3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
1
3.
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora
=
{
x
,
y
,
xy
}
(3.1)
Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:
Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń
Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt
zapisujemy:
x
,
=
x
cos
2
y
sin
2
2
xy
sin
cos
(3.2)
y
,
=
x
sin
2
y
cos
2
−2
xy
sin
cos
(3.3)
x ' y '
=−
x
−
y
sin cos
xy
cos
2
−sin
2
(3.4)
lub krócej w postaci macierzowej
'=T
(3.5)
gdzie wektory
'
i
opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych
obróconych i wyjściowych.
Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
y
x
xy
yx
y
x
xy
yx
x
y
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
2
T
=
[
c
2
s
2
2 sc
s
2
c
2
−2 sc
−sc sc c
2
−s
2
]
(3.6)
Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy
wówczas
x
,
=
x
y
2
x
−
y
2
cos
2
xy
sin
2
(3.7)
y
,
=
x
y
2
−
x
−
y
2
cos
2−
xy
sin
2
(3.8)
x ' y '
=−
x
−
y
2
sin
2
xy
cos
2
(3.9)
Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej
niezmiennikami, które zapiszemy następująco:
x
y
=
x '
y '
=const.
(3.10)
x
y
−
xy
2
=
x '
y '
−
x ' y '
2
=const.
(3.11)
Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć
ekstremum równania (3.7) względem kąta
. Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:
tg
2
gł
=
2
xy
x
−
y
(3.12)
I , II
=
x
y
2
±
x
−
y
2
2
xy
2
(3.13)
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt
/4
w
stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:
'
MAX
=
x
y
2
2
xy
2
(3.14)
Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym
składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3
=
{
x
y
xy
}
(3.15)
Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v,
odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:
x
= ∂
u
∂ x
y
= ∂
v
∂ y
xy
= ∂
u
∂ y
∂
v
∂ x
(3.16)
Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:
Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco
=Lu
(3.17)
gdzie wektor
u
=[u , v]
T
, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu
dwuwymiarowego przyjmuje postać:
L
=
[
∂
∂ x
0
0
∂
∂ y
∂
∂ y
∂
∂ x
]
(3.18)
W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
x,u
y,v
∂ u
∂ y
∂ v
∂ x
∂u
∂ y
dy
v∂
v
∂ y
dy
u ∂
u
∂ x
dx
∂ v
∂ x
dx
u
v
dx
dy
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
4
z
=0
xz
=0
yz
=0
(3.19)
Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:
xz
=0
yz
=0
(3.20)
a wartość
z
≠0
Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco
x
=
1
E
x
−
y
y
=
1
E
y
−
x
(3.21)
xy
=
1
G
xy
=
2
1
E
xy
z
=−
E
x
y
(3.22)
lub w postaci relacji odwrotnej
x
=
E
1
−
2
x
y
y
=
E
1
−
2
y
x
(3.23)
xy
=
E
2
1
xy
=
E
1
−
2
xy
(3.24)
gdzie
=
1
−
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci
=C
(3.25)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
5
gdzie
C
=
1
E
[
1
−
0
−
1
0
0
0
2
1
]
(3.26)
lub odwrotnie
=D
(3.27)
gdzie
D
=C
−1
=
E
1
−
2
[
1
0
1 0
0 0
]
(3.28)
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:
z
=0
xz
=0
yz
=0
xz
=0
yz
=0
(3.29)
natomiast
z
≠0
(3.30)
Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco
x
=
1
E
x
−
y
−
z
y
=
1
E
y
−
x
−
z
(3.31)
xy
=
2
1
E
xy
(3.32)
oraz
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
6
z
=
1
E
−
x
−
y
z
=0
(3.33)
skąd
z
=
y
x
(3.34)
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie
x
=
1
E
[
1−
x
−
y
]
(3.35)
y
=
1
E
[
1−
y
−
x
]
(3.36)
xy
=
2
1
E
xy
(3.37)
lub odwracając zależności:
x
=
E
11−2
[
1−
x
−
y
]
(3.38)
y
=
E
11−2
[
1−
y
−
x
]
(3.39)
xy
=
E
2
1
xy
(3.40)
W zapisie macierzowym zapiszemy:
C
=
1
E
[
1
− −
0
− 1− 0
0
0
2
]
(3.41)
oraz
D
=C
−1
=
E
11−2
[
1
−
0
1
−
0
0
0
1
−2
2
]
(3.42)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater