Wykład 1
18.II.2002
wersja na dzień 25 lutego 2002 roku
1.1 Uwagi wstępne
Równania Maxwella były wprowadzone już w kursie fizyki ogólnej. W próżni
mamy:
div ~
E
= 4πρ
(1.1a)
rot ~
B
−
1
c
∂ ~
E
∂t
=
4π
c
~
(1.1b)
rot ~
E
+
1
c
∂ ~
B
∂t
= 0
(1.1c)
div ~
B
= 0
(1.1d)
Równania w tej postaci odpowiadają układowi jednostek Gaussa. Jest on
dogodniejszy (przynajmniej dla mnie) do stosowania przy zagadnień teore-
tycznych. W „legalnym” układzie SI odpowiednie równania mają postać:
div ~
E
=
1
0
ρ
rot ~
B
− µ
0
0
∂ ~
E
∂t
= µ
0
~
rot ~
E
+
∂ ~
B
∂t
= 0
div ~
B
= 0
1
WYKŁAD 1.
18.II.2002
2
Jak widać formalne przejście od równań w układzie jednostek SI do równań
(1.1) w systemie Gaussa realizuje się przez podstawienie
0
→
1
4π
;
µ
0
→
4π
c
I tak prawo Coulomba zapisywane jest w obu układach jako:
~
F
=
1
4π
0
q
1
q
2
|~r
1
− ~r
2
|
3
(~r
1
− ~r
2
)
(układ SI)
~
F
=
q
1
q
2
|~r
1
− ~r
2
|
3
(~r
1
− ~r
2
)
(układ Gaussa)
Poza próżnią, w ciele stałym, odpowiednie równania mają postać:
div ~
D
= 4πρ
rot ~
H
−
1
c
∂ ~
D
∂t
=
4π
c
~
rot ~
E
+
1
c
∂ ~
B
∂t
= 0
div ~
B
= 0
równania materiałowe
Są to równania materiałowe ponieważ wprowadzone są tu nowe pola: pole in-
dukcji elektrycznej ~
D
oraz pole magnetyczne ~
H
. Pola te zależą od własności
ośrodka i w ogólności są skomplikowanym funkcjonałem od pól „podstawo-
wych” ~
E
i ~
B
:
~
D
= D(~r, t; ~
E, ~
B
) ;
~
H
= ~
H
(~r, t; ~
E, ~
B
)
Jedynie w najprostszym przypadku jednorodnego i izotropowego ośrodka ist-
nieją relacje wyrażające prosto ~
D
i ~
H
przy pomocy stałej dielektrycznej i
przenikalności magnetycznej µ:
~
D
(~r, t) = ~
E
(~r, t) ;
~
H
(~r, t) =
1
µ
~
B
(~r, t)
Dla wewnętrznej spójności równań Maxwella konieczna jest zasada zachowa-
nia ładunku. Weźmy jako przykład równania (1.1). Różniczkując po czasie
równania (1.1a), biorąc dywergencję równania (1.1b), wykorzystując tożsa-
mość div rot ~a ≡ 0 i dodając oba równania stronami otrzymuje się równanie
ciągłości
:
∂ρ
∂t
+ div ~ = 0
(1.2)
WYKŁAD 1.
18.II.2002
3
Istotną cechą równań elektrodynamiki jest ich liniowość. Dzięki temu pole
pochodzące od różnych źródeł jest superpozycją pól pochodzących od po-
szczególnych źródeł.
Wprowadzone pola elektromagnetyczne ~
E, ~
B
mają bezpośrednią inter-
pretację fizyczną w momencie gdy podany jest sposób ich pomiaru (detekcji,
rejestracji). Oba pola działają poprzez siłę jaką wywierają na ładunek elek-
tryczny. Jest to siła Lorentza:
~
F
= q( ~
E
+
1
c
~v
× ~
B
)
1.2 Postać całkowa równań Maxwella
Często używanymi narzędziami matematycznymi będą, oprócz analizy wek-
torowej, twierdzenie Gaussa:
Z
V
div ~
A d
3
r
=
I
∂V
~
A
· ~n dσ
(1.3)
oraz twierdzenie Stokesa:
Z
S
rot ~
A
· ~n dσ =
I
∂S
~
A
· d~l
(1.4)
gdzie przez ∂V oraz ∂S oznaczone są odpowiednio: powierzchnia ogranicza-
jąca objętość V oraz krzywa będąca brzegiem powierzchni S.
