2.3. UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE
Ubezpieczeniem na dożycie nazywamy ubezpieczenie, na mocy którego ubezpieczy-
ciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia ubezpieczonemu w końcu n-
tego roku od momentu ubezpieczenia (w momencie x+n), jeżeli ubezpieczony będący
w momencie zawierania umowy ubezpieczenia w wieku x dożyje wieku x+n.
Dla wyznaczenia rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
3
charakteryzu-
jącej ubezpieczenie na dożycie, wartości oczekiwanej tej zmiennej E(S
3
), jednorazowej
składki netto oraz wariancji, przyjmujemy wszystkie założenia i oznaczenia poczynione w
rozdziale 2.1. Wobec tego zobowiązania ubezpieczyciela w przypadku ubezpieczenie na
dożycie określa kapitał losowy
S
dla K
n
v
dla K n
n
3
0
012
=
=
−
≥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, , , . . .
1
(2.22)
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Pr (
)
ob S
p q
q
k x x k
k
n
n x
3
0
1
0
=
=
=
+
=
−
∑
(2.23)
Pr (
)
ob S
v
p q
p
n
k x x k
k
n
n x
3
0
1
1
=
= −
=
+
=
−
∑
(2.24)
gdzie: n- okres dożycia.
Rozkład zmiennej losowej S
3
- ubezpieczenie na dożycie jest, więc rozkładem dwupunk-
towym przyjmującym wartość S
0
= 0 gdy ubezpieczony w wieku x nie dożyje wieku x+n
lub s
1
= v
n
gdy ubezpieczony dożyje wieku x+n (por. rozkład zero- jedynkowy)
9
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
3
k k=0,1,2,
...n-1
n
s
k
0 v
n
P(S
3
=s
k
)
k x x k
k
n
n x
p q
q
+
=
−
∑
=
0
1
n x
n x
p
q
= −
1
Jednorazowa składka netto tego ubezpieczenia jest więc równa
41
A
E S
v
p q
x n
n
k x x k
k
n
:
( )
⏐
+
=
−
=
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∑
3
3
0
1
1
(2.25)
A
E S
v
x n
n
n x
:
( )
⏐
=
=
3
3
p
(2.26)
natomiast wariancja zmiennej losowej S
3
jest równa
D S
v
p q
n
n x n x
( )
3
2
2
=
2.27)
Korzystając z własności funkcji tablicowych
10
oraz liczb komutacyjnych wzory 2.26 i
2.27 możemy przekształcić do postaci
A
D
D
x n
x n
x
:
⏐
+
=
3
(2.28)
Wariancję zmiennej losowe S
3
możemy wyznaczyć ze wzoru
( )
D S
A
A
x n r
r
x n
2
3
2
3
2
( )
: (
)
:
=
−
⏐ +
⏐
3
(2.29)
Dla ilustracji własności zmiennej losowej S
3
w tablicy 2.8 zamieszczono rozkład tej
zmiennej dla sumy ubezpieczenia 50 tys. zł. oraz technicznej stopy procentowej r=0,05.
Tablica 2.8. Rozkład prawdopodobieństwa ubezpieczenia na dożycie
Kapitał losowy S
3
- 5 lat
Lata Obecna war-
tość sumy
Mężczyzna
Kobieta
ubezpieczenia x=20 lat
x=40 lat
x=20 lat
x=40 lat
k
50v
(k+1)
Prob(S
3
=k) Prob(S
3
=k) Prob(S
3
=k) Prob(S
3
=k)
0 - 4
0
0,008403
0,029607
0,001948
0,010718
5 39,176 0,991597
0,970393 0,998052 0,989282
9
Jóźwiak J.,Podgórski J., Statystyka od podstaw; PWE 1994
10
Mijakowska Jadwiga,Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991, GUS Warszawa 1993
42
ciąg dalszy tablicy 2.8
Kapitał losowy S
3
- 20 lat
Lata Obecna war-
tość sumy
Mężczyzna
Kobieta
ubezpieczenia x=20 lat
x=40 lat
x=20 lat
x=40 lat
k
50v
(k+1)
Prob(S
3
k)
Prob(S
3
k) Prob(S
3
k) Prob(S
3
k)
0-19 0 0,048494
0,220955 0,014246 0,084675
20 18,844 0,951506
0,779045 0,985754 0,915325
Analizując dane zawarte w tablicy 2.8 zauważmy, że rozkład prawdopodobieństwa zmien-
nej losowej S
3
jest podobnie skrajnie asymetryczny jak rozkład zmiennej losowej S
2
.
