2.3. UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE

Ubezpieczeniem na dożycie nazywamy ubezpieczenie, na mocy którego ubezpieczy-

ciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia ubezpieczonemu w końcu n-

tego roku od momentu ubezpieczenia (w momencie x+n), jeżeli ubezpieczony będący

w momencie zawierania umowy ubezpieczenia w wieku x dożyje wieku x+n.

Dla wyznaczenia rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej S

3

charakteryzu-

jącej ubezpieczenie na dożycie, wartości oczekiwanej tej zmiennej E(S

3

), jednorazowej

składki netto oraz wariancji, przyjmujemy wszystkie założenia i oznaczenia poczynione w

rozdziale 2.1. Wobec tego zobowiązania ubezpieczyciela w przypadku ubezpieczenie na

dożycie określa kapitał losowy

S

dla K

n

v

dla K n

n

3

0

012

=

=

−

≥

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

, , , . . .

1

(2.22)

o rozkładzie prawdopodobieństwa

Pr (

)

ob S

p q

q

k x x k

k

n

n x

3

0

1

0

=

=

=

+

=

−

∑

(2.23)

Pr (

)

ob S

v

p q

p

n

k x x k

k

n

n x

3

0

1

1

=

= −

=

+

=

−

∑

(2.24)

gdzie: n- okres dożycia.

Rozkład zmiennej losowej S

3

- ubezpieczenie na dożycie jest, więc rozkładem dwupunk-

towym przyjmującym wartość S

0

= 0 gdy ubezpieczony w wieku x nie dożyje wieku x+n

lub s

1

= v

n

gdy ubezpieczony dożyje wieku x+n (por. rozkład zero- jedynkowy)

9

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S

3

k k=0,1,2,

...n-1

n

s

k

0 v

n

P(S

3

=s

k

)

k x x k

k

n

n x

p q

q

+

=

−

∑

=

0

1

n x

n x

p

q

= −

1

Jednorazowa składka netto tego ubezpieczenia jest więc równa

41

A

E S

v

p q

x n

n

k x x k

k

n

:

( )

⏐

+

=

−

=

=

−

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

∑

3

3

0

1

1

(2.25)

A

E S

v

x n

n

n x

:

( )

⏐

=

=

3

3

p

(2.26)

natomiast wariancja zmiennej losowej S

3

jest równa

D S

v

p q

n

n x n x

( )

3

2

2

=

2.27)

Korzystając z własności funkcji tablicowych

10

oraz liczb komutacyjnych wzory 2.26 i

2.27 możemy przekształcić do postaci

A

D

D

x n

x n

x

:

⏐

+

=

3

(2.28)

Wariancję zmiennej losowe S

3

możemy wyznaczyć ze wzoru

( )

D S

A

A

x n r

r

x n

2

3

2

3

2

( )

: (

)

:

=

−

⏐ +

⏐

3

(2.29)

Dla ilustracji własności zmiennej losowej S

3

w tablicy 2.8 zamieszczono rozkład tej

zmiennej dla sumy ubezpieczenia 50 tys. zł. oraz technicznej stopy procentowej r=0,05.

Tablica 2.8. Rozkład prawdopodobieństwa ubezpieczenia na dożycie

Kapitał losowy S

3

- 5 lat

Lata Obecna war-

tość sumy

Mężczyzna

Kobieta

ubezpieczenia x=20 lat

x=40 lat

x=20 lat

x=40 lat

k

50v

(k+1)

Prob(S

3

=k) Prob(S

3

=k) Prob(S

3

=k) Prob(S

3

=k)

0 - 4

0

0,008403

0,029607

0,001948

0,010718

5 39,176 0,991597

0,970393 0,998052 0,989282

9

Jóźwiak J.,Podgórski J., Statystyka od podstaw; PWE 1994

10

Mijakowska Jadwiga,Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991, GUS Warszawa 1993