Stosując twierdzenie Gaussa do równania (1.2) otrzymamy
−
d
dt
Z
V
d
3
r
div ρ(~r, t) =
I
∂V
~
· ~n dσ
Oznacza to zachowanie jako ładunku, jako że
Q
(V )
=
d
dt
Z
V
d
3
r
div ρ(~r, t)
jest ładunkiem zawartym w objętości V .
Przy użyciu twierdzeń Gaussa (1.3)i Stokesa (1.4) otrzymuje się całkową
formę równań Maxwella. I tak równanie (1.1a) daje po wycałkowaniu po
objętości V
Q
(V )
=
1
4π
I
∂V
~
E
· ~n dσ
(1.5)
WYKŁAD 1.
18.II.2002
4
Równanie (1.1b) da po wzięciu całki powierzchniowej przez dowolną po-
wierzchnię S
I
∂S
~
B
· d~l =
4π
c
I
+
1
c
d
dt
Z
S
~
E
· ~n dσ
(1.6)
Jest to zmodyfikowane przez Maxwella (o prąd przesunięcia) prawo Ampera.
Odczytywane „z prawa na lewo” pokazuje, że ze zmiennym w czasie polem
elektrycznym wiąże się pole indukcji magnetycznej.
Równanie (1.1c) daje podobnie prawo indukcji Faradaya:
I
∂S
~
E
· d~l = −
1
c
d
dt
Z
S
~
B
· ~n dσ
(1.7)
czyli indukowana w zamkniętym obwodzie siła elektromotoryczna równa jest
zmianie strumienia pola indukcji magnetycznej. Innymi słowy ze zmiennym
w czasie polem magnetycznym wiąże się pole elektryczne.
I wreszcie równanie (1.1d) daje przy pomocy twierdzenia Gaussa wynik
I
∂V
~
B
· ~n dσ = 0
(1.8)
czyli strumień indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą
jest równy zeru.
1.3 Potencjały elektromagnetyczne
Z równania (1.1d) i tożsamości div rot ~a ≡ 0 wynika, że indukcja magnetyczna
może być zapisana jako rotacja pewnego wektora ~
A
: ~
B
= rot ~
A
. Wektor ~
A
jest potencjałem wektorowym.
Z równania (1.1c) mamy wtedy
rot ~
E
+
1
c
rot
∂ ~
A
∂t
= 0
czyli
rot
~
E
+
1
c
∂ ~
A
∂t
= 0
Tożsamość rot grad ~a ≡ 0 pozwala zapisać wyrażenie pod znakiem rotacji
jako (minus) gradient pewnej funkcji skalarnej φ :
~
E
+
1
c
∂ ~
A
∂t
= −grad φ
WYKŁAD 1.
18.II.2002
5
. Znak minus ma tu charakter czysto techniczny. Funkcja φ jest potencjałem
skalarnym
, a oba potencjały φ i ~
A
tworzą czteropotencjał pola elektromagne-
tycznego
. Mamy zatem pola wyrażone przez czteropotencjał:
~
B
= rot ~
A
(1.9a)
~
E
= −grad φ −
1
c
∂ ~
A
∂t
(1.9b)
Podstawiają równania (1.9) do równań Maxwella (1.1a) i (1.1b) otrzymuje
się układ równań na potencjały wektorowy i skalarny:
4φ +
1
c
∂
div ~
A
∂t
= −4πρ
(1.10)
4 ~
A
−
1
c
2
∂
2
~
A
∂t
2
= −
4π
c
~
+ grad
div ~
A
+
1
c
∂
Φ
∂t
!
