Agnieszka Nowak – Brzezińska

Wykład dla przedmiotu „Biostatystyka”



Testy parametryczne – weryfikują hipotezy dotyczące

wartości

parametrów

rozkładu

badanej

populacji

(najczęściej średnie, wariancje, odsetki). W większości

przypadków

statystyki

testowe

obliczane

są

przy

wykorzystaniu bezpośrednich danych pochodzących z

próby, a ich rozkład zależy od rozkładu analizowanych

zmiennych.



Testy nieparametryczne – służą do weryfikacji różnorakich

hipotez, lecz nie są one bezpośrednio powiązane z

parametrami rozkładu (bywają wyjątki). Dotyczą one raczej

samej postaci rozkładu (kształtu), podobieństwa pomiędzy

rozkładami, losowości. Testy te operują na danych

„przekształconych” – najczęściej rang, wobec czego

rozkład statystyki z próby nie zależą bezpośrednio od

rozkładu danych.

1.

Sformułowanie tezy rzeczowej i ustaleniu hipotez H

0

i H

a

;

2.

Wyboru właściwej funkcji testowej (statystyki z próby);

3.

Przyjęciu stosownego poziomu istotności



;

4.

Odczytaniu wartości krytycznych w tablicach dystrybuanty
właściwego rozkładu i ustaleniu obszaru krytycznego;

5.

Odrzuceniu hipotezy zerowej na korzyść hipotezy
alternatywnej, gdy funkcja testowa obliczona z próby
znajduje się w obszarze krytycznym i nie odrzucenie jej,
gdy funkcja testowa jest poza obszarem krytycznym.

1.

Porównanie poziomów parametrów medycznych dla dwóch grup

sprowadza się z reguły do porównania przeciętnych poziomów

zmiennych lub też porównania rozkładów analizowanego parametru

2.

Należy ustalić czy próby są niezależne czy też zależne

3.

Czy znane są rozkłady cech w populacji, w próbkach ?

4.

Jeżeli spełnione są wszystkie założenia (głównie normalność,

ewentualnie równość wariancji, liczebność prób) należy wykonać test

parametryczny:

– Test t dla prób niezależnych

– Test t dla prób zależnych (założenie: rozkład różnic ma być zbliżony do

normalnego)

5.

W przypadku naruszenia jakiegokolwiek z założeń (np. jedna z grup

ma rozkład cechy istotnie różny od normalnego lub jest bardzo mała)

wówczas wykonuje się test nieparametryczny:

– Dla prób niezależnych: test Manna-Whitneya-Wilcoxona

– Dla prób zależnych: test kolejności par Wilcoxona (rangowanych znaków)

Alternatywa: normalizacja danych, wykonywanie testów parametrycznych

na danych rangowanych.

Liczba grup do porównania nie powinna być za duża (teoretycznie

kilkanaście, praktycznie najlepiej kilka).

Jeżeli porównanie ma być reprezentatywne to próby powinny być

raczej liczne oraz mieć zbliżone liczności (nie powinna

występować sytuacja, w której np. dwie grupy liczą po 40

obserwacji, a trzecie 8).

Większość medycznych porównań wielu grup dotyczy poziomów

analizowanych parametrów medycznych (głównie średnie).

W przypadku zmiennych jakościowych porównuje się po prostu

odsetki w kilku grupach (k>2).

Najczęściej mamy też do czynienia z analizą jednoczynnikową

(jeden czynnik grupujący/efekt/zmienna zależna).

W przypadku wielu czynników można badać interakcje pomiędzy

czynnikami (jeżeli jest to uzasadnione).

1.

Sparowany

test

t Studenta: sprawdza

różnicę między parą obserwacji na tym

samym obiekcie. Czyli bada istotność

wpływu jednego czynnika na zachowanie

określonej zmiennej. Np. wpływ leku na

parametr krwi.

2.

Test t Studenta (bada czy średnia próby jest

istotnie różna od hipotetycznej średniej)

3.

Test normalny (test z): stosowany dla

licznych prób (n>60).



Hipoteza zerowa mówi, że średnia różnica między

wartościami dwóch zmiennych na jednym obiekcie =0



Jeżeli różnica między parami zmiennych obserwacji

posiada rozkład normalny, to wartość ( - µ)/(s/ ) należy

do pola pod krzywą rozkładu t Studenta o n-1 stopniach

swobody. A skoro H0 zakłada, że różnica µ =0 to

statystyka t przyjmuje tu wartość:



Porównujemy

tą

wartość

z

wartością

teoretyczną

odczytaną z tablic:



Jeżeli t

par

>=t

teor

odrzucamy H0



Jeżeli t

par

< t

teor

nie mamy podstaw do odrzucenia H0

x

n

n

s

x

t

par

/





bada czy średnia próby jest istotnie różna od

hipotetycznej średniej

n

s

x

t

par

/







Porównujemy tą wartość z wartością teoretyczną odczytaną

z tablic:

Jeżeli t

par

>=t

teor

odrzucamy H0

Jeżeli t

par

< t

teor

nie mamy podstaw do odrzucenia H0



Dla dużych prób

n

s

x

z

/







n

x

z

/









Gdy znamy s to:



Istotą

jest

badanie,

czy

zmienność

międzygrupowa

przeważa

nad

wewnątrzgrupową. Jeżeli zakres zmienności

obserwowanej wewnątrz każdej grupy jest

mniejszy niż między grupami to mówimy, że

grupy są odseparowane od siebie i mogą tworzyć

izolowane populacje.



Tutaj wymaga się dodatkowo, aby odchylenia

standardowe nie różniły się istotnie od siebie.

Porównywanie średnich wymaga aby próby były

niezależne. Więc jeśli mamy porównywanie

średnich ale dla tej samej próby to stosujemy test

t Studenta (sparowany).



Hipoteza zerowa (H0): średnie w obu

populacjach są równe



Zmienność różnic wyraża wzór:

2

2

2

1

2

1

n

n

SE









1. Test normalny (duża liczebność prób)

2. Test t Studenta dla prób niezależnych (mała liczebność prób)

2

2

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

z







2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

z











Gdy znamy



Przedział ufności:

Dla dużych prób:

Gdy znamy



2

2

2

1

2

1

2

1

)

'

(

)

(

n

s

n

s

SE

SE

z

x

x

CI













2

2

2

1

2

1

2

1

)

'

(

)

(

n

n

SE

SE

z

x

x

CI

















2

)

1

(

)

1

(

2

1

2

2

2

2

1

1













n

n

s

n

s

n

s

2

1

2

1

1

1

n

n

s

x

x

t







2

1

2

1

1

1

)

'

(

)

(

n

n

s

SE

SE

t

x

x

CI













Gdzie:

d.f.=n1+n2-2

Próby mają mieć rozkład normalny i odchylenia standardowe muszą

być równe. Gdy nie ma równości wariancji to:

1. Transformacja danych (np. logarytmiczna)

2. Testy nieparametryczne (Wlcoxona, U Manna-Whitneya)



Służą

one

do

weryfikacji

hipotez

parametrycznych,

odnoszących się do parametrów rozkładu badanej cechy w

populacji generalnej.