42

ciąg dalszy tablicy 2.8

Kapitał losowy S

3

- 20 lat

Lata Obecna war-

tość sumy

Mężczyzna

Kobieta

ubezpieczenia x=20 lat

x=40 lat

x=20 lat

x=40 lat

k

50v

(k+1)

Prob(S

3

k)

Prob(S

3

k) Prob(S

3

k) Prob(S

3

k)

0-19 0 0,048494

0,220955 0,014246 0,084675

20 18,844 0,951506

0,779045 0,985754 0,915325

Analizując dane zawarte w tablicy 2.8 zauważmy, że rozkład prawdopodobieństwa zmien-

nej losowej S

3

jest podobnie skrajnie asymetryczny jak rozkład zmiennej losowej S

2

.

Prawdopodobieństwo wypłaty sumy ubezpieczenia przez ubezpieczyciela dla krótkich

okresów ubezpieczenia waha się w granicach od 0,97 do 0,99 (jest prawie równe 1). Wo-

bec powyższego należy się spodziewać, że składka za to ubezpieczenie będzie wysoka i w

przybliżeniu równa wartości zdyskontowanej na okres ubezpieczenia sumy ubezpieczenia.

Podobnie będzie w przypadku ubezpieczenia na długie okresy (20 lat). Składka za ubez-

pieczenie będzie wysoka i w przybliżeniu równa obecnej wartości sumy ubezpieczenia.

Wraz ze wzrostem wieku osoby ubezpieczonej prawdopodobieństwo dożycia ustalonego

okresu czasu będzie się zmniejszać, co spowoduje nieznaczne zmniejszenie składki netto.

Powyższe przypuszczenia znajdują potwierdzenie w tablicy 2.9, gdzie zamieszczono wy-

sokość składki netto dla ubezpieczenia na dożycie 20 lat dla mężczyzny i kobiety w prze-

dziale wiekowym od 18 do 50 lat .

43

Tablica 2.9. Ubezpieczenie na dożycie 20 lat. Jednorazowa składka netto.

Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA

ubez.

w

latach

Składka

jednrazowa

w tys.zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

Składka jedn-

razowa w

tys.zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

x A

x

D V A

x

D V

18 18,045 3,798

0,210

18,617

2,057

0,110

19 17,990 3,921

0,218

18,598

2,140

0,115

20 17,931 4,048

0,226

18,576

2,233

0,120

21 17,868 4,177

0,234

18,551

2,335

0,126

22 17,801 4,311

0,242

18,522

2,445

0,132

23 17,727 4,452

0,251

18,489

2,563

0,139

24 17,643 4,605

0,261

18,453

2,687

0,146

25 17,547 4,771

0,272

18,413

2,819

0,153

26 17,438 4,952

0,284

18,368

2,958

0,161

27 17,317 5,143

0,297

18,319

3,103

0,169

28 17,183 5,343

0,311

18,266

3,252

0,178

29 17,040 5,546

0,325

18,209

3,401

0,187

30 16,887 5,750

0,341

18,150

3,550

0,196

31 16,724 5,955

0,356

18,089

3,698

0,204

32 16,551 6,161

0,372

18,023

3,847

0,213

33 16,366 6,369

0,389

17,954

3,999

0,223

34 16,169 6,577

0,407

17,878

4,157

0,233

35 15,958 6,787

0,425

17,795

4,321

0,243

36 15,734 6,996

0,445

17,704

4,493

0,254

37 15,494 7,205

0,465

17,604

4,673

0,265

38 15,240 7,412

0,486

17,495

4,859

0,278

39 14,969 7,617

0,509

17,376

5,051

0,291

40 14,681 7,818

0,533

17,249

5,246

0,304

41 14,374 8,016

0,558

17,110

5,447

0,318

42 14,049 8,208

0,584

16,959

5,654

0,333

43 13,708 8,391

0,612

16,794

5,868

0,349

44 13,353 8,563

0,641

16,612

6,090

0,367

45 12,986 8,722

0,672

16,413

6,317

0,385

46 12,608 8,867

0,703

16,194

6,552

0,405

47 12,216 8,999

0,737

15,953

6,792

0,426

48 11,810 9,115

0,772

15,687

7,038

0,449

49 11,387 9,215

0,809

15,395

7,288

0,473

50 10,948 9,298

0,849

15,073

7,540

0,500

Dane z tablicy 2.9 zilustrowano na rysunkach 2.10 i 2.11

44

Rys.2.10.UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE. JEDNORAZOWA

SKŁADKA NETTO.

