1 

 
 
Wartość pieniądza w czasie 
 
Jeżeli odsetki nie są kapitalizowane, wartość przyszła: 
 
FV = PV x (1 + r x n) 
 
PV 

– obecna wartość kapitału 

r 

– oprocentowanie 

n 

– liczba okresów 

 
Odsetki proste: 
 

t

d

K

O







100

 

 
O 

– kwota odsetek 

K 

– kapitał (podstawa naliczania odsetek) 

d 

– stopa procentowa (stopa odsetek, stopa odsetkowa) 

t 

– czas wykorzystania kapitału (odroczenia płatności) 

 
Odsetki od stu za okres krótszy niż rok 
 

t

r

d

K

O







100

 

 
r 

– liczba dni w roku 

K 

– kapitał (podstawa naliczania odsetek) 

d 

– stopa procentowa (stopa odsetek, stopa odsetkowa) 

 
Wartość  1 zł za n lat (przyszła  wartość) przy okresowej kapitali-
zacji odsetek to:  

FV = PV x (1 + r)n 
 
FV 

– wartość przyszła (suma skapitalizowana) 

PV 

– wartość obecna (kapitał pierwotny) 

r - oprocentowanie lokaty 
n - 

liczba okresów (lat), w których lokata jest utrzymywana 

 
Oprocentowanie  lokaty  w  zależności  od  częstotliwości  kapitali-
zacji odsetek 

 

r

ef

 

- 

oprocentowanie efektywne 

r

nom

 

- 

oprocentowanie nominalne 

m 

- 

częstotliwość kapitalizacji odsetek 

 
Wartość obecna (bieżąca, zaktualizowana, dyskonto) 
 

 

1 

PV = FV x 

---------- 

 

(1 + r)n 

 
Płatność roczna (renta kapitałowa, annuity) 
FVA

n

 = A x FVFA

r,n

 

 
FVA

n

 

= wartość przyszła płatności rocznej, 

A = wpłacana kwota, 
FVFA

r,n

 

= czynnik przyszłej wartości dla płatności rocznej. 

 
Lub: 
 

100

1

100

1

d

d

A

FVA

n













 





 

 
A 

– kwota jednorazowej wpłaty 

d

– oprocentowanie 

n 

– liczba okresów (rat płatności) 

 
Czynnik obecnej wartości płatności rocznej: 
 

 
Zaktualizowana wartość płatności rocznej: 
 
PVA

n

 = A x PVFA

r,n

 

 
PVA

n

 

= wartość przyszła płatności rocznej, 

A = wpłacana kwota, 
PVFA

r,n

 

= czynnik przyszłej wartości dla płatności rocznej. 

 
Lub: 

100

100

1

1

1

r

r

A

PVA

n

n











 







 

 
 
 
 
 
Renta wieczysta (dożywotnia, perpetuity) 
 

Metody oceny projektów inwestycyjnych 
 
Średnia księgowa stopa zwrotu (ARR) 
 

 
lub do wartości początkowych nakładów inwestycyjnych 
 

 

 

przeciętny zysk 

ARR 

= 

---------------------------- 

 

 

nakłady inwestycyjne 

 
Indeks  rentowności  (PI,  IR)  (współczynnik  ekonomicznej  efek-
tywności inwestycji, stopa zyskowności inwestycji) 
 

I

Y

Z

i



 

 
Z

i

 

– współczynnik zyskowności kapitału 

Y 

– suma przewidywanych, zdyskontowanych, corocznych nadwyżek 

finansowych netto  
I 

– suma nakładów inwestycyjnych 

 
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) (w sposób przybliżony) 
 





2

1

1

2

1

1

NPV

NPV

r

r

NPV

r

IRR











 

r

1

 

= poziom stopy procentowej, przy użyciu której NPV

1

 > 0 

r

2

 = poziom stopy proce

ntowej, przy użyciu której NPV

2

 < 0 

 
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (Modified IRR – MIRR) 

 

 

przeciętny zysk 

ARR 

= 

--------------------------------------------------------------------------- 

 

 

(nakłady inwestycyjne + końcowa wartość inwestycji)/2 















n

t

t

n

r

r

FVFA

1

1

,

1





r

r

PVFA

t

t

n

r

1

1

1

1

,













1

1













 



m

nom

ef

m

r

r













n

t

t

n

r

r

PVFA

1

,

1

1

 
 

2 

 
 









k

e

j

j

j

k

e

i

i

k

i

r

NCFR

r

NCFE

MIRR





















1

0

1

1

 

 
MIRR 

= 

Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu 

NCFE 

= 

Strumienie pieniężne netto osiągnięte w okresie eksploatacji projektu inwestycyjnego 

NCFR 

= 

Strumienie pieniężne netto osiągnięte w okresie realizacji projektu inwestycyjnego 

e 

= 

Okres rozpoczęcia eksploatacji projektu 

k 

= 

Okres zakończenia eksploatacji projektu 

 
 
Metoda wymiany ciągłej zakłada, że inwestycje będą ponawiane w 
nie

skończoność. 