Najczęściej weryfikują sądy o takich parametrach populacji

jak średnia arytmetyczna, wskaźnik struktury i wariancja.



Testy te konstruowane są przy założeniu znajomości postaci

dystrybuanty w populacji generalnej.



Biorąc pod uwagę zakres ich zastosowań, testy te można

podzielić na dwie grupy:

1.

Testy parametryczne służące do weryfikacji własności

populacji jednowymiarowych,

2.

Testy parametryczne służące do porównania własności

dwóch populacji

.



Testy

parametryczne

służące

do

weryfikacji

własności

populacji

jednowymiarowych, a wśród nich wyróżnia się:

◦

testy dla średniej

◦

test dla proporcji (wskaźnika struktury)

◦

test dla wariancji



W testach tych oceny parametrów uzyskane z próby losowej są porównywane

z hipotetycznymi wielkościami parametrów, traktowanymi jako pewien

wzorzec.



Testy parametryczne służące do porównania własności dwóch populacji, do

których należą:

◦

test dla dwóch średnich

◦

test dla dwóch proporcji

◦

test dla dwóch wariancji



Testy te porównują oceny parametrów, uzyskane z dwóch prób losowych.



Służą do weryfikacji różnorodnych hipotez,

dotyczących m.in. zgodności rozkładu cechy w

populacji z określonym rozkładem teoretycznym,

zgodności rozkładów w dwóch populacjach, a

także losowości doboru próby. Biorąc pod uwagę

zakres ich zastosowań, testy te można podzielić

na dwie grupy:

1.

Testy nieparametryczne służące do porównania

własności dwóch populacji,

2.

Testy nieparametryczne służące do weryfikacji

własności populacji jednowymiarowych



Test Manna-Whitneya jest jedną z najpopularniejszych alternatyw dla

testu t-Studenta dla prób niezależnych.



Jeżeli dane nie spełniają założeń dla zastosowania testu t-Studenta,

warto skorzystać z testu Manna-Whitneya, gdy chcemy porównać ze

sobą dwie niezależne wobec siebie grupy.



Zaleta: niewielkie wymogi: Zmienna zależna musi być mierzona na skali

co najmniej porządkowej (może być również mierzona na skali

ilościowej). Może też być skala dychotomiczna (czyli 0-1), dlatego, że

jest to przypadek zmiennej nominalnej, która jest zarazem zmienną

porządkową.



Zastosowanie testu Manna-whitneya nie wymaga równoliczności grup,

rozkładu normalnego czy też homogenicznych wariancji. To sprawia, że

może

być

on

szeroko

stosowany.



Test Manna-Whitneya polega na rangowaniu wyników zmiennej zależnej

(od najmniejszej do największej) w badanych grupach, a następnie grupy

są

ze

sobą

porównywane.

Przykład zastosowania:

Chcemy sprawdzić, czy kobiety różnią się od mężczyzn pod względem

poziomu wykształcenia mierzonego na skali (podstawowe, zawodowe,

średnie, wyższe). Z racji, że zmienna zależna (poziom wykształcenia)

jest mierzona na skali porządkowej zastosujemy test Manna-Whitneya

do

sprawdzenia

różnic

pomiędzy

badanymi

grupami.

Podstawową wadą tego testu jest fakt, że test nie bierze pod uwagę

wariancji wyników w badanych grupach. To sprawia, że grupy mogą mieć

różną wariancję wyników, co może nie zostać "wykryte" przez test,

podczas gdy testy parametryczne biorą to pod uwagę.

Wniosek:

Test

Manna-Whitneya

ma

słabszą

moc

interpretacyjną

uzyskanych danych. W porównaniu do testu t-Studenta należy zachować

większą ostrożność w interpretowaniu uzyskanych wyników.



gdzie:

R oznacza sumę rang n

1

, n

2

oznacza

liczebność w badanych grupach.



Należy obliczyć statystykę U zarówno dla R1

(suma rang w I grupie) jak i dla R2 (suma

rang w II grupie). Mniejsza z dwóch wartości

U

stanowi

statystykę

U,

a

istotność

statystyczna odczytywana jest z tabel.



Dalej, dla próby większej niż 20, stosuje się inny wzór

(zakłada się, że rozkład U jest wtedy w przybliżeniu

normalny. Wzór ten ma postać:



Analiza korelacji służy do "wychwycenia" czy zachodzi związek

pomiędzy dwiema zmiennymi (właściwościami, cechami). Co

oznacza związek? Choć istnieje podobieństwo (przynajmniej przez

analogię) do związków interpresonalnych to jednak należy tutaj

rozumieć związek jako rodzaj podobieństwa w "zachowywaniu się

dwóch cech". Gdy jedna cecha, właściwość wzrasta to czy druga

również wzrasta? A może maleje? A może w ogóle się nie zmienia?

Przykład: Czy poziom kondycji fizycznej jest związana z ilością

spożywanego tygodniowo alkoholu? W tym celu zapytano 100

losowo wybranych osób o średnią ilość (w litrach ;-) spożywanego

alkoholu w tygodniu oraz zmierzono ich wynik w biegu na 400m.

Aby stwierdzić, czy istnieje związek pomiędzy spożywanym

alkoholem a kondycją fizyczną (rozumianą tutaj jako wynik w biegu

na 400m) należy przeprowadzić analizę korelacji r-Pearsona

pomiędzy

wynikami

dla

tych

dwóch

zmiennych.



Nieparametryczny

odpowiednik

jednoczynnikowej

analizy

wariancji

dla

pomiarów powtarzanych.



Uznawany za najlepszy nieparametryczny test

dla danych tego rodzaju.



Najczęściej są to wyniki dla tych samych osób

otrzymane w n (n>>2) różnych badaniach lub

wyniki równoważnych grup osób.



Występuje

kilka

zależnych

pomiarów.

Wyniki

pomiarów

rejestrowane

dla

każdej

jednostki

porządkuje się w kolejności niemalejącej i nadaje

kolejne rangi.