(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres dożycia 20 lat,

tech.stp.r=0,05)

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WYSOKO

ŚĆ

SK

Ł

ADK

I

w tys.z

ł.

Składka-m Ax

Składka-m Ax+D

Składka-k Ax

Składka-k Ax+D

Rys.2.11.UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE.

W SPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI.

(W arunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres dożycia

20 lat., tech.stp.r=0,05

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WSPÓ

Ł

CZYNNIK ZMIENNO

Ś

CI

V

V -mężczyzna

V -kobieta

45

Należy zauważyć, że w przypadku zmiennej losowej S

3

odchylenie standardowe D

i współczynnik zmiennosci V są relatywnie małe. Analizując zatem ubezpieczenia na do-

życie z punktu widzenia firmy ubezpieczeniowej i posługując się odchyleniem standardo-

wym jako miernikiem ryzyka, ubezpieczenie to jest korzystne dla firmy bowiem jest zwią-

zane z małym ryzykiem. Jednak z punktu widzenia osoby wykupującej ubezpieczenie na

dożycie jest to produkt mało atrakcyjny ponieważ gdyby jednorazową składkę netto zło-

żyła jako depozyt oprocentowany także stopą procentową r=0,05 w banku, to po upływie

okresu dożycia wartość tego depozytu byłaby prawie równa sumie ubezpieczenia. Po-

twierdzają to dane zawarte w tablicy 2.9 z których wynika, że jednorazowa składka netto

waha się w granicach od 18,617 tys. zł do18,023 tys. zł dla kobiety od 18 do 32 lat, nato-

miast obecna wartość sumy ubezpieczenia równa jest 18,844 tys. zł. Nie należy się zatem

dziwić, że ubezpieczenie na dożycie w klasycznej postaci opisanej w niniejszym paragrafie

jest rzadko oferowane przez firmy ubezpieczeniowe.

46

2.4. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE I DOŻYCIE

Ubezpieczeniem na życie i dożycie na n lat nazywamy ubezpieczenie na mocy

którego ubezpieczyciel jest zobowiązany do wypłacenia sumy ubezpieczenia w przy-

padku śmierci ubezpieczonego, jeżeli nastąpi ona w ciągu n pierwszych lat od mo-

mentu zawarcia ubezpieczenia lub na koniec okresu ubezpieczenia, jeżeli ubezpieczo-

ny będący w wieku x lat w momencie zawierania ubezpieczenia dożyje wieku x+n lat.

Przyjmując założenia i oznaczenia z rozdziału 2.1 wyznaczymy rozkład prawdopo-

dobieństwa zmiennej losowej S

4

określającej zobowiązania ubezpieczyciela w przypadku

ubezpieczenia na życie i dożycie

S

v

gdy K

n

v

gdy K n

K

n

4

1

01

1

=

−

=

−

−

≥

⎧

⎨

⎩

+

, , ... ,

(2.30)

o rozkładzie prawdopodobieństwa

Prob

Prob

(

)

(

)

S

v

K k

p q

k

k x x k

4

1

=

=

=

=

+

+

(2.31)

dla

k=0,1,2

...

