Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Zad.1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wykaza´c, ˙ze pole wektorowe ~

F

= [2 sin(y + z) − e

y+2z

,

2x cos(y + z) − xe

y+2z

,

2x cos(y + z) − 2xe

y+2z

+ 2z] jest

potencjalne. Wyznaczy´c potencja l tego pola a nast¸epnie obliczy´c ca lk¸e

R

L

(2 sin(y + z) − e

y+2z

)dx + (2x cos(y + z) − xe

y+2z

)dy + (2x cos(y + z) − 2xe

y+2z

+ 2z)dz.

gdzie luk L : {y =

√

1 − x

2

, z

= x − 1} dla x ∈ [0, 1].

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c

R

L

px

2

+ y

2

dl

, gdzie L jest okr¸egiem o r´ownaniu x

2

+ y

2

= 2x.

Zad.3. [2p+4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Sformu lowa´c twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c

R

L

ydx

+ 2xdy, gdzie luk L jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach

O

(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) zorientowanym ujemnie wzgl¸edem swego wn¸etrza.

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczy´c r´ownanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej do krzywej ~r(t) = [2t −

1

t

2

, t

+

3

t

,

−

1

t

3

] w

punkcie odpowiadaj¸acym t

0

= −1.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Wykaza´c, ˙ze krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x

2

,

6z = x

3

} s¸a sobie r´owne w ka˙zdym punkcie krzywej L.