© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wykład – 1
Sprawy formalne
Cz. I. Przypomnienie elementarnych zagadnień z matematyki
Cz. II. Rozwiązywanie analityczne równań algebraicznych
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
Sprawy formalne:
Forma: Wykład w postaci prezentacji komputerowych
Wymiar: 14 h/semestr (2 h/co 2 tygodnie)
Czas i miejsce: ŚR N 13.15 – 15.00 s. 27 C-6
Wykład bez przerwy (do godz.14.45)
Przeznaczenie: studenci I roku Studium magisterskie (II – go stopnia)
na Wydziale chemicznym i kierunku
Inżynieria chemiczna i
procesowa –
oraz inni studenci Politechniki Wrocławskiej
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
Sprawy formalne cd.:
Obecność: nieobowiązkowa (sprawdzana)
Obecność na wykładzie będzie premiowana dodatkowymi
punktami przy zaliczeniu: brak nieobecności 3 pkt.,
jedna nieobecność 2 pkt., dwie nieobecności 1 pkt.
Zaliczenie:
Test wielokrotnego wyboru na ostatnich zajęciach
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
4
Sprawy formalne cd.:
Kontakt: p. 115 C-6, tel. 71-320-33-58
email:
Konsultacje:
Wtorek
godz. 11 – 13
Środa
godz. 11 – 13
Informacje internetowe:
www.prochembio.pwr.wroc.pl/studenci.html
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
UWAGI OGÓLNE
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Struktura inżynierii chemicznej
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Uwagi ogólne
Inżynieria chemiczna jest nauką dosyć mocno
„zmatematyzowaną” tzn. matematyka odgrywa w niej
bardzo ważną rolę. Zasadniczo matematykę Państwo
poznali na kursach ściśle matematycznych (analiza
matematyczna i algebra liniowa). W ramach naszego
kursu będą Państwo poznawali te elementy
matematyki, które są szczególnie ważne dla inżynierii,
a które nie zawsze są odpowiednio eksponowane
przez matematyków.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Tematyka wykładów z „Metod
matematycznych i statystycznych w
inżynierii chemicznej”
Przypomnienie elementarnych wiadomości z algebry –
liczby, funkcje i równania
Analityczne metody rozwiązywania równań algebraicznych
Numeryczne (przybliżone) metody rozwiązywania równań
liczbowych
Podstawowe pojęcia analizy pól skalarnych i wektorowych
Matematyczne opracowanie wyników doświadczalnych
Podstawowe pojęcia algebry i analizy zespolonej
Transformata Laplace’a
Funkcje specjalne
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
LITERATURA
1.
A. Kozioł:
Materiały pomocnicze do wykładu.
Internet.
2.
T. Traczyk, M. Mączyński:
Matematyka stosowana w
inżynierii chemicznej.
WNT Warszawa 1970.
3.
Z. Kosma:
Metody numeryczne dla zastosowań
inżynierskich.
Wydawnictwo Politechniki Radomskiej,
Radom 1999.
4.
M. Huettner, M. Szembek, R. Krzywda:
Metody numeryczne
w typowych problemach inżynierii procesowej.
Oficyna
Wydawnicza Polit. Warsz. Warszawa 1997.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
LITERATURA
5.
E. Kącki, L. Siewierski:
Wybrane działy matematyki
wyższej z ćwiczeniami.
PWN, Warszawa 1975.
6.
E. Kreyszig:
Advanced Engineering Mathematics.
J.
Wiley, New York 1993.
7.
K. A. Stroud:
Advanced Engineering Mathematics.
Industrial Press, New York 2003.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH
POJĘĆ MATEMATYCZNYCH
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry
Jednym z podstawowych pojęć w matematyce jest pojęcie liczby.
Liczby tworzą pewne systemy (zbiory) nazywane przestrzeniami
algebraicznymi. W przestrzeniach algebraicznych kluczową rolę
odgrywają różne operacje na elementach nazywane działaniami.
Przypomnimy teraz najważniejsze rodzaje liczb i związanych z nimi
przestrzeni algebraicznych.
1.
Liczby naturalne, N={1,2,3,….}.
W zbiorze liczb naturalnych możliwe jest tylko dodawanie i
mnożenie.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry
2.
Liczby całkowite, I={…-2,-1,0,1,2…}.
W zbiorze liczb całkowitych możliwe jest dodawanie i
odejmowanie oraz mnożenie.
3.
Liczby wymierne, w€W<=>w=i
1
/i
2
, i
1,
i
2
€I, i
2
≠0.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postać ułamka dwu
liczb całkowitych. W zbiorze liczb wymiernych możliwe jest
dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
4.
