Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00
Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (2):
Teoria mnogości.
Definicje działań na zbiorach, ich własności i przykłady.
Działania uogólnione.
Iloczyn kartezjański zbiorów.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
22
6. Definicje działań na zbiorach, ich własności i przykłady.
Niech
X
B
A
,
.
Powiemy, że:
a)
B
x
A
x
B
A
x
,
b)
B
x
A
x
B
A
x
,
c)
B
x
A
x
B
A
x
\
,
d)
A
x
X
x
A
x
.
Zgodnie z definicją dopełnienia zbioru A w przestrzeni X:
X
A
A
i
A
A
.
Zbiory
X
B
A
,
takie, że
B
A
nazywamy rozłącznymi.
Przykład.
Niech
}
3
2
:
{
x
x
x
A
R
oraz
}
1
4
:
{
x
x
x
B
R
.
Wyznaczyć zbiory:
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
,
,
\
,
\
,
,
.
Odpowiedź:
Definicja.
Dwa zbiory
X
B
A
,
są równe
)
(
B
A
wtedy i tylko wtedy, gdy
B
x
A
x
x
.
Definicja.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B
)
(
B
A
wtedy i tylko wtedy, gdy
B
x
A
x
x
.
Definicja.
a) Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór:
}
:
{
B
x
A
x
X
x
B
A
.
b) Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór:
}
:
{
B
x
A
x
X
x
B
A
.
c) Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór:
}
:
{
\
B
x
A
x
X
x
B
A
.
d) Dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbiór
A
X
A
\
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
23
Niech
X
C
B
A
,
,
.
Przykład.
Niech
X
B
A
,
. Wykazać:
a)
)
(
)
(
A
B
B
A
,
b)
B
A
B
A
)
(
.
Własności działań na zbiorach:
przemienność sumy zbiorów:
A
B
B
A
,
łączność sumy zbiorów:
C
B
A
C
B
A
)
(
)
(
,
A
A
,
przemienność iloczynu zbiorów:
A
B
B
A
,
łączność iloczynu zbiorów:
C
B
A
C
B
A
)
(
)
(
,
A
=
,
rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy:
)
(
)
(
)
(
C
B
C
A
C
B
A
,
rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu:
)
(
)
(
)
(
C
B
C
A
C
B
A
,
Prawa de Morgana dla zbiorów:
dopełnienie sumy zbiorów:
B
A
B
A
)
(
,
dopełnienie iloczynu zbiorów:
B
A
B
A
)
(
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
24
7. Działania uogólnione.
Niech
X
.
W ogólnym przypadku
t
T
t
t
A
x
T
t
A
x
oraz
t
T
t
t
A
x
T
t
A
x
.
Element x należy do zbioru
T
t
t
A
wtedy i tylko wtedy, gdy należy on przynajmniej do
jednego ze zbiorów
t
A dla
T
t
. Z kolei element x należy do zbioru
T
t
t
A
wtedy i tylko
wtedy, gdy należy on do każdego ze zbiorów
t
A dla
T
t
.
Przykład.
Niech
N
n
n
x
n
x
A
n
,
1
1
1
:
R
. Wyznaczyć
N
n
n
A
oraz
N
n
n
A
.
Odpowiedź:
Definicja.
Iloczynem uogólnionym zbiorów
X
A
n
,
N
n
nazywamy zbiór:
n
n
n
n
A
x
n
X
x
A
A
A
A
N
N
:
.....
.....
2
1
.
Definicja.
Sumą uogólnioną zbiorów
X
A
n
,
N
n
nazywamy zbiór:
n
n
n
n
A
x
n
X
x
A
A
A
A
N
N
:
.....
.....
2
1
.
Wybrane własności działań uogólnionych.
T
t
T
t
t
T
t
t
t
t
B
A
B
A
)
(
,
T
t
t
T
t
t
T
t
t
t
B
A
B
A
)
(
,
T
t
t
t
T
t
t
T
t
t
B
A
B
A
)
(
,
T
t
t
T
t
t
T
t
t
t
B
A
B
A
)
(
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
25
8. Iloczyn kartezjański zbiorów.
Jest to zbiór uporządkowanych par
)
,
( b
a
. Powiemy, że para
B
A
b
a
)
,
(
A
a
(
)
B
b
.
Zbiór
2
A
A
A
.
Przykład.
Zbiór
}
:
)
,
{(
2
R
R
R
R
R
y
x
y
x
jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny.
Zbiór
}
:
)
,
,
{(
3
R
R
R
R
R
R
R
z
y
x
z
y
x
jest zbiorem wszystkich punktów
przestrzeni 3-wymiarowej.
Zbiór
}
},
.....,
,
1
{
dla
:
)
.....,
,
,
(
{
2
1
N
R
R
n
n
i
x
x
x
x
x
i
n
n
jest zbiorem wszystkich
ciągów n elementowych o wyrazach rzeczywistych.
Przykład.
Wyznaczyć zbiory:
2
,
,
A
A
B
B
A
gdy:
a)
2
,
1
,
0
A
,
}
1
,
1
{
B
,
b)
)
2
,
(
A
,
R
B
,
c)
)
3
,
1
[
A
,
N
B
.
