Lista 10

Całki potrójne

1. Obliczyć podane całki potrójne:

a)

1

R

−1

dx

1

R

0

dy

2

R

0

(x

2

+ y

2

+ z

2

)dz;

b)

1

R

0

dz

π

4

R

0

dy

2

R

0

x cos ydx;

c)

RRR

V

(2x − y + 3z)dxdydz, gdzie V = [−1, 1] × [0, 1] × [2, 4];

d)

RRR

V

x

yz

dxdydz, gdzie V = [0, 1] × [1, 2] × [2, 3];

e)

RRR

V

yx

2

sin zdxdydz, gdzie V = [0, 1] × [−1, 1] × [0,

π

2

];

f)

RRR

V

e

2z+y−x

dxdydz, gdzie V = [0, ln 2] × [0, ln 3] × [0, 1].

2. Całkę potrójną

RRR

V

f (x, y, z)dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar V

ograniczony jest powierzchniami:
a) 2x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0;
b) y =

√

x

2

+ z

2

, y = 1;

c) x

2

+ y

2

= R

2

, z = 0, z = 8 − x

2

− y

2

.

3. Obliczyć całki:

a)

RRR

V

zdxdydz, jeżeli V jest obszarem ograniczonym płaszczyznami

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

b)

RRR

V

z

√

x

2

+ y

2

dxdydz po obszarze V ograniczonym płaszczyznami

współrzędnych oraz powierzchniami x

2

+ y

2

− 2z = 0 i x

2

+ y

2

+ z

2

− 3 = 0

jeśli x ­ 0, y ­ 0, z ­ 0.

c)

RRR

V

4z

3

dxdydz po obszarzeV ograniczonym powierzchniami

x

2

+ y

2

+ z

2

− 1 = 0 i x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z = 0.