H0: Nie istnieje różnica miedzy efektami działania

różnych poziomów czynnika kontrolowanego



H1: Istnieje różnica miedzy efektami działania

różnych poziomów czynnika kontrolowanego



Statystyka ma postać:



gdzie k to liczba kategorii czynnika kontrolowanego,

n – liczba jednostek w próbie, rij – ranga nadana j-tej

obserwacji zmiennej zależnej u i-tej jednostki.



bardzo

podobny

do

testu

Friedmana.

Statystyka ma postać



gdzie n – liczba jednostek we wszystkich

próbach łącznie,



nj – liczba jednostek w j-tej próbie (j=1,...,k),



rij – ranga nadana i-tej obserwacji zmiennej

zależnej z j-tej próby



Nieparametryczny

odpowiednik

jednoczynnikowej analizy wariancji.



Za pomocą tego testu sprawdzamy, czy „n”

niezależnych próbek pochodzi z tej samej

populacji, czy z populacji z taką samą

medianą.



Próbki nie muszą być tej samej liczebności.

Maks. 10 grup.



Celem

analizy

wariancji

(ANOVA)

jest

zazwyczaj

testowanie

istotności

różnic

pomiędzy średnimi.



W przypadku porównywania dwóch średnich

ANOVA daje takie same rezultaty, jak test

t

dla prób niezależnych (jeśli porównujemy

dwie różne grupy przypadków lub obserwacji)

lub

test

t

dla

prób

zależnych

(jeśli

porównujemy dwie zmienne dla tego samego

zbioru przypadków lub obserwacji).



Anova pozwala stwierdzić, czy analizowane

czynniki wywierają wpływ na obserwowane

zmienne.

Celem

ANOVA

jest

traktowanie

istotności różnic pomiędzy średnimi.

Założenia:



Analizowana zmienna zależna jest mierzalna



Analizowana zmienna w każdej z rozważanych k

populacji ma rozkład normalny



Rozkłady te mają jednakową wariancję



1

2=



2

2=…=



k

2



Dlaczego porównujemy tu średnie ? Bo jeśli

średnie różnią się istotnie to analizowany czynnik

wpływa na zmienną zależną.



Może wydawać się dziwne, że procedura

służąca do porównywania średnich jest

określana nazwą analiza wariancji.



Nazwa ta wywodzi się z faktu, że w celu

testowania statystycznej istotności różnic

pomiędzy

średnimi

w

rzeczywistości

przeprowadzamy porównanie (tzn. analizę)

wariancji.



Każda populacja musi mieć rozkład normalny



Pobrane do analizy próby są niezależne



Próby pobrane z każdej populacji muszą być

losowymi próbami prostymi



Wariancje w populacjach są równe

UWAGA: W przypadku, gdy założenia analizy wariancji nie

są spełnione należy posługiwać się testem Kruskala-

Wallisa.



Rozważmy

r

populacji o rozkładzie normalnym,

jednakowej wariancji



2

i wartości oczekiwanej

µ

i

, gdzie

i=1,…,r

. Z populacji tych losujemy

niezależne próby o liczebnościach

n

i

, na których

przeprowadzamy pomiary otrzymując wartości

x

ij

dla

i=1,…,r

i

j=1,…,n

i

. Całkowita wielkość próby

wynosi

n = n1 + n2 + …+ n

r

. .



Układ hipotez jest następujący:



Hipoteza zerowa:



Hipoteza alternatywna: nie wszystkie

µ

i

są sobie

równe: (i=1,…,r)



Do weryfikacji powyższej hipotezy obliczamy wartość

statystyki F postaci:



gdzie:



MSTR oznacza średni kwadratowy błąd "zabiegowy",



MSE oznacza średni kwadratowy błąd losowy,



oznacza średnią arytmetyczną z i-tej próby,



oznacza średnią arytmetyczną ze wszystkich obserwacji

ze wszystkich

r

prób.

i

x

xˆ



Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka

ma rozkład F-Snedecora z r-1 stopniami swobody w

liczniku i n-r stopniami swobody w mianowniku.



Obszar krytyczny jest postaci:



gdzie

F



jest wartością krytyczną odczytaną z tablic

rozkładu F-Snedecora dla (r-1,n-r) stopni swobody.



Jeżeli obliczona wartość statystyki F należy do obszaru

krytycznego Q to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść

hipotezy alternatywnej i wnioskujemy, że badane średnie

nie są jednorodne.



Jeżeli obliczona wartość statystyki F nie należy do obszaru

krytycznego Q to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej i wnioskujemy, że badane średnie są jednorodne.



Fabryka gwoździ zamierza kupić jedną

z czterech maszyn do produkcji.



Wszystkie

maszyny mają podobną

cenę.



Na podstawie analizy wariancji należy

sprawdzić czy istnieje istotna różnica

między wydajnościami maszyn

.



Tabela

przedstawia

procentowe

wydajności

uzyskane

na

poszczególnych maszynach.



Wyniki dla każdej z maszyn to inna populacja.

Dane:



r = 4, a każde próba n

i

ma wielkość 19.



Łączna wartość próby n wynosi zatem 76.

Dla danych z tabeli:

MSTR = 21.23
MSE = 4.26

Wartość emipryczna statystyki F wynosi 4.99
Liczba stopni swobody licznika wynosi 3,

natomiast liczba stopni swobody mianownika

wynosi 72.

Dla rozkładu F-Snedecora(3,72) wartość

krytyczna na poziomie istotności α = 0.05

wynosi 2.732. Obliczona wartość empiryczna

statystyki testowej odpowiada p-wartości

równej 0.0034.

Należy zatem odrzucić

hipotezę zerową na rzecz

hipotezy alternatywnej.

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3673.htm



Większa liczba czynników. Jedną z ważnych przyczyn,

dla których powinno się stosować raczej metody ANOVA

niż wielokrotne badanie dwóch grup przy pomocy

testów

t

jest to, że ANOVA jest bardziej

efektywna

,

dzięki czemu możemy uzyskać więcej informacji

dysponując mniejszą liczbą obserwacji.



Kontrola czynników. Przypuśćmy, że w przykładzie dwóch

grup wprowadzimy kolejny czynnik grupujący, np.

Płeć

.

Wyobraźmy sobie, że w każdej z grup mamy 3 mężczyzn i 3

kobiety. Układ ten moglibyśmy zestawić w tabeli 2x2:



całkowitą wariancję możemy rozdzielić na co

najmniej

trzy

składniki:

(1)

zmienność

spowodowaną

błędem

(wariancja

wewnątrzgrupowa),

(2)

zmienność

spowodowaną przynależnością do grupy

eksperymentalnej

oraz

(3)

zmienność

spowodowaną czynnikiem płci. (Zauważmy,

że jest jeszcze dodatkowe źródło zmienności

--

interakcja

). Co by się stało, gdybyśmy w

analizie nie uwzględnili czynnika

Płeć

lecz

przeprowadzili prosty test

t

?