,n-1

Pr (

)

ob S

v

p q

p

n

k x x k

k

n

n x

4

0

1

1

=

= −

=

+

=

−

∑

(2.32)

gdzie: n - okres ubezpieczenia.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S

4

możemy zapisać w tablicy.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S

4

k

0

1

2

. . . .

n-1

n

s

k

v v

2

v

3

. . . .

v

n

v

n

P(S

4

=s

k

)

q

x

1

1

p q

x x

+

2

p q

x x

+2

−

. . . .

n

x x n

p q

−

+

1

1

n x

p

47

Porównując rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S

2

- terminowego u-

bezpieczenia na życie (por.2.15 - 2.17) oraz S

3

- ubezpieczenia na dożycie (2.22 - 2.24)

można zauważyć, że ubezpieczenie na życie i dożycie jest sumą terminowego ubezpiecze-

nia na wypadek śmierci oraz ubezpieczenia na dożycie.

Wobec tego, że S

4

= S

2

+ S

3

mamy

A

E S

E S

E S

x n

:

( )

( )

( )

⏐

=

=

+

4

4

2

3

A

A

A

x n

x n

x n

:

:

⏐

⏐

:

⏐

=

+

4

2

3

(2.33)

gdzie:

A

x n

:

⏐

4

-oznacza jednorazową składkę netto ubezpieczenia na życie i dożycie n -lat.

Z uwagi na wzory (2.19) i (2.28) otrzymujemy

A

M

M

D

D

x n

x

x n

x

x

:

⏐

+

=

n

+

−

+

4

(2.34)

Dla wariancji zmiennej losowej S

4

mamy

11

D S

D S

S

D S

D S

S S

2

4

2

2

3

2

2

2

3

2

2

( )

(

)

( )

( )

cov( , )

=

+

=

+

+

3

(2.35)

gdzie: cov(S

2

, S

3

) - oznacza kowariancję zmiennych S

2

i S

3

.

Ponieważ

cov(S

2

, S

3

) = E(S

2

⋅ S

3

) - E(S

2

)

⋅ E( S

3

)

(2.36)

,a iloczyn zmiennych S

2

i S

3

jest równy zero (por. tablice rozkładów zmiennych losowych

S

2

i S

3

). E(S

2

S

3

)=0 otrzymujemy

D S

A

A

A

A

x n r

r

x n r

r

x n r

x n r

2

4

2

2

2

3

2

2

( )

:

(

)

:

(

)

:

:

=

+

−

⋅

⏐

+

⏐ +

⏐

⏐

3

(2.37)

Jeżeli założymy, że ubezpieczyciel mierzy ryzyko związane z ubezpieczeniem wielkością

wariancji, to z wyżej zapisanego wzoru (2.37) wynika, że ryzyko związane z ubezpiecze-

niem na życie i dożycie n -lat jest mniejsze od ryzyka związanego z terminowym ubezpie-

czeniem na wypadek śmierci na n lat jednej osoby oraz ubezpieczeniem na dożycie n lat

innej osoby.

Wzór na wariancję zmiennej losowej S

4

można również wyprowadzić w sposób tradycyj-

ny korzystając z zależności (2.10).

11

Jóźwiak J.,Podgórski J., Statystyka od podstaw; PWE 1994

48

W tym przypadku otrzymujemy

( )

D S

A

A

x n r

r

x n r

2

4

2

4

2

( )

: (

)

:

=

−

⏐ +

⏐

4

(2.38)

Dla wyjaśnienia własności zmiennej losowej S

4

w tablicy 2.10 zamieszczono jej rozkład

dla mężczyzny i kobiety, którzy mają w momencie ubezpieczenia 40 lat. Obliczenia pro-

wadzono dla sumy ubezpieczenia 50tys. zł. oraz technicznej stopy procentowej r=0,05.

Tablica 2.10. Rozkład prawdopodobieństwa ubezpieczenia na życie i dożycie

na okres 25 lat

Rozkład prawdopodobieństwa

Lata

Obecna wartość sumy

ubezpieczenia

Mężczyzna

Kobieta

k

50v

(k+1)

Prob(S

4

=k) Prob(S

4

=k)

