Zestaw nr 1: matematyka
Zad. 1. Oblicz pochodne następujących funkcji:
a) f(x) = 2e
x
+ 3sin
x +4x
2
b) f(x) = 5x
6
·sin
x
c)
x
e
x
sin
3
)
x
(
f
=
d) f(x) = 2e
x
+ 3x
3
+ cos(2x
2
)
e)
)
x
3
x
2
cos(
4
e
)
x
(
f
+
=
f)
x
2
e
2
)
x
8
cos(
x
5
)
x
(
f
⋅
=
Zad. 2. Dana jest funkcja f(x) = 5e
x
+ 3x
3
. Oblicz pochodną f’(x) i całkę nieoznaczoną F(x) =
∫
dx
)
x
(
f
. Sprawdź działania wg schematu:
całkowanie
róŜniczkowanie
F(x)
f(x) = 5e
x
+ 3x
3
f’(x)
róŜniczkowanie
całkowanie
Oblicz całki oznaczone
∫
b
a
dx
)
x
(
f
w granicach: {0,1} oraz {-1,2}. Zinterpretuj róŜne wyniki
uzyskane dla tej samej funkcji.
Zad. 3. Dwie funkcje u(x) i w(x) tej samej zmiennej x spełniają relacje:
w = a·u;
dx
du
w
=
; u(x=0) = u
0
, gdzie a jest stałą >0. Znajdź postaci u i w jako funkcje x, czyli
u(x) = ? oraz w(x) = ?
Zad. 4. Funkcja w(x) spełnia relacje:
)
x
(
a
dx
dw
=
; gdzie
Cx
B
A
)
x
(
a
−
=
; w(x=0) = 0; A, B, C - stałe. Znaleźć postać funkcji w(x).
Zad. 5. Oblicz wielkość fizyczną E daną wzorem:
(
)
∫
+
πε
λ
=
a
0
2
/
3
2
2
r
x
dx
2
r
E
gdzie λ, r, ε, a – stałe. Skorzystaj z tablic całek nieoznaczonych, gdzie
znajdziesz wzór ogólny przy oznaczeniu
2
2
b
x
+
=
Χ
∫
Χ
=
Χ
2
3
b
x
dx