Dla belki przedstwionej na rysunku i obciąŜonej w podany sposób wyznaczyć ugięcie i jej kąt
obrotu
gdy:
a=500 mm
q
1
= 1 N/mm
M
1
= 0.4q
1
a
2
= 100000 Nmm
Po uwolnieniu od więzów, moŜemy napisać warunki równowagi
ΣM
iA
= + M
1
+ q
1
2aa - R
B
2a = 0
ΣM
iB
= + M
1
- q
1
2aa + R
Ay
2a = 0
Wyznaczone reakcje z powyŜszego układu równań wynoszą:
R
Ay
= 0.8 q
1
a = 400
N,
R
B
= 1.2 q
1
a = 600
N
Równanie róŜniczkowe ugięcia belki, oraz kolejne całkowania tego równania zapisz w
następującej postaci
EJ
z
d
2
y
=
+ R
Ay
x -
q
1
x
2
+ R
B
(x-2a) +
q
1
(x-2a)
2
dx
2
2
2
EJ
z
dy
=
C +
R
Ay
x
2
-
q
1
x
3
+
R
B
(x-2a)
2
+
q
1
(x-2a)
3
dx
2
6
2
6
EJ
z
y = D + Cx +
R
Ay
x
3
-
q
1
x
4
+
R
B
(x-2a)
3
+
q
1
(x-2a)
4
6
24
6
24
0 < x < 2 a
2 a < x < 3 a
Do wyznaczenia stałych całkowania wykorzystaj warunki brzegowe
podpora A to x=0 (występuje w przedziale 1) ugięcie w niej wynosi y=0. Ten warunek moŜna
opisać równaniem:
EJ
z
0 = D
+ C0 + R
Ay
(0)
3
- q
1
(0)
4
6
24
0 < x < 2 a
podpora B to x=2a (występuje w przedziale 1) ugięcie w niej wynosi y=0. Ten warunek moŜna
opisać równaniem:
EJ
z
0 = D + C2a +
R
Ay
(2a)
3
-
q
1
(2a)
4
6
24
0 < x < 2 a
Z ostatnich dwu równań wyznaczasz stałe całkowania D=0 i C=-0.2q
1
a
3
Teraz równanie ugięcia belki wygląda następująco:
y =
1
+ -0.200q
1
a
3
x +
R
Ay
x
3
-
q
1
x
4
+
R
B
(x-2a)
3
+
q
1
(x-2a)
4
EJ
z
6
24
6
24
0 < x < 2 a
2 a < x < 3 a
a równanie katów obrotu:
dy
=
1
-0.200q
1
a
3
+
R
Ay
x
2
-
q
1
x
3
+
R
B
(x-2a)
2
+
q
1
(x-2a)
3
dx
EJ
z
2
6
2
6
0 < x < 2 a
2 a < x < 3 a
ugięcia dla x=500, 1500 mm.
x=a
(x=500)
to przedział 1 ugięcie wynosi zatem
y
x=1a
=
1
+ -0.200q
1
a
3
a +
R
Ay
(a)
3
-
q
1
(a)
4
= -0.108
q
1
a
4
EJ
z
6
24
EJ
z
0 < x < 2 a
x=3a
(x=1500)
to przedział 2 ugięcie wynosi zatem
y
x=3a
=
1
+
-0.200q
1
a
3
3a
+
R
Ay
(3a)
3
-
q
1
(3a)
4
+
R
B
(3a-2a)
3
+
q
1
(3a-2a)
4
= -0.133
q
1
a
4
EJ
z
6
24
6
24
EJ
z
2 a < x < 3 a
katy obrotu dla x=500, 1500 mm.
x=a
(x=500)
to przedział 1 ugięcie wynosi zatem
dy
x=1a
=
1
-0.200q
1
a
3
+
R
Ay
(a)
2
-
q
1
(a)
3
= 0.033
q
1
a
3
dx
EJ
z
2
6
EJ
z
0 < x < 2 a
x=3a
(x=1500)
to przedział 2 ugięcie wynosi zatem
dy
x=3a
=
1
-0.200q
1
a
3
+
R
Ay
(3a)
2
-
q
1
(3a)
3
+
R
B
(3a-2a)
2
+
q
1
(3a-2a)
3
= -0.333
q
1
a
3
dx
EJ
z
2
6
2
6
EJ
z
2 a < x < 3 a
maksymalne ugięcie belki f
max
=0.006 (-0.133)
q
1
a
4
EJ
z
Ugięcie jak i kąt obrotu belki moŜemy obliczyć w dowolnym jej punkcie, a te wyniki
przedstawić na wykresach poniŜej
©2009-2010 SoM. All Rights Reserved.