Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

35

3.3. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG

GEOMETRYCZNY

R

1

, R

2

, . . . , R

n

- kolejne raty renty

{R

j

} – ciąg geometryczny

(66)

R

j

=

R

1

q

j-1

gdzie:

q – iloraz ciągu, R

1

>0 – pierwsza rata

q > 1 – ciąg R

j

rosnący,

q=1

– ciąg R

j

stały

0<q <1 – ciąg R

j

malejący

Wartość początkowa renty geometrycznej płatnej z dołu

R

(0)

= R

1

v+R

2

v

2

+R

3

v

3

+ ... +R

n

v

n

R

(0)

= R

1

v+ R

1

qv

2

+ R

1

q

2

v

3

+ ...+ R

1

q

n-1

v

n

R

(0)

=R

1

v(1+(qv)+ (qv)

2

+ ...+ (qv)

n-1

Dla q=1+i

⇒ qv=1

dla

q=1+i

(67)

v

nR

R

1

)

0

(

=

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

36

Dla q

≠1+v

q

)

i

1

(

q

)

i

1

(

)

i

1

(

R

)

qv

(

1

)

qv

(

1

v

R

R

n

n

n

1

n

1

)

0

(

−

+

−

+

+

=

−

−

⋅

=

−

q

)

i

1

(

q

)

i

1

(

)

i

1

(

R

R

n

n

n

1

)

0

(

−

+

−

+

+

=

−

dla q

≠1+i (68)

gdzie: R

(0)

- wartość początkowa renty geometrycznej

Wartość końcowa renty geometrycznej płatnej z dołu

R

(n)

= R

1

(1+i)

n-1

+ R

2

(1+i)

n-2

+ ... + R

n

R

(n)

= R

1

(1+i)

n-1

+ R

1

q(1+i)

n-2

+ R

1

q

2

(1+i)

n-3

+... + R

1

q

n-1

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

+

=

−

−

1

n

2

1

n

1

)

n

(

i

1

q

...

i

1

q

i

1

q

1

)

i

1

(

R

R

Dla q=1+i

(69)

R

(n)

= nR

1

(1+i)

n-1

Dla q

≠1+i

q

i

1

q

)

i

1

(

R

i

1

q

1

i

1

q

1

)

i

1

(

R

R

n

n

1

n

1

n

1

)

n

(

−

+

−

+

=

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

+

=

−

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

37

Dla q

≠1+i

q

i

1

q

)

i

1

(

R

R

n

n

1

)

n

(

−

+

−

+

=

(70)

Wartość początkowa renty geometrycznej nieskończonej

Założenie: 0<q<1+i

1

i

1

q <

+

⇒

0

i

1

q

lim

n

n

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∞

→

q

i

1

q

)

i

1

(

)

i

1

(

R

lim

R

n

n

n

1

n

)

0

(

−

+

−

+

+

=

−

∞

→

∞

q

i

1

R

q

i

1

i

1

q

1

R

lim

R

1

n

1

n

)

0

(

−

+

=

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

∞

→

∞

q

i

1

R

R

1

)

0

(

−

+

=

∞

(71)

q:= 1+r gdzie r – stopa wzrostu renty geometrycznej

r

i

R

R

1

)

0

(

−

=

∞

(72)

gdzie: q – iloraz renty geometrycznej nieskończonej

r – stopa wzrostu renty geometrycznej nieskończonej

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

38

Przykład 11.

(Model stałego wzrostu dywidendy– model Gordona – Shapiro)

Rozważmy akcję zwykłą, którą inwestor zamierza trzymać

bezterminowo. Rynkowa stopa zwrotu wynosi 20%. Spólka

wypłaciła dywidendę w wysokości 100zł. Zakładamy, że spół-

ka będzie się rozwijać w stałym tempie, co spowoduje wzrost

dywidendy w stałym tempie 10% rocznie. Wycenić akcje spół-

ki.

