Zadanie 3.7

Niech A ⊂ R

k

. Udowodni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(i) A ∈ S

k

,

(ii) ∀

ε>0

∃

F ∈F

∃

G∈G

(F ⊂ A ⊂ G

oraz λ(G \ F ) < ε),

(iii) ∃

H∈F

σ

∃

K∈G

δ

(H ⊂ A ⊂ K ∧ λ(K \ H) = 0)

.

Rozwi¡zanie:

(i) ⇒ (ii)

:

Niech ε > 0. Wiadomo z wykªadu, »e:

• ∀

ε>0

∃

F ∈F

(F ⊂ A ∧ |A \ F | < ε)

• ∀

ε>0

∃

G∈G

(A ⊂ G ∧ |G \ A| < ε)

Zauwa»my równie», »e

(G \ F ) = (G \ A) ∪ (A \ F )

(1)

Istotnie:

” ⊂ ”

: Niech x ∈ (G \ F ). Je»eli x /∈ A, to x ∈ (G \ A). Je»eli

natomiast x ∈ A, to x ∈ (A \ F ). Zatem x ∈ (G \ A) ∪ (A \ F ).

” ⊃ ”

: Niech x ∈ (G \ A) ∪ (A \ F ). Je»eli x ∈ (G \ A), to x /∈ F

(bo F ⊂ A), wi¦c x ∈ (G \ F ). Je»eli natomiast x ∈ (A \ F ), to
x ∈ G

(bo A ⊂ G). Zatem x ∈ (G \ F ).

Z (1) i wcze±niejszej cz¦±ci mamy F ⊂ A ⊂ G oraz λ(G \ F ) ≤
λ(A \ F ) + λ(G \ A) <

ε
2

+

ε
2

= ε

.

(ii) ⇒ (iii)

:

Dla dowolnego n ∈ N istniej¡ (z (2)) F

n

∈ F

oraz G

n

∈ G

ta-

kie, »e F

n

⊂ A ⊂ G

n

i λ(G

n

\ F

n

) <

1

n

.

Niech G = T

n∈N

G

n

oraz F = S

n∈N

F

n

. Wtedy F ∈ F

σ

, G ∈ G

δ

oraz

F ⊂ A

(bo ∀

n

(F

n

⊂ A)

), A ⊂ G (bo ∀

n

(A ⊂ G

n

)

) i dla dowolnego

1

n ∈ N mamy (G \ F ) ⊂ (G

n

\ F

n

)

. Istotnie, je±li x ∈ (G \ F ), to

x ∈ G

n

(bo G ⊂ G

n

) oraz x /∈ F

n

(bo F

n

⊂ F

), zatem x ∈ (G

n

\ F

n

)

.

St¡d dla dowolnego n ∈ N mamy λ(G \ F ) ≤ λ(G

n

\ F

n

) <

1

n

.

Z dowolno±ci n mamy λ(G \ F ) = 0.

(iii) ⇒ (i)

:

Zauwa»my, »e A = H ∪ (A \ H) oraz (A \ H) ⊂ (K \ H) (bo
A ⊂ K

).

Poniewa» λ(K \ H) = 0, wi¦c z zupeªno±ci miary Lebesgue'a zbiór
A \ H

jest mierzalny i λ(A \ H) = 0. Zatem A jest mierzalny jako

suma dwóch zbiorów mierzalnych.

Zadanie 3.8

Udowodni¢, »e dla dowolnego A ∈ S

k

:

1. λ(A) = inf{λ(G) : A ⊂ G ∧ G − otwarty},
2. λ(A) = sup{λ(F ) : F ⊂ A ∧ F − domkniety},
3. λ(A) = sup{λ(F ) : F ⊂ A ∧ F − zwarty}.

Wskazówka do (3):

Przedstawi¢ zbiór A jako przeliczaln¡ sum¦ wst¦puj¡cego ci¡gu zbio-

rów ograniczonych. Np.:

A =

S

n∈N

A

n

, gdzie A

n

= {x ∈ A : kxk < n}

Wtedy λ(A) = lim

n→∞

λ(A

n

)

. Skoro ka»dy A

n

jest ograniczony, to do-

wolny jego domkni¦ty podzbiór jest zwarty.