Test t

ANOVA

suma kwadratów odchyleń od średniej (

SS) pomijając

czynnik

Płeć (stosujemy średnie wewnątrzgrupowe

łącząc grupy badanych o różnej płci):

SS

=10+10=20

Gdy uwzględniamy płeć:

Czyli stosujemy średnie wewnątrzgrupowe w obrębie

SS; po 2 w każdej z grup, tak więc połączone

wewnętrzne sumy kwadratów odchyleń będą równe

2+2+2+2=8

Różnica ta jest spowodowana faktem, iż średnie dla

mężczyzn

są

systematycznie niższe od średnich dla

kobiet

i różnica ta powoduje wzrost

zmienności, w przypadku gdy pomijamy ten czynnik. Kontrola wariancji błędu

zwiększa moc testu.

W przypadku metody ANOVA możemy oceniać wpływ każdego z czynników,

kontrolując wszystkie pozostałe; jest to prawdziwa przyczyna, dla której

ANOVA charakteryzuje się wyższą mocą niż prosty test

t

(tzn. potrzebujemy

mniej obserwacji, aby stwierdzić istotny wpływ).

20 > 8



Jest jeszcze jedna przewaga analizy wariancji nad prostymi

testami

t

: ANOVA umożliwia wykrywanie efektów

interakcji

pomiędzy zmiennymi i w związku z tym testowanie

bardziej złożonych hipotez na temat otaczającej nas

rzeczywistości.



Efekty główne, interakcja dwuczynnikowa. Wyobraźmy

sobie, że mamy grupę studentów nastawionych na

osiągnięcia oraz drugą grupę pozbawioną tych "dążeń".

Utwórzmy następnie w sposób losowy dwie podgrupy o

równej liczebności w każdej z prób i wśród studentów

jednej podgrupy przeprowadźmy test o wysokim stopniu

trudności, a wśród studentów drugiej podgrupy test o

niskim poziomie trudności. Mierzymy wyniki uzyskane

przez studentów w teście. Uzyskane w tym (fikcyjnym)

badaniu średnie są następujące:

(1)

testy bardziej wymagające powodują, że studenci pracują

bardziej intensywnie,

(2)

studenci nastawieni na osiągnięcia pracują intensywniej

od studentów nie nastawionych na osiągnięcia?

(3)

Żadne z tych stwierdzeń nie odzwierciedla istoty tych

wyraźnie regularnych relacji pomiędzy średnimi.

(4)

testy wymagające powodują intensywniejszą pracę tylko

wśród studentów nastawionych na osiągnięcia, podczas

gdy łatwe testy wpływają mobilizująco na studentów nie

nastawionych na osiągnięcia. Inaczej mówiąc,

rodzaj

nastawienia na osiągnięcia oraz stopień trudności testu

współdziałają

we wpływie na wysiłek studentów, w

szczególności jest to przykład

dwuczynnikowej interakcji

pomiędzy nastawieniem na osiągnięcia a stopniem

trudności testu.

Podczas gdy interakcja dwuczynnikowa może

być stosunkowo łatwo wyrażona werbalnie,

interakcje

wyższego

rzędu

są

coraz

trudniejsze

do

wyrażenia

słowami.

Wyobraźmy sobie, że w przedstawionym

powyżej badaniu osiągnięć uwzględniliśmy

czynnik

Płeć

i otrzymaliśmy następujący

układ średnich:



Kobiety nastawione na osiągnięcia pracują intensywniej z testami

bardziej wymagającymi niż z testami łatwymi, podczas gdy kobiety nie

nastawione na osiągnięcia pracują intensywniej nad testami łatwymi niż

nad trudnymi. W przypadku mężczyzn interakcja ta ma charakter

przeciwny. Jak więc widać opis interakcji stał się bardziej złożony.



Ogólny sposób wyrażania interakcji. Ogólnym sposobem wyrażenia

wszystkich interakcji jest stwierdzenie, że dany efekt jest modyfikowany

(warunkowany) przez inny efekt. Spróbujmy to prześledzić na

przykładzie zaprezentowanej powyżej interakcji pomiędzy dwoma

czynnikami. Efekt główny w postaci trudności testu jest modyfikowany

przez nastawienia na osiągnięcia.



Dwuczynnikowa interakcja pomiędzy trudnością testu i nastawieniem na

osiągnięcia jest modyfikowana (warunkowana) przez czynnik

Płeć

. Mając

do czynienia z czteroczynnikową interakcją, możemy powiedzieć, że

trójczynnikowa interakcja jest modyfikowana poprzez wpływ czwartej

zmiennej, to znaczy istnieją różne rodzaje interakcji na różnych

poziomach oddziaływania czwartej zmiennej. Jak się okazuje, w wielu

dziedzinach badań interakcje piątego lub wyższych stopni nie należą do

rzadkości.



to metoda statystyczna, służąca do badania obserwacji, które zależą od

jednego lub wielu działających równocześnie czynników. Metoda ta

wyjaśnia, z jakim prawdopodobieństwem wyodrębnione czynniki mogą

być powodem różnic między obserwowanymi średnimi grupowymi.

Analiza wariancji została stworzona w latach dwudziestych przez

Ronalda Fishera.



Modele analizy wariancji można podzielić na:



modele jednoczynnikowe - wpływ każdego czynnika jest rozpatrywany

oddzielnie, tą klasą zagadnień zajmuje się jednoczynnikowa analiza

wariancji,



modele wieloczynnikowe - wpływ różnych czynników jest rozpatrywany

łącznie, tą klasą zagadnień zajmuje się wieloczynnikowa analiza

wariancji.



Według kryterium podział modeli przebiega następująco:



model efektów stałych - obserwacje są z góry podzielone na kategorie,



model efektów losowych - kategorie mają charakter losowy,



model mieszany - część kategorii jest ustalona, a część losowa.



Średnia dla całego zbioru (z wartościami

pustymi) będzie inna niż dla zbioru bez

wartości pustych:



Zakładamy, że z

α∕2

oznacza 100(1 −α∕2)

percentyl

standardowego

rozkładu

normalnego. Dla losowej próbki odpowiednio

dużego zbioru danych, koniec przedziału

ufności (1 − α) dla wartości średniej

wyznaczymy jako:



Zakładając,

że

odchylenie

standardowe

populacji dotyczącej wzrostu studentów w

badaniu wynosiło σ= 9.48.



Chcemy

znaleźć

margines

błędu

dla

oszacowanego przedziału na 95% poziomie

ufności.



