Zestaw nr 1: matematyka

Zad. 1. Oblicz pochodne następujących funkcji:

a) f(x) = 2e

x

+ 3sin

x +4x

2

b) f(x) = 5x

6

·sin

x

c)

x

e

x

sin

3

)

x

(

f

=

d) f(x) = 2e

x

+ 3x

3

+ cos(2x

2

)

e)

)

x

3

x

2

cos(

4

e

)

x

(

f

+

=

f)

x

2

e

2

)

x

8

cos(

x

5

)

x

(

f

⋅

=

Zad. 2. Dana jest funkcja f(x) = 5e

x

+ 3x

3

. Oblicz pochodną f’(x) i całkę nieoznaczoną F(x) =

∫

dx

)

x

(

f

. Sprawdź działania wg schematu:

całkowanie

różniczkowanie

F(x)

f(x) = 5e

x

+ 3x

3

f’(x)

różniczkowanie

całkowanie

Oblicz całki oznaczone

∫

b

a

dx

)

x

(

f

w granicach: {0,1} oraz {-1,2}. Zinterpretuj różne wyniki

uzyskane dla tej samej funkcji.


Zad. 3. Dwie funkcje u(x) i w(x) tej samej zmiennej x spełniają relacje:

w = a·u;

dx

du

w

=

; u(x=0) = u

0

, gdzie a jest stałą >0. Znajdź postaci u i w jako funkcje x, czyli

u(x) = ? oraz w(x) = ?


Zad. 4. Funkcja w(x) spełnia relacje:

)

x

(

a

dx

dw

=

; gdzie

Cx

B

A

)

x

(

a

−

=

; w(x=0) = 0; A, B, C - stałe. Znaleźć postać funkcji w(x).

Zad. 5. Oblicz wielkość fizyczną E daną wzorem:

(

)

∫

+

πε

λ

=

a

0

2

/

3

2

2

r

x

dx

2

r

E

gdzie λ, r, ε, a – stałe. Skorzystaj z tablic całek nieoznaczonych, gdzie

znajdziesz wzór ogólny przy oznaczeniu

2

2

b

x

+

=

Χ

∫

Χ

=

Χ

2

3

b

x

dx