SNy: Biotechnologia
Analiza matematyczna II
– kolokwium I
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
mateusz.jedrzejewski@one.pl
www.jedrzejewski.one.pl
otatka jest częścią projektu SNy Biotechnologia
(Studenckie Notatki Cyfrowe). Udostępniane
są one na stronie internetowej www.sny.one.pl. KaŜdy
moŜe za darmo korzystać z nich w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką włoŜyli
autorzy w opracowanie tej notatki mogą
zdarzyć się błędy. Więc kaŜdy korzysta z tych
notatek na własną odpowiedzialność. ZauwaŜone błędy
proszę zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogą
elektroniczną).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna II - kolokwium I.pdf
Nazwa kursu: Analiza matematyczna II (MAP2005w)
Prowadzący kurs: dr Magdalena Rutkowska
Semestr/rok: 07l (rok 1, II semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka w wersji roboczej
N
U
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 2
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w) – kolokwium I.
Utworzona: 16.04.2007 20:10
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.
Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09
Kolokwium I – Zestaw A
16.04.2007 r.
zad. 1.
Zbadać zbieŜność całki
∫
1
0
sin x
x
dx
.
Jest to całka niewłaściwa drugiego rodzaju, poniewaŜ:
∞
=
+
→
x
x
x
sin
1
lim
0
.
MoŜna oszacować całkę z dołu:
x
x
x
sin
1
1
0
≤
<
(*)
Całka niewłaściwa
∫
1
0
x
dx
jest rozbieŜna do
∞
co wynika z faktu 1.
Fakt 1.
Całka niewłaściwa
∫
b
p
x
dx
0
, gdzie
0
>
b
, jest zbieŜna dla
1
0
<
<
p
i rozbieŜna do
∞
dla
1
≥
p
.
Korzystając z kryterium porównawczego:
Z rozbieŜności całki
∫
1
0
x
dx
oraz szacowania (*) wynika rozbieŜność całki
∫
1
0
sin x
x
dx
.
zad. 2.
Zbadać zbieŜność i zbieŜność bezwzględną szeregu
∑
∞
=
−
2
ln
)
1
(
n
n
n
n
.
Twierdzenie 1.
Szereg
∑
∞
=
2
n
n
a
jest zbieŜny bezwzględnie jeŜeli szereg
∑
∞
=
2
n
n
a
jest zbieŜny.
∑
∑
∞
=
∞
=
=
−
2
2
ln
1
ln
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
(**)
NaleŜy pokazać rozbieŜność szeregu (**) stosując kryterium całkowe:
Niech
x
x
x
f
ln
1
)
(
=
. Funkcja jest malejąca (bo jest odwrotnością iloczynu dwóch funkcji
rosnących). Funkcja przyjmuje wartości dodatnie na
[
)
∞
,
2
.
( )
[
]
( ) ( )
[
]
∞
=
−
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
∫
∫
2
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
lim
lim
lim
2
2
2
T
x
x
x
dx
x
x
dx
T
T
T
T
T
.
Z rozbieŜności do
∞
całki
∫
∞
2
ln x
x
dx
wynika rozbieŜność do
∞
szeregu
∑
∞
=
2
ln
1
n
n
n
.
Z twierdzenia 1. wiadomo, Ŝe szereg nie jest zbieŜny bezwzględnie.
NaleŜy więc sprawdzić zbieŜność:
∑
∞
=
−
2
ln
)
1
(
n
n
n
n
.
Z kryterium Leibniza o zbieŜności szeregu naprzemiennego postaci
∑
∞
=
−
2
)
1
(
n
n
n
b
(****).
Twierdzenie 2.
JeŜeli ciąg
( )
n
b
jest nierosnący oraz
0
lim
=
∞
→
n
n
b
to szereg (****) jest zbieŜny.
#ciąg dalszy na następnej stronie
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 3
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w) – kolokwium I.
Utworzona: 16.04.2007 20:10
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.
Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09
cd. zad. 2.
Szereg
∑
∞
=
−
2
ln
)
1
(
n
n
n
n
jest szeregiem naprzemiennym, gdzie
n
n
b
n
ln
1
=
.
Ciąg
( )
n
b
jest malejący, bo jest odwrotnością iloczynu dwóch ciągów rosnących.
0
0
0
ln
1
1
ln
1
lim
lim
lim
lim
=
⋅
=
⋅
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
b
n
n
n
n
n
Z twierdzenia 2. wiadomo, Ŝe szereg
∑
∞
=
−
2
ln
)
1
(
n
n
n
n
jest zbieŜny.
