286 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 86 NR 8/2010

Antoni SAWICKI, Łukasz ŚWITOŃ, Ryszard SOSIŃSKI

Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Instytut Elektroenergetyki

Modelowanie i symulacja procesów elektrycznych w obwodzie z

lampą rtęciową

Streszczenie: W artykule oceniono przydatność wybranych modeli matematycznych lamp wyładowczych do symulowania procesów w obwodach
instalacji elektrycznych. Zaproponowano nowy model aproksymujący charakterystyki napięciowo - prądowe lampy rtęciowej. Dokonano jego
implementacji w programie Matlab-Simulink. Porównano wyniki badań eksperymentalnych i symulacji komputerowych obwodu z lampą rtęciową.
Stwierdzono przydatność nowego modelu do obliczania instalacji elektrycznych z lampami wyładowczymi.

Abstract: The paper evaluates the usability of the selected discharge lamps mathematical models in simulating processes in electric circuits.There is
proposed the new model which approximates the voltage – current characteristics the mercury discharge lamp. The implementation has been done
in Matlab-Simulink program. There were compared the results of experimental research with the computer simulations of circuit with the mercury
discharge lamp. The paper ascertains the usability of the new model used to calculation electric circuits with discharge lamps. (Modeling and
simulation processing in electric circuit with mercury lamp).

Słowa kluczowe: wyładowanie elektryczne, lampa rtęciowa, model matematyczny,
Keywords: electrical discharge, mercury lamp, mathematical model

Wstęp

W obliczeniach obwodów elektrycznych z lampami

rtęciowymi wykorzystuje się możliwie proste aproksymacje
zarówno charakterystyk statycznych, jak i dynamicznych.
Najprostszym jest model liniowy lampy zawierający stałe
parametry R

e

i L

e

. Prowadzi to jednak do dużych

niedokładności obliczeń w porównaniu z przebiegami
rzeczywistymi. Zmniejszają się one wraz ze wzrostem
częstotliwości napięcia zasilającego.

Współczesne lampy rtęciowe wysokociśnieniowe dużej

mocy z reguły zasilane są napięciem o częstotliwości
sieciowej 50 Hz. To powoduje ujawnianie się efektów
nieliniowych tych odbiorników energii w postaci skoków
napięciowych i wyższych harmonicznych prądu.
Podstawowe znaczenie ma więc odwzorowanie właściwości
nieliniowych w makromodelach lamp wchodzących w skład
bibliotek programów symulujących pracę instalacji
oświetleniowych.

Zadania stawiane modelom matematycznym lamp

rtęciowych to [1]:

1) wystarczająco duża dokładność obliczeń w szerokim

zakresie zmian parametrów roboczych lampy;

2) prostota modeli, umożliwiająca osiągnięcie odpowiednio

dużej szybkości i wysokiej stabilności algorytmów
całkowania numerycznego;

3) wykorzystanie łatwo interpretowalnych i łatwo

mierzalnych parametrów fizycznych.

Udaną próbę wykorzystania modeli łuku (Cassiego i
hybrydowego Cassiego-Mayra) do symulowania procesów
w obwodach z lampami rtęciowymi podjęli autorzy w pracy
[2]. Stwierdzono jednak znaczne ograniczenia w
możliwościach prawidłowego odwzorowania charakterystyk
dynamicznych wyładowania w okolicach przechodzenia
prądu przez wartość zerową.

Ocena przydatności wybranych modeli
matematycznych lamp wyładowczych do symulowania
procesów w obwodach instalacji elektrycznych

Do tej pory opracowano wiele modeli matematycznych

lamp wyładowczych o różnej złożoności i różnej
dokładności aproksymowania charakterystyk
energetycznych. Pomimo, że zwykle istnieje potrzeba
stosunkowo dokładnego określenia tylko charakterystyk
zewnętrznych elektrycznych i optycznych, to ich
jednoznaczne powiązanie w szerokim zakresie zmian
warunków pracy wymaga analizy procesów cieplnych na
poziomie cząstek elementarnych w plazmie wyładowania

elektrycznego. Podstawą takich modeli są założenia
uwzględniające makroskopijne zmienne wewnątrz rury
wyładowczej. Przykładem tego może być wytwarzanie
swobodnych elektronów. Wtedy zmienne makroskopowe
uwzględniają: średnią gęstość elektronów



e

, napięcie

między elektrodami i prąd płynący przez lampę [3].