Jeśli to test dwustronny w rozkładzie

normalnym,

to

95%

przedział

ufności

oznacza, że rozkłada nam się równo po 2.5%

na lewą i prawą stronę, przez co do

rozważenia

bierzemy

97.5

ty

percentyl

lewostronnego przedziału. Przez to z

α∕2

wyznaczymy jako qnorm(.975). Mnożymy to

przez błąd standardowy średniej „sem” i

otrzymujemy margines błędu.

Teraz dodajemy obliczoną wartość błędu do średniej i

znajdujemy przedział ufności

Zakładając, że odchylenie standardowe populacji równe jest 9.48,

margines błędu dotyczący wzrostu studentów na 95% przedziale ufności

wynosi 1.2852. Przez to przedział ufności wynosi: (171.10 ,173.67).



Można

użyć

testu

z.test

z

pakietu:

<TeachingDemos>. Nie jest on domyślnym

pakietem środowiska R – dlatego trzeba go

najpierw zainstalować i załadować, by móc z

niego korzystać.



Po oszacowaniu wartości średniej populacji

możemy potrzebować określić dokładność.

Ale w przypadku gdy nie znamy wariancji.



t

α∕2

–to

100(1

−α∕2)

percentyl

studentyzowanego rozkładu normalnego z

n− 1 stopniami swobody. Dla losowo

wybranych

próbek

odpowiednio

dużej

populacji, z odchyleniem standardowym (s),

obliczymy (1 −α) przedział ufności jako:



Np. nie znając odchylenia standardowego

populacji chcemy oszacować przedział

ufności dla wzrostu studentów – 95%.



Rozwiązanie



Najpierw pozbądźmy się wartości pustych,

które wpływają na średnią – za pomocą

funkcji na.omit i zapiszmy nową kolumnę

jako „height.response”.



Skoro mówimy o teście dwustronnym dla

poziomu ufności 95%, interesuje nas 97.5

ty

percentyl

studentyzowanego

rozkładu

normalnego. Dlatego t

α∕2

będzie dane jako

qt(.975, df=n-1). Mnożymy tę wartość przez

błąd standardowy SE i otrzymujemy margines

błędu.



Dodajemy do średniej utworzony przedział i

w ten sposób znajdujemy przedział ufności

dla średniej.

Jeśli nie znamy odchylenia standardowego populacji, to zakres błędu

na 95 % poziomie ufności wynosi 1.3429 cm wzrostu studenta.

Przedział ufności wynosi wtedy (171.04,173.72).



t.test (biblioteka stats)



Jakość badania próby można poprawić przez

zwiększenie

rozmiaru

próby.

Formuła

wyznaczenia optymalnego rozmiaru próby na

poziomie ufności (1 −α), z błędem E, i

wariancją populacji σ

2 jest następująca:

z

α∕2

to 100(1 − α∕2) percentyl standardowego rozkładu normalnego.



Zakładając, że znamy odchylenie standardowe(σ)

wzrostu studentów w badaniu jako 9.48. Chcemy

znaleźć rozmiar próby niezbędny by otrzymać błąd

nie większy niż 1.2 cm na poziomie ufności 95%.



Jako że mamy dwustronny test, to dla 95% poziomu

ufności bierzemy pod uwagę 97.5

ty

percentyl

rozkładu normalnego. Więc: z

α∕2

będzie dany

jakoqnorm(.975).

Zakładając, że odchylenie

standardowe populacji wynosi

9.48, potrzebujemy

przynamniej 240 elementów w

próbie by uzyskać margines

błędu nie większy niż 1.2cm.



Testy dla proporcji to testy parametryczne

służące do weryfikacji hipotez dotyczących

wartości proporcji w populacji generalnej lub też

do porównania wartości proporcji w kilku

populacjach – na podstawie znajomości wartości

tej proporcji w losowej próbie (czy też dwóch lub

kilku próbach) pobranych z populacji.



Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek,

procent) wyrażający, jaka część elementów

pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne

równoważnie stosowane określenia to: frakcja,

wskaźnik struktury. Na przykład, jeśli w grupie

n

osób jest

m

palących, to proporcja osób palących

w tej grupie jest równa



Test prawostronny dla proporcji populacji może

być wyrażony jako:



Gdzie p

0

jest zakładaną minimalną wartością dla

proporcji populacji p.



Definiujemy statystykę z na podstawie

przykładowej próby i jej rozmiaru:



Odrzucimy hipotezę zerową jeśli z ≤−z

α

, gdzie

z

α

jest 100(1 − α) percentylem standarodowego

rozkładu normalnego.



Test lewostronny dla proporcji populacji

może być wyrażony jako:



Gdzie p

0

jest zakładaną minimalną wartością

dla proporcji populacji p.



Definiujemy statystykę z na podstawie

przykładowej próby i jej rozmiaru:



Odrzucimy hipotezę zerową jeśli z > z

α

,

gdzie z

α

jest 100(1 − α) percentylem

standarodowego rozkładu normalnego.



Gdzie p

0

jest zakładaną minimalną wartością

dla proporcji populacji p.



Definiujemy statystykę z na podstawie

przykładowej próby i jej rozmiaru:



Odrzucimy hipotezę zerową jeśli z ≤−z

α/2 lub

z ≥ z

α∕2

, gdzie z

α/2

jest 100(1 − α)

percentylem standarodowego rozkładu

normalnego.



Spośród żarówek wyprodukowanych przez pewną fabrykę wylosowano

n=200 szt. i sprawdzono ich jakość. Okazało się, iż 50 żarówek jest

złych. Czy można się zgodzić z przypuszczeniem, że braki stanowią 28%

produkowanych żarówek? Przyjąć a = 0,06.



ROZWI

Ą

ZANIE:



dane: badana zbiorowość - żarówki



zmienna losowa X – odsetek złych żarówek



zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej



próba: n = 200, n'=50 w = n’/n = 50/200 = 0,25





szukane:



H0 : p = 0,28

(w zbiorowo

ś

ci generalne

ż

arówek braki stanowi

ą

28%)



H1 : p ¹ 0,28

(w zbiorowo

ś

ci generalne

ż

arówek braki nie stanowi

ą

28%)



rozkład normalny



hipoteza alternatywna jest dwustronna zatem

obszar krytyczny przyjmuje postać



(

u



odczytujemy z tablic rozkładu

normalnego przy zadanym



)





Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej mówiącej, iż procent wadliwych

żarówek wynosi 28%.

Skoro wartość -0.94

leży

w

środku

przedziału

krytycznego a więc

na

poziomie

istotności 0,06 nie

mamy podstaw by

odrzucić hipotezę

zerową.



Najczęściej w ankietach badamy procent jednej grupy w

odniesieniu do całości.



Problem



Chcemy znaleźć oszacowanie proporcji kobiet wśród studentów

danej uczelni.



