Podstawowe regu y transformacji Laplace's (wzory)

background image

1

Podstawowe reguły transformacji Laplace'a

W Tablicy D1 podano definicje prostego oraz odwrotnego przekształcenia Laplace'a, a
nast pnie podano podstawowe własno



ci tych przekształce



. Tablica D2 zawiera wybrane

(najcz



ciej spotykane w praktyce) pary odpowiadaj



cych sobie oryginałów i obrazów.

Wreszcie w Tablicy D3 podano wzory, ułatwiaj



ce znajdowanie oryginałów dla obrazów w

postaci funkcji wymiernych.

Transformata Laplace'a

F s

L f t

f t e

t

st

( )

[ ( )]

( )

d

=

=

0

Odwrotna transformata Laplace'a

s

e

s

F

j

s

F

L

t

f

st

j

x

j

x

d

)

(

2

1

)]

(

[

)

(

1

=

=

+

π

Liniowo





L

f t

g t

F s

G s

[

( )

( )]

( )

( )

α

β

α

β

+

=

+

Podobie



stwo

L f

t

F

s

[ (

)]

( )

α

α

α

=

1

,

α >

0

Przesuniecie argumentu oryginału

L f t

F s e

s

[ (

)]

( )

=

α

α

Przesuniecie argumentu obrazu

L f t

e

F s

s

s t

[ ( )

]

(

)

=

0

0

Transformata pochodnej

L f

t

sF s

f

[

( )]

( )

(0 )

+

'

=

Transformata wy



szych pochodnych

L f

t

s F s

s

f

n

n

n i

i

n

i

[

( )]

( )

(0 )

( )

(

)

+

=

=

1

1

Transformata całki

)

(

1

]

d

)

(

[

0

s

F

s

f

L

t

=

τ

τ

Transformata całki iterowanej

)

(

1

]

d

)

(

[

1

0

1

t

0

0

2

s

F

s

f

L

n

n

=

τ

τ

τ

τ

Granica oryginału w zerze

lim

( )

lim

( )

t

s

f t

sF s

→∞

+

=

0

Granica oryginału w niesko



czono



ci

lim

( )

lim

( )

t

s

f t

sF s

→∞

=

0

Transformata splotu oryginałów

L f t

g t

F s G s

[ ( )

( )]

( )

( )

=

Całka Duhamela

L

sF s G s

f t g

f t

g t

=

+

1

0

[

( ) ( )]

( ) (

)

( )

( )

+

'



niczkowanie obrazu

F s

L tf t

' ( )

[ ( )]

= −

Wy



sze pochodne obrazu

F

s

L t f t

n

n

n

( )

( )

(

)

[

( )]

= −

1

Splot obrazów

L f t g t

j

F x G s

x dx

x

j

x

j

[ ( ) ( )] =

1

2

π

σ

σ

( ) (

)

= − ∞

= + ∞

Tablica D1. Własno



ci przekształcenia Laplace'a



background image

2

Oyginał funkcji

Transformata funkcji

f t

( )

F s

L f t

( )

[ ( )]

=

δ

( )

t

1

1( )

t

1

s

t

1

2

s

t

n

n

1

1

(

)!

1

s

n

1

1

( )

(

)

t

t

− α

1

(

)

s

e

s

1

−α

e

t

−α

1

s

+ α

t

n

e

n

t

1

1

(

)!

α

,

n

>

0

1

(

)

s

n

+ α

1

1

α

α

(

)

e

t

1

(

)

s s

+ α

1

β α

α

β

(

)

e

e

t

t

1

(

)(

)

s

s

+

+

α

β

1

1

αβ

β

α β

α

α β

α

β

(

)

+ −

− −

e

e

t

t

1

(

)(

)

s s

s

+

+

α

β

sin

ω

t

ω

ω

s

2

2

+

cos

ω

t

s

s

2

2

+ ω

1

sin

ω

ω

α

t e

t

1

2

2

(

)

s

+

+

α

ω

1

sin

ω

ξ

ω

ξ

ξω

n

n

t

t e

n

1

1

2

2

1

2

2

2

s

s

n

n

+

+

ξω

ω

cos

ω

α

t e

t

s

s

+

+

+

α

α

ω

(

)

2

2

1

1

sin(

)

α

ω

ω α

ω

ω ϕ

α

2

2

2

2

+

+

+

− ⋅

t

e

t

,

ϕ

ω

α

= −

arctg

ω

α

ω

s s

[(

)

]

+

+

2

2

1

1

sin(

)

ω

ω

ζ

ω

ζ

ϕ

ζω

n

n

n

t

t

e

n

2

2

2

2

1

1

+ ⋅

,

ϕ

ζ

=

arccos

1

2

2

2

s s

s

n

n

[

]

+

+

ζω

ω

1

1

2

α

α

α

(

)

t

e

t

− +

1

2

s s

(

)

+ α

1

2

α

α

α

α

(1

)

− ⋅

e

t e

t

t

1

2

s s

(

)

+ α

Tablica D2. Oryginały i transformaty Laplace'a

background image

3

Funkcja wymierna o biegunach
jednokrotnych

F s

N s
D s

A

s

p

k

k

n

k

( )

( )

( )

1

=

=

=

1

,

p

p

i

j

i

j

∀ ≠

,

f t

A e

k

k

n

p t

k

( )

=

=

1

,

A

N s

D s

k

s p

k

=

=

( )

( )

'

,

k

n

=

1,...,

Funkcja wymierna o biegunach
jednokrotnych i biegunie w zerze

F s

N s

sD s

A

s

p

k

k

n

k

( )

( )

( )

1

=

=

=

0

, p

p

i

j

i

j

∀ ≠

,

f t

A e

k

k

n

p t

k

( )

=

=

0

,

p

0

0

=

,

A

N
D

0

0

0

=

( )

( )

, A

N s

sD s

k

s p

k

=

=

( )

( )

'

,

k

n

=

1,...,

Funkcja wymierna o biegunach
wielokrotnych

F s

N s
D s

A

s

p

ij

j

n

i

n

i

j

i

( )

( )

( )

1

(

)

=

=

=

=

1

1

,

p

n

i

n

i

i

=

biegun

krotny ,

,...,

1

,

f t

A

j

t

e

ij

j

n

j

p t

i

n

i

i

( )

(

)!

=

− ⋅

=

=

1

1

1

1

,

A

n

j

s

N s

D s

ij

i

n

j

n

j

i

s p

i

i

i

=

=

1

(

)!

d

d

( )
( )

, j

n

i

=

1,...,

D s

D s

s

p

i

i

n

i

( )

( )

(

)

=

,

i

n

=

1,..., .

Tablica D3. Wyznaczanie odwrotnych transformat Laplace'a funkcji wymiernych



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 Podstawy automatyki Transformata Laplacea, algebra blok
Podstawowe transformaty Laplace'a
Obliczanie transformat Laplace'a
Podstawowe metody transferu technologii
Transformaty Laplacka
Transformata Laplacea oryginaly i transformaty funkcji [tryb zgodności]
Transformata Fouriera, wzory i własnosci
AM23 w13 Transformata Laplace'a
Transformaty Laplace a
Transformacja Laplace wyprowadzenie wzorów
9 transformata Laplace'a + Transmitancja Operatorowa
Transformacja Laplacea
AM23 w14 Zastosowania transformaty Laplace'a
transformaty Laplace'a
transformata Laplaca
Transformata Laplace, Studia, Semestr 1, Sygnały i Systemy, Sprawozdanie 4
11 Podstawy automatyki - Transformata Z, PWr W9 Energetyka stopień inż, III Semestr, Podstawy automa

więcej podobnych podstron