1
CHAOS I ZJAWISKA NIELINIOWE
Cel ćwiczenia:
- charakterystyka i opis procesów chaotycznych zachodzących w przyrodzie
- wprowadzenie modeli chaosu
- zapoznanie się z geometrią fraktalną i jej różnymi zastosowaniami
Zagadnienia do przygotowania:
1. Podstawy teorii chaosu (charakterystyka zjawisk chaotycznych)
2. Przestrzeń fazowa, atraktory
3. Fraktale (definicja, charakterystyka, przykłady)
4. Pojęcie wymiaru, wymiar fraktalny
5. Procedura iteracyjna, diagram bifurkacyjny
6. Struktury dyssypatywne
Chaos deterministyczny
Chaos to nieregularna i nieprzewidywalna ewolucja układów nieliniowych. Pojęcie chaosu
deterministycznego jest bardzo ważne dla zrozumienia wielu zjawisk zachodzących w przyrodzie,
które tylko pozornie wydają się być całkowicie stochastyczne, czyli przypadkowe,
podporządkowane wyłącznie prawom statystycznym. Jedną z ważniejszych cech układów
chaotycznych jest to, że nie powtarzają one swoich poprzednich zachowań i charakteryzują się dużą
wrażliwością na warunki początkowe. Układy chaotyczne, choć nieregularne i nieprzewidywalne, są
jednak deterministyczne (nie zawierają żadnych elementów prawdopodobieństwa) i dadzą się opisać
klasycznymi równaniami fizyki. Znanym układem, w którym pojawia się chaos deterministyczny
jest stosunkowo prosty układ trzech ciał – trajektorie fazowe ich ruchu wykazują powyżej pewnej
krytycznej wartości całkowitej energii układu przebieg chaotyczny i nie da się przewidzieć ich
przebiegu. Równań ruchu układów chaotycznych nie można rozwiązać w sposób ścisły, tylko
polegać trzeba na przybliżonych metodach numerycznych.
Atraktor
Atraktor to wyróżniony podzbiór możliwych stanów układu, do którego niezależnie od warunków
początkowych zmierza ewolucja układu. Najprostszym przykładem atraktora jest punkt – np. dla
2
ruchu wahadła, które niezależnie od początkowego wychylenia i prędkości właśnie w punkcie
znajdzie swoje położenie równowagi. Atraktory mogą jednak posiadać złożoną strukturę, jak np.
tzw. dziwne atraktory, które są skomplikowanymi i czułymi na warunki początkowe trajektoriami
ruchu rozwijającymi się w przestrzeni fazowej o wymiarze większym od 2. Pojęcie dziwnego
atraktora wiąże się z pochodzącymi z lat 60-tych XX w próbami komputerowego prognozowania
pogody prowadzonymi przez Edwarda Lorentza. Badał on numerycznie układ nieliniowych równań
opisujących konwekcję cieczy i zaobserwował nieprzewidywalność ich rozwiązań. Przebieg tych
rozwiązań w postaci trajektorii w przestrzeni fazowej wskazuje, że dążą one i pozostają w
ograniczonym obszarze przestrzeni fazowej, zwanym atraktorem Lorentza. Dziwny atraktor jest
fraktalem.
Fraktale i wymiar fraktalny
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) to samopodobny obiekt geometryczny o wymiarze
niecałkowitym. Nie można go opisać inaczej niż przez podanie procedury iteracyjnej czyli
powtarzanego w nieskończoność przekształcenia. Wymiar fraktalny jest miarą złożoności obiektu,
ujmuje w sposób liczbowy, w jakim stopniu obiekt wypełnia przestrzeń, w której jest zdefiniowany.
Może być mierzony na wiele sposobów, np. metodą zliczania kwadratów.
Iteracje
Iteracja (złożenie funkcji) to wielokrotne działanie tą samą funkcją na punkt początkowy w taki
sposób, że wynik poprzedniego działania staje się argumentem dla kolejnego. W trakcie iterowania
różnych funkcji mogą pojawić się pewne prawidłowości, np. wytworzenie cykli, bifurkacje, a dla
pewnych wartości analizowanego parametru może również pojawić się chaos.
Struktury dyssypatywne
W układach nieliniowych otwartych, dalekich od stanu równowagi, mogą powstawać stabilne i
uporządkowane struktury. Ponieważ istnienie ich związane jest ze stałym zużywaniem (dyssypacją)
energii, nazwano je strukturami dyssypatywnymi. Zjawiska takie znane są w chemii, biochemii,
hydrodynamice i mechanice. Przykładem mogą być reakcje chemiczne w układach otwartych
zachodzące w sposób uporządkowany w czasie i przestrzeni, takie jak reakcja Biełousowa -
Żabotyńskiego (por. ćwiczenie “Reakcje oscylacyjne”).
Aby struktury dyssypatywne mogły powstać, muszą być spełnione pewne warunki:
3
a. układ musi być daleki od stanu równowagi
b. w
układzie musi znajdować się pętla sprzężenia zwrotnego
c. układ musi być bistabilny, co oznacza, że w tych samych warunkach zewnętrznych możliwe
są dwa różne, stabilne stany stacjonarne.
Pojawienie się dwóch jednakowo prawdopodobnych stanów stacjonarnych nazywamy bifurkacją.
Przebieg ćwiczenia:
1. Część seminaryjna:
Dyskusja na temat chaosu deterministycznego i zjawisk nieliniowych w oparciu o podaną literaturę i
informacje zawarte w skrypcie.
2. Kolokwium
3. Część praktyczna:
a) matematyczny model powstawania chaosu – analiza wyników iteracji prostej funkcji
kwadratowej:
y = 4λx (1-x)
w zależności od parametru λ i wartości początkowej x.
Ćwiczenie do wykonania na programowalnym kalkulatorze.
b) Wyznaczanie wymiaru fraktalnego różnych obiektów metodą zliczania kwadratów z użyciem
programów komputerowych: BCMet (Box-Counting Method) i HarFA (Harmonic and Fractal Image
Analyzer).
c) Generowanie fraktali i obserwacja ich samopodobieństwa z użyciem programów komputerowych:
KWR (Kopiarka Wielokrotnie Redukująca) i FRACTINT.
d) Generowanie chaosu w prostym układzie elektronicznym: opornik-cewka-dioda (schemat 1).
Obserwacja pojawiania się kolejnych bifurkacji na ekranie oscyloskopu.
Literatura podstawowa
1. A. Górski „Indeterminizm, chaos i zjawiska nieliniowe”, Problemy, 8, 1985, s. 14-18,
2. G.L. Baker, J.P. Gollub „Wstęp do dynamiki układów chaotycznych”, PWN, Warszawa, 1998, s.
11-13,
3. T. Martyn „Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji”, Wyd. Nakom, Poznań, 1996, s. 1-9,
Literatura uzupełniająca
4
4. M. Orlik „Reakcje oscylacyjne porządek i chaos”, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1996,
s. 265-271 i 290-298,
5. J. Kudrewicz „Fraktale i chaos”, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1996, wydanie trzecie,
6. D. Smith "Jak wygenerować chaos domowym sposobem?", Świat Nauki, marzec 1992.
Proponowane teksty są dostępne w teczkach w Bibliotece WBBiB.
Dodatek
Schemat ideowy układu do generacji chaosu w oparciu o literaturę (6), zmodyfikowany i wykonany
przez inż. Jana Wronkę i inż. Jerzego Gajdzińskiego.