24,25

14,765

0,692591 0,874359

23

15,503

0,023056 0,011638

22

16,279

0,022170 0,010645

21

17,092

0,021176 0,009745

20

17,947

0,020051 0,008938

19

18,844

0,018938 0,008224

18

19,787

0,017857 0,007593

17

20,776

0,016809 0,006993

16

21,815

0,015836 0,006393

15

22,906

0,014895 0,005814

14

24,051

0,013998 0,005286

13

25,253

0,013133 0,004821

12

26,516

0,012323 0,004438

11

27,842

0,011577 0,004128

10

29,234

0,010896 0,003879

9

30,696

0,010269 0,003683

8

32,230

0,009674 0,003507

7

33,842

0,009047 0,003310

6

35,534

0,008388 0,003072

5

37,311

0,007707 0,002814

4

39,176

0,007026 0,002566

3

41,135

0,006410 0,002338

2

43,192

0,005848 0,002131

1

45,351

0,005372 0,001935

0

47,619

0,004951 0,001748

49

Dane zawarte w tablicy 2.10 zilustrowano na rysunku 2.12

Rys.2.12.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE. ROZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

(Warunki:suma ubezp.50 tys.zł.,okres 25 lat,tech.stp.r=0,05)

0,000000

0,100000

0,200000

0,300000

0,400000

0,500000

0,600000

0,700000

0,800000

0,900000

14,765

17,092

19,787

22,906

26,516

30,696

35,534

41,135

47,619

OBECNA WARTOŚĆ 50 tys.zł.

PRAWDOPODOIE

Ń

STWO WYP

Ł

AT

Y

Prob-mężczyzna

Prob-kobieta

Jak wynika z tablicy 2.10 oraz rys.2.12 rozkład zmiennej losowej S

4

jest również

skrajnie asymetryczny. W przypadku ubezpieczenia kobiety w wieku 40 lat na życie i do-

życie 25 lat, prawdopodobieństwo wypłaty sumy ubezpieczenia na koniec okresu ubezpie-

czenia wynosi aż 0,87. Tylko 0,13 wynosi prawdopodobieństwo większych wypłat od su-

my ubezpieczenia zdyskontowanej na 25 lat. Należy się więc spodziewać, że składka netto

dla tego ubezpieczenia będzie w przybliżeniu równa zdyskontowanej na 25 lat wartości

sumy ubezpieczenia. Dla pełniejszego zilustrowania danych zawartych w tablicy 2.10 wy-

konano rys.2.13 na którym umieszczono wszystkie prawdopodobieństwa zdarzeń oprócz

dominującego prawdopodobieństwa zakończenia okresu ubezpieczenia.

50

Rys.2.13.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE.ROZKŁAD

PRAWDOPODOBIEŃSTWA.(Warunki: suma ubezp.50

tys.zł.,okres 25 lat, tech.stp.r=0,05)

0,000000

0,005000

0,010000

0,015000

0,020000

0,025000

15,503

17,092

18,844

20,776

22,906

25,253

27,842

30,696

33,842

37,311

41,135

45,351

OBECNA WARTOŚĆ 50 tys.zł.

PRAWDOPODOBIE

Ń

STW

O

WYP

Ł

ATY

Prob-mężczyzna

Prob-kobieta

W tablicy 2.11 zamieszczono obliczenia jednorazowej składki netto, odchylenia standar-

dowego D oraz współczynnika zmienności V dla ubezpieczenia na życie i dożycie na 25

lat. Do obliczeń przyjęto: sumę ubezpieczenia 50 tys.zł., wiek ubezpieczonego x=40 lat,

techniczną stopę procentową r = 0,05.

Tablica 2.11. Ubezpieczenie na życie i dożycie 25 lat. Jednorazowa składka netto

Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA

ubez.