Rozwiązanie



Filtrowanie danych (survey$Sex) za pomocą funkcji na.omit co

zapiszemy w zmiennej: gender.response.

By znaleźć liczbę kobiet wystarczy zliczyć obiekty

które w zmiennej gender.response mają wartość:

’Female’, Potem podzielimy to przez liczbę

wszystkich obiektów (n) co da nam szukaną

proporcję. Wynik: 50%.



Gdy już wiemy jak oszacować wartość

średniej populacji możemy chcieć oszacować

przedział ufności.



Niech z

α∕2

będzie 100(1 −α∕2) percentylem

standardowego rozkładu normalnego.



Jeśli rozmiar próby (n) i proporcja populacji

spełniają warunek: np ≥ 5 oraz n(1 − p) ≥ 5,

wówczas koniec przedziału na poziomie

istotności (1 − α) jest zdefiniowany jako:



Oblicz błąd i przedział ufności dla liczby

kobiet w grupie studentów na poziomie

ufności 95%.



Rozwiązanie



Najpierw oszacujemy średnią wartość dla

proporcji.



Wynik: na poziomie istotności 95 %, kobiet

wśród studentów uczelni stanowią między

43.6% a 56.3%, z błędem 6.4%.

Skoro przedział ufności wynosi 95 % to tak naprawdę 5 % dzielimy na 2

przy dwustronnym teście – co daje 97.5ty percentyl standardowego

rozkładu normalnego. Przez to z

α∕2

jest dany przez qnorm(.975). Wtedy

mnożymy tę wartość przez błąd standardowy SE i obliczamy margines

błędu.



Można użyć prop.test z pakietu stats

Dwie próby są sparowane jeśli pochodzą z obserwacji tych samych

obiektów. Zakładamy rozkład normalny w danych. Stosując

sparowany test t-test, możemy określić przedział ufności różnicy

między średnimi w populacji.

W zbiorze „immer”, zapisano zbiory jęczmienia z dwóch lat: 1931 i

1932 z tych samych pól. Są one prezentowane w kolumnach Y1 i Y2.

Problem

Zakładając ze dane pochodzą z rozkładu normalnego, chcemy znaleźć

95% przedział ufności dla różnicy między średnimi w zbiorach

jęczmienia z lat 1931 i 1932.

Rozwiązanie

Stosujemy test t.test by obliczyć różnice między średnimi. Ponieważ to

test sparowany, wymaga argumentu "paired„ ustawionego na

wartość TRUE.



Między rokiem 1932 a 1932 w zbiorze immer 95 % przedział

ufności dla różnicy między średnimi należy do przedziału

(6.122 , 25.705).



Dwie próby są niezależne jeśli pochodzą z

populacji które nie są ze sobą skorelowane a

próby nie wpływają na siebie wzajemnie.

Zakładamy, że populacje pochodzą z rozkładu

normalnego. Stosując test niesparowany możemy

określić przedział ufności dla różnicy między

średnimi w obu populacjach.

przykład



W zbiorze mtcars zajmiemy się cechą mpg

określającą zużycie paliwa (gas mileage) z

różnych samochodów roku 1974.



Możemy użyć t.test by obliczyć różnice

między średnimi.



W zbiorze mtcars, średnie zużycie palowa

wynosi dla skrzyni automatycznej 17.147 a

dla ręcznej 24.392.



95% przedział ufności dla średniego zużycia

paliwa to: (3.2097,11.2802)



Możemy też stworzyć zmienną odpowiedzi (objaśnianą)

mtcars$mpg na podstawie mtcars$am, i potem

zastosować t.test do oszacowania różnicy między

średnimi w populacji:



Wiadomo, że badanie 2 różnych populacji da

nam inne wyniki. Jest to jednak często

niezbędne by porównać wyniki między

dwoma populacjami. Zakładamy jednak, że

obie pochodzą z rozkładu normalnego.



Tabele

krzyżowe

(albo

rozdzielcze,

kontyngencji)

przedstawiają łączne rozkłady dwóch lub większej ilości

zmiennych.



Podczas gdy rozkład częstości informuje o rozkładzie jednej

zmiennej, tablica kontyngencji opisuje jednocześnie rozkład

dwóch lub większej ilości zmiennych.



Każda komórka pokazuje ilość respondentów, którzy udzielili

określonej kombinacji odpowiedzi.



Zmienna

potencjał konsumpcyjny

ma trzy kategorie: zje dużo, zje mało, nic nie zje.

Kategorie są wzajemnie rozłączne i wyczerpujące, więc wartości w kolumnach sumują się do

100%. Druga zmienna

poziom głodu

posiada dwie kategorie: głodny, najedzony. W tym

przypadku, wartości w wierszach nie muszą sumować się do 100%. Każda z komórek

odzwierciedla procent respondentów posiadających daną kombinację cech.



Są łatwe do zrozumienia, także dla ludzi, którzy

nie rozumieją bardziej wyszukanych miar.



Mogą być używane w przypadku zmiennych

mierzonych

na

dowolnym

poziomie:

nominalnym, porządkowym, interwałowym czy

ilorazowym - tablice krzyżowe traktują wszystkie

dane tak - jakby były mierzone na poziomie

nominalnym.



Łatwiej jest zauważyć związki między zmiennymi

analizując taką tablicę niż oddzielne statystyki.



Rozwiązują problem braków danych.



W zbiorze quine dzieci z australijskich miast są

klasyfikowane na pochodzenie etniczne,

płeć, wiek,

status kształcenia i liczbę dni nieobecności w szkole.



W wyniku, kolumna „Eth” określa czy uczeń jest

Aboriginal czy nie ("A" or "N"), a kolumna „Sex” określa

kobietę albo mężczyznę („F" / „M").



W środowisku R jest możliwe przedstawienie rozkładu

danych płci i pochodzenia etnicznego w tablicy. W

wyniku z 38 uczniów pochodzenia „Aboriginal” 38 jest

to kobiety. A w grupie „Non-Aboriginal” 42 osoby to

kobiety.



Zakładając, że dane te pochodzą z rozkładu

normalnego, chcemy znaleźć 95% przedział

ufności dla różnicy między proporcją kobiet

w grupie uczniów z klasy Aboriginal i kobiet

w grupie drugiej klasy (Non-Aboriginal).



Stosujemy funkcję R: prop.test by wyznaczyć

różnice w proporcjach kobiet.

95% przedział ufności dla różnicy między średnimi w obu

grupach kobiet z różnych grup etnicznych wynosi: (-15.6% ,

16.7%)



2 losowe zmienne x i y nazywamy niezależnymi,

gdy

prawdopodobieństwo

rozkładu

jednej

zmiennej nie zależy od obecności tej drugiej

zmiennej.



