1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach

• Równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

a

n

y

(n)

+ a

n−1

y

(n−1)

+ . . . + a

1

y

0

+ a

0

y = 0

Zakładamy, że funkcja postaci y(x) = e

rx

, gdzie r jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną, jest

rozwiazaniem powyższego równania. Wówczas

a

n

r

n

+ a

n−1

r

n−1

+ . . . + a

1

r + a

0

= 0.

Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego a
jego pierwiastki nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi tego równania.

– Jeżeli r

i

, r

j

są dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi równania charakterystyczne-

go, to funkcje y

i

(x) = e

r

i

x

i y

j

(x) = e

r

j

x

są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami

rrlj.

– Jeżeli r jest rzeczywistym pierwiastkiem k-krotnym równania charakterystycznego, to

funkcje

y(x) = e

rx

,

y(x) = xe

rx

, . . . , y(x) = x

k−1

e

rx

są liniowo niezależnymi

rozwiązaniami rrlj.

– Jeżeli r = α + βi jest pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego (tym

samym ¯

r = α − βi jest pierwiastkiem tego równania), to funkcje y

1

(x) = e

αx

sin βx i

y

2

(x) = e

αx

cos βx są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.

– Jeżeli r = α+βi jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego

(tym samym ¯

r = α − βi jest k-krotnym pierwiastkiem tego równania), to funkcje y(x) =

e

αx

sin βx, y(x) = xe

αx

sin βx, . . . , y(x) = x

k−1

e

αx

sin βx i y(x) = e

αx

cos βx, y(x) =

xe

αx

cos βx, . . . , y(x) = x

k−1

e

αx

cos βx są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.

• Metoda uzmienniania stałych dla równań rzędu drugiego

Rozważmy równanie

a

2

y

00

+ a

1

y

0

+ a

0

y = f (x)

Wiadomo przy tym, że całka ogólna odpowiedniego równania jednorodnego ma postać:

y

0

= C

1

y

1

(x) + C

2

y

2

(x),

gdzie C

1

, C

2

są dowolnymi stałymi, a y

1

(x), y

2

(x) stanowią układ fundamentalny rozwiązań

równania jednorodnego.

Fakt

Istnieje rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci:

y

S

= C

1

(x) y

1

(x) + C

2

(x) y

2

(x),

gdzie funkcje C

1

(x), C

2

(x) spełniają układ równań:

(

C

0

1

(x) y

1

(x) + C

0

2

(x) y

2

(x) = 0

C

0

1

(x) y

0

1

(x) + C

0

2

(x) y

0

2

(x) = f (x)

2

• Metoda przewidywań

– Jeżeli f (x) = W

n

(x) e

αx

, to

y

S

= Q

n

(x) e

αx

· x

k

,

gdzie Q

n

(x) jest dowolnym wielomianem stopnia n , a czynnik x

k

pojawia się wtedy i

tylko wtedy, gdy α jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

– Jeżeli f (x) = e

αx

( W

n

(x) sin βx + P

n

(x) cos βx ) , to

y

S

= e

αx

( Q

n

(x) sin βx + Z

n

(x) cos βx ) · x

k

,

gdzie Q

n

(x), Z

n

(x) są dowolnymi wielomianami stopnia n , a czynnik x

k

pojawia się

wtedy i tylko wtedy, gdy

α + βi

jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania

charakterystycznego.

– Jeżeli f (x) jest sumą kilku funkcji opisanych w poprzednich punktach, to dla każdej z

tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy całkę szczególną, a następnie wszystkie
otrzymane całki szczególne sumujemy.