 





 

































1

1

1

,

k

k

k

k

r

r

NPV

NPV

 

 
NPV

(k,



)

 

= zaktualizowana wartość nieskończonego łańcucha inwe-

stycji 
NPV

(k)

 

= zaktualizowana wartość łańcucha inwestycji o długości k. 

 
Metoda rocznego ekwiwalentu  
 

 

































1

1

1

k

k

k

r

r

r

NPV

ANCF

 

 
ANCF 

= roczny strumień pieniężny 

 
Obliczanie  kosztu  kapitału  własnego  w  oparciu  o  model Gordo-
na 
 

kc - 

wymagana stopa zwrotu od kapitału zwykłego (koszt kapitału) 

D - 

dywidenda przypadająca na jedną akcję 

Vc - 

wartość jednej akcji zwykłej 

g - 

stała stopa wzrostu dywidendy 

 
Koszt no

wej emisji kapitału z modelu Gordona: 

 

k

n

 - 

koszt kapitału nowej emisji 

D

1

 - 

dywidenda na 1 akcję na koniec roku (w którym dokonano nowej 

emisji) 
N

n

 - 

wpływy netto ze sprzedaży nowych akcji 

g  - 

stała  stopa  wzrostu  nowej  dywidendy  (w  oparciu  o  średnią  do-

tychcza

sowych wypłat) 

 
Koszt kapitału w modelu CAPM: 
 

r

s

 = r

f

 + (r

m

 

– r

f

)



 

 
r

s

 

= stopa zwrotu z akcji (koszt kapitału zwykłego), 

r

f

 = stopa zwrotu wolna od ryzyka, 

r

m

 

= stopa zwrotu z rynku jako całości, 



 

= współczynnik beta. 

 
Współczynnik beta: 
 

 

 

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji i 

 

 



i

 

= 

---------------------------------------------------- 

x 

Współczynnik korelacji pomiędzy stopą zwrotu z 

akcji i a stopą zwrotu z rynku 

 

 

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z rynku 

 

 

 
 
Stopa dywidendy = dywidenda zadeklarowana/zysk netto 
 
Stopa zwrotu z akcji 
 
Z = [(D + C

2

 

– C

1

) x 100]/C

1

 

 
D 

– dywidenda na jedną akcję za rok bieżący 

C

1

 

– cena rynkowa akcji sprzed roku 

C

2

 

– cena rynkowa akcji w dniu ustalenia dywidendy 

 
Wartość obligacji 
 

Vo = I x PVFAk,n + F x PVFk,n 

 
Vo = wartość obligacji 
I = wysokość rocznych odsetek 
F = wartość nominalna obligacji 
k = wymagana stopa zwrotu 
n = liczba lat pozostałych do wykupu 
PVFAk,n = czynnik obecnej wartości dla płatności rocznej (tab. 4) 
PVFk,n = czynnik obecnej wartości (tab.2) 
 
Średni ważony koszt kapitału (WACC) 
w

i

 = waga i-

tego składnika pasywów, 

k

i

 = koszt i-

tego składnika pasywów. 

 
Mechanizm korzyści podatkowej 

 

K

1

 = K

0

 



 (1 

– T) 

 

K

1

 

– koszt z uwzględnieniem mechanizmu korzyści podatkowej 

K

0

 

– koszt bez uwzględnienia mechanizmu korzyści podatkowej 

T 

– stopa opodatkowania podatkiem dochodowym 

 
Spłata kredytu według raty stałej 
 

1

100

1

100

1

100













 











 







n

n

d

d

d

K

R

 

 
R 

– jednorazowa rata stała 

K 

– należność podstawowa (kapitał) 

d 

– stopa procentowa dotycząca okresu pomiędzy kolejnymi ratami 

n 

– liczba rat 

 
 
 
Krótkoterminowe decyzje finansowe  
 
Kapitał obrotowy netto = kapitał stały – aktywa trwałe 
Kapitał obrotowy netto = aktywa obrotowe – zobowiązania krótko-
terminowe 
Kapitał obrotowy brutto = aktywa obrotowe 
 
Cykl  operacyjny  =  cykl  k

onwersji  zapasów  (rotacja  zapasów  w 

dniach) + cykl konwersji należności (okres spływu należności) = cykl 
kapitału obrotowego brutto 
 
Cykl  konwersji  gotówki  =  cykl  kapitału  obrotowego  brutto  -  cykl 
odrocze

nia płatności zobowiązań (okres płatności zobowiązań) = cykl 

kapitału obrotowego netto 
 
Punkt  złożenia  zamówienia  =  bufor  bezpieczeństwa  +  (dzienne 
zużycie zapasów x okres oczekiwania na dostawę w dniach) 
 