Przyrost swobodnych elektronów wewnątrz rury

wyładowczej zależy od ilości wytwarzanych swobodnych
elektronów i strat elektronów. Te zjawiska elektryczne są
reprezentowane przez równanie

(1)

 

dys

el

e

P

k

t

P

k

dt

d









2

1



gdzie k

1

i k

2

– stałe proporcjonalności. Dwa składniki mocy

po prawej stronie równania odpowiadają:
1) wytwarzaniu swobodnych elektronów wewnątrz rury

wyładowczej, co jest proporcjonalne do wartości
chwilowej mocy elektrycznej P

el

dostarczonej lampie;

2) wartości strat elektronów, co jest związana z gęstością
elektronów. Tu powinny być brane pod uwagę dwa
zjawiska: straty w ścianki rury i zjawisko rekombinacji.

Przyjmuje się, że straty elektronów w ścianki są

proporcjonalne do gęstości elektronów, a straty
rekombinacyjne szacuje się przez wielomian drugiego
stopnia. Lepsze wyniki uzyskuje się jednak za pomocą
oszacowania funkcją wykładniczą.

Takie podejście powoduje, że pomimo otrzymania

równania tylko pierwszego rzędu, to jest ono nieliniowe, o
bardzo złożonej postaci i o licznych parametrach niełatwych
do zidentyfikowania [3].

W mniej szczegółowym podejściu [4] wypadkowa

konduktywność jest równa sumie konduktywności



i

wszystkich składników plazmy

(2)







n

i

i

1





W przypadku słabo zjonizowanej plazmy

konduktywność każdego składnika zależy od temperatury i
opisuje się ją stosunkowo prostym wyrażeniem

(3)















kT

E

p

T

i

i

i

2

exp

75

,

0

0





PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 86 NR 8/2010 287

gdzie:



0i

jest stałą, odpowiadającą każdemu składnikowi

plazmy; T – temperatura; p – ciśnienie gazu; E

i

– energią

jonizacji i-tego składnika; k – jest stałą Boltzmanna.

Procesy elektryczne w lampie mogą być opisane przez

jest stany termodynamiczne. Z równania bilansu energii
wynika przyrost energii wewnętrznej

(4)

dys

el

P

P

dt

dH





gdzie: P

el

– moc elektryczna wprowadzana; P

dys

– moc

rozpraszana w lampie przez promieniowanie i prze-
wodzenie ciepła.

(5)

con

rad

dys

P

P

P





przy czym są one funkcjami temperatury T. Pierwsza zależy
wykładniczo od odwrotności temperatury, a druga prawie
liniowo [5]. Stąd wynika, że

(6)

 

 

 

 





T

P

T

P

ui

T

P

P

dt

T

dH

con

rad

dys

el











Opis analityczny modelu lampy wymaga przyjęcia wielu

założeń upraszczających [4]. Wtedy można otrzymać
pomocnicze równanie różniczkowe wiążące temperaturę
plazmy termicznej

(7)

 

 





T

P

T

P

ui

dt

dT

a

con

rad







gdzie a – odpowiednio dobierana stała modelu. Związek
pomiędzy koncentracją ładunków (konduktancją), a
temperaturą opisuje znane równanie Sahy [6].

Należy nadmienić, że same procesy w plazmie

kolumny wyładowania

łukowego nie reprezentują

wszystkich zjawisk elektrycznych w lampie, zwłaszcza w
stanach przejściowych. W przypadku niskiej częstotliwości
(sieciowej) równanie obwodu ma postać

(8)

 

  



dt

di

L

i

r

R

f

t

u

t

u

eAK









,

gdzie L i R – są parametrami dławika; r – rezystancją
nieliniowa lampy (r = 1/g); u

eAK

– suma przyelektrodowych

spadków napięcia. Ta składowa napięcia może być
aproksymowana funkcją nieliniową względem czasu i
częstotliwości harmonicznej podstawowej [7].

Największą popularność w modelowaniu wyładowań

elektrycznych w gazach o wysokich ciśnieniach uzyskały
podejścia wykorzystujące uogólnione zależności opisujące
konduktancję lub rezystancję dynamiczną łuku [8, 9]. Jedno
z nich zostało zaproponowane przez Zissis i Damelincourt
[10]. Ma ono postać

(9)

k

n

k

k

g

b

i

a

dt

dg











1

2

2

Forma wielomianowa mocy rozpraszanej utrudnia
obliczanie współczynników aproksymacji i ich interpretację
fizyczną.