w

latach

Składka

jednorazo-

wa w tys. zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

Składka

jednorazowa

w tys. zł

Odchylenie

standardowe

współczynnik

zmienności

x A

x

D V A

x

D V

18 15,387 3,281

0,213

14,936

1,711

0,115

19 15,428 3,390

0,220

14,946

1,743

0,117

20 15,470 3,487

0,225

14,959

1,781

0,119

21 15,511 3,569

0,230

14,974

1,828

0,122

22 15,553 3,637

0,234

14,990

1,881

0,126

23 15,598 3,701

0,237

15,010

1,945

0,130

24 15,649 3,771

0,241

15,033

2,018

0,134

25 15,709 3,859

0,246

15,059

2,103

0,140

26 15,779 3,969

0,252

15,088

2,197

0,146

27 15,859 4,098

0,258

15,120

2,303

0,152

28 15,949 4,244

0,266

15,156

2,416

0,159

29 16,049 4,402

0,274

15,195

2,539

0,167

30 16,157 4,567

0,283

15,238

2,667

0,175

31 16,274 4,739

0,291

15,285

2,802

0,183

51

32 16,402 4,919

0,300

15,336

2,943

0,192

33 16,539 5,105

0,309

15,391

3,090

0,201

34 16,688 5,297

0,317

15,450

3,240

0,210

35 16,848 5,496

0,326

15,515

3,395

0,219

36 17,020 5,699

0,335

15,585

3,554

0,228

37 17,204 5,906

0,343

15,660

3,717

0,237

38 17,402 6,116

0,351

15,740

3,882

0,247

39 17,613 6,329

0,359

15,827

4,049

0,256

40 17,838 6,544

0,367

15,921

4,216

0,265

41 18,078 6,762

0,374

16,021

4,385

0,274

42 18,333 6,982

0,381

16,130

4,554

0,282

43 18,603 7,200

0,387

16,247

4,725

0,291

44 18,886 7,413

0,393

16,375

4,898

0,299

45 19,182 7,620

0,397

16,513

5,071

0,307

46 19,490 7,816

0,401

16,663

5,244

0,315

47 19,811 8,003

0,404

16,826

5,417

0,322

48 20,147 8,182

0,406

17,006

5,594

0,329

49 20,500 8,356

0,408

17,204

5,780

0,336

50 20,874 8,526

0,408

17,425

5,978

0,343

Jak się można było spodziewać, jednorazowa składka netto ubezpieczenia na życie i doży-

cie kobiety w wieku od 18 do 25 lat zmienia się w zakresie od 14,936 tys.zł do 15,059

tys.zł podczas gdy zdyskontowana na okres 25 lat suma ubezpieczenia wynosi 14.765

tys.zł. Dla kobiet starszych jednorazowa składka netto jest nieco większa ale nie różni się

w zasadniczy sposób od obecnej wartości sumy ubezpieczenia. Nieco odmienna sytuacja

jest w przypadku ubezpieczenia na na życie i dożycie mężczyzny. W tym przypadku moż-

na zaobserwować większe odchylenia wielkości składki od obecnej wartości sumy ubez-

pieczenia. Dla mężczyzn młodych nie są to jednak duże odchylenia.

Z uwagi na fakt, że "duże wypłaty" realizowane są z bardzo małymi prawdopodo-

bieństwami odchylenie standardowe D oraz współczynnik zmienności V zmiennej losowej

S

4

przyjmują umiarkowane wartości. W przypadku ubezpieczenia mężczyzny współczyn-

nik ten wzrasta dwukrotnie od 21,3% do 40,8%, a w przypadku ubezpieczenia kobiet trzy-

krotnie od 11,5% do 34,3%.

52

Dane zawarte w tablicy 2.11 zilustrowano na rysunkach 2.14 i 2.15.

Rys.2.14.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE. JEDNORAZOWA

SKŁADKA NETTO.

(Warunki:suma ubezp.50 tys.zł.,okres 25 lat, tech. stp.r=0,05)

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WYSOKO

ŚĆ

SK

Ł

ADKI w tys.z

ł.

Składka-m. Ax

Składka-m. Ax+D

Składka-k. Ax

Składka-k. Ax+D

Rys.2.15.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE.

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI.

(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres 25 lat,

tech.stp.r=0,05)

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

WIEK UBEZPIECZONEGO w latach

WSPÓ

Ł

CZYNNIK

ZMIENNO

Ś

CI

V-mężczyzna

V-kobieta

53