Norma maksymalna zapasu: 
 

r

d

d

m

t

R

t

R

N









 

 
N

m

 

– Norma maksymalna zapasu 

R

d

 

–  przypadające  przeciętnie  na  jeden  dzień  w  przewidywanym 

okresie  zużycie  materiałów  lub  sprzedaż  wyrobów  lub  towarów, 
wyrażone ilościowo lub wartościowo 
t 

–  przeciętna  długość  cyklu  dostawy  materiałów  lub  towarów,  w 

dniach 
t

r

 

– możliwe opóźnienia (odchylenia) w stosunku do cyklu przeciętne-

go, w dniach 
 

g

V

D

k

c

c





g

N

D

k

n

n





1

i

n

i

i

k

w

WACC







1

 
 

3 

Optymalna wielkość zamówienia 



2CD

k

 

 
C - 

koszt złożenia zamówienia, 

D - 

roczne zużycie zapasów w jednostkach fizycznych, 

k - 

roczny koszt składowania jednostki zapasów, 

 
Całkowity koszt utrzymywania zapasów 
 

TC = C1 x Q + C x N 

 
TC - 

całkowity koszt utrzymywania zapasów 

C1  -  koszty  jednostkowe,  wprost  proporcjonalne  do  poziomu  zapa-
sów 
Q - 

średni stan zapasów 

C - 

koszt złożenia zamówienia 

N - 

liczba zamówień w ciągu roku 

 
 
Obliczanie stanu należności 
 

 

 

okres spływu należności 

 

 

Należności 

= 

--------------------------------- 

x 

roczna sprzedaż (wg. kosztu wytworzenia) 

 

 

360 

 

 

 
Obliczanie kosztu należności 

 

koszt należności (zł) = przeciętny stan należności (zł) x koszt alterna-

tywny (%) 

 
Zysk z tytułu zmniejszenia stanu należności  

 

Zysk z tytułu zmniejszenia stanu należności = kwota zmniejszenia 

stanu należności x koszt alternatywny (stopa zwrotu z inwestycji) 

 

Koszt kredytu kupieckiego 
 

 

 

% upustu 

 

365 

Koszt kredytu kupieckiego 

= 

-------------------- 

x 

---------------------------------------- 

 

 

100 - % upustu 

 

okres kredytu - okres upustu 

 
Aby przejść na procent składany: 

Efektywny roczny koszt kredytu kupieckiego 

=

+

-

(

)

1

1

k

n

n

 

k - koszt kredytu kupieckiego 
n - 

liczba powtórzeń w roku 

 
Dyskonto 

= wartość nominalna – wartość zakupu 

 
Stopa dyskonta 

to dyskonto w skali roku wyrażone w procentach: 

 

 

 

D 

 

360 

 

 

d 

= 

---- 

x 

------- 

x 

100% 

 

 

N 

 

n 

 

 

 
d 

– stopa dyskonta 

D 

– dyskonto 

N 

– wartość nominalna papieru wartościowego 

n 

–  liczba  dni  od  daty  zakupu/sprzedaży  papieru  wartościowego  do 

daty jego wykupu przez emitenta 
 
Stopa  rentowności  to  koszt  pozyskania  środków  w  wyniku  emisji 
krótkoterminowego papieru wartościowego: 
 

 

 

N 

– W

z

 

 

360 

 

 

r 

= 

---------- 

x 

-------- 

x 

100% 

 

 

W

z

 

 

n 

 

 

 
r 

– stopa rentowności  

N 

– wartość nominalna papieru wartościowego 

W

z

 

– wartość zakupu 

n 

– liczba dni od daty zakupu/sprzedaży papieru do daty jego wykupu 

przez emitenta 
 
Koszt kredytu kupieckiego 
 

t

T

s

s

d









100

100

 

 
d 

– stopa odsetek w skali roku 

s 

– stopa skonta 

T 

– liczba dni w roku 

t 

–  liczba  dni  stanowiąca  różnicę  pomiędzy  terminem  płatności  go-

tówkowej i kredytowej 
 

s

s

d

d

d







100

100

 

d

s

 

– stopa dyskonta w skali rocznej 

d 

– stopa odsetek pobieranych jednorazowo z dołu w skali roku. 