Ostatecznie: Szereg
∑
∞
=
−
2
ln
)
1
(
n
n
n
n
jest zbieŜny warunkowo, poniewaŜ jest zbieŜny, ale nie jest
zbieŜny bezwzględnie.
zad. 3.
Znaleźć szereg Maclaurina funkcji
2
2
)
(
x
e
x
x
f
−
⋅
=
, określić przedział zbieŜności oraz
obliczyć
)
0
(
)
16
(
f
i
)
0
(
)
17
(
f
.
Fakt 2.
...
!
3
!
2
!
1
1
!
3
2
0
+
+
+
+
=
=
∑
∞
=
x
x
x
n
x
e
n
n
x
dla
R
x
∈
,
Z faktu 2.:
∑
∑
∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
−
−
=
−
=
−
=
⋅
=
0
1
2
0
2
0
2
2
!
2
)
1
(
!
2
)
1
(
!
)
2
(
)
(
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
x
n
x
n
x
x
e
x
x
f
.
NaleŜy zbadać przedział zbieŜności:
∞
=
⋅
⋅
+
=
−
+
⋅
−
=
=
→∞
+
+
→∞
+
→∞
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
R
2
2
2
!
)
1
(
!
2
)
1
(
)!
1
(
!
2
)
1
(
lim
lim
lim
1
1
1
Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda wynika, Ŝe szereg
∑
∞
=
+
−
0
1
2
!
2
)
1
(
n
n
n
n
x
n
jest zbieŜny na R .
Z twierdzenia o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy
∑
∞
=
0
n
n
n
x
c
wynika:
!
)
0
(
!
)
0
(
)
(
)
(
n
c
f
n
f
c
n
n
n
n
⋅
=
⇒
=
=
=
+
=
−
=
k
n
dla
c
k
n
dla
k
c
c
k
k
k
k
n
2
0
1
2
!
2
)
1
(
:
0
!
16
)
0
(
0
16
)
16
(
16
=
⋅
=
⇒
=
c
f
c
!
17
!
8
2
!
17
)
0
(
!
8
2
)
1
(
8
17
)
17
(
8
8
17
⋅
=
⋅
=
⇒
−
=
c
f
c
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 4
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w) – kolokwium I.
Utworzona: 16.04.2007 20:10
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.
Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09
zad. 4.
Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
x
y
y
x
z
1
)
4
sin(
+
−
=
w punkcie
(
)
0
4
1
,
,
1
z
.
4
1
1
)
4
1
sin(
)
,
1
(
)
,
(
)
,
(
4
1
4
1
4
1
0
0
0
=
+
⋅
−
=
=
=
=
f
y
x
f
z
y
x
f
z
Płaszczyzna ma przechodzić przez punktu
(
)
4
,
,
1
4
1
.
Fakt 3
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
)
,
(
y
x
f
w punkcie
(
)
0
0
0
,
,
z
y
x
na postać:
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
y
y
y
x
y
f
x
x
y
x
x
f
z
z
−
⋅
∂
∂
+
−
⋅
∂
∂
=
−
.
1
2
1
1
2
1
)
4
1
cos(
)
,
1
(
)
,
(
2
1
)
4
cos(
1
)
4
sin(
)
,
(
3
4
1
4
1
4
1
0
0
3
−
=
−
=
⋅
⋅
−
⋅
−
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
=
+
−
∂
∂
=
∂
∂
x
f
y
x
x
f
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
x
x
f
18
16
2
1
)
(
1
)
4
1
cos(
1
)
,
1
(
)
,
(
1
)
4
cos(
1
1
)
4
(
)
4
cos(
1
)
4
sin(
)
,
(
2
4
1
4
1
4
1
4
1
0
0
2
2
2
1
2
1
−
=
−
−
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
=
=
−
⋅
−
⋅
−
=
+
−
∂
∂
=
∂
∂
−
−
y
f
y
x
y
f
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
x
y
y
x
y
y
x
y
f
Więc równanie płaszczyzny to:
0
19
2
36
2
0
18
0
1
4
18
)
(
18
)
1
(
1
4
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
2
19
2
9
4
1
0
0
0
0
0
0
0
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
−
−
+
+
−
⋅
−
−
⋅
−
=
−
−
⋅
∂
∂
+
−
⋅
∂
∂
=
−
z
y
x
z
y
x
z
y
x
y
x
z
y
y
y
x
y
f
x
x
y
x
x
f
z
z
Płaszczyzna styczna do funkcji
)
,
(
y
x
f
w punkcie
(
)
4
,
,
1
4
1
ma postać ogólną:
0
19
2
36
2
:
=
−
+
+
z
y
x
π