Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
35
3.3. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG
GEOMETRYCZNY
R
1
, R
2
, . . . , R
n
- kolejne raty renty
{R
j
} – ciąg geometryczny
(66)
R
j
=
R
1
q
j-1
gdzie:
q – iloraz ciągu, R
1
>0 – pierwsza rata
q > 1 – ciąg R
j
rosnący,
q=1
– ciąg R
j
stały
0<q <1 – ciąg R
j
malejący
Wartość początkowa renty geometrycznej płatnej z dołu
R
(0)
= R
1
v+R
2
v
2
+R
3
v
3
+ ... +R
n
v
n
R
(0)
= R
1
v+ R
1
qv
2
+ R
1
q
2
v
3
+ ...+ R
1
q
n-1
v
n
R
(0)
=R
1
v(1+(qv)+ (qv)
2
+ ...+ (qv)
n-1
Dla q=1+i
⇒ qv=1
dla
q=1+i
(67)
v
nR
R
1
)
0
(
=
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
36
Dla q
≠1+v
q
)
i
1
(
q
)
i
1
(
)
i
1
(
R
)
qv
(
1
)
qv
(
1
v
R
R
n
n
n
1
n
1
)
0
(
−
+
−
+
+
=
−
−
⋅
=
−
q
)
i
1
(
q
)
i
1
(
)
i
1
(
R
R
n
n
n
1
)
0
(
−
+
−
+
+
=
−
dla q
≠1+i (68)
gdzie: R
(0)
- wartość początkowa renty geometrycznej
Wartość końcowa renty geometrycznej płatnej z dołu
R
(n)
= R
1
(1+i)
n-1
+ R
2
(1+i)
n-2
+ ... + R
n
R
(n)
= R
1
(1+i)
n-1
+ R
1
q(1+i)
n-2
+ R
1
q
2
(1+i)
n-3
+... + R
1
q
n-1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
=
−
−
1
n
2
1
n
1
)
n
(
i
1
q
...
i
1
q
i
1
q
1
)
i
1
(
R
R
Dla q=1+i
(69)
R
(n)
= nR
1
(1+i)
n-1
Dla q
≠1+i
q
i
1
q
)
i
1
(
R
i
1
q
1
i
1
q
1
)
i
1
(
R
R
n
n
1
n
1
n
1
)
n
(
−
+
−
+
=
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
−
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
37
Dla q
≠1+i
q
i
1
q
)
i
1
(
R
R
n
n
1
)
n
(
−
+
−
+
=
(70)
Wartość początkowa renty geometrycznej nieskończonej
Założenie: 0<q<1+i
1
i
1
q <
+
⇒
0
i
1
q
lim
n
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞
→
q
i
1
q
)
i
1
(
)
i
1
(
R
lim
R
n
n
n
1
n
)
0
(
−
+
−
+
+
=
−
∞
→
∞
q
i
1
R
q
i
1
i
1
q
1
R
lim
R
1
n
1
n
)
0
(
−
+
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
∞
→
∞
q
i
1
R
R
1
)
0
(
−
+
=
∞
(71)
q:= 1+r gdzie r – stopa wzrostu renty geometrycznej
r
i
R
R
1
)
0
(
−
=
∞
(72)
gdzie: q – iloraz renty geometrycznej nieskończonej
r – stopa wzrostu renty geometrycznej nieskończonej
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
38
Przykład 11.
(Model stałego wzrostu dywidendy– model Gordona – Shapiro)
Rozważmy akcję zwykłą, którą inwestor zamierza trzymać
bezterminowo. Rynkowa stopa zwrotu wynosi 20%. Spólka
wypłaciła dywidendę w wysokości 100zł. Zakładamy, że spół-
ka będzie się rozwijać w stałym tempie, co spowoduje wzrost
dywidendy w stałym tempie 10% rocznie. Wycenić akcje spół-
ki.