R

1

= 100(1+0,1) = 110 zł

1100

1

,

0

110

1

,

0

2

,

0

)

1

,

0

1

(

100

R

)

0

(

=

=

−

+

=

∞

zł

r

i

)

r

1

(

D

P

−

+

=

(73)

gdzie: P – cena akcji

D

–

wypłacona dywidenda

r – zakładana stopa wzrostu dywidendy

i – wymagana stopa zwrotu inwestora

☺☺☺☺☺☺☺☺

Stan funduszu emerytalnego dla renty geometrycznej (q

≠1+i)

E

n

= E(1+i)

n

– R

(n)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

39

q

i

1

q

)

i

1

(

R

)

i

1

(

E

E

n

n

1

n

n

−

+

−

+

−

+

=

(74)

gdzie: E

n

– stan funduszu po n wypłatach

R

1

– pierwsza rata renty geometrycznej

i – tempo wzrostu wartości kapitału (stopa procentowa)

q – iloraz renty geometrycznej

n – liczba wypłaconych rat renty.

3.4. RENTA UOGÓLNIONA

Niezgodność okresów:

Stopy procentowej, kapitalizacji, renty (wpłat, wypłat)

Uzgadniamy do okresu renty.

Renta stała niezgodna (uogólniona)

i

|

n

)

0

(

Ra

R

=

i

|

n

)

n

(

Rs

R

=

(renta zgodna)

a) okres renty = okres kapitalizacji

≠

okresu stopy procentowej

Uzgodnienie

renty

polega na wprowadzaniu stopy względnej

m

i

)

m

(

- kapitalizacja w podokresach stopy procentowej

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

40

m

i

(m)

- kapitalizacja w nadokresach stopy procentowej

Przykład 12.

Wypłacana jest miesięczna renta płatna z dołu w wysokości

500zł przez okres 5 lat. Zakładając miesięczną kapitalizację

oraz roczną stopę procentową i = 0,24, obliczyć wartość po-

czątkową i końcową tej renty.

02

,

0

12

24

,

0

12

i

=

=

- dostosowana stopa procentowa

R

(0)

= 500

⋅

=

⏐ 02

,

0

60

a

500

⋅34,76089 ≈ 17380,44zł

R

(6)

= 500

⋅

=

⏐ 02

,

0

60

s

500

⋅114,05154 ≈ 57025,77zł

☺☺☺☺☺☺☺☺

b) okres renty > okres kapitalizacji

≠

okresu stopy procentowej

Okres renty zawiera w sobie m okresów kapitalizacji.

Renta półroczna, kapitalizacja miesięczna, stopa roczna

Uzgodnienie renty

Przejście na kapitalizację równoważną o okresie zgodnym z

okresem renty

(75)

i

ef

= (1+r)

m

– 1

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

41

gdzie:

r – uzgodniona (względna) stopa procentowa o okresie

zgodnym z okresem kapitalizacji

m – liczba okresów kapitalizacji w okresie renty.

Przykład13.

Wypłacana jest kwartalna renta stała płatna z dołu w wysoko-

ści 500zł przez okres 5 lat. Zakładając kapitalizację miesięczną

oraz roczną stopę procentową i = 0,24, obliczyć wartość po-

czątkową i końcową tej renty.

02

,

0

12

24

,

0

r

=

=

- miesięczna stopa procentowa

m = 3 okresy kapitalizacji w jednym okresie renty

efektywna kwartalna stopa procentowa

i

ef

= (1+0,02)

3

– 1

≈0,0612 (6,12%)

n = 5

⋅4 =20 – liczba kwartałów

R

(0)

= 500

⋅

=

⏐ 0612

,

0

20

a

500

⋅11,35901 ≈ 5679,51zł

R

(20)

= 500

⋅

=

⏐ 0612

,

0

20

s

500

⋅37,26366 ≈ 18631,83zł

☺☺☺☺☺☺☺☺

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

42

c) okres renty < okres kapitalizacji

≠

okresu stopy procentowej

Renta miesięczna przy półrocznej kapitalizacji i rocznej stopie

procentowej

Uzgodnienie renty

Przejście na kapitalizację równoważną w okresie zgodnym z

okresem renty

1

)

r

1

(

i

m

1

ef

−

+

=

(76)

gdzie:

r – uzgodniona (względna) stopa procentowa o okresie

zgodnym z okresem kapitalizacji

m – liczba okresów renty w jednym okresie kapitalizacji.

Przykład 14.