Liczby rzeczywiste, r€R.
Zbiór liczb rzeczywistych odgrywa podstawową rolę zarówno w
algebrze jak i analizie matematycznej. Dokładna definicja liczb
rzeczywistych jest dosyć trudna i nie będę jej tutaj podawał.
W zbiorze liczb rzeczywistych możliwe jest dodawanie i
odejmowanie, mnożenie i dzielenie ( z wyjątkiem zera). Ze
względu na te działania zbiór liczb rzeczywistych jest tzw. ciałem
algebraicznym. Z pewnymi ograniczeniami w zbiorze liczb
rzeczywistych można definiować inne operacje algebraiczne takie
jak: potęgowanie i pierwiastkowanie.
Za pomocą liczb rzeczywistych opisujemy wielkości fizyczne
nazywane skalarami.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
5.
Liczby zespolone, z€C
z=(x,y) x,y€R, i=√(-1) jednostka urojona.
Liczby zespolone odgrywają ważną rolę w różnych modelach
matematycznych stosowanych w inżynierii. Zbiór liczb zespolonych,
podobnie jak zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem algebraicznym, w
którym możliwe są dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i
dzielenie. Liczby zespolone mają tradycyjną interpretację algebraiczną,
w której zapisywane są one jako suma dwu części: rzeczywistej
i urojonej
iy
x
z
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
Oprócz algebraicznej istnieje też geometryczna interpretacja
liczb zespolonych, w której liczby te są utożsamiane z punktami
na płaszczyźnie:
x
y
z=x+iy
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje
)
(x
f
y
Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji, natomiast zbiór D jest
to tzw. dziedzina funkcji. Zbiory D i Y mogą być podzbiorami
różnego rodzaju przestrzeni algebraicznych.
Elementy zbioru D nazywamy zmienną niezależną x.
Funkcją nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie pewnego elementu
y€Y elementowi x€D. Elementy x oraz y najczęściej są liczbami.
Przyporządkowanie to zapisujemy w postaci:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje
)
(x
f
y
x
y
D
Y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Klasyfikacja funkcji
W zależności od typu zbiorów D i Y rozróżniamy funkcje:
1. Funkcje rzeczywiste gdy zarówno zbiory D jak i Y są zbiorami
liczb rzeczywistych. Są to najczęściej stosowane rodzaje funkcji.
2. Funkcje zespolone gdy zbiory D i Y są zbiorami liczb zespolonych.
3. Funkcje wektorowe gdy zbiory D i Y są zbiorami wektorowymi.
Czasami używane są funkcje, w których zbiory D i Y są różnego typu.
Przykładowo jeżeli D jest zbiorem liczb rzeczywistych a Y zbiorem
liczb zespolonych mówimy o funkcjach zespolonych zmiennej rzeczywistej.
Jeżeli natomiast D jest zbiorem liczb zespolonych a Y zbiorem liczb
rzeczywistych, mamy do czynienia z funkcjami rzeczywistymi zmiennej
zespolonej.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne
Z pośród wielu funkcji rzeczywistych wyróżniamy tzw. funkcje
elementarne, do których należą:
1. Funkcje algebraiczne. Są to funkcje zapisane za pomocą wzoru,
w którym występują tylko operatory algebraiczne tzn. dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie całkowite.
3
4
5
2
3
5
2
2
3
x
x
y
x
x
y
x
y
Przykłady funkcji algebraicznych:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
2. Funkcje potęgowe.
Są to funkcje, w których zmienna niezależna x występuje jako
podstawa podniesiona do potęgi α (α dowolna liczba naturalna,
całkowita, wymierna lub rzeczywista).
x
y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
3. Funkcje wykładnicze. Są to funkcje, w których zmienna niezależna x
występuje w wykładniku potęgi jakiegoś wyrażenia. Dosyć często
podstawą takiej funkcji jest niewymierna liczba e. W takim przypadku
funkcję nazywamy ekspotencjalną i oznaczamy ją za pomocą symbolu:
x
e
x
y
)
exp(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
y
e
x
)
ln( x
y
4. Funkcje logarytmiczne. Są to funkcje odwrotne do funkcji
wykładniczych. Zmienna niezależna x występuje tutaj pod znakiem
logarytmu, najczęściej o podstawie e. W takim przypadku mamy do
czynienia z tzw. logarytmem naturalnym. Najprostsza funkcja
logarytmiczna ma zapis:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
5. Funkcje trygonometryczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą
odpowiednich stosunków długości boków trójkąta prostokątnego.