 
W przypadku inwestycji dokonywanej n

a okres krótszy niż rok: 

 

t

d

d

d

o

o

365

100

100









 

 
d 

– roczna stopa procentowa 

d

o

 

– okresowa stopa dyskontowa 

t 

– liczba dni w okresie 

 

 

 

% skonta 

 

360 

Koszt kredytu kupieckiego 

= 

--------------------- 

x 

------------------------------------- 

 

 

100 - % skonta 

 

okres kredytu - okres skonta 

 

Obliczenie  obecnej  wartości  lokaty  przy  założonej  stopie  pro-
centowej w skali rocznej: 
 





















365

100

100

t

d

N

PV

 

 
PV 

– wartość obecna 

N 

– wartość nominalna 

d 

– wymagana stopa oprocentowania lokaty 

t 

– okres lokaty 

 
Cena s

przedaży obejmująca z góry założony koszt kredytu 

 





















365

100

100

t

d

K

S

 

 
S 

– cena sprzedaży obejmująca koszt kredytu kupieckiego 

K 

– cena sprzedaży bez kosztu kredytu kupieckiego 

d 

– oprocentowanie kredytu kupieckiego 

t 

– okres kredytowania odbiorcy 

 
Model Baumola 
 

C

TF

i



2

 

 
C - 

jednorazowo podejmowana kwota w zł, 

T - 

całkowita suma w zł podejmowana w rozpatrywanym okresie, 

F  - 

stały  koszt  dokonania  1  transakcji  (np.  prowizje  przy  sprzedaży 

papierów skarbowych), 
i - oprocentowanie lokaty, z k

tórej pobierana jest gotówka. 

 
 
 
 
 
Model Millera-Orra 
 

Z

F

i

LL





3

4

2

3



 

 
Z - 

optymalne saldo gotówkowe 

F - 

stały koszt jednej transakcji 

i - 

dzienne oprocentowanie lokaty, z której podejmuje się gotówkę 





 - 

wariancja (zmienność) dziennych wypłat gotówki 

 
 

4 

LL  - 

minimalne  dopuszczalne  saldo  gotówki  (ustalone  subiektywnie 

przez zarząd firmy) 
Maksymalny poziom gotówki: UL = 3Z - 2LL 
 
Ryzyko w decyzjach finansowych 
 
Odchylenie standardowe: 

 

















r

r

p

i

i

i

n

2

1

 

 

 

 

 

 

###

 - odchylenie standardowe 

ri - możliwy wynik 
r - 

wartość oczekiwana 

pi - prawdopodobieństwo wystąpienia danego wyniku 
Współczynnik zmienności (CV) 
 

 

 

σ 

CV 

= 

---------------------------- 

 

 

wartość oczekiwana 

 
Próg rentowności 

 

 

KS 

Próg rentowności

ilo

ściowo 

= 

---------------- 

 

 

Cj - KZj 

 
KS - 

koszty stałe 

Cj - jednostkowa cena zbytu 
KZj - 

koszt zmienny na jednostkę 

 

 

 

wielkość produkcji - BEP 

 

 

Margines bezpiecze

ństwa 

= 

-------------------------------- 

x 

100% 

 

 

wielkość produkcji 

 

 

 
Próg rentowności dla produkcji wieloasortymentowej 
 













c

q

kz

q

KS

BEP

1

 

 
q 

– wolumen sprzedaży 

c 

– cena sprzedaży 

KS 

– koszty stałe 

kz 

– jednostkowe koszy zmienne 

 
 
Dźwignia operacyjna i finansowa 
 

 

 

procentowa zmiana zysku operacyjnego 

dźwignia operacyjna 

= 

--------------------------------------------------- 

 

 

procentowa zmiana wielkości sprzedaży 

 

 

 

procentowa zmiana zysku na jedną akcję 

dźwignia finansowa 

= 

-------------------------------------------------------- 

 

 

procentowa zmiana zysku operacyjnego 

 

 

 

procentowa zmiana zysku na jedną akcję 

dźwignia całkowita 

= 

-------------------------------------------------------- 

 

 

procentowa zmiana wielkości sprzedaży 

 

dźwignia całkowita = dźwignia operacyjna x dźwignia finansowa 

 
dźwignia operacyjna = (sprzedaż – koszty zmienne)/zysk operacyjny 
 

 

 

Zysk netto + odsetki skorygowane 

Skorygowana rentowność aktywów (ROA 

skoryg.) 

= 

---------------------------------------------------------------------- 

 

 

Aktywa ogółem 

 
Dźwignia  finansowa  =  rentowność  kapitałów  własnych  (ROE)  – 
skorygowana ren

towność aktywów (ROA skoryg.) 

 
Skala dźwigni operacyjnej 
 

 

 

Przyrost zysku operacyjnego 

Skala dźwigni operacyjnej 

= 

--------------------------------------- 

 

 

Przyrost sprzedaży 

 

 

 

Sprzedaż w okresie wyjściowym – suma kosztów zmiennych w okresie wyj-

ściowym 

Skala dźwigni operacyjnej 

= 

----------------------------------------------------------------------------------- 

 

 

Zysk operacyjny w okresie wyjściowym 

 
Analiza (piramida) Du Ponta 
 

 

 

Zysk netto 

 

Sprze

daż 

 

Majątek 

ROE 

= 

-------------- 

x 

------------- 

x 

---------------------- 

 

 

Sprzedaż 

 

Majątek 

 