Prawdopodobieństwo wypłaty sumy ubezpieczenia przez ubezpieczyciela dla krótkich
okresów ubezpieczenia waha się w granicach od 0,97 do 0,99 (jest prawie równe 1). Wo-
bec powyższego należy się spodziewać, że składka za to ubezpieczenie będzie wysoka i w
przybliżeniu równa wartości zdyskontowanej na okres ubezpieczenia sumy ubezpieczenia.
Podobnie będzie w przypadku ubezpieczenia na długie okresy (20 lat). Składka za ubez-
pieczenie będzie wysoka i w przybliżeniu równa obecnej wartości sumy ubezpieczenia.
Wraz ze wzrostem wieku osoby ubezpieczonej prawdopodobieństwo dożycia ustalonego
okresu czasu będzie się zmniejszać, co spowoduje nieznaczne zmniejszenie składki netto.
Powyższe przypuszczenia znajdują potwierdzenie w tablicy 2.9, gdzie zamieszczono wy-
sokość składki netto dla ubezpieczenia na dożycie 20 lat dla mężczyzny i kobiety w prze-
dziale wiekowym od 18 do 50 lat .
43
Tablica 2.9. Ubezpieczenie na dożycie 20 lat. Jednorazowa składka netto.
Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednrazowa
w tys.zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka jedn-
razowa w
tys.zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x A
x
D V A
x
D V
18 18,045 3,798
0,210
18,617
2,057
0,110
19 17,990 3,921
0,218
18,598
2,140
0,115
20 17,931 4,048
0,226
18,576
2,233
0,120
21 17,868 4,177
0,234
18,551
2,335
0,126
22 17,801 4,311
0,242
18,522
2,445
0,132
23 17,727 4,452
0,251
18,489
2,563
0,139
24 17,643 4,605
0,261
18,453
2,687
0,146
25 17,547 4,771
0,272
18,413
2,819
0,153
26 17,438 4,952
0,284
18,368
2,958
0,161
27 17,317 5,143
0,297
18,319
3,103
0,169
28 17,183 5,343
0,311
18,266
3,252
0,178
29 17,040 5,546
0,325
18,209
3,401
0,187
30 16,887 5,750
0,341
18,150
3,550
0,196
31 16,724 5,955
0,356
18,089
3,698
0,204
32 16,551 6,161
0,372
18,023
3,847
0,213
33 16,366 6,369
0,389
17,954
3,999
0,223
34 16,169 6,577
0,407
17,878
4,157
0,233
35 15,958 6,787
0,425
17,795
4,321
0,243
36 15,734 6,996
0,445
17,704
4,493
0,254
37 15,494 7,205
0,465
17,604
4,673
0,265
38 15,240 7,412
0,486
17,495
4,859
0,278
39 14,969 7,617
0,509
17,376
5,051
0,291
40 14,681 7,818
0,533
17,249
5,246
0,304
41 14,374 8,016
0,558
17,110
5,447
0,318
42 14,049 8,208
0,584
16,959
5,654
0,333
43 13,708 8,391
0,612
16,794
5,868
0,349
44 13,353 8,563
0,641
16,612
6,090
0,367
45 12,986 8,722
0,672
16,413
6,317
0,385
46 12,608 8,867
0,703
16,194
6,552
0,405
47 12,216 8,999
0,737
15,953
6,792
0,426
48 11,810 9,115
0,772
15,687
7,038
0,449
49 11,387 9,215
0,809
15,395
7,288
0,473
50 10,948 9,298
0,849
15,073
7,540
0,500
Dane z tablicy 2.9 zilustrowano na rysunkach 2.10 i 2.11
44
Rys.2.10.UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE. JEDNORAZOWA
SKŁADKA NETTO.