Wypłacana jest miesięczna renta stała płatna z dołu w wysoko-

ści 500zł przez okres 5 lat. Zakładając kapitalizację kwartalną

oraz roczną stopę procentową i = 0,24, obliczyć wartość po-

czątkową i końcową tej renty.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

43

06

,

0

4

24

,

0

r

=

=

- kwartalna stopa procentowa

i

ef

= (1+0,06)

⅓

– 1

≈0,0196 (1,96%)

n = 5

⋅12 =60

R

(0)

= 500

⋅

=

⏐ 0196

,

0

60

a

500

⋅35,09999 ≈ 17550zł

R

(60)

= 500

⋅

=

⏐ 0196

,

0

60

s

500

⋅112,48553 ≈ 56242,77zł

☺☺☺☺☺☺☺☺

Wartość renty na koniec pierwszego okresu kapitalizacji (ba-

zowego)

0

m

1

m

2

...

m

1

m

−

1

m

1

m

+

...

2 ...

3

R

R

R . . . R

R

R . . . R

R

R

R

R R R R R

.

.

.

R

R

R

z dołu
z góry

czas

p

1

p

2

p

3

procent

Rys. Renta płatna z dołu i z góry

R

(1)

– wartość renty na koniec pierwszego okresu

R

(1)

= mR +p

(1)

R

(1+)

= mR +p

(1+)

m

i

- względna stopa procentowa

m – liczba wpłat (wypłat)

R – stała wpłata

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

44

R

)

2

m

(

m

i

R

)

1

m

(

m

i

R

p

)

1

(

+

+

−

+

−

=

L

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

−

=

)

1

m

(

2

1

1

m

m

i

R

p

)

1

(

2

1

m

m

i

R

p

)

1

(

−

=

(77)

m

i

R

)

1

m

(

m

i

R

m

m

i

R

p

)

1

(

+

+

−

+

⋅

=

+

L

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

=

+

m

2

1

m

m

i

R

p

)

1

(

2

1

m

i

R

p

)

1

(

+

=

+

(78)

2

1

m

i

R

R

m

R

2

1

m

i

R

R

m

R

)

1

(

)

1

(

+

+

=

−

+

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

i

2

1

m

m

R

R

)

1

(

(79)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

i

2

1

m

m

R

R

)

1

(

(80)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

45

R

(2)

= R

(1)

(1+i) + R

(1)

R

(3)

= R

(2)

(1+i) + R

(1)

= R

(1)

(1+i)

2

+ R

(1)

(1+i) + R

(1)

R

(n)

= R

(1)

(1+i)

n-1

+ R

(1)

= R

(1)

(1+i)

(n-2)

+ ... + R

(1)

i

|

n

)

1

(

)

n

(

s

R

R

=

(81)

i

|

n

)

1

(

)

n

(

s

R

R

+

+

=

(82)

i

|

n

)

n

(

s

i

2

1

m

m

R

R

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

(83)

i

|

n

)

n

(

s

i

2

1

m

m

R

R

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

(84)

Wartość początkowa renty stałej – mieszanej

R

(0)

= R

(n)

(1+i)

-n

R

(0+)

= R

(n+)

(1+i)

-n

i

|

n

)

1

(

)

0

(

a

R

R

=

i

|

n

)

1

(

)

0

(

a

R

R

+

+

=

i

|

n

)

0

(

a

i

2

1

m

m

R

R

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

(85)

i

|

n

)

0

(

a

i

2

1

m

m

R

R

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

(86)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renta uogólniona

46

Przykład 15.

Wyznaczyć wysokość maksymalnej renty kwartalnej wypłaca-

nej z dołu przez 10 lat z kapitału 100 tys. zł. Roczna stopa pro-

centowa wynosi 9%, a kapitalizacja jest roczna.

Model oprocentowania mieszanego

E

n

= E(1+i)

n

– R

(n)

= 0

0

s

i

2

1

m

m

R

)

i

1

(

E

E

i

|

n

n

n

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

−

+

=

0

09

,

0

1

)

09

,

0

1

(

09

,

0

2

1

4

4

R

)

09

,

0

1

(

100

10

=

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

−

+

Stąd R = 3768,30zł

☺☺☺☺☺☺☺☺