ĆWICZENIE nr 3

Z PODSTAW METROLOGII I TECHNIKI EKSPERYMENTU

TEMAT: METODA PODSTAWOWA POMIARU NA PRZYKŁADZIE 

WYZNACZANA GĘSTOŚCI. BŁĘDY W METODZIE POŚREDNIEJ.

1. CEL ĆWICZENIA

Podstawowym celem ćwiczenia jest określenie gęstości wybranej cieczy manometrycznej
(denaturat) i gęstości nasypowej pyłu (piasek) oraz przeprowadzenie analizy niepewności
uzyskanych na drodze pomiaru wyników.

2. WSTĘPNE WIADOMOŚCI

Metody pomiarowe to sposób wykorzystania zjawisk fizycznych i środków pomiarowych
w celu uzyskania poprawnego wyniku (pomiaru). Ze względu na występowanie różnych
układów, o różnych zasadach działania, metody pomiarowe można klasyfikować w
różnorodny sposób [1, 2].

Metody, ze względu na sposób otrzymywania wyniku pomiaru, dzielą się na:

 

• Podstawowe (bezwzględne), kiedy wartość wielkości mierzonej wyznaczana jest na podstawie 

równania definicyjnego tej wielkości, przykładowo ciśnienie jako siła działająca na jednostkę 
powierzchni: p=F/A. W celu wyznaczenia wartości ciśnienia należy dokonać pomiaru siły F i 
powierzchni na jaką ona oddziaływuje A, co realizowane jest za pomocą manometrów tłokowych.

 

• Porównawcze, kiedy wartość wielkości mierzonej otrzymuje się przez porównanie z inną 

wartością tej samej wielkości, należącą do zbioru znanych wartości (np. pomiar masy z 
wykorzystaniem wagi szalkowej i kompletu odważników).

Metody, ze względu na sposób wyznaczanie wartości mierzonej, dzielą się na:

 

• Bezpośrednie, kiedy w wyniku pomiaru uzyskuje się wprost wartość badanej wielkości, np. 

pomiar napięcia woltomierzem, pomiar masy wagą elektroniczną itp.

 

• Pośrednie, kiedy wartość wielkości mierzonej jest funkcją innych wielkości fizycznych 

mierzonych bezpośrednio. Wartość wielkości mierzonej wyznacza się po wykonaniu określonych 
działań matematycznych, np. pomiar gęstości cieczy na podstawie masy i objętości, pomiar 
ciśnienia manometrami cieczowymi.

Gęstość (masa właściwa) to stały, charakterystyczny dla każdego materiału (ciała stałego, cieczy 
i gazu) stosunek masy m ciała do jego objętości V, oznaczany jest on zwykle grecką literą 

 

ρ („ro”):

ρ= m/V (1)

Jednostką gęstości jest kilogram na metr sześcienny (kg/m

3

). Gęstość wyraża więc liczbowo,

ile kilogramów ma masa jednego metra sześciennego danego materiału.
Gęstość to parametr fizyczny o bardzo istotnym znaczeniu w wielu dziedzinach techniki.
Gęstość różnych gazów w stosunku do powietrza powoduje, że balon napełniony helem unosi
się do góry, natomiast gaz propan-butan zalega w zagłębieniach terenu stwarzając 
niebezpieczeństwo wybuchu lub zatrucia ludzi. 
Różna gęstość cieczy manometrycznych umożliwia budowanie manometrów cieczowych o 
różnych zakresach pomiarowych oraz powoduje, że w manometrze dwucieczowym nie następuje 
mieszanie tych cieczy. W przypadku pyłów należy rozróżnić dwa pojęcia:

 

• Gęstość rzeczywista 

ρ

r 

(tzw. piknometryczna) opisująca gęstość ziaren pyłu, bez uwzględniania 

zawartego pomiędzy nimi powietrza, wyznaczana np. za pomocą piknometrów. Jest to wielkość 
mająca znaczenie przy analizie zjawisk związanych z ruchem poszczególnych cząstek pyłu, 
decydująca np. o możliwości odpylania cząstek o danej wielkości.