Zadanie 3.9

2

Udowodni¢, »e S

k

= σ(B(R

k

) ∪ N

k

)

.

Rozwi¡zanie:

” ⊃ ”

:

N

k

⊂ S

k

(z wªasno±ci miary Lebesgue'a).

B(R

k

) ⊂ S

k

(bo ka»dy zbiór otwarty jest mierzalny i S

k

jest σ-

ciaªem).

Zatem B(R

k

) ∪ N

k

⊂ S

k

, wi¦c σ(B(R

k

) ∪ N

k

) ⊂ S

k

(bo S

k

jest

σ

-ciaªem).

” ⊂ ”

:

Niech A ∈ S

k

. Wtedy istnieje H ∈ F

σ

taki, »e H ⊂ A i |A \ H| = 0,

czyli H ⊂ A i (A \ H) ∈ N

k

. Wtedy:

• H ∈ N

k

∪ B(R

k

)

(bo H ∈ F

σ

⊂ B(R

k

)

),

• (A \ H) ∈ N

k

∪ B(R

k

)

(bo (A \ H) ∈ N

k

).

Zatem A = H ∪ (A \ H) ∈ σ(B(R

k

) ∪ N

k

)

, wi¦c z dowolno±ci A

dostajemy: S

k

⊂ σ(B(R

k

) ∪ N

k

)

.

Zadanie 3.15

Niech V ⊂ [0, 1] b¦dzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue'a

(np. V - zbiór Vitaliego). Rozstrzygn¡¢, czy nast¦puj¡ce zbiory

musz¡ by¢ niemierzalne:

1. [0, 1] \ V ,
2. V ∪ [1, 2],
3. V ∪ A, gdzieA ⊂ [0, 1],
4. V ∪ A, gdzieA ⊂ [1, 2].

Rozwi¡zanie:

3

(1): Poka»emy, »e jest to zbiór niemierzalny.

Zaªó»my, »e jest mierzalny (tj. [0, 1] \ V ∈ S

1

). Wówczas: V =

[0, 1] \ ([0, 1] \ V ) ∈ S

1

(jako ró»nica dwóch zbiorów mierzalnych). Z

zaªo»enia jednak V jest niemierzalny, zatem dostajemy sprzeczno±¢.

(2): Poka»emy, »e jest to zbiór niemierzalny.

Zaªó»my, »e jest mierzalny (tj. V ∪ [1, 2] ∈ S

1

). Wówczas rozwa»my

dwa przypadki:

1. 1 /∈ V . Wtedy V = (V ∪ [1, 2]) \ [1, 2] ∈ S

1

(jako ró»nica dwóch

zbiorów mierzalnych). Z zaªo»enia jednak V jest niemierzalny,

zatem dostajemy sprzeczno±¢.

2. 1 ∈ V . Wtedy V = (V ∪[1, 2])\(1, 2] ∈ S

1

(jako ró»nica dwóch

zbiorów mierzalnych). Z zaªo»enia jednak V jest niemierzalny,

zatem dostajemy sprzeczno±¢.

Zatem jest to zbiór niemierzalny.

(3): Poka»emy, »e zbiór ten mo»e by¢ mierzalny oraz niemie-

rzalny.

Je±li (np.) A = [0, 1], to V ∪ A = [0, 1] ∈ S

1

.

Je±li (np.) A = V , to V ∪ A = V /∈ S

1

(4): Poka»emy, »e jest to zbiór niemierzalny.

Zaªó»my, »e jest mierzalny (tj. V ∪ A, gdzieA ⊂ [1, 2] ∈ S

1

). Wów-

czas rozwa»my dwa przypadki:

1. 1 /∈ V . Wtedy V = (V ∪ A) \ [1, 2] ∈ S

1

(jako ró»nica dwóch

zbiorów mierzalnych). Z zaªo»enia jednak V jest niemierzalny,

zatem dostajemy sprzeczno±¢.

2. 1 ∈ V . Wtedy V = (V ∪ A) \ (1, 2] ∈ S

1

(jako ró»nica dwóch

zbiorów mierzalnych). Z zaªo»enia jednak V jest niemierzalny,

zatem dostajemy sprzeczno±¢.

4

Zatem jest to zbiór niemierzalny.

5