Kapitał własny 

 
 
Analiza wskaźników rynku kapitałowego 
 
Wskaźnik C/Z (cena/zysk) (P/E, PER) 
 

bieżąca cena rynkowa akcji 

------------------------------------------------------------------------ 

zysk po opodatkowaniu przypadający na jedną akcję 

 
Wskaźnik C/WK (cena/wartość księgowa) (P/BV) 
 

bieżąca cena rynkowa akcji 

--------------------------------------------------------------------------------------- 

wartość księgowa przedsiębiorstwa przypadająca na jedną akcję 

 
Stopa dywidendy (dividend yield) 
 

dywidenda przypadająca na jedną akcję 

------------------------------------------------------- 

bieżąca cena rynkowa akcji 

 
Stopa wypłaty dywidendy (payout ratio) 
 

d

ywidenda przypadająca na jedną akcję 

------------------------------------------------------- 

zysk netto przypadający na jedną akcję 

 
Wskaźnik C/PG (cena/przepływ gotówki) (P/CF) 
 

bieżąca cena rynkowa akcji 

---------------------------------------------------- 

zysk po opodatkowaniu + amortyzacja 

 
Formuła Fishera 
 
 
Wycena 
 
Ogólny wzór na wycenę metodami majątkowymi: 
 
Wartość przedsiębiorstwa = wartość aktywów – wartość zobowiązań 
 
Ogólny wzór na wycenę metodami dochodowymi: 
 
Wartość  przedsiębiorstwa  =  skapitalizowana  wartość  przyszłych 
dochodów 
 
Metoda  wartości  księgowej  (historyczna,  nominalna,  inicjalna, 
klasyczna, ewidencyjna) 
 
Wartość przedsiębiorstwa = bilansowa wartość aktywów – bilansowa 
wartość zobowiązań 
 
Metody majątkowe skorygowane 
 
Wartość przedsięb. = skorygowana wartość aktywów – skorygowana 
wartość zobowiązań 
 
Metoda wartości odtworzeniowej 
 









m

f

OB

ON

Z

Z

W

W











1

1

 

 
W

ON

 

–  wartość  odtworzeniwa  netto  (wartość  środka  trwałego  z 

uwzględnieniem jego zużycia fizycznego i moralnego 

%

100

1

inflacji

stopa 

1

procentowa

stopa 

nominalna 

1

procentowa

stopa 

realna 























 
 

5 

W

OB

 

–  wartość  odtworzeniowa  brutto  (wartość  nowego  środka  trwa-

łego) 
Z

f

 

– wskaźnik zużycia fizycznego (Z

f

 

≥ 0) 

Z

m

 

– wskaźnik zużycia moralnego (Z

m

 

≤ 1) 

 
Szczegółowe formuły oceny zużycia fizycznego środka trwałego 
 
 
Dla środków trwałych, które nie przechodziły remontu kapitalnego: 
 

















ZN

P

f

t

t

Z

1

 

 

W

ZN

P

t

t

t





 

 
Dla środków trwałych, które przechodziły remont kapitalny: 
 

















ZU

P

f

t

t

Z

1

 

 

W

ZU

P

t

t

t





 

t

ZN

 

– czas życia środka trwałego, który nie przechodził remontu kapi-

talnego 
t

ZN

 

–  czas  życia  środka  trwałego,  który  przechodził  remont  kapitalny 

(od  roku  remontu  kapitalnego  do  roku  spodziewanego  wycofania  z 
eksploatacji) 
t

W

 

–  czas  życia  wykorzystany,  tj.  czas  przepracowany  przez  dany 

środek trwały (od nowości lub remontu kapitalnego) 
t

P

 

– czas życia pozostały 

 
Szczegółowe formuły oceny zużycia moralnego środka trwałego 
 



















p

m

m

t

t

Z

1

 

 
t

m

 

–  czas  pożądanego  wycofania  środka  trwałego  z  eksploatacji  ze 

względu na utratę nowoczesności 
 
1) Jeżeli nie ma potrzeby wycofania środka trwałego z użytkowania w 
czasie pozostałym t

P

 

i zastąpienia go bardziej nowoczesnym: 

 
t

m

 = t

ZN

 

– t

W

  , albo: t

m

 = t

ZU

 

– t

W

   

 
2) Jeżeli istnieje bezwzględna potrzeba natychmiastowego wycofania 
środka  trwałego  z  użytkowania  i  zastąpienia  go  innym,  bardziej 
nowoczesnym, to: 
 
t

m

 = 0 

 
3)  Jeżeli  w  czasie  życia  pozostałym  (t

P

)  istnieje  potrzeba  wycofania 

środka  trwałego  z  użytkowania  i  zastąpienia  go  innym,  bardziej 
nowoczesnym, ale w praktyce nie musi następować wycofanie: 
 
t

m

 

≤ t

ZN

 