(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres dożycia 20 lat,
tech.stp.r=0,05)
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
WYSOKO
ŚĆ
SK
Ł
ADK
I
w tys.z
ł.
Składka-m Ax
Składka-m Ax+D
Składka-k Ax
Składka-k Ax+D
Rys.2.11.UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE.
W SPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI.
(W arunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres dożycia
20 lat., tech.stp.r=0,05
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
WSPÓ
Ł
CZYNNIK ZMIENNO
Ś
CI
V
V -mężczyzna
V -kobieta
45
Należy zauważyć, że w przypadku zmiennej losowej S
3
odchylenie standardowe D
i współczynnik zmiennosci V są relatywnie małe. Analizując zatem ubezpieczenia na do-
życie z punktu widzenia firmy ubezpieczeniowej i posługując się odchyleniem standardo-
wym jako miernikiem ryzyka, ubezpieczenie to jest korzystne dla firmy bowiem jest zwią-
zane z małym ryzykiem. Jednak z punktu widzenia osoby wykupującej ubezpieczenie na
dożycie jest to produkt mało atrakcyjny ponieważ gdyby jednorazową składkę netto zło-
żyła jako depozyt oprocentowany także stopą procentową r=0,05 w banku, to po upływie
okresu dożycia wartość tego depozytu byłaby prawie równa sumie ubezpieczenia. Po-
twierdzają to dane zawarte w tablicy 2.9 z których wynika, że jednorazowa składka netto
waha się w granicach od 18,617 tys. zł do18,023 tys. zł dla kobiety od 18 do 32 lat, nato-
miast obecna wartość sumy ubezpieczenia równa jest 18,844 tys. zł. Nie należy się zatem
dziwić, że ubezpieczenie na dożycie w klasycznej postaci opisanej w niniejszym paragrafie
jest rzadko oferowane przez firmy ubezpieczeniowe.
46
2.4. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE I DOŻYCIE
Ubezpieczeniem na życie i dożycie na n lat nazywamy ubezpieczenie na mocy
którego ubezpieczyciel jest zobowiązany do wypłacenia sumy ubezpieczenia w przy-
padku śmierci ubezpieczonego, jeżeli nastąpi ona w ciągu n pierwszych lat od mo-
mentu zawarcia ubezpieczenia lub na koniec okresu ubezpieczenia, jeżeli ubezpieczo-
ny będący w wieku x lat w momencie zawierania ubezpieczenia dożyje wieku x+n lat.
Przyjmując założenia i oznaczenia z rozdziału 2.1 wyznaczymy rozkład prawdopo-
dobieństwa zmiennej losowej S
4
określającej zobowiązania ubezpieczyciela w przypadku
ubezpieczenia na życie i dożycie
S
v
gdy K
n
v
gdy K n
K
n
4
1
01
1
=
−
=
−
−
≥
⎧
⎨
⎩
+
, , ... ,
(2.30)
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Prob
Prob
(
)
(
)
S
v
K k
p q
k
k x x k
4
1
=
=
=
=
+
+
(2.31)
dla
k=0,1,2
...
