1
Podstawowe reguły transformacji Laplace'a
W Tablicy D1 podano definicje prostego oraz odwrotnego przekształcenia Laplace'a, a
nast pnie podano podstawowe własno
ci tych przekształce
. Tablica D2 zawiera wybrane
(najcz
ciej spotykane w praktyce) pary odpowiadaj
cych sobie oryginałów i obrazów.
Wreszcie w Tablicy D3 podano wzory, ułatwiaj
ce znajdowanie oryginałów dla obrazów w
postaci funkcji wymiernych.
Transformata Laplace'a
F s
L f t
f t e
t
st
( )
[ ( )]
( )
d
=
=
⋅
∞
−
0
Odwrotna transformata Laplace'a
s
e
s
F
j
s
F
L
t
f
st
j
x
j
x
d
)
(
2
1
)]
(
[
)
(
1
⋅
=
=
∞
+
∞
−
−
π
Liniowo
L
f t
g t
F s
G s
[
( )
( )]
( )
( )
α
β
α
β
+
=
+
Podobie
stwo
L f
t
F
s
[ (
)]
( )
α
α
α
=
1
,
α >
0
Przesuniecie argumentu oryginału
L f t
F s e
s
[ (
)]
( )
−
=
⋅
−
α
α
Przesuniecie argumentu obrazu
L f t
e
F s
s
s t
[ ( )
]
(
)
⋅
=
−
0
0
Transformata pochodnej
L f
t
sF s
f
[
( )]
( )
(0 )
+
'
=
−
Transformata wy
szych pochodnych
L f
t
s F s
s
f
n
n
n i
i
n
i
[
( )]
( )
(0 )
( )
(
)
+
=
−
−
=
−
1
1
Transformata całki
)
(
1
]
d
)
(
[
0
s
F
s
f
L
t
=
τ
τ
Transformata całki iterowanej
)
(
1
]
d
)
(
[
1
0
1
t
0
0
2
s
F
s
f
L
n
n
=
τ
τ
τ
τ
Granica oryginału w zerze
lim
( )
lim
( )
t
s
f t
sF s
→
→∞
+
=
0
Granica oryginału w niesko
czono
ci
lim
( )
lim
( )
t
s
f t
sF s
→∞
→
=
0
Transformata splotu oryginałów
L f t
g t
F s G s
[ ( )
( )]
( )
( )
∗
=
⋅
Całka Duhamela
L
sF s G s
f t g
f t
g t
−
=
+
∗
1
0
[
( ) ( )]
( ) (
)
( )
( )
+
'
Ró
niczkowanie obrazu
F s
L tf t
' ( )
[ ( )]
= −
Wy
sze pochodne obrazu
F
s
L t f t
n
n
n
( )
( )
(
)
[
( )]
= −
1
Splot obrazów
L f t g t
j
F x G s
x dx
x
j
x
j
[ ( ) ( )] =
1
2
π
σ
σ
( ) (
)
−
= − ∞
= + ∞
Tablica D1. Własno
ci przekształcenia Laplace'a
2
Oyginał funkcji
Transformata funkcji
f t
( )
F s
L f t
( )
[ ( )]
=
δ
( )
t
1
1( )
t
1
s
t
1
2
s
t
n
n
−
−
1
1
(
)!
1
s
n
1
1
( )
(
)
t
t
−
− α
1
(
)
s
e
s
1
−
−α
e
t
−α
1
s
+ α
t
n
e
n
t
−
−
−
1
1
(
)!
α
,
n
>
0
1
(
)
s
n
+ α
1
1
α
α
(
)
−
−
e
t
1
(
)
s s
+ α
1
β α
α
β
−
−
−
−
(
)
e
e
t
t
1
(
)(
)
s
s
+
+
α
β
1
1
αβ
β
α β
α
α β
α
β
(
)
+ −
− −
−
−
e
e
t
t
1
(
)(
)
s s
s
+
+
α
β
sin
ω
t
ω
ω
s
2
2
+
cos
ω
t
s
s
2
2
+ ω
1
sin
ω
ω
α
t e
t
⋅
−
1
2
2
(
)
s
+
+
α
ω
1
sin
ω
ξ
ω
ξ
ξω
n
n
t
t e
n
1
1
2
2
−
−
⋅
−
1
2
2
2
s
s
n
n
+
+
ξω
ω
cos
ω
α
t e
t
⋅
−
s
s
+
+
+
α
α
ω
(
)
2
2
1
1
sin(
)
α
ω
ω α
ω
ω ϕ
α
2
2
2
2
+
+
+
− ⋅
−
t
e
t
,
ϕ
ω
α
= −
arctg
ω
α
ω
s s
[(
)
]
+
+
2
2
1
1
sin(
)
ω
ω
ζ
ω
ζ
ϕ
ζω
n
n
n
t
t
e
n
2
2
2
2
1
1
−
−
−
+ ⋅
−
,
ϕ
ζ
=
arccos
1
2
2
2
s s
s
n
n
[
]
+
+
ζω
ω
1
1
2
α
α
α
(
)
t
e
t
− +
−
1
2
s s
(
)
+ α
1
2
α
α
α
α
(1
)
−
− ⋅
−
−
e
t e
t
t
1
2
s s
(
)
+ α
Tablica D2. Oryginały i transformaty Laplace'a
3
Funkcja wymierna o biegunach
jednokrotnych
F s
N s
D s
A
s
p
k
k
n
k
( )
( )
( )
1
=
=
−
=
1
,
p
p
i
j
i
j
≠
∀ ≠
,
f t
A e
k
k
n
p t
k
( )
=
⋅
=
1
,
A
N s
D s
k
s p
k
=
=
( )
( )
'
,
k
n
=
1,...,
Funkcja wymierna o biegunach
jednokrotnych i biegunie w zerze
F s
N s
sD s
A
s
p
k
k
n
k
( )
( )
( )
1
=
=
−
=
0
, p
p
i
j
i
j
≠
∀ ≠
,
f t
A e
k
k
n
p t
k
( )
=
⋅
=
0
,
p
0
0
=
,
A
N
D
0
0
0
=
( )
( )
, A
N s
sD s
k
s p
k
=
=
( )
( )
'
,
k
n
=
1,...,
Funkcja wymierna o biegunach
wielokrotnych
F s
N s
D s
A
s
p
ij
j
n
i
n
i
j
i
( )
( )
( )
1
(
)
=
=
−
=
=
1
1
,
p
n
i
n
i
i
−
−
=
biegun
krotny ,
,...,
1
,
f t
A
j
t
e
ij
j
n
j
p t
i
n
i
i
( )
(
)!
=
− ⋅
⋅
=
−
=
1
1
1
1
,
A
n
j
s
N s
D s
ij
i
n
j
n
j
i
s p
i
i
i
=
−
⋅
−
−
=
1
(
)!
d
d
( )
( )
, j
n
i
=
1,...,
D s
D s
s
p
i
i
n
i
( )
( )
(
)
=
−
,
i
n
=
1,..., .
Tablica D3. Wyznaczanie odwrotnych transformat Laplace'a funkcji wymiernych