Energetyka jadrowa (cwiczenia 3 rozszczepienia [tryb zgodnosci]

ELEMENTY FIZYKI

REAKTORÓW

Rozszczepianie jąder

Przykład

Przykład 7

7::

Jaką

Jaką ilość

ilość energii

energii uzyskamy

uzyskamy zużywając

zużywając w

w reaktorze

reaktorze jądrowym

jądrowym 1

1 g

g U

U--235

235?

U--235

235 ma

ma masę

masę atomową

atomową A

A =

= 235

235.. W

W 235

235 g

g ((1

1 molu)

molu) tej

tej substancji,

substancji, zgodnie

zgodnie

z prawem

prawem Avogadro,

Avogadro, znajdować

znajdować się

się będzie

będzie N

= 0

0,,602217

602217··10

atomów

atomów..

Zatem,

Zatem, w

w 1

1 g

g U

U--235

235 znajduje

znajduje się

się

atomów

atomów::

Energia

,, wyzwolona

wyzwolona z

z rozszczepienia

rozszczepienia

atomów

atomów U

U--235

235 będzie

będzie wynosić

wynosić::

Jeśli

Jeśli 1

1 MeV

MeV =

= 1

1,,6022

6022··10

--13

J wówczas

wówczas::

E= 8

8,,203

203**10

atomów

235

6022

235









MeV

200









E = 0,95 MW/dzień

Proces rozszczepienia

Procesy w rdzeniu

reaktora

Przykład

Przykład 8

8::

Obliczyć

Obliczyć czas

czas rozszczepienia

rozszczepienia jąder

jąder zawartych

zawartych w

w 1

1 kg

kg czystego

czystego U

U--235

235,, w

niekontrolowanej

niekontrolowanej reakcji

reakcji łańcuchowej

łańcuchowej (rozwijającej

(rozwijającej się

się lawinowo)

lawinowo).. Przyjąć,

Przyjąć, że

że w

każdym

każdym rozszczepieniu

rozszczepieniu powstają

powstają dwa

dwa neutrony

neutrony zdolne

zdolne do

do rozszczepienia

rozszczepienia innych

innych

jąder,

jąder, których

których prędkość

prędkość w

w =

= 10

cm/s,

cm/s, a

a średnia

średnia droga

droga swobodna

swobodna ll =

= 10

10 cm

cm..

Czas

w którym

którym neutron

neutron przebywa

przebywa drogę

drogę swobodną

swobodną::

W 1

1 kg

kg U

U--235

235 znajduje

znajduje się

się

atomów

atomów (jąder)

(jąder)::





atomów

0,6022·10

235

1000













Reakcja łańcuchowa

– liczba atomów w 1 molu

A- liczba masowa g/mol

n=N

Zatem

Zatem do

do rozszczepienia

rozszczepienia n

n =

= 2

2,,56

56··10

jąder

jąder potrzebujemy

potrzebujemy tyle

tyle samo

samo neutronów

neutronów ,,

które

które otrzymamy

otrzymamy w

--tym

tym pokoleniu

pokoleniu::

Łączny

Łączny czas

czas

potrzebny

potrzebny na

na rozszczepienie

rozszczepienie 2

2,,56

56··1024

1024 jąder

jąder U

U--235

235 przez

przez

neutrony

neutrony w

w 81

81 pokoleniach

pokoleniach wyniesie

wyniesie::





Zatem

Zatem::

k = 81 (2

= 2,42·10

)

= k·t = 81·10

-8

= 8,1·10

-7

Reakcja łańcuchowa

Reakcje łańcuchowe rozszczepienia



W pojedynczej reakcji rozszczepienia

W pojedynczej reakcji rozszczepienia

235

uwalnia się średnio 2,4 neutronu, nie

uwalnia się średnio 2,4 neutronu, nie
zawsze to jednak starcza do wystąpienia

zawsze to jednak starcza do wystąpienia
samopodtrzymującej się reakcji

samopodtrzymującej się reakcji
łańcuchowej.

łańcuchowej.



Część neutronów jest pochłaniana przez

Część neutronów jest pochłaniana przez

jądra, bez wywołania rozszczepienia, inna

jądra, bez wywołania rozszczepienia, inna
część neutronów ucieka z rdzenia.

część neutronów ucieka z rdzenia.



