Strona 1 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
1
MATEMATYKA 26.09.2009
Temat: Przypomnienie wiadomości o funkcjach.
Funkcja jest to takie odwzorowanie które każdemu elementowi xєY podporządkowuje
dokładnie jeden element z yєY, z każdej dziedziny co zapisujemy:
f:x->y
Czy dane przyporządkowane jest funkcją?
f
f
f
f
f
Funkcja liniowa:
Y=ax+b; a,bєR
Dziedzina X=R
a>0
a – jest to parametr kierunkowy
b – jest to parametr przesunięcia
dziedzina x=R (zbiór liczb rzeczywistych)
x
5
5
5
5
y
1
2
3
4
x
1
2
3
4
y
5
5
5
5
Odwzorowanie
funkcji
Dziedzina
funkcji, zbiór
argumentów
Przeciwdziedzina
funkcji, zbiór
wartości
X
Y
X
Y
X
Y
Strona 2 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
2
MATEMATYKA 26.09.2009
y
y
y=ax+b
y=ax+b
x
x
jest kątem ostrym
jest kątem rozwartym
Funkcja kwadratowa:
Trójmian kwadratowy, czyli funkcja
Y=ax
2
+bx+c; a=0, b,cєR
dziedzina x=R
wyrażenie
=b
2
-4ac wyróżnik trójmianu kwadratowego
Postad kanonicznej trójmianu kwadratowego
Y=a (x+
)
2
-
Miejsca zerowe (pierwiastki)trójmianu kwadratowego
=0trójmian ma 2 różne pierwiastki
X
1
=
, x
2
=
X
1
x
2
x
1
x
2
a>0
a<0
=0trójmian ma jeden (dwukrotny) pierwiastek
X
0
=
y
y
X
0
x
X
0
x
a<0
Strona 3 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
3
MATEMATYKA 26.09.2009
a>0
<0 trujmian nie ma pierwiastków w zbiorze R
y
y
x
x
a>0
a<0
Funkcja wykładnicza:
Y=a
x
Dziedzina x=R
Y= ( )
x
y y=a
x
1
x
a>1
Funkcja logarytmiczna:
Y=log
a
x , gdzie a>0 i a=1
Dziedzina xєR
y
y=log
a
x
a>1
x
y=log
x
log
a
b = 2a
z=b
log
4
16 = 24
2
=16
log
?
100 = 10
?
= 100 ?=2
log
2
X = 3 2
3
= 8
log
8
64 = 2
Funkcje trygonometryczne:
Y=sin
x
, y=cos
x
Dziedziną funkcji Y=sin
x
i y=cos
x
jest zbiór R
Zbiorem wartości jest przedział
Strona 4 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
4
MATEMATYKA 26.09.2009
y
1
sin
x
x
π
-1
cos
x
Y=tgx
Dziedziną finkcji Y=tgx jest zbiór R bez liczb postaci π+kπ, gdzie kєc.
-
- π - π
Y=ctg
x
Dziedziną funkcji Y=ctg
x
jest zbiór R bez postaci kπ gdzie kєc.
π -π -
π π
Przykład:
Do jakich funkcji elementarnych zaliczamy funkcje:
a) f(x)= 3x-4 potęgowa
b) f(x)= 5x
7
-4x
3
potęgowa
Strona 5 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
5
MATEMATYKA 26.09.2009
c) f(x) =3x
2
x+7 wykładnicza
d) f(x) = 2e
x
wykładnicza
e) f(x) = log
3
(x+2) logarytmiczna
f) F(x) = cos 2x trygonometryczna
Dziedzina jest to zbiór wszystkich xєR, dla których wyrażenie f(x) ma sens.