R
1
= 100(1+0,1) = 110 zł
1100
1
,
0
110
1
,
0
2
,
0
)
1
,
0
1
(
100
R
)
0
(
=
=
−
+
=
∞
zł
r
i
)
r
1
(
D
P
−
+
=
(73)
gdzie: P – cena akcji
D
–
wypłacona dywidenda
r – zakładana stopa wzrostu dywidendy
i – wymagana stopa zwrotu inwestora
☺☺☺☺☺☺☺☺
Stan funduszu emerytalnego dla renty geometrycznej (q
≠1+i)
E
n
= E(1+i)
n
– R
(n)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
39
q
i
1
q
)
i
1
(
R
)
i
1
(
E
E
n
n
1
n
n
−
+
−
+
−
+
=
(74)
gdzie: E
n
– stan funduszu po n wypłatach
R
1
– pierwsza rata renty geometrycznej
i – tempo wzrostu wartości kapitału (stopa procentowa)
q – iloraz renty geometrycznej
n – liczba wypłaconych rat renty.
3.4. RENTA UOGÓLNIONA
Niezgodność okresów:
Stopy procentowej, kapitalizacji, renty (wpłat, wypłat)
Uzgadniamy do okresu renty.
Renta stała niezgodna (uogólniona)
i
|
n
)
0
(
Ra
R
=
i
|
n
)
n
(
Rs
R
=
(renta zgodna)
a) okres renty = okres kapitalizacji
≠
okresu stopy procentowej
Uzgodnienie
renty
polega na wprowadzaniu stopy względnej
m
i
)
m
(
- kapitalizacja w podokresach stopy procentowej
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
40
m
i
(m)
- kapitalizacja w nadokresach stopy procentowej
Przykład 12.
Wypłacana jest miesięczna renta płatna z dołu w wysokości
500zł przez okres 5 lat. Zakładając miesięczną kapitalizację
oraz roczną stopę procentową i = 0,24, obliczyć wartość po-
czątkową i końcową tej renty.
02
,
0
12
24
,
0
12
i
=
=
- dostosowana stopa procentowa
R
(0)
= 500
⋅
=
⏐ 02
,
0
60
a
500
⋅34,76089 ≈ 17380,44zł
R
(6)
= 500
⋅
=
⏐ 02
,
0
60
s
500
⋅114,05154 ≈ 57025,77zł
☺☺☺☺☺☺☺☺
b) okres renty > okres kapitalizacji
≠
okresu stopy procentowej
Okres renty zawiera w sobie m okresów kapitalizacji.
Renta półroczna, kapitalizacja miesięczna, stopa roczna
Uzgodnienie renty
Przejście na kapitalizację równoważną o okresie zgodnym z
okresem renty
(75)
i
ef
= (1+r)
m
– 1
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
41
gdzie:
r – uzgodniona (względna) stopa procentowa o okresie
zgodnym z okresem kapitalizacji
m – liczba okresów kapitalizacji w okresie renty.
Przykład13.
Wypłacana jest kwartalna renta stała płatna z dołu w wysoko-
ści 500zł przez okres 5 lat. Zakładając kapitalizację miesięczną
oraz roczną stopę procentową i = 0,24, obliczyć wartość po-
czątkową i końcową tej renty.
02
,
0
12
24
,
0
r
=
=
- miesięczna stopa procentowa
m = 3 okresy kapitalizacji w jednym okresie renty
efektywna kwartalna stopa procentowa
i
ef
= (1+0,02)
3
– 1
≈0,0612 (6,12%)
n = 5
⋅4 =20 – liczba kwartałów
R
(0)
= 500
⋅
=
⏐ 0612
,
0
20
a
500
⋅11,35901 ≈ 5679,51zł
R
(20)
= 500
⋅
=
⏐ 0612
,
0
20
s
500
⋅37,26366 ≈ 18631,83zł
☺☺☺☺☺☺☺☺
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
42
c) okres renty < okres kapitalizacji
≠
okresu stopy procentowej
Renta miesięczna przy półrocznej kapitalizacji i rocznej stopie
procentowej
Uzgodnienie renty
Przejście na kapitalizację równoważną w okresie zgodnym z
okresem renty
1
)
r
1
(
i
m
1
ef
−
+
=
(76)
gdzie:
r – uzgodniona (względna) stopa procentowa o okresie
zgodnym z okresem kapitalizacji
m – liczba okresów renty w jednym okresie kapitalizacji.
Przykład 14.