– t

W

  , albo: t

m

 

≤ t

ZU

 

– t

W

   

 
Metod

a wartości likwidacyjnej 

 

K

P

D

C

W

n

i

ri

L













1

 

 
W

L

 

– wartość likwidacyjna przedsiębiorstwa 

n 

– liczba składników majątkowych możliwych do upłynnienia 

i 

– numer kolejnego składnika majątku 

C

ri

 

–  hipotetyczna  cena  (wartość  upłynnienia)  możliwa  do  uzyskania 

ze sprzedaży składnika majątku o numerze i 
D 

– zobowiązania przedsiębiorstwa 

P 

– szacunkowe przychody powstałe w wyniku likwidacji 

K 

– szacunkowe koszty powstałe w wyniku likwidacji 

 
Metoda  ogólnej  siły  nabywczej  pieniądza  (ogólnego  poziomu 
cen) 

 
W = ws

półczynnik przeliczeniowy, 

i

j 

= wartość indeksu w j-tym okresie, 

i

n

 

= wartość indeksu w roku nabycia składnika aktywów 

 
Metoda skapitalizowanego zysku 
 

r

Z

W

n

d



 

 
W

d

 

– wartość dochodowa przedsiębiorstwa 

Z

n

 

– średni roczny prognozowany zysk netto 

r 

– założona stopa kapitalizacji dochodu 

1/r 

– pożądany okres zwrotu kapitału (w latach) 

 
Metoda  wyceny  na  podstawie  dywidendy  w  oparciu  o  model 
stałego wzrostu dywidendy 
 

 
U = wartość akcji przedsiębiorstwa 
D = wartość dywidendy przypadającej na jedną akcję 
Y = wymagana stopa zwrotu 

W = założona stopa wzrostu wartości dywidendy 
 
Metoda zdyskontowanych przepływów pieniężnych (Discounted 
Cash Flows - DCF) 
 





















n

t

n

n

n

n

n

t

t

d

Z

a

M

a

RV

a

NCF

a

W

1

 

 
W

d

 

– wartość dochodowa 

t 

– rok analizy 

a

t

 

– współczynnik dyskontujący dla roku t 

NCF

t

 

– przepływy pieniężne netto dla roku t 

RV 

– wartość rezydualna 

M

n

 

– wartość majątku nie generującego dochodu (nieprodukcyjnego) 

(metodą majątkową, rynkową) 
Z

n

 

– zadłużenie długoterminowe w roku n (ostatnim) 

 

d

NCF

RV

n



 

 

s

i

r

d







 

 
d 

– stopa dyskonta 

r 

– stopa procentowa uzyskiwana z inwestycji nieryzykownych (real-

na) 
i 

– stopa inflacji dla jednostek gospodarczych 

s 

– premia za ryzyko działalności gospodarczej 

 
Obliczanie wartości dochodowej na podstawie zysku netto 
 













1

1

1

1

























q

r

r

Zn

r

Zn

W

n

n

n

t

t

t

d

 

 
Zn

t

 

– zyski netto w kolejnych latach 

r 

– stopa dyskonta 

t 

– kolejny rok prognozy 

Zn

n

 

– zysk netto w ostatnim roku prognozy 

q 

– stała stopa wzrostu przedsiębiorstwa po okresie prognozy 

 
Metody oparte na zysku ekonomicznym 
 

Wolne prze

pływy gotówkowe = NOPLAT – Inwestycje netto 

Zysk ekonomiczny = Zainwestowany kapitał x (ROIC – WACC), 

 
ROIC  (Return  on  Invested  Capital)  =  NOPLAT/zainwestowany 
kapitał. 
NOPLAT = Net Operating Profit Less Adjusted Taxes =  Zysk  opera-
cyjny  netto  minus  skorygo

wane  obciążenia  podatkowe  (podatek 

zostaje ujęty w wysokości rzeczywiście uiszczonej).)  
WACC  = Weighted  Avarage  Cost  of  Capital  =  średni  ważony  koszt 
kapita

łu. 

n

j

i

i

W



W

Y

D

U





 
 

6 

 

Wartość firmy = zainwestowany kapitał + bieżąca wartość prognoz. 

zysku ekonomicznego 

Metoda fazowa 
 
Czas  przewidywanych  zdolności  jednostki  gospodarczej  do  genero-
wania dochodów: 
 

n = t

0

 

– t

u

 

 
n = okres planowanego użytkowania środka trwałego, 
t

0

 

= okres obrotu majątku trwałego, 

t

u

 

= okres dotychczasowego użytkowania. 

 
Okres obrotu majątku trwałego: 

 
r = stopa dyskontowa, 
s = przeciętna stopa amortyzacji majątku trwałego. 
 