Zakładając, że f

ij

oznacza liczność częstości

zdarzeń przynależności do obu kategorii: i-tej

dla x i j-tej dla y. oraz zakładając, że e

ij

jest

oczekiwaną wartością tego, że obie zmienne są

niezależne.

Hipoteza

zerowa

niezależności

między zmiennymi będzie odrzucona jeśli p-

value testu Chi-kwadrat będzie mniejsza niż

zadany poziom istotności α.



W zbiorze survey, kolumna Smoke ("Heavy", "Regul"

(regularly), "Occas" (occasionally) i "Never". ) oznacza

zwyczaj palenia studentów, zaś kolumna Exer ("Freq"

(frequently), "Some" i "None")oznacza częstość palenia.



Możemy sprawdzić rozkład poszczególnych wartości

znów w tabeli:



Testujemy hipotezę, czy częstość palenia zależy od

liczby wypalonych papierosów na poziomie istotności

.05.



Rozwiązanie



Stosujemy funkcję R: chisq.test by stworzyć tablicę

kontyngencji i znajdujemy wartość p-value jako 0.4828.

Skoro wartość p-value = 0.4828 jest większa niż poziom

istotności.05 – to nie możemy odrzucić hipotezy zerowej mówiącej,

że zmienna „habit” nie zależy od „exer”.



łączymy drugą i trzecią kolumnę tbl, i zapisujemy w

nową tabelę o nazwie ctbl. Następnie stosujemy

chisq.test:



Item1 Item2 Item3

22

52

16

42

33

24

44

8

19

52

47

18

45

43

34

37

32

39

Algorytm:

1. Skopiuj powyższy zbiór do pliku i nazwij go "fastfood-1.txt“.

2. Załaduj plik jako data frame i nazwij df1 za pomocą funkcji

read.table. Pierwsza linia naturalnie określa nazwy kolumn

(header=TRUE).

3. Połącz wiersze df1 w jeden wektor „r” .
4. Określ nowe zmienne dla określenia poziomu

czynnika i liczby obserwacji.

5.

Stwórz

wektor

czynników

odpowiadających

każdemu elementowi „r” w kroku 3 za pomocą

funkcji „gl”.

6.

Zastosuj funkcję „aov” by zbadać zależność „r” a

czynnikiem „tm”.

7.

Wyświetl tablicę ANOVA jako podsumowanie:

Skoro p-value = 0.11 jest większe niż .05 poziom istotności, nie możemy

odrzucić hipotezy zerowej mówiącej że średnia sprzedaż dla nowych

pozycji menu są równe.



Nadal jest tylko jeden czynnik główny badany. Ale

podobne przedmioty są łączone w grupy (bloki).

Każdy blok jest testowany – czy zależy od głównego

czynnika badanego. To ma wykluczyć wpływ innych

czynników dodatkowych.



przykład



Ten sam przykład z fastfood ale 6 restauracji

tworzących jeden blok będzie testowana odnośnie

wszystkich 3 nowych produktów. Ale tylko jeden

produkt na każdy osobny tydzień. Losowy jest wybór

produktów do testowania (kolejność).



Problem



Załóżmy, że mamy następujące dane. Sprawdź, czy

na poziomie istotności .05 średnie sprzedaży

wszystkich 3 nowych produktów są takie same.



Item1 Item2 Item3

31 27

24

31 28

31

45 29

46

21 18

48

42 36

46

32 17

40

Algorytm:

1.

Skopiuj dane do pliku o nazwie"fastfood-2.txt".

2.

Załaduj plik do ramki data frame i nazwij df2.

3.

Połącz wiersze w jeden wektor „r” .

4.

Określ nowe zmienne „treatment levels” oraz „liczba

bloków”

5.

Stwórz wektor „treatment factors” który odpowiada

każdemu elementowi z wektora „r” z kroku 3 za

pomocą funkcji „gl”.

6.

Stwórz wektor czynników bloków dla każdego

elementu z wektora „r”

7.

Zastosuj funkcję „aov”.

8.

Wyświetl rezultat ANOVA

Skoro p-value = 0.032 jest mniejsze niż .05 to odrzucamy hipotezę

zerową mówiącą że średnie sprzedaży wszystkich produktów są równe.



Rozważa się tylko jeden główny czynnik który może

wpływać na inne.



przykład



Sieć fastfood testuje 3 nowe produkty wprowadzone

na rynek. By przekonać się, czy cieszą się one tą

samą popularnością, wybrano 18 losowych restauracji

do badania. Podzielono jest losowo na te 3 grupy, po

6 dla każdego nowego produktu.



Problem



Załóżmy, że tak się rozkłada sprzedaż po tygodniu

testów. Na poziomie istotności .05 średnie sprzedaży

wszystkich 3 produktów są takie same.



Tutaj może istnieć więcej niż jedne czynnik do rozważenia.



Przykład



Nadal rozważamy fastfood który testuje 3 nowe produkty na obu

wybrzeżach wschodnim (East) i zachodnim (West) USA. By się

przekonać, że wszystkie produkty cieszą się tą samą

popularnością 12 restauracji z wybrzeża wschodniego zostało

wybranych do analizy. Założeniem jest w analizie czynnikowej,

że 12 restauracji będzie podzielone: 4 do badania 1 produktu, 4

do drugiego i 4 do trzeciego. To samo w przypadku restauracji z

zachodniego wybrzeża.



Problem



Zakładając, że dane są takie jak w tabeli, po tygodniu testów.

Każdy wiersz w górnej tabeli reprezentuje sprzedaż w 3 różnych

restauracjach na wschodnim wybrzeżu. Dolna połowa

reprezentuje restauracje zachodniego wybrzeża. Na poziomie

istotności .05 chcemy przeprowadzić test czy średnie sprzedaży

są takie same dla wszystkich produktów. I czy region wpływa na

wartość sprzedaży.



East Coast:

==========

Item1 Item2 Item3

E1 25 39 36

E2 36 42 24

E3 31 39 28

E4 26 35 29

West Coast:

==========

Item1 Item2 Item3

W1 51 43 42

W2 47 39 36

W3 47 53 32

W4 52 46 33

1.

Zapisz dane do pliku o nazwie "fastfood-3.csv

2.

Załaduj dane jako data frame i nazwij df3 stosując

funkcję read.csv

3.

Połącz dane w wierszach w jeden wektor „r”

4.

Oznacz nowe zmienne „treatment levels” oraz „number of

observations”.

5.

Stwórz wektor odpowiadający pierwszej wartości

„treatment level” w zmiennej odpowiedzi w kroku 3

element po elemencie za pomocą funkcji „gl”.