W zbiorze R nie są wykonalne działania:
1) Dzielenie przez zero
2) Pierwistkowe liczb ujemnych gdy stopieo pierwiastka jest parzysty
3) Logarytmowanie liczb ujemnych i zera
Log L, L
Przykład:
Wyznaczyd definicje funkcji:
Y=1+
D=x
Xє (0,+ )
0
Y=3 log (x
2
-4)
D:x
2
-4>0
X
2
-4 = 0
A - 1
B- 0
C- -4
2
-4ac
2
-4*1*(-4) = 0+16= 16 >0
X
1
=
=
= = -2
X
2
=
=
= =2
x
+
+
-2
-
2
Strona 6 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
6
MATEMATYKA 26.09.2009
Przykład 3
Y= 2 log (x-1)+ log (x-1)
D:
X+1>0
x>1
-1
Xє (-1,+
x-1>0
x>1
1
x
-1
1
Xє (1,+
Y= 2
2
-3
2
-1 +4 sim
x
D:
1-x
2
= 0
1-x
2
= 0 => 1
2
-x
2
= 0=> (1-x)*(1+x) =0
A
2
- b
2
=(a-b)*(a+b)
25-36=5
2
-6
2
=(5-6)*(5+6) = -1*11=-11
1-x=0 1+x=0
X=1 x= -1
Xє<-1,1>
-1
+
1
-
-
X
2
-1>0
X
2
-1=0
Strona 7 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
7
MATEMATYKA 26.09.2009
(x-1)*(x+1)=0
x-1=0
x+1=0
+
+
x=1 x= -1
-1
-
1
-1
1
Odp: xє
Temat: Ciągi liczbowe, granice ciągów liczbowych
Ciągiem liczbowym nazywamy odwzorowaniem f:N->Y
N –zbiór liczb naturalnych
Y – dowolny zbiór
(a
n
), {a
n
}
A
n
– dowolny elemaent ciągu liczbowego
1. Wypisad kilka pierwszych elementów ciągu liczbowego
a
n
=
n=1
a
1
=
n=2
a
2
=
n=3
a
3
=
n=4
a
4
=
…
a
100
=
Strona 8 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
8
MATEMATYKA 26.09.2009
Przykład
a
n
= n
(-1)
n
n=1
a
1
= 1
(-1)
1
= 1
a= 2
a
2
= 2
(-1)
2
=2
1
=2
a= 3
a
3
= 3
(-1)
3
= 3
(-1)
=
n=4
n
4
= 4
(-1)
4
= 4
1
= 4
n=5
n
5
= 5
(-1)
5
=5
(-1)
=
Przykład 3
a
n
= sin
a
1
= sin
a
2
= sin
a
3
= sin
a
4
= sin = 0
Granicą ciągu liczbowego jest liczba do której zmierza ciąg
lim
n
a
n
= 0(lim( )
n
=0)
Definicja:
Ciąg (a
n
) jest zbliżony do g (ma granicę równą g) n jeżeli a
n
-q <
- dla każdego
- istnieje
Ciąg nazywamy rozbieżnym jeżeli granica przy lim a
n
=+ lub lim a
n
= -
Wyznaczyd granicę ciągów liczbowych
Lim
-
Strona 9 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
9
MATEMATYKA 26.09.2009
Odp:
Przykład 2
Przykład 3
Twierdzenie dotyczące działao na ciągach liczbowych
1)
2)
3)
bn= 0,
, bn=0
Działania na granicach ciągów liczbowych
1)
2)
3)
e= 2,71828……
4)
5)
Twierdzenie o ciągach możemy zapisad symbolicznie:
1) +∞+(+∞)=+∞
2) (-∞)+(-∞) =-∞
3) (-∞) – (+∞) = -∞
4) (+∞)*(+∞) = + ∞
5) (+∞)*(- ∞) = -∞
6) (-∞) *(-∞) = + ∞
7) C+ = +∞
8) C- ∞ = - ∞
9) C*(+∞) = +∞
10) C*(-∞0 = -∞
11)
12)
= -∞
Twierdzenie (o trzech ciągach) jeżeli dane są 3 ciągi
an, bn, cn, takie że:
an
To
Strona 10 z 10
MATEMATYKA 26.09.2009
10
MATEMATYKA 26.09.2009
Przykład na zastosowanie
Wyznaczyd granicę ciągu
Na podstawie twierdzenia o 3 ciągach
równa się 7.