Badania eksperymentalne i symulacje procesów w
obwodzie elektrycznym z lampą rtęciową

Badana lampa rtęciowa była nowa, co gwarantowało

symetrię jej charakterystyk napięciowo-prądowych. W
obwodach prądu zmiennego lampy zwykle łączy się w
szereg z dławikiem (statecznikiem). Najprostszemu
szeregowemu obwodowi odpowiada równanie

(10)

dt

di

L

i

R

g

i

t

U

D

D

m









sin

gdzie: R

D

i L

D

– rezystancja i indukcyjność dławika; g –

konduktancja lampy. Zasilanie napięciem U odbywało się z
autotransformatora. Rejestracji napięcia zasilania, napięcia
i prądu lampy dokonywano przez komputer wyposażony w
kartę pomiarową i przetworniki pomiarowe. Wcześniej
jednak wyznaczono parametry dławika metodą techniczną.
Do badań wybrano lampę rtęciową firmy OSRAM.
Parametry katalogowe i zmierzone elementów układu
zasilania zamieszczono w tabeli 1.

Tabela 1. Parametry katalogowe i zmierzone lampy rtęciowej i
dławika (P

n

- moc znamionowa; I

n

- prąd znamionowy)

Lampa
rtęciowa

P

n

[

W]

Dławik

I

n

[A]

cosφ

R

D

[

]

L

D

[H]

HQL(MBF-
U)

250

STR

250-500

2,15

0.55

3

0.254

W proponowanym modelu matematycznym lampy

rtęciowej wykorzystano uogólnione wyrażenie

(11)

 

















g

i

U

i

dt

dg

st



1

gdzie: θ – stała czasowa; U

st

– charakterystyka statyczna

wyładowania łukowego. Podjęte próby zastosowania
aproksymacji tej charakterystyki funkcjami stałą,
hiperboliczną lub skojarzoną [2] dawały wyniki w
ograniczonym stopniu zadowalające. Świadczyły o tym
jeszcze dość znaczne rozbieżności wartości wskaźnika
THD prądu w układach rzeczywistym i modelowanym.
Dlatego autorzy zaproponowali racjonalną aproksymację
funkcjami wykładniczymi, uzyskując model matematyczny
lampy w postaci

(12)



















































g

i

d

c

i

b

i

a

i

dt

dg

exp

1

exp

1



gdzie: a, b, c, d – stałe współczynniki. Pierwsza składowa
mianownika odpowiada fragmentowi charakterystyki z
małymi wartościami prądu. Jej zadaniem jest lepsze
odwzorowanie wolniejszego przebiegu narastania napięcia
do zadanej wartości, niż jest to osiągane w modelu Mayra.
Druga składowa odpowiada przypadkom dużych wartości
prądu. Jej wpływ ujawnia się stopniowo, osiągając stan
napięcia wyładowania zgodny z modelem Cassiego.
Porównując ten wzór z modelem hybrydowym [9], takie
podejście umożliwia lepsze odwzorowanie charakterystyki
w zakresie małych prądów. Implementację modelu (12) w
programie Matlab-Simulink pokazano na rysunku 1. Oprócz
obwodu zasilania zamieszczono tu także bloki niezbędnych
przyrządów pomiarowych.

Na rysunku 2 pokazano charakterystyki napięciowo -

prądowe pochodzące z badań eksperymentalnych i
symulacji. Na podstawie przebiegów czasowych napięcia i
prądu obliczono parametry modelu matematycznego z
użyciem algorytmu genetycznego. Różnice pomiędzy
wynikami teoretycznymi a eksperymentalnymi maleją wraz
ze wzrostem napięcia zasilania. Rozbieżności dotyczą
przede wszystkim przebiegów czasowych napięcia (rys. 3).