Zmienną niezależną w tych funkcjach jest kąt w trójkącie wyrażony
w mierze łukowej. Najczęściej stosowane są podstawowe 4 funkcje
trygonometryczne:
)
cot(
)
tan(
)
cos(
)
sin(
x
y
x
y
x
y
x
y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
6. Funkcje hiperboliczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą pewnych
kombinacji funkcji ekspotencjalnych.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
x
x
x
e
e
e
e
x
x
x
e
e
x
e
e
x
)
sinh(
)
cosh(
)
coth(
)
cosh(
)
sinh(
)
tanh(
2
)
cosh(
2
)
sinh(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
Wykresy funkcji hiperbolicznych:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wybrane własności funkcji
)
(
)
(
x
f
x
f
Niektóre funkcje spełniają pewne szczególne własności pomocne
w ich zastosowaniu. Najważniejsze są następujące własności:
1. Parzystość. Funkcja f(x) jest parzysta jeżeli spełnia warunek:
Parzyste są np. funkcje: x
2
, cos(x), cosh(x). Wykresy funkcji
parzystych są symetryczne względem osi y.
2. Nieparzystość. Funkcja f(x) jest nieparzysta jeżeli spełnia
warunek:
)
(
)
(
x
f
x
f
Nieparzyste są np. funkcje: x
3
, sin(x), tan(x). Wykresy funkcji
nieparzystych są symetryczne względem początku układu
współrzędnych.
Uwaga. Większość funkcji nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wybrane własności funkcji cd.
3. Okresowość. Funkcja f(x) jest okresowa jeżeli spełnia warunek:
)
(
)
(
0
x
x
f
x
f
Stałą wartość x
0
nazywamy okresem funkcji. Okresowe są
wszystkie funkcje trygonometryczne. Okres funkcji sinus i kosinus
wynosi 2π a funkcji tanges i kotanges π.
4. Monotoniczność. Mówimy że funkcja jest monotoniczna jeżeli
jest ona w całym rozważanym przedziale albo rosnąca albo
malejąca. Funkcje które posiadają ekstrema tzn. maksima
lub minima nie są monotoniczne.
Monotoniczne są np. funkcje 2x, x
3
, e
x
. Funkcje trygonometryczne
są monotoniczne tylko w ograniczonych przedziałach.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
RÓWNANIA
}]
{
},
[{
}]
{
},
[{
2
1
a
x
W
a
x
W
Olbrzymią rolę w zastosowaniach matematyki odgrywają wszelkiego
rodzaju równania.
Równaniem nazywamy formułę, w której po dwu stronach równości
występują różne wyrażenia. W wyrażeniach tych występują pewne
nieznane obiekty które oznaczymy ogólnie {x} oraz znane parametry
które oznaczymy jako {a}. Ogólną postać równania możemy zapisać
następująco:
lub prościej po przeniesieniu jednego z wyrażeń na drugą stronę:
0
}]
{
},
[{
a
x
W
W zależności od rodzaju obiektów {x} i {a} mamy różne rodzaje równań.
Najprostsze są równania liczbowe, w których niewiadoma jest jedna lub
kilka liczb zwanych pierwiastkami równania. Parametry {a} stanowią
w takim przypadku układ znanych liczb. W wyrażeniu W występują
operatory algebraiczne (działania) oraz na ogół funkcje elementarne.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Część II wykładu 1
Rozwiązywanie równań algebraicznych
Rozwiązywanie układów równań
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
RÓWNANIA LICZBOWE
0
)
,...
,
,
(
2
1
n
a
a
a
x
F
Równania liczbowe mogą mieć jedną lub więcej niewiadomych.
Ogólną postać równania liczbowego z jedną niewiadomą możemy
zapisać w postaci:
W zależności od funkcji występujących w równaniu, równania
dzielimy na algebraiczne, wymierne i przestępne. Równanie
algebraiczne ma postać:
0
0
...
0
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
x
a
x
a
x
a
Mówimy, że równanie takie jest stopnia n. Najprostsze są równania
algebraiczne stopnia 1 – liniowe i 2 – kwadratowe. Parametry równania
algebraicznego nazywamy współczynnikami. Najczęściej współczynniki
są liczbami rzeczywistymi. Ogólnie równanie algebraiczne ze współczynnikami
rzeczywistymi stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Równanie stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej 1 pierwiastek.
Równanie stopnia parzystego może nie mieć w ogóle pierwiastków
rzeczywistych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ
)
,...