Metoda Millera-Modiglianiego 
 
Wartość firmy = Wartość aktywów + Wartość potencjału wzrostu = 
 

NOPLAT 

= 

Net Operating Profit  Less  Adjusted Taxes = Zysk  operacyjny  netto  minus skor

ygowane  obciążenia  podat-

kowe (podatek ujęty w wysokości rzeczywiście uiszczonej). 

WACC 

= 

Weigthed Average Cost of Capital = Średni ważony koszt kapitału. 

ROIC 

= 

Return on Invested Capital = Stopa zwrotu z zainwestowanego kapitału (NOPLAT/zainwestowany kapitał). 

K 

= 

Stopa inwestycji, czyli odsetek NOPLAT inwestowany w nowe przedsięwzięcia w celu osiągnięcia wzrostu. 

N 

= 

Spodziewana liczba lat, w czasie których przedsiębiorstwo będzie inwestować w nowe projekty i uzyskiwać 
oczekiwaną stopę zwrotu ROIC, zwana także okresem przewagi konkurencyjnej. 

 
Metoda oparta na aktywach i stopie pomnażania wartości 
 
Wskaźnik tempa pomnażania wartości r: 

 
Wo = wartość księgowa majątku przedsiębiorstwa na początku roku, 
W

1

 

= wartość majątku przedsiębiorstwa na koniec roku, 



W = przyrost majątku w wyniku skapitalizowania dochodu osiągnię-

tego w danym roku. 
 
Jeżeli  przedsiębiorstwo  pomnaża  majątek  w  tempie  r,  wartość  jego 
majątku po n latach: 

W

n

 

= wartość majątku własnego po n latach, 

Wo = wartość księgowa majątku przedsiębiorstwa na początku roku, 
r = tempo pomnażania wartości, 
n = liczba okresów. 
 
W celu uzyskania lepszego przybliżenia: 

 
W

n

 

= wartość majątku własnego po n latach, 

Wo = wartość księgowa majątku przedsiębiorstwa na początku roku, 
r = tempo pomnażania wartości, 
n = liczba okresów. 
e = stała Eulera. 
Formułę  tę  wykorzystuje  się  do  obliczenia  stopy  pomnażania  warto-
ści r: 

W

n

 

= wartość majątku własnego po n latach, 

Wo = wartość księgowa majątku przedsiębiorstwa na początku roku, 
n = liczba okresów, 
ln = logarytm naturalny. 
 

Aby ją sprowadzić do wartości obecnej W: 

W

n

 

= wartość majątku własnego po n latach, 

n = liczba okresów, 
s = stopa dyskontowa, 
e = stała Eulera. 
 
Metoda  z  zyskiem  dodatkowym  (metoda  oparta  na  wycenie 
majątku  powiększonej  o  wartość  generowanej  nadzwyczajnej 
nadwyżki  finansowej,  metoda  UEC  –  Union  Europenne  des 
Experts Comptables, Econimiques et Financieres) 
 





t

n

t

nz

t

n

g

r

Z

W

W













1

1

 

 
W

g

 

– ogólna wartość przedsiębiorstwa 

W

n

 

– wartość majątku netto 

Z

t

nz

 

– zysk nadzwyczajny w okresie t 

r 

– stopa dyskonta 

 

Lub inny wzór: 

 
W

M

 

– wartość metodą majątkową 

W

D

 

– wartość metodą dochodową 

k

T

 

– stopa dyskontowa (koszt kapitału) 

n 

– długość okresu występowania ponadprzeciętnych zysków 

 
Metoda  wartości  średniej  (metoda  Schmalenbacha,  metoda 
berlińska, metoda niemiecka) 
 

V = wartość średnia przedsiębiorstwa 
W

M

 

= wartość majątku przedsiębiorstwa 

W

D

 

=  wartość  dochodowa  przedsiębiorstwa  odpowiadająca  rencie 

wieczystej (zysk roczny/koszt kapi

tału) 

 
Metody  mnożnikowe,  wyceny  wielokrotnej  ,  wyceny  złożonej, 
metody mnożnika rynkowego (market multiple) 
 
Mnożnik cenowo-dochodowy – wskaźnik C/Z (P/E) 
 

Wartość przedsiębiorstwa = Zysk x wskaźnik C/Z 

 
Odwrotność  stopy  dywidendy  (stopa  dywidendy  =  dywiden-
da/wartość rynkowa przedsiębiorstwa) 
 

Wartość przedsiębiorstwa = dywidenda x odwrotność stopy dywiden-

dy 

 
Wskaźnik C/PG (cena/przepływ gotówki) (P/CF) 
 

Przepływ gotówki = zysk + amortyzacja 

 

Wartość przedsiębiorstwa = przepływ gotówki x wskaźnik C/PG 

 
Wskaźnik C/WK (cena/wartość księgowa) (P/BV) 
 

Wartość przedsiębiorstwa = wartość księgowa przedsiębiorstwa x 

wska

źnik C/WK 

 
Mnożnik kapitału własnego (kapitał własny/przepływ gotówki) 
 