288 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 86 NR 8/2010

u=f(i)

theta

-C-

powergui

Continuous

g0

-C-

g

dlawik

d

-C-

c

-C-

b

-C-

array

U( : )

am

i

+

-

a

-C-

V

v

+
-

U_I

Total Harmonic

Distorsion 1

signal THD

Total Harmonic

Distorsion

signal THD

Product 4

Product 3

Product 2

Product 1

Product

Math

Function 1

eu

Math

Function

eu

Integrator

1

s

Gain 1

-1

Gain

-1

Divide 2

Divide 1

Divide

Display 1

0.1144

Display

0.1114

Current with experiment

[t ie ]

Con

s

-

+

Add 3

Add 2

Add 1

Add

Abs1

|u|

AC

1

1

Rys. 1. Makromodel lampy rtęciowej w prostym obwodzie zasilania

a)

b)

c)

d)

Rys. 2. Charakterystyki napięciowo - prądowe eksperymentalne i
symulacyjne lampy rtęciowej z różnymi wartościami napięcia
zasilania: a) U = 150 V (a = 420.17 VA

-1

, b = 3.31 A

-1

, c = 81.12 V,

d = 3.14 A

-1

, θ = 3.31e-4 s); b) U = 210 V (a = 350.41 VA

-1

, b=1.87

A

-1

, c = 130.62 V, d = 1.20 A

-1

, θ = 3.15e-4 s); c) U = 230 V

(a=309.61 VA

-1

, b = 1.81 A

-1

, c = 136.5 V, d = 1.18 A

-1

, θ = 3.09e-4

s); d) U = 260 V (a = 280.72 VA

-1

, b = 1.49 A

-1

, c = 142.93 V, d =

0.88 A

-1

, θ = 2.92e-4 s)

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

t [s]

U [V

]

eksperyment
model

a)

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

-3

-2

-1

0

1

2

3

t [s]

I [A

]

eksperyment
model

b)

Rys. 3. Przebiegi czasowe napięcia i prądu lampy rtęciowej
zasilanej napięciem 230 V

0

200

400

600

800

1000

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

f[Hz]

am

plit

ude [

dB

]

a)

0

200

400

600

800

1000

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

f[Hz]

a

m

pli

tude

[

dB]

b)

Rys. 4. Widma harmonicznych prądu zasilającego układ
rzeczywisty lampy rtęciowej: a) U =150V; b) U=230 V

PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 86 NR 8/2010 289

Analiza widmowa prądu (rys. 4) wskazuje na wyraźną

obecność harmonicznych nieparzystych. Choć występują
także harmoniczne parzyste, to jednak ich amplitudy są
znacznie mniejsze. Świadczy to o stosunkowo dobrej
symetrii charakterystyk wyładowania. Precyzyjniejszą
ilościową ocenę oddziaływania lamp rtęciowych na sieć
elektroenergetyczną uzyskano obliczając wskaźnik THD.
Wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczono w tabeli 2. Ich
porównanie wykazuje na znacznie lepszą zgodność modelu
matematycznego (12) z badaną lampą rtęciową, niż
zgodność z modelami Cassiego i hybrydowego, uzyskaną
w pracy [2].

Tabela 2. Wskaźnik zawartości harmonicznych prądu THD w
obwodzie rzeczywistym i w obwodzie z modelem lampy rtęciowej

U [V]

THD prądu-lampa

rzeczywista

THD prądu –model

lampy

150 0,1144

0,1114

180 0,1371

0,1377

210 0,1076

0,1035

230 0,1009

0,09821

260 0,0984

0,09375

W celu ułatwienia praktycznego wykorzystywania

proponowanego modelu w symulowaniu procesów w
instalacjach oświetleniowych obliczono rozkłady
parametrów w zależności od prądu i napięcia zasilania
rzeczywistej lampy rtęciowej. W tym celu użyto algorytmu
genetycznego. Odpowiednie wykresy pokazano na rysunku
5. Widać z nich, że są one słabo nieliniowe. Odpowiednie
aproksymacje funkcjami wielomianowymi i logarytmicznymi
zamieszczono w tabeli 3.

Rys. 5. Rozkłady parametrów modelu (12) w zależności od prądu i
napięcia zasilania lampy rtęciowej.