,
(
2
1
n
a
a
a
x
Rozwiązanie równania liczbowego polega na znalezieniu wszystkich
wartości x
1
, x
2
, …x
n
spełniających dane równanie. Rozwiązywanie
równań może być analityczne (dokładne), gdy pierwiastki równania
mogą być przedstawione za pomocą wzoru:
Analitycznie można rozwiązywać wszystkie równania algebraiczne do stopnia 4,
niektóre równania algebraiczne wyższych stopni oraz niektóre równania
przestępne.
Druga grupa metod rozwiązywania równań są to metody przybliżone,
często określane jako tzw. metody numeryczne. Metody te polegają
na konstrukcji pewnego ciągu nieskończonego, którego granicą jest szukany
pierwiastek danego równania.
x
x
x
x
i
,...
,...
,
2
1
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH
1
0
0
1
0
a
a
x
a
x
a
1. Równania 1 – go stopnia (liniowe).
2. Równania 2 – go stopnia (kwadratowe)
2
1
2
2
1
1
2
0
2
1
0
1
2
2
2
2
4
0
a
a
x
a
a
x
a
a
a
a
x
a
x
a
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
0
0
1
2
2
3
3
a
y
a
y
a
y
a
3
2
3a
a
x
y
3. Równania 3 – go stopnia (kubiczne).
Podstawienie
prowadzi do równania z dwoma
parametrami p i q:
3
3
2
2
3
2
1
3
0
2
3
2
2
1
3
3
27
2
3
3
3
0
a
a
a
a
a
a
a
q
a
a
a
a
p
gdzie
q
px
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
2
3
2
3
q
p
0
Równania 3 – go stopnia cd.
Otrzymane po podstawieniu równanie rozwiązuje się w zależności
od wartości wyróżnika Δ zdefiniowanego wzorem:
Mogą zachodzić 3 przypadki:
I.
Równanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy
obliczyć za pomocą wzoru Cardana (lub Tartagli):
3
3
2
2
q
q
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
0
4
3
3
2
1
q
dla
q
x
p
x
0
0
q
II.
Równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste, które możemy
obliczyć za pomocą wzorów:
0
4
3
3
2
1
q
dla
q
x
p
x
0
0
q
dla
x
0
0
q
Równanie ma 1 (potrójny) pierwiastek
rzeczywisty:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
3
4
cos
2
3
2
cos
2
3
cos
2
2
2
1
r
x
r
x
r
x
0
III.
Równanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które możemy
obliczyć za pomocą wzorów:
3
2
arccos
3
:
r
q
p
r
gdzie
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
0
3
2
2
2
3
y
y
y
Przykłady liczbowe rozwiązywania równań kubicznych
Podstawienie
Obliczając parametry p i q:
27
133
1
2
27
2
3
)
2
(
2
1
3
27
2
3
3
10
1
3
)
2
(
)
2
(
1
3
3
3
3
3
3
2
2
3
2
1
3
0
2
2
2
3
2
2
1
3
a
a
a
a
a
a
a
q
a
a
a
a
p
3
2
3
2
x
x
y
P1:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Teraz obliczamy wyróżnik Δ:
Równanie ma zatem 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy obliczyć
za pomocą wzoru Cardano:
otrzymujemy równanie:
3
7
6
13
27
2
133
6
13
27
2
133
3
3
x
0
27
133
3
10
3
x
x
6
13
0
36
169
27
2
133
3
3
10
2
3
2
3
2
3
q
p
Pierwiastek wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
3
3
2
3
7
3
2
x
y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
0
16
20
8
2
3
y
y
y
Podstawienie
Obliczając parametry p i q:
27
16
1
8
27
2
3
)
8
(
20
1
16
27
2
3
3
4
1
3
)
8
(
)
20
(
1
3
3
3
3
3
3
2
2
3
2
1
3
0
2
2
2
3
2
2
1
3
a
a
a
a
a
a
a
q
a
a
a
a
p
3
8
3
8
x
x
y
P2:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Teraz obliczamy wyróżnik Δ:
Równanie ma zatem 2 pierwiastki rzeczywiste, który możemy obliczyć
za pomocą wzorów dla q<0:
otrzymujemy równanie:
3
4
27
16
4
4
3
2
3
3
4
3
3
3
2
1
q
x
p
x
0
27
16
3
4
3
x
x
0
27
2
16
3
3
4
2
3
2
3
2
3
q
p
Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
4
3
8
3
4
3
8
2
3
8
3
2
3
8
2
2
1
1
x
y
x
y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
3
2
8
20
194
91 0
y
y
y
Podstawienie
prowadzi do równania z parametrami p i q:
2
2
3 1
2
2
2
3
3
3
0
1 2
2
2
2
3
3
3
3
3 8 ( 194) ( 20)
79
3
3 8
3
2
91
194 ( 20)
2
20
884
3
27
8
3 8
27
8
27
a a
a
p
a
a
a a
a
q
a
a
a
2
3
20
5
3
3 8
6
a
y
x
x
x
a
P3:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Teraz obliczamy wyróżnik Δ:
Równanie ma zatem 3 pierwiastki rzeczywiste, który możemy obliczyć
za pomocą wzorów :
otrzymujemy równanie:
3
79
884
0
3
27
x
x
3
2
3
2
79
884
1225
3
2
3 3
2 27
3
p
q
0
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
3
3
1
2
2
79
79
3
3 3
3
884
arccos
arccos
0.889913
2
2 27( 79 / 3)