,n-1
Pr (
)
ob S
v
p q
p
n
k x x k
k
n
n x
4
0
1
1
=
= −
=
+
=
−
∑
(2.32)
gdzie: n - okres ubezpieczenia.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
4
możemy zapisać w tablicy.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
4
k
0
1
2
. . . .
n-1
n
s
k
v v
2
v
3
. . . .
v
n
v
n
P(S
4
=s
k
)
q
x
1
1
p q
x x
+
2
p q
x x
+2
−
. . . .
n
x x n
p q
−
+
1
1
n x
p
47
Porównując rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S
2
- terminowego u-
bezpieczenia na życie (por.2.15 - 2.17) oraz S
3
- ubezpieczenia na dożycie (2.22 - 2.24)
można zauważyć, że ubezpieczenie na życie i dożycie jest sumą terminowego ubezpiecze-
nia na wypadek śmierci oraz ubezpieczenia na dożycie.
Wobec tego, że S
4
= S
2
+ S
3
mamy
A
E S
E S
E S
x n
:
( )
( )
( )
⏐
=
=
+
4
4
2
3
A
A
A
x n
x n
x n
:
:
⏐
⏐
:
⏐
=
+
4
2
3
(2.33)
gdzie:
A
x n
:
⏐
4
-oznacza jednorazową składkę netto ubezpieczenia na życie i dożycie n -lat.
Z uwagi na wzory (2.19) i (2.28) otrzymujemy
A
M
M
D
D
x n
x
x n
x
x
:
⏐
+
=
n
+
−
+
4
(2.34)
Dla wariancji zmiennej losowej S
4
mamy
11
D S
D S
S
D S
D S
S S
2
4
2
2
3
2
2
2
3
2
2
( )
(
)
( )
( )
cov( , )
=
+
=
+
+
3
(2.35)
gdzie: cov(S
2
, S
3
) - oznacza kowariancję zmiennych S
2
i S
3
.
Ponieważ
cov(S
2
, S
3
) = E(S
2
⋅ S
3
) - E(S
2
)
⋅ E( S
3
)
(2.36)
,a iloczyn zmiennych S
2
i S
3
jest równy zero (por. tablice rozkładów zmiennych losowych
S
2
i S
3
). E(S
2
S
3
)=0 otrzymujemy
D S
A
A
A
A
x n r
r
x n r
r
x n r
x n r
2
4
2
2
2
3
2
2
( )
:
(
)
:
(
)
:
:
=
+
−
⋅
⏐
+
⏐ +
⏐
⏐
3
(2.37)
Jeżeli założymy, że ubezpieczyciel mierzy ryzyko związane z ubezpieczeniem wielkością
wariancji, to z wyżej zapisanego wzoru (2.37) wynika, że ryzyko związane z ubezpiecze-
niem na życie i dożycie n -lat jest mniejsze od ryzyka związanego z terminowym ubezpie-
czeniem na wypadek śmierci na n lat jednej osoby oraz ubezpieczeniem na dożycie n lat
innej osoby.
Wzór na wariancję zmiennej losowej S
4
można również wyprowadzić w sposób tradycyj-
ny korzystając z zależności (2.10).
11
Jóźwiak J.,Podgórski J., Statystyka od podstaw; PWE 1994
48
W tym przypadku otrzymujemy
( )
D S
A
A
x n r
r
x n r
2
4
2
4
2
( )
: (
)
:
=
−
⏐ +
⏐
4
(2.38)
Dla wyjaśnienia własności zmiennej losowej S
4
w tablicy 2.10 zamieszczono jej rozkład
dla mężczyzny i kobiety, którzy mają w momencie ubezpieczenia 40 lat. Obliczenia pro-
wadzono dla sumy ubezpieczenia 50tys. zł. oraz technicznej stopy procentowej r=0,05.