 

• Gęstość nasypowa 

ρ

n 

warstwy pyłu; to wielkość uwzględniająca fakt obecności pomiędzy 

ziarnami pyłu powietrza (lub innego gazu). Gęstość nasypowa ma znaczenie przykładowo przy 
składowaniu materiałów sypkich, a także w zagadnieniach transportu pyłów za pomocą 
przenośników mechanicznych, gdzie mamy do czynienia nie z poszczególnymi cząstkami pyłu lecz 
z jego warstwą. Gęstość rzeczywista jest oczywiście większa od gęstości nasypowej dla tego 
samego pyłu, natomiast wartość tej różnicy zależy przede wszystkim od sposobu nasypania 
warstwy pyłu.
Przykładowo dla popiołów lotnych 

ρ

r

≈2000 kg/m

3

, a 

ρ

n

≈1000 kg/m

3

.

3. POMIARY I OBLICZENIA
a) dotyczące denaturatu

M

d

 = 1/n Σ M

i

M

d 

= 489,36/6=81,56 g

Średnia masa 100 ml denaturatu wynosi 81,56 g więc masa 1 ml = 1 cm

3

 wynosi 

81,56 g / 100 cm

3

 =0,8156 g/cm

3 

zważona więc średnia gęstość denaturatu w przybliżeniu wynosi 

1

88,55

170,00

81,45

0,11

2

88,45

169,80

81,35

0,21

3

88,38

169,93

81,55

0,01

4

88,42

170,16

81,74

-0,18

5

88,38

170,13

81,75

-0,19

6

88,48

170,00

81,52

0,04

Σ

489,36

0,82 g/cm

3

.

Gestość (masa właściwa):

ρ = 81,56 g / 100 cm

3

 ≈ 0,82 g /cm

3

Należy uwzględnić błędy, które mogą mieć wpływ na pomiar i uzyskany wynik.
Pomiar temperatury, pomiar wagi naczynia, w którym ważyliśmy denaturat oraz pomiar wagi 
naczynia z denaturatem, a także pomiar objętości denaturatu:

u 



=





u  m

m



2



uV 

V



2

Niepewność standardowa przyrządu pmiarowego (termometru):

δX= ΔX

t

 / √3 =1/ √3= 0,58 ͦ C

Należy przyjąć, że temperatura w pomieszczeniu wynosiła 20 ͦ C ± 0,58 ͦ C
Czyli zakres temperatur 19,42 ͦ C do 20,58 ͦ C.
Ponieważ nie posiadam tabeli zależności gęstości denaturatu od temperatury. Gęstość denaturatu 
podawana jest zazwyczaj w temperaturach  20 ͦ C lub  22 ͦ C.
Sugerujemy, że tak nikła niepewność standardowa pomiaru temperatury w pomieszczeniu nie 
wywiera istotnego wpływu na mierzoną wartość.

Niepewność standardowa przyrządu pomiarowego cylindra miarowego (menzurki):

U

B

(V)= ΔV / √3 =1 ml /√3=0,58 ml

Przyjmujemy, ze zmierzona ilość denaturatu wynosiła 100 ml ± 0,58 ml.
Zakres wynosi 99,42 do 100,58 ml.

Masa zlewki nie ma bezpośredniego wpływu na pomiar wagi denaturatu, ponieważ ważyliśmy 
pustą zlewkę. Następnie z denaturatem i wagę pustej zlewki odejmowalśmy od wagi zlewki z 
denaturatem. Jednak na pomiar wagi denaturatu ma wpływ niepewność pomiaru wagi pustej zlewki.
Ponieważ używaliśmy trzech różnych zlewek o różnych wagach, nie możemy więc obliczyć 
średniej wagi zlewek. Ograniczymy się więc do obliczenia niepewności pomiaru przyrządu 
pomiarowego (wagi). Przyjmując, że niepewność standardowa jest typu B, ponieważ do pomiaru 
ważymy zlewkę dwukrotnie (raz pustą, drugi raz z denaturatem). Należy wiec niepewność pomiaru 
wagi zlewki pomnożyć razy dwa.

u

B

(g)= Δg /√3 = 0,01/√3= (5,77*10

-3

 g) *2=1,15*10

-2

 g

Liczymy odchylenie standardowe pojedyńczego wyniku pomiaru masy denaturatu:

σ = √( ∑(M

i

 - M)

2

)/ N-1

σ = √0,13/5 = 0,16 g

Liczymy niepewność standardową pomiaru masy denaturatu dla średniej z serii (metoda typu A):

u(X)= √( ∑(X

i

 - X)