6.

Podobnie stwórz wektor korespondujący z 2 wartością

cechy „treatment level” w zmiennej odpowiedzi wektora

„r” z kroku 3.

7.

Zastosuj funkcję „aov” by opisać zmienną odpowiedzi „r”

za pomocą czynników „tm1” i „tm2”.

8.

Pokaż wyniki ANOVA.

Ponieważ wartość p-value = 0.0015 jest mniejsza niż poziom istotności .05 –

odrzucamy hipotezę zerową mówiącą, że średnia sprzedaż nowych produktów

jest taka sama wszędzie. Co więcej, wartość p-value = 1.2e-05 dla

porównania wybrzeży wschód-zachód jest również mniejsza niż zadany

poziom istotności. To pokazuje, że istnieje różnica w ogólnej wartości

sprzedaży między wybrzeżami. Ostatecznie, w analizie wykazano też, że p-

value = 0.0113 (< 0.05) określa możliwe interakcje między produktami z

menu a lokalizacją restauracji – jakoże klienci z różnych regionów mogą mieć

inne upodobania kulinarne.



Nie zakłada się żadnych założeń co do

rozkładu populacji, ani co do wielkości próby



Przypominając:

metody

parametryczne

wymagają by dane były ilościowe, by miały

rozkład normalny, i by rozmiar próby był

odpowiednio duży.



Oczywiście testy nieparametryczne nie są tak

mocne jak te parametryczne, ale mają mniej

założeń, są bardziej elastyczne, i mogą być

użyte do danych jakościowych !



Test ten stosujemy, gdy chcemy sprawdzić

czy rozkład binominalny ma równe szanse

porażki/sukcesu.



Producent napojów wymyślił nowy napój i chce sprawdzić

czy będzie tak popularny jak jego dotychczasowy

najpopularniejszy napój. W tym celu zaangażował 18

ochotników do testów. Każdy z nich próbuje obu drinków:

nowy i stary w losowej kolejności.



Okazało się, że 5 uczestników wybrało nowy napój jako

lepszy, reszta wybrała dotychczasowy. Na poziomie

istotności = .05 czy możemy odrzucić hipotezę, że

sympatia do obu napojów jest taka sama ?



Rozwiązanie



Zerowa hipoteza ma sprawdzić czy napoje są tak samo

lubiane. Stosujemy test: binom.test. Wartość p-value=

0.096525, i jako że jest większa niż zadany poziom

istotności .05, nie mamy podstaw by odrzucić tę hipotezę.



Tutaj dwie próby są sparowany gdy pochodzą

z

powtórnych

obserwacji

tych

samych

obiektów.



Stosując ten test możemy decydować, czy

korespondujące rozkłady dwu populacji są

takie same nie zakładając, że pochodzą z

rozkładu normalnego.



Stosujemy

zbiór

„immer”

ze

zbiorami

jęczmienia z lat 1931 i 1932. Są odpowiednio

zapisane w kolumnach Y1 i Y2.



Bez założeń o rozkładzie normalnym, na

poziomie istotności .05 chcemy sprawdzić czy

dane mają te same rozkładu w dwóch różnych

latach.



Rozwiązanie



Hipoteza zerowa że jęczmień w dwóch latach

zbiorów miał takie same wartości. Aby testować

tę hipotezę stosujemy test wilcox.test by

porównać

pasujące

próbki.

Dla

testu

sparowanego

pamiętajmy

o

ustawieniu

parametru "paired" na wartość TRUE. Skoro p-

value = 0.005318 jest mniejsza niż zadany

poziom istotności .05 -

odrzucamy hipotezę

zerową.

Na poziomie istotności .05 wnioskujemy, że zbiory jęczmienia z

latach 1931 i 1932 nie są identycznymi populacjami.



Dwie próby są niezależne jeśli pochodzą z

różnych populacji i nie wpływają jedna na

drugą.



Stosując

test

Manna-Whitneya-Wilcoxona

możemy ocenić czy rozkłady populacji są

identyczne nie zakładając ze pochodzą z

rozkładu normalnego.



Mamy zbiór mtcars, i dane dotyczące zużycia

paliwa różnych samochodów w roku 1974.



Mamy też dana „am” określającą czy skrzynia

biegów jest ręczna czy automatyczna (0 =

automatic, 1 = manual).



Przyjmuje się, że zużycie paliwa nie ma związku z

typem skrzyni biegów. Sprawdzimy to…



Nie

zakładając

rozkładu

normalnego

chcemy

sprawdzić, czy na poziomie istotności .05 zużycie

paliwa skrzyni automatycznych i ręcznych mają te

same rozkłady danych.



Rozwiązanie



Hipoteza zerowa mówić będzie, że zużycie paliwa dla

skrzyni ręcznych ma taką samą populację jak zużycie

paliwa skrzyni automatycznych.



Aby to sprawdzić użyjemy funkcji R: wilcox.test by

porównać wartości w niezależnych próbkach.



Skoro wartość p-value= 0.001817 i jest ona mniejsza

niż .05 – odrzucamy hipotezę zerową na rzecz

alternatywnej mówiącej, że jednak wartości zużycia

paliwa w obu typach skrzyni jest różna.

Na poziomie istotności testu = .05 stwierdzamy, że

zużycie

paliwa

w

skrzyniach

ręcznych

i

automatycznych nie są takie same.



Zakłada się, że kolekcje próbek danych są

niezależne jeśli pochodzą z niezwiązanych

populacji i nie wpływają jedna na drugą.



Stosując

test

Kruskala-Wallisa,

możemy

oceniać, czy rozkłady populacji są identyczne

bez

konieczności

zakładania

rozkładu

normalnego.

W zbiorze „airquality” mamy pomiary dzienne jakości

powietrza z Nowego Jorku z okresu od maja do

września 1973 roku. Gęstość ozonu przedstawiono

w kolumnie o nazwie :Ozone.

Problem

Bez założeń o rozkładzie normalnym populacji

chcemy sprawdzić na poziomie istotności.05 czy

miesięczna wartość gęstości ozonu w Nowym

Jorku ma taki sam rozkład w miesiącach od maja

do września.

Rozwiązanie

Hipoteza zerowa mówi, że miesięczna gęstość

ozonu jest taka sama we wszystkich populacjach.

Aby

to

sprawdzić

stosujemy

funkcję

R:

kruskal.test by porównać dane z niezależnych

miesięcy. Wartość p-value zmierza do 0 (6.901e-

06). Dlatego odrzucamy hipotezę zerową.

Na poziomie istotności .05 stwierdzamy, że miesięczna

gęstość ozonu w Nowym Jorku w miesiącach od maja do

września nie pochodziła z identycznych populacji.