;
(1.11)
Przy wyprowadzeniu tych równań skorzystano m.inn. z tożsamości
rot rot ~a ≡ grad div ~a − 4 ~a
oraz
div grad f ≡ 4f
1.4 Zadania i ćwiczenia
Zadania z listy nr 1
Dobrym przewodnikiem - samouczkiem - repetytorem z analizy wektorowej jest
pierwszy rozdział podręcznika D.J. Griffiths’a - „Podstawy elektrodynamiki”. Go-
rąco polecam/zalecam.
Zadanie 1.
Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:
• div rot ~
a
≡ 0
• rot rot ~
a
≡ grad div ~a − 4 ~a
• div grad ϕ ≡ 4 ϕ
• grad (~
a
· ~b) ≡ ~a × rot~b + ~b × rot ~a + (~a ·
−
→
∇)~b + (~b ·
−
→
∇)~a
• div (~
a
× ~b) = ~b · rot ~a − ~a · rot~b
WYKŁAD 1.
18.II.2002
6
Zadanie 2.
Wprowadzamy tensor Levi - Civita (y?):
ijk
=
1
gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3,
−1 gdy i,j,k są nieparzystą permutacją liczb 1,2,3,
0
gdy którakolwiek z liczb i,j,k powtarza się.
• Pokazać, że składowe iloczynu wektorowego ~
a
×~b można wtedy zapisać (z
wykorzystaniem konwencji sumacyjnej) jako
(~a × ~b)
i
=
ijk
a
j
b
k
• Zapisać tożsamości z poprzedniego zadania z wykorzystaniem konwencji
sumacyjnej i użycia (tam gdzie można) symbolu
ijk
.
Zadanie 3.
Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Gaussa dla funkcji wektorowej
~a
(~r) = (x
2
y, z,
2z + 3y) i obszaru całkowania w postaci sześcianu o boku 2 i kra-
wędziach równoległych do osi układu. Początek układu współrzędnych pokrywa
się ze środkiem sześcianu.
Zadanie 4.
Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Stokesa dla funkcji wektorowej
~a
(~r) = (6, yz
2
,
3y + z). Powierzchnią całkowania jest trójkąt o wierzchołkach w
punktach {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)}.
Zadanie 5.
Spróbować sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Gaussa dla funkcji
wektorowej
~a
(~r) =
~r
r
2
i obszaru całkowania w postaci kuli o boku 1 ze środkiem pokrywającym się z
początkiem układu.
Na czym polega trudność w tym zadaniu?
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Powtórzyć rachunki prowadzące do równań (1.10) i (1.11).
Ćwiczenie 2.
Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:
• div (f~
a
) = f div ~a + ~a · grad f
WYKŁAD 1.
18.II.2002
7
• rot (f~
a
) = f rot ~a − ~a × grad f
• rot (~
a
× ~b) = (~b ·
−
→
∇) ~a − (~a ·
−
→
∇)~b + ~adiv~b − ~b div ~a
Ćwiczenie 3.
Pokazać, że dla symbolu
ijk
zachodzi
ijk
prs
=
δ
ip
δ
ir
δ
is
δ
jp
δ
jr
δ
js
δ
kp
δ
kr
δ
ks
a w konsekwencji (z użyciem konwencji sumacyjnej)
ijk
prk
= δ
ip
δ
jr
− δ
ir
δ
jp
ijk
pjk
= 2δ
ip
ijk
ijk
= 6
Ćwiczenie 4.
Udowodnić używając symbolu
ijk
~a
· (~b × ~c) ≡ ~b · (~c × ~a) − ~c · (~a × ~b)
~a
× (~b × ~c) ≡ ~b (~a · ~b) − ~c (~a · ~b)
Ćwiczenie 5.
Rozpisując równania Maxwella na składowe otrzymujemy 8 równań. Pola ~
E
i B
mają razem 6 składowych. Jak to interpretować?
Ćwiczenie 6.
Pokazać, że z równań Maxwella (1.1) wynikają następujące równania:
4 ~
B
−
1
c
2
∂
2
~
B
∂t
2
= −
4π
c
rot ~
4 ~
E
−
1
c
2
∂
2
~
E
∂t
2
= 4π
−
→
∇ρ +
4π
c
∂~
∂t