Wartość przedsiębiorstwa = przepływ gotówki x mnożnik kapitału 

własnego 

 
Metoda  transakcji  porównywalnych  (metoda  porównań  rynko-
wych) 
 





























)

1

(

)

(

WACC

WACC

WACC

ROIC

N

NOPLAT

K

WACC

NOPLAT





r

s

r

t













 



1

log

1

log

0

0

0

0

1

W

W

W

W

W

r













n

n

r

W

W





1

0

rn

n

e

W

W

0



0

ln

1

W

W

n

r

n



sn

n

e

W

W









M

D

n

T

M

W

W

k

W

V







































1

1

1

2

D

M

W

W

V





 
 

7 

n

c

c

c

W

n

R









...

2

1

 

 
W

R

 

– wartość rynkowa przedsiębiorstwa 

c

1

, c

2

, ..., c

n

 

– znane ceny rynkowe podobnych przedsiębiorstw 

n 

– liczba porównywanych przedsiębiorstw 

 













n

i

i

n

i

i

P

c

R

R

P

W

1

1

 

 
P

R

 

– zdolność produkcyjna (wielkość sprzedaży, nadwyżki finanso-

wej, zysku) wycenianego przedsi

ębiorstwa 

P

i

 - 

zdolność produkcyjna (wielkość sprzedaży, nadwyżki finansowej, 

zysku) przedsiębiorstwa wybranego jako baza porównawcza 
 





f

S

R

R

Z

C

P

W









1

 

 
C

S

 

– średnia cena transakcyjna za jednostkę zdolności produkcyj-

nych podobnych pr

zedsiębiorstw przy założeniu 0% zużycia fizycz-

nego 
Z

f

 

– zużycie fizyczne wycenianego przedsiębiorstwa 

 
Ustalenie wyniku końcowego wyceny 
 
Jeżeli wyniki wyceny uzyskane różnymi metodami różnią się nie-
znacznie (do 25%), można wyciągnąć średnią arytmetyczną lub 
ważoną: 
 

3

R

D

M

W

p







 

 
lub: 

6

3

2

R

D

M

W

p











 

 
Wp 

– wartość przedsiębiorstwa 

M 

– wartość wyceny metodą majątkową 

D 

– wartość wyceny metodą dochodową 

R 

– wartość wyceny metodą rynkową 

 
 
 
 
 
 
 
 

Zarządzanie walutami obcymi 
 
Wzór Fishera: 
 
 

 

 

 

     1 + iA   

iA - stopa 

inflacji w kraju A 
kurs przyszły A/B = kurs dnia A/B x -------- 
 

 

 

 

     1 + iB   

iB - stopa 

inflacji w kraju B 
 
 

 

 

 

     1 + sA  

sA 

- 

stopa procentowa w kraju A 
kurs przyszły A/B = kurs dnia A/B x -------- 
 

 

 

 

     1 + sB  

sB 

- 

stopa procentowa w kraju B 
 
Teoria Fishera 
 
1 + sA 

 

 

 

 

 

     

 

       1 + iA 

--------- 

x kurs dnia A/B = kurs przyszły A/B = kurs dnia A/B x -------- 

1 + sB 

 

 

 

 

 

 

       1 + iB 

 
Premia lub dyskonto z terminowej transakcji walutowej: 
 
 

 

kurs terminowy - kurs dnia 

 

12 

 

 

premia (dyskonto) 

= 

------------------------------------ 

x 

------------------------------- 

x 

100% 

 

 

kurs dnia 

 

liczba miesięcy w roku 

 

 

 
Zamiana  stóp  procentowych  (interest  rates  swaps),  kwotowe  ko-
rzyści z zamiany: 
 
roczna 
ko

rzyść 

netto 

 
= 

 
w

artość kredytu 

 
x 

(oprocentowanie 
unikni

ętego 

kredytu 

 
- 

oprocentowanie 
kredytu 
swapowego) 

 
Teoretyczna wartość warrantu: 
 
TWW = (Po - E) x N 
 
Po - 

bieżąca cena rynkowa 1 akcji 

E - 

cena akcji, po której mogą one być nabyte za pomocą warrantu 

N - liczba ak

cji, do zakupu których uprawnia warrant 

 
Teoretyczna wartość prawa poboru: 
 

 

 

Przyrost kapitału 

Liczba nowych akcji 

= 

---------------------------- 

 

 

Oferowana cena akcji 

 

 

 

Liczba starych akcji 

Liczba praw nie

zbędnych do zakupu jednej akcji 

= 

---------------------------- 

 

 

Liczba nowych akcji 

 

 

 

rynkowa wartość akcji - cena emisyjna akcji 

TWPP 

= 

--------------------------------------------------------------------- 

 

 

liczba praw niezbędnych do zakupu jednej akcji + 1