Kolokwium nr 1 z matematyki
Wydzia l WILi´
S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013
Zad.1. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Wykaza´c, ˙ze pole wektorowe ~
F
= [2 sin(y + z) − e
y+2z
,
2x cos(y + z) − xe
y+2z
,
2x cos(y + z) − 2xe
y+2z
+ 2z] jest
potencjalne. Wyznaczy´c potencja l tego pola a nast¸epnie obliczy´c ca lk¸e
R
L
(2 sin(y + z) − e
y+2z
)dx + (2x cos(y + z) − xe
y+2z
)dy + (2x cos(y + z) − 2xe
y+2z
+ 2z)dz.
gdzie luk L : {y =
√
1 − x
2
, z
= x − 1} dla x ∈ [0, 1].
Zad.2. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Obliczy´c
R
L
px
2
+ y
2
dl
, gdzie L jest okr¸egiem o r´ownaniu x
2
+ y
2
= 2x.
Zad.3. [2p+4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
a) Sformu lowa´c twierdzenie Greena.
b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c
R
L
ydx
+ 2xdy, gdzie luk L jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach
O
(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) zorientowanym ujemnie wzgl¸edem swego wn¸etrza.
Zad.4. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Wyznaczy´c r´ownanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej do krzywej ~r(t) = [2t −
1
t
2
, t
+
3
t
,
−
1
t
3
] w
punkcie odpowiadaj¸acym t
0
= −1.
Zad.5. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
Wykaza´c, ˙ze krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x
2
,
6z = x
3
} s¸a sobie r´owne w ka˙zdym punkcie krzywej L.