79
0.889913
17
2 cos
2
cos
3
3
3
3
2
79
0.889913 2
13
2 cos
2
cos
3
3
3
3
2
79
0.8899
2 cos
2
cos
3
3
p
r
q
r
x
r
x
r
x
r
13 4
4
3
3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
1
1
2
2
3
3
5
17
5
13
6
3
6
2
5
13
5
7
6
3
6
2
5
4
5
4
6
3
6
3
y
x
y
x
y
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
0
0
1
2
2
3
3
4
4
a
y
a
y
a
y
a
x
a
4. Równania 4 – go stopnia .
Podzielenie równania przez a
4
prowadzi do równania z czterema
parametrami b, c, d i e:
0
2
3
4
e
dx
cx
bx
x
4
0
4
1
4
2
4
3
a
a
d
a
a
d
a
a
c
a
a
b
gdzie:
Jedna z metod analitycznych rozwiązania tego równania jest
następująca:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
0
)
4
(
)
8
2
(
4
8
2
2
2
3
d
b
c
e
z
e
bd
cz
z
W kroku 1 znajdujemy dowolny pierwiastek rzeczywisty „z” równania
3 – go stopnia:
0
2
0
2
2
2
2
1
1
2
A
d
bz
z
x
A
b
x
A
d
bz
z
x
A
b
x
W kroku 2° rozwiązujemy 2 równania kwadratowe
gdzie:
1
2
2
1
4
8
A
A
c
b
z
A
Pierwiastki tych równań kwadratowych są szukanymi pierwiastkami
równania 4 – tego stopnia.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
4
3
2
7
5
31
30
0
7
5
31
30
x
x
x
x
b
c
d
e
Przykład rozwiązania równania 4 – tego stopnia:
W kroku 1° znajdujemy równanie 3 – go stopnia:
3
2
2
2
1
0
3
2
8
4
20
2
8
194
(4
)
91
8
20
194
91 0
a
a
c
a
bd
e
a
e c b
d
z
z
z
Równanie to rozwiązaliśmy jako przykład P3. Jednym z pierwiastków
rzeczywistych był z
1
=13/2. Na podstawie tego pierwiastka
w kroku 2° znajdujemy współczynniki równań kwadratowych:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
2
1
1
2
8
4
9
9
A
z
b
c
A
Końcowe równania kwadratowe oraz ich pierwiastki mają postać:
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
8
15
2
b
A
bz
d
b
c
z
A
b
A
bz
d
b
c
z
A
2
1
2
2
3
4
2
0
9
3
2
1
8
15
0
4
2
3
5
x
x
x
x
x
x
x
x
Znalezione pierwiastki są równocześnie pierwiastkami
wyjściowego równania 4 – tego stopnia.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
To tyle jak na początek.
Dziękuję bardzo Państwu
za uwagę !
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Met mat i stat w inz chem W 2
Met mat i stat w inz chem W 5
Met mat i stat w inz chem W 6
Met mat i stat w inz chem W 3
Met mat i stat w inz chem W 4
Mat Stat WykĹ ad 3 (2013L)(1)
Wyniki egzamin IIIrok-inż.chem., III rok semestr letni, inżynieria chemiczna
opracowania inż chem egzamin
Inz chem LAB, sprawozdanie-2831
inz chem profil kołowy
inz chem sciaga egz, podstawy inżynierii chemicznej
Mat Stat WykĹ ad 1 ( 2013L)
Mat Stat Wyk 8 PrzedziaĹ y(2013L)
ICh S Inz chem wstep
Mat Stat WykĹ 6 7 Est c d (2013L)
Mat Stat WykĹ ad 4 5a 2013
Technologia chemiczna-Inż.Chem-2011-2012, technologia chemiczna
inz chem zagadnienia, podstawy inżynierii chemicznej
więcej podobnych podstron