Tablica 2.10. Rozkład prawdopodobieństwa ubezpieczenia na życie i dożycie
na okres 25 lat
Rozkład prawdopodobieństwa
Lata
Obecna wartość sumy
ubezpieczenia
Mężczyzna
Kobieta
k
50v
(k+1)
Prob(S
4
=k) Prob(S
4
=k)
24,25
14,765
0,692591 0,874359
23
15,503
0,023056 0,011638
22
16,279
0,022170 0,010645
21
17,092
0,021176 0,009745
20
17,947
0,020051 0,008938
19
18,844
0,018938 0,008224
18
19,787
0,017857 0,007593
17
20,776
0,016809 0,006993
16
21,815
0,015836 0,006393
15
22,906
0,014895 0,005814
14
24,051
0,013998 0,005286
13
25,253
0,013133 0,004821
12
26,516
0,012323 0,004438
11
27,842
0,011577 0,004128
10
29,234
0,010896 0,003879
9
30,696
0,010269 0,003683
8
32,230
0,009674 0,003507
7
33,842
0,009047 0,003310
6
35,534
0,008388 0,003072
5
37,311
0,007707 0,002814
4
39,176
0,007026 0,002566
3
41,135
0,006410 0,002338
2
43,192
0,005848 0,002131
1
45,351
0,005372 0,001935
0
47,619
0,004951 0,001748
49
Dane zawarte w tablicy 2.10 zilustrowano na rysunku 2.12
Rys.2.12.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE. ROZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA.
(Warunki:suma ubezp.50 tys.zł.,okres 25 lat,tech.stp.r=0,05)
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
0,700000
0,800000
0,900000
14,765
17,092
19,787
22,906
26,516
30,696
35,534
41,135
47,619
OBECNA WARTOŚĆ 50 tys.zł.
PRAWDOPODOIE
Ń
STWO WYP
Ł
AT
Y
Prob-mężczyzna
Prob-kobieta
Jak wynika z tablicy 2.10 oraz rys.2.12 rozkład zmiennej losowej S
4
jest również
skrajnie asymetryczny. W przypadku ubezpieczenia kobiety w wieku 40 lat na życie i do-
życie 25 lat, prawdopodobieństwo wypłaty sumy ubezpieczenia na koniec okresu ubezpie-
czenia wynosi aż 0,87. Tylko 0,13 wynosi prawdopodobieństwo większych wypłat od su-
my ubezpieczenia zdyskontowanej na 25 lat. Należy się więc spodziewać, że składka netto
dla tego ubezpieczenia będzie w przybliżeniu równa zdyskontowanej na 25 lat wartości
sumy ubezpieczenia. Dla pełniejszego zilustrowania danych zawartych w tablicy 2.10 wy-
konano rys.2.13 na którym umieszczono wszystkie prawdopodobieństwa zdarzeń oprócz
dominującego prawdopodobieństwa zakończenia okresu ubezpieczenia.
50
Rys.2.13.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE.ROZKŁAD
PRAWDOPODOBIEŃSTWA.(Warunki: suma ubezp.50
tys.zł.,okres 25 lat, tech.stp.r=0,05)
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
15,503
17,092
18,844
20,776
22,906
25,253
27,842
30,696
33,842
37,311
41,135
45,351
OBECNA WARTOŚĆ 50 tys.zł.
PRAWDOPODOBIE
Ń
STW
O
WYP
Ł
ATY
Prob-mężczyzna
Prob-kobieta
W tablicy 2.11 zamieszczono obliczenia jednorazowej składki netto, odchylenia standar-
dowego D oraz współczynnika zmienności V dla ubezpieczenia na życie i dożycie na 25
lat. Do obliczeń przyjęto: sumę ubezpieczenia 50 tys.zł., wiek ubezpieczonego x=40 lat,
techniczną stopę procentową r = 0,05.