Prawa de Morgana:
T
t
t
T
t
t
A
A
,
T
t
t
T
t
t
A
A
.
Iloczyn kartezjański zbiorów nie jest działaniem przemiennym, tzn. jeśli
B
A
, to:
A
B
B
A
.
Definicja.
Niech
B
A,
. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór
B
b
A
a
b
a
B
A
:
)
,
(
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
26
Przykład.
Wykazać:
)
(
)
(
B
C
D
A
B
A
D
B
C
A
.
Rozwiązanie:
Podstawowe własności iloczynu kartezjańskiego dla zbiorów
C
B
A ,
,
:
Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem sumy mnogościowej:
a)
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
,
b)
)
(
)
(
)
(
A
C
A
B
A
C
B
.
Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem iloczynu mnogościowego:
c)
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
,
d)
)
(
)
(
)
(
A
C
A
B
A
C
B
.
Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem różnicy mnogościowej:
e)
)
(
\
)
(
)
\
(
C
A
B
A
C
B
A
,
f)
)
(
\
)
(
)
\
(
A
C
A
B
A
C
B
.
Łączność iloczynu kartezjańskiego zbiorów:
g)
C
B
A
C
B
A
)
(
)
(
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
27
Zadania
zad. 1) Niech:
a)
x
x
x
x
A
1
2
3
2
:
R
,
4
2
:
x
x
B
R
,
b)
0
15
2
:
2
x
x
x
A
R
,
0
6
:
2
x
x
x
B
R
,
c)
0
4
5
:
2
x
x
x
A
R
,
2
6
:
x
x
x
B
R
.
Wyznaczyć:
'
,
'
,
\
,
\
,
,
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
.
zad. 2) Wykazać, że:
a)
'
\
A
B
A
B
,
b)
B
A
A
B
A
\
.
zad. 3) Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:
a)
n
n
A
n
1
4
,
1
3
,
b)
n
n
B
n
,
1
.
Odpowiedź:
a)
4
,
3
N
n
n
A
,
2
7
N
n
n
A
,
b)
,
0
N
n
n
B
,
N
n
n
B
Ø.
zad. 4) Wyznaczyć i narysować:
a)
B
A
,
'
B
A
,
jeżeli
5
2
1
2
:
x
x
x
x
x
A
R
,
6
2
:
y
y
y
B
R
,
b)
2
A ,
N
A
,
jeżeli
0
4
:
2
x
x
x
A
R
,
c)
B
A
,
'
B
A
,
A
Z
,
zad. 5) Wykazać ,że:
a)
A
C
A
B
A
C
B
,
b)
C
A
B
A
C
B
A
,
c)
C
B
C
A
C
B
A
\
\
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
28
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Niech:
a)
6
,
3
3
,
6
A
,
4
,
0
1
,
5
B
,
b)
4
,
3
:
2
x
x
x
A
R
,
19
,
7
4
3
:
x
x
B
R
.
Wyznaczyć:
'
,
'
,
\
,
\
,
,
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
.
Odpowiedź:
a)
6
,
0
1
,
6
B
A
,
4
,
3
3
,
5
B
A
,
6
,
4
5
,
6
\
B
A
,
3
,
0
1
,
3
\
A
B
,
,
6
3
,
3
6
,
'
A
,
,
4
0
,
1
5
,
'
B
b)
2
5
,
4
B
A
,
1
,
4
B
A
,
4
\
B
A
,
A
B \
Ø,
,
1
4
,
'
A
,
,
2
5
4
,
'
B
.
zad. 2) Wykazać, że:
a)
C
A
B
A
C
B
A
,
b)
'
'
'
B
A
B
A
.
zad. 3) Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:
a)
n
n
A
n
1
1
,
1
1
,
b)
n
x
x
B
n
cos
:
R
,
c)
n
n
C
n
1
1
,
1
.
Odpowiedź:
a)
2
,
0
N
n
n
A
,
1
N
n
n
A
,
b)
1
,
1
N
n
n
B
,
N
n
n
B
Ø,
c)
2
,
1
N
n
n
C
,
1
,
0
N
n
n
C
.
zad. 4) Wyznaczyć i narysować:
a)
B
A
,
2
A ,
B
Z
,
jeżeli
4
,
0
3
,
A
,
7
,
4
3
2
,
1
B
.
b)
B
A
,
'
B
A
,
B
A
'
,
2
B ,
jeżeli
0
4
3
:
x
x
x
A
R
,
0
3
2
:
x
x
y
B
R
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
29
Odpowiedź:
a)
7
,
4
3
2
,
1
4
,
0
3
,
:
,
2
y
x
y
x
B
A
R
,
4
,
0
3
,
4
,
0
3
,
:
,
2
2
y
x
y
x
A
R
,
7
,
4
3
2
,
1
:
,
2
y
x
y
x
B
Z
R
Z
,
b)
2
,
3
3
,
4
:
,
2
y
x
y
x
B
A
R
,
,
2
3
,
3
,
4
:
,
'
2
y
x
y
x
B
A
R
,
2
,
3
,
3
4
,
:
,
'
2
y
x
y
x
B
A
R
;
2
2
2
,
3
B
.
zad. 5) Wykazać ,że:
a)
C
A
B
A
C
B
A
,
b)
C
A
B
A
C
B
A
\
\
.