2

)/ n(n-1)

u(X)= √0,14/30=0,07

Wyznaczamy przedział ufności P(M - t

qm 

σ< M< M+ t

qm

σ)=

∝

przyjmujemy, że za  ∝ =0,95, a wartość współczynnika t

qm

 odczytujemy z tabeli rozkładu 

studenta dla parametrów: q=1- ∝ =0,05 oraz m=N-1=5

t

qm

=2,571

M-t

qm

σ=0,8156-(2,517*0,16*10

-3

)=0,815 g/cm

3

M+t

qm

σ=0,8156+(2,517*0,16*10

-3

)=0,816 g/cm

3

Z tabeli stężeń i gęstości alkofolu etylowego możemy odczytać, że użyty w ćwiczeniu denaturat 
miał stężenie pomiędzy 95 % a 90 % objętościowych. Zgodnie z opisem stężenia denaturatu wynosi 
(ok.92%), czyli zawiera się w obliczonych i odczytanych z tabeli granicach.

b) dotyczące piasku

Masa średnia pustej tulei: 

M

0

=

702,37

6

=

117,06 g

Masa średnia piasku:

        

M

P

=

233,3

6

=

38,88 g

 

 

M

i

−

M

P



2

=

3,630

u  M =





M

i

−

M

P



2

nn−1

=



3,630

30

=

0,348

Niepewność standardowa przyrządu pomiarowego wagi :  

 

U  P

W

=

u  P

1

=



g

W



3

=

0,01 g



3

=

5,77∗10

−

3

∗

2=0,012 g

u  M =



u

2



M u

2

P

1

=



0,348

2



0,012

2

=

0,348

u  M 



M

=

0,348
38,88

=

8,95∗10

−

3

Objętość tulei:                                              d=20±0,1 mm  
                                                                    h=65,6±0,1 mm
Wzór na objętość walca:                                   V=πr

2

h

 

W celu wyznaczenia objętości walca mierzymy jego średnicę d oraz długość h

V= 3,14 x 10

2

 x 65,6 = 20616,76 mm

3

 = 20,61 cm

3

Kiedy rozważamy pomiar objętości walca mamy funkcję postaci 

1

117,12

155,71

38,59

0,29

2

117,04

157,10

40,06

-1,18

3

117,05

155,02

37,97

0,91

4

117,04

156,79

39,75

-0,87

5

117,06

155,86

38,8

0,08

6

117,06

155,19

38,13

0,75

Σ

702,37

233,3

Zauważmy, że pochodna objętości walca względem średnicy zależy zarówno od samej 
średnicy, jak i od wysokości walca, zaś pochodna objętości względem wysokości od samej 

wysokości nie zależy, natomiast zależna jest od średnicy walca w kwadracie.
Średnica walca wynosi d=20mm, a jego wysokość równa jest  65,6 mm  pomiary wykonano 

suwmiarką z dokładnością 0.1mm.  Otrzymujemy:



V =



2

∗

65,6 mm∗20 mm∗0,1 mm



4

∗

20

2

mm

2

∗

0,1 mm≈ 237,5 mm

3

Objętość walca równa jest   V= 3,14 x 10

2

 x 65,6 = 20616,76 mm

3

  

Niepewność względna objętości, tj. stosunek niepewności do wyznaczonej objętości walca 

wynosi:                                                   



V

V

=

237,5

20616,76

≈

0,012

            ρ=mV

                  

=

38,88 g

20,61cm

3

=

1,89

g

cm

3

Powyższy wynik obarczony jest niepewnościami uzyskanego na drodze pomiaru 
wyniku. A mianowicie:
-  przy pomiarze masy, dokładność wagi 0,01 g należy pamiętać, że należy 
uwzględnić tą niepewność dwukrotnie, ponieważ ważymy pusty cylinder i cylinder z 
piachem.

- Niepewność względną objętości policzyliśmy powyżej.
Niepewność całkowita pomiaru gęstości jest sumą niepewności względnych według wzoru:

u

C





=





u M 



M



2



u V 

V



2

=





8,95∗10

−

3



2



0,012

2

=

0,015

Ostatecznie gęstość piasku wynosi:

=

1,89

g

cm

3

∓

0,015

g

cm

3

4. Wnioski:

Widzimy, że  wkład do niepewności objętości pochodzący od niepewności średnicy jest  większy 
niż wkład pochodzący od niepewności wysokości. Aby uzyskać większą dokładność lepiej do 
pomiaru średnicy użyć przyrządu o większej dokładności np. śruby mikrometrycznej.