitudzie  przez  układ  drgający  dla 
określonych częstotliwości drgań. 

       

62. 

 Amplituda  

- nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

 

       

63.  

Okres drgań- 

dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie 

w takiej samej fazie.  
                               

gdzie: f - częstotliwość,                      gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa).

 

       64.  

Częstotliwość 

określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. 

W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu 
jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, 
częstotliwość drgań, napięcia, fali fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν. Z definicji 
wynika wzór:

 

Gdzie f – częstotliwość, n – liczba drgań, t – czas, w którym te drgania zostały wykonane. Z innymi 

wielkościami wiążą ją następujące zależności: 

   66.   Faza drgań 

w fizyce wielkość bezwymiarowa opisująca procesy okresowe przedstawiająca, w której 

części okresu znajduje się ciało (zjawisko). Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem faz drgań 
określa się argument funkcji sinus, czyli 

67.Faza początkową drgań 

Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

 

       71.  

Reakcje dynamiczne 

dynamiczne

reakcje

R

R

const

B

A

_

,

.







 

Korzystamy z zasady d’Alemberta 
Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą 

0

0

0

0

_

2

2

2

2





























xzdm

l

R

yzdm

l

R

momenty

ydm

R

R

xdm

R

R

sił

równania

Bx

By

By

Ay

Bx

Ax









 

Oznaczając 

















xz

yz

c

c

D

xzdm

D

yzdm

my

ydm

mx

xdm

,

,

 

mamy 

0

0

0

0

2

2

2

2





















xz

Bx

yz

By

c

By

Ay

c

Bx

Ax

D

l

R

D

l

R

my

R

R

mx

R

R









 

2

2

2

2

By

Bx

B

Ay

Ax

A

R

R

R

R

R

R









 

 
Reakcje znikają tylko wtedy, gdy 

0

,

0

,

0

,

0









yz

xz

c

c

D

D

y

x

 

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności 

       

 

 

72.  

Długość  zredukowana  wahadła  fizycznego 

Wahadłem  fizycznym  nazywamy  swobodnie 

obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

 

 

       

73. 

 Kręt bryły w ruchu obrotowym 

                         I – moment bezwładności ciała,hy 

                        

– prędkość kątowa. 

74. 

 Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

 

 

gdzie:

 

- prędkość kątowa, 

- tensor momentu bezwładności. 

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym 
upraszcza się do:

 

I - odpowiednim momentem bezwładności, 
ω - prędkość kątowa. 

 
 

75.  

Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim 

 

       76  

Środek masy bryły 

Środek masy, punkt określony przez rozkład mas w danym ciele lub układzie 

ciał. Położenie środka masy wyraża się wzorem:

 

gdzie m

k

 i r

k

 - odpowiednio masy i promienie wodzące poszczególnych punktowych ciał składających się na 

dany obiekt.  

       77.  

Środek masy układu punktów materialnych 

Środek masy określony jest następująco: 
 
Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona Σ

𝑖

W

𝑖

= 0 ponieważ występują parami. 

𝑀

𝑟

0

→̈= ∑

𝑃𝑖

→

𝑖

 

Pi - siły zewnętrzne;  Wi - siły wewnętrzne; 

       

78.  

Definicja  momentu  bezwładności   

Momentem  bezwładności  punktu  materialnego 

względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego 
punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna.

  

I = mr

2

 

       

79.  

Główny moment bezwładności 

Momenty bezwładności względem punktu 
I 

xx

 =



 x

2

 dm 

I 

yy

 =



 y

2

 dm 

I 

zz

 =



 z

2

 dm

 

Momenty bezwładności względem osi 
I 

x

 =



 (y

2

 + z

2

 ) dm = I 

yy

 + I 

zz

 

I 

y

 =



 (x

2

 + z

2

 ) dm = I 

xx

 + I 

zz 

I 

z

 =



 (x

2

 + y

2

 ) dm = I 

xx

 + I 

yy

 

      

 
  80.   Dewiacyjne momenty bezwładności 

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych karteziańskich jest całka 
iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej. 

I 

xy 

= I 

yx

 =  



 xy dm 

I 

yz 

= I 

zy

 =  



 yz dm 

I 

zx 

= I 

xz

 =  



 zx dm 

       

81.  

Tw. Steinera 

Moment  bezwładności  względem  dowolnej  osi  jest  równy  momentowi  względem  osi  równoległej 
przechodzącej  przez  środek  masy  powiększonemu  o  iloczyn  masy  całkowitej  układu  przez  kwadrat 
odległości obu osi. 

I

 l

= I 

s 

+ md

2 

 

       

83.  

Główna oś bezwładności 

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I

1

x

2

+ I

2

y

2

+ I

3

z

2

= k

2

 

gdzie I

1

,

2

,

3

 -główne momenty bezwładności 

Takimi osiami są: każda oś symetrii,  każda prosta 

⊥ do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której leżą 

środki  mas  warstw  elementarnych,  otrzymanych  przez  podział  ciała  płaszczyznami  prostopadłymi  do  tej 
prostej. 
       

84.  

Centralna oś bezwładności-Centralnym momentem bezwładności

 

bryły nazywamy moment względem osi przechodzącej przez środek masy bryły sztywnej. Każda bryła ma 
taką  centralną  oś  obrotu,  względem  której  moment  bezwładności  ma  największą  wartość  oraz  oś  do  niej 
prostopadłą,  względem  której  moment  bezwładności  jest  najmniejszy.  Osie  te  nazywają  się  głównymi 
osiami momentu bezwładności. Trzecią osią główną jest oś do nich prostopadła, moment bezwładności ma 
względem niej pośrednią wartość  

       85.  

Główna centralna oś bezwładności  

Są to osie główne przechodzące przez środek masy