Tabela 3. Współczynniki funkcji aproksymujących rozkłady
parametrów modelu

Argument - napięcie

zasilania układu U [ V]

Argument - prąd zasilania

układu I [A]

a = -2,47log(U)+16,59

a = -1,7log(I)+4,55

b = -3,32log(U)+19,84

b = -2,2log(I)+3,61

c = -0,04U

2

+0,15U+1,21 c = -0,049I

2

+0,12I+1,21

d = 0,09U

2

-0,64U+1,85

d = 0,24I

2

-0,57I+1,85



= -0,003U+3,84



= -0,24I+3,62

Wnioski
1. Opracowany model matematyczny przyczynia się do
zmniejszenia rozbieżności pomiędzy wymaganą precyzją
odwzorowania zjawisk fizycznych w lampie rtęciowej, a
wymaganą prostotą modelu matematycznego, dogodnego
do identyfikacji parametrów i symulowania procesów w
instalacjach oświetleniowych.

2. Zaproponowany model matematyczny lampy rtęciowej
lepiej odwzorowuje charakterystyki wyładowania łukowego
w porównaniu z modelami Cassie i hybrydowym, zwłaszcza
w zakresie małych prądów.
3. Rozbieżność między charakterystyką dynamiczną
modelu, a charakterystyką lampy rzeczywistej rośnie wraz
ze wzrostem napięcia (prądu) zasilania.
4. Z porównania wyników badań eksperymentalnych z
modelem matematycznym lampy rtęciowej wynika duża
zgodność odwzorowania wartości ekstremalnych napięcia i
prądu.

LITERATURA

1. Краснопольский А.Е., Соколов В.Б., Троицкий А.М.:

Пускорегулирующие аппараты для разрядных ламп.
Энергоатомиздат, Москва 1988.

2. Sawicki

A.,

Świtoń Ł., Sosiński R.: Próba wykorzystania modeli

Cassiego i hybrydowego Cassiego-Mayra do symulowania
procesów w obwodach z lampami rtęciowymi. Śląskie
Wiadomości Elektryczne 2010, nr 1 (w druku).

3. Blanco C., Antón J.C., Robles A., Ferrero F.J., Campo J.C.: A

Discharge Lamp Model Based on Lamp Dynamic
Conductance. IEEE Transactions on Power Electronics 2007,
vol. 22, no. 3, p. 727-734.

4. Shvartsas M., Ben-Yaakov S.: A SPICE Compatible Model of

High Intensity Discharge Lamps. Conf. 69, Internet.

5. Wei Yan, Hui S.Y. Ron: An Improved High-Intensity Discharge

Lamp Model Including Acoustic Resonant Effect on the Lamp
Arc Resistance. IEEE Transactions on Power Electronics 2004,
vol. 19, no. 6, p. 1661- 1667.

6. Laskowski E.L., Donoghue J.F.: A Model of a Mercury Arc

Lamp's Terminal V-I Behavior. IEEE Transactions on Industry
Applications 1981, vol. IA-17, no. 4, p. 419-426.

7. Wei Yan, Hui S.Y. Ron: A Universal PSpice Model for HID

Lamps. IEEE Transactions on Industry Applications 2005, vol.
41, no. 6, p. 1594-1602.

8. Sawicki A., Świtoń Ł., Sosiński R.: Wykorzystanie modelu

Cassiego do symulowania procesów w obwodzie z łukiem
elektrycznym. Przegląd Spawalnictwa 2009, nr 12, s. 62-65.

9. Sawicki A., Świtoń Ł., Sosiński R.: Evaluation of usability of

Cassie and hybrid Cassie-Mayr models to simulate processes
in AC arc circuits. Przegląd Elektrotechniczny 2010, nr 1, s.
255-259.

10. Zissis G., Damelincourt J.J.: Modelling discharge lamps for

electronic circuit designers: a review of the existing methods. In
The 29 IEEE International Conference on Plasma Sciences
(ICOPS2002), p. 318. Ban, Canada, May 26–30 2002.

Autorzy:
dr hab. inż. Antoni Sawicki prof. PCz., tel. służb. 034-32 50 816,
mob. [phone],
e-mail: [e-mail]
mgr inż. Łukasz Świtoń, tel. służb. 034-32 50 816, mob. 513 602
759
e-mail: [e-mail]
dr inż. Ryszard Sosiński, tel. Służb. 034-32 50 306, 034-32 50 829
e-mail: [e-mail]

Politechnika Częstochowska,
Wydział Elektryczny,
Instytut Elektroenergetyki
Zakład Elektrotechnologii i Automatyki Budowlanej
Al. Armii Krajowej 17,
42-200 Częstochowa