Tablica 2.11. Ubezpieczenie na życie i dożycie 25 lat. Jednorazowa składka netto
Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednorazo-
wa w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka
jednorazowa
w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x A
x
D V A
x
D V
18 15,387 3,281
0,213
14,936
1,711
0,115
19 15,428 3,390
0,220
14,946
1,743
0,117
20 15,470 3,487
0,225
14,959
1,781
0,119
21 15,511 3,569
0,230
14,974
1,828
0,122
22 15,553 3,637
0,234
14,990
1,881
0,126
23 15,598 3,701
0,237
15,010
1,945
0,130
24 15,649 3,771
0,241
15,033
2,018
0,134
25 15,709 3,859
0,246
15,059
2,103
0,140
26 15,779 3,969
0,252
15,088
2,197
0,146
27 15,859 4,098
0,258
15,120
2,303
0,152
28 15,949 4,244
0,266
15,156
2,416
0,159
29 16,049 4,402
0,274
15,195
2,539
0,167
30 16,157 4,567
0,283
15,238
2,667
0,175
31 16,274 4,739
0,291
15,285
2,802
0,183
51
32 16,402 4,919
0,300
15,336
2,943
0,192
33 16,539 5,105
0,309
15,391
3,090
0,201
34 16,688 5,297
0,317
15,450
3,240
0,210
35 16,848 5,496
0,326
15,515
3,395
0,219
36 17,020 5,699
0,335
15,585
3,554
0,228
37 17,204 5,906
0,343
15,660
3,717
0,237
38 17,402 6,116
0,351
15,740
3,882
0,247
39 17,613 6,329
0,359
15,827
4,049
0,256
40 17,838 6,544
0,367
15,921
4,216
0,265
41 18,078 6,762
0,374
16,021
4,385
0,274
42 18,333 6,982
0,381
16,130
4,554
0,282
43 18,603 7,200
0,387
16,247
4,725
0,291
44 18,886 7,413
0,393
16,375
4,898
0,299
45 19,182 7,620
0,397
16,513
5,071
0,307
46 19,490 7,816
0,401
16,663
5,244
0,315
47 19,811 8,003
0,404
16,826
5,417
0,322
48 20,147 8,182
0,406
17,006
5,594
0,329
49 20,500 8,356
0,408
17,204
5,780
0,336
50 20,874 8,526
0,408
17,425
5,978
0,343
Jak się można było spodziewać, jednorazowa składka netto ubezpieczenia na życie i doży-
cie kobiety w wieku od 18 do 25 lat zmienia się w zakresie od 14,936 tys.zł do 15,059
tys.zł podczas gdy zdyskontowana na okres 25 lat suma ubezpieczenia wynosi 14.765
tys.zł. Dla kobiet starszych jednorazowa składka netto jest nieco większa ale nie różni się
w zasadniczy sposób od obecnej wartości sumy ubezpieczenia. Nieco odmienna sytuacja
jest w przypadku ubezpieczenia na na życie i dożycie mężczyzny. W tym przypadku moż-
na zaobserwować większe odchylenia wielkości składki od obecnej wartości sumy ubez-
pieczenia. Dla mężczyzn młodych nie są to jednak duże odchylenia.
Z uwagi na fakt, że "duże wypłaty" realizowane są z bardzo małymi prawdopodo-
bieństwami odchylenie standardowe D oraz współczynnik zmienności V zmiennej losowej
S
4
przyjmują umiarkowane wartości. W przypadku ubezpieczenia mężczyzny współczyn-
nik ten wzrasta dwukrotnie od 21,3% do 40,8%, a w przypadku ubezpieczenia kobiet trzy-
krotnie od 11,5% do 34,3%.
52
Dane zawarte w tablicy 2.11 zilustrowano na rysunkach 2.14 i 2.15.
Rys.2.14.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE. JEDNORAZOWA
SKŁADKA NETTO.
(Warunki:suma ubezp.50 tys.zł.,okres 25 lat, tech. stp.r=0,05)
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
WYSOKO
ŚĆ
SK
Ł
ADKI w tys.z
ł.
Składka-m. Ax
Składka-m. Ax+D
Składka-k. Ax
Składka-k. Ax+D
Rys.2.15.UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE.
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI.
(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres 25 lat,
tech.stp.r=0,05)
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
WSPÓ
Ł
CZYNNIK
ZMIENNO
Ś
CI
V-mężczyzna
V-kobieta
53