Wypłacana jest miesięczna renta stała płatna z dołu w wysoko-
ści 500zł przez okres 5 lat. Zakładając kapitalizację kwartalną
oraz roczną stopę procentową i = 0,24, obliczyć wartość po-
czątkową i końcową tej renty.
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
43
06
,
0
4
24
,
0
r
=
=
- kwartalna stopa procentowa
i
ef
= (1+0,06)
⅓
– 1
≈0,0196 (1,96%)
n = 5
⋅12 =60
R
(0)
= 500
⋅
=
⏐ 0196
,
0
60
a
500
⋅35,09999 ≈ 17550zł
R
(60)
= 500
⋅
=
⏐ 0196
,
0
60
s
500
⋅112,48553 ≈ 56242,77zł
☺☺☺☺☺☺☺☺
Wartość renty na koniec pierwszego okresu kapitalizacji (ba-
zowego)
0
m
1
m
2
...
m
1
m
−
1
m
1
m
+
...
2 ...
3
R
R
R . . . R
R
R . . . R
R
R
R
R R R R R
.
.
.
R
R
R
z dołu
z góry
czas
p
1
p
2
p
3
procent
Rys. Renta płatna z dołu i z góry
R
(1)
– wartość renty na koniec pierwszego okresu
R
(1)
= mR +p
(1)
R
(1+)
= mR +p
(1+)
m
i
- względna stopa procentowa
m – liczba wpłat (wypłat)
R – stała wpłata
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
44
R
)
2
m
(
m
i
R
)
1
m
(
m
i
R
p
)
1
(
+
+
−
+
−
=
L
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
)
1
m
(
2
1
1
m
m
i
R
p
)
1
(
2
1
m
m
i
R
p
)
1
(
−
=
(77)
m
i
R
)
1
m
(
m
i
R
m
m
i
R
p
)
1
(
+
+
−
+
⋅
=
+
L
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
=
+
m
2
1
m
m
i
R
p
)
1
(
2
1
m
i
R
p
)
1
(
+
=
+
(78)
2
1
m
i
R
R
m
R
2
1
m
i
R
R
m
R
)
1
(
)
1
(
+
+
=
−
+
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
i
2
1
m
m
R
R
)
1
(
(79)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
i
2
1
m
m
R
R
)
1
(
(80)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
45
R
(2)
= R
(1)
(1+i) + R
(1)
R
(3)
= R
(2)
(1+i) + R
(1)
= R
(1)
(1+i)
2
+ R
(1)
(1+i) + R
(1)
R
(n)
= R
(1)
(1+i)
n-1
+ R
(1)
= R
(1)
(1+i)
(n-2)
+ ... + R
(1)
i
|
n
)
1
(
)
n
(
s
R
R
=
(81)
i
|
n
)
1
(
)
n
(
s
R
R
+
+
=
(82)
i
|
n
)
n
(
s
i
2
1
m
m
R
R
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
(83)
i
|
n
)
n
(
s
i
2
1
m
m
R
R
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
(84)
Wartość początkowa renty stałej – mieszanej
R
(0)
= R
(n)
(1+i)
-n
R
(0+)
= R
(n+)
(1+i)
-n
i
|
n
)
1
(
)
0
(
a
R
R
=
i
|
n
)
1
(
)
0
(
a
R
R
+
+
=
i
|
n
)
0
(
a
i
2
1
m
m
R
R
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
(85)
i
|
n
)
0
(
a
i
2
1
m
m
R
R
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
(86)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renta uogólniona
46
Przykład 15.
Wyznaczyć wysokość maksymalnej renty kwartalnej wypłaca-
nej z dołu przez 10 lat z kapitału 100 tys. zł. Roczna stopa pro-
centowa wynosi 9%, a kapitalizacja jest roczna.
Model oprocentowania mieszanego
E
n
= E(1+i)
n
– R
(n)
= 0
0
s
i
2
1
m
m
R
)
i
1
(
E
E
i
|
n
n
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
=
0
09
,
0
1
)
09
,
0
1
(
09
,
0
2
1
4
4
R
)
09
,
0
1
(
100
10
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
Stąd R = 3768,30zł
☺☺☺☺☺☺☺☺