Im większa jest bryła

Im większa jest bryła

235

U, tym mniejsza

część z uwalnianych w objętości neutronów

część z uwalnianych w objętości neutronów
ucieka na zewnątrz.

ucieka na zewnątrz.



Schemat reakcji łańcuchowej:

Schemat reakcji łańcuchowej:

a) niekontrolowanej, b) kontrolowanej

= l

n-1

– liczba neutronów w n-tym pokoleniu

l – liczba neutronów powst. w pojedynczym

rozszczepieniu

Przykład

Jeśli przyjąć prędkość neutronów

Jeśli przyjąć prędkość neutronów rozszczepieniowych

rozszczepieniowych 10

cm/s

a średnią drogę swobodna 10cm

To neutron przebywa ją średnio w czasie 10

--8

Zakładając, że w każdym rozszczepieniu powstają dwa neutrony zdolne do

rozszczepienia kolejnych jąder. Otrzymamy w kolejnych pokoleniach szereg

rozszczepień: 1, 2, 4, 8, 16, 32... Itd..

Stąd obliczymy, że w setnym pokoleniu rozszczepi się 2

100

=10

jąder.

Konieczny do tego czas wynosi 100*10

--8

= 10

--6

Jeśli 1 kg U

Jeśli 1 kg U--235 zawiera 2*10

235 zawiera 2*10

jąder

Więc w czasie < 10

--6

sek

sek może ulec rozszczepieniu liczba jąder większa od

może ulec rozszczepieniu liczba jąder większa od

liczby jąder w 1 kg czystego U235

Zadanie 1

Zakładając, że w jednym akcie rozszczepienia jądra U-235 wyzwolona
zostaje energia Ef= 200MeV

obliczyć energię jaka wydzieli się podczas rozszczepienia 1 kg izotopu U-235

oraz masę paliwa umownego o wartości opałowej Qw=29,3 MJ/kg,
równoważną pod względem uzyskanego ciepła.

Rozwiązanie 1

Liczba jąder w 1kg U-235

n= N

/A = 6,023*10

/235 = 2,56*10

Zakłada się, że liczba jąder jest równa liczbie rozszczepień.

Z 1 rozszczepienia uzyskuje się energię:

= 200 MeV = 200*1,602*10

-19

MJ = 3,204*10

-17

Energia uzyskana z rozszczepienia wszystkich jąder zawartych w 1 kg U-
235:

E= E

*n = 3,204*10

-17

* 2,56*10

= 82,02*10

MJ/kg

Równoważna masa węgla kamiennego

(przy założeniu 100%-towej sprawności)

B=E/Q

= 82,02*10

/ 29,3 = 2,8*10

Podstawowe wzory do obliczeń mocy reaktora

Reakcje między neutronami i jądrami w reaktorze zachodzą przypadkowo.

Przekrój czynny – prawdopodobieństwo zajścia reakcji określonego rodzaju

[cm

]

 - Całkowity przekrój czynny jest sumą prawdopodobieństwa na rozpraszanie
neutronów i na pochłanianie.

W obliczeniach wykorzystuje się także makroskopowy przekrój czynny

=



*N [cm

-1

]

Średnia droga swobodna neutronu to odległość, którą przebywa neutron w
materiale zanim nastąpi reakcja neutronu z jądrem.

= 1/

Liczba reakcji rozszczepienia na 1 kg i s: R

= 

*F*N

[1/kgs]

Strumień neutronów: F= n*w [1/ms]

Moc cieplna reaktora: Q

= E

lub Q

= E

Liczba jąder w 1 m

= N

/A *r, A- masa cząsteczkowa, N

- L.Avogadra

Liczba jąder w 1 kg N

= N

Zadanie 2

Obliczyć ilość energii uzyskanej z rozszczepienia 1 g U-235. Następnie
uwzględniając, że reakcji rozszczepienia towarzyszy również reakcja wychwytu
obliczyć o ile należy zwiększyć wsad paliwa pierwotnego U235 aby uzyskać tę
samą ilość energii. Przyjąć, że dla uranu przekrój czynny na rozszczepienie
wynosi 583*10

-28

, a na wychwyt 101*10

-28

. Założyć, że podczas

rozszczepienia 1 jądra uranu wydziela się Ef= 200MeV energii.

Energia wydzielona z rozszczepienia 1 g U235:

E= E

/A = 200* 6,023*10

/ 235 = 5,126*10

MeV/g = 5,126*10

*1,302*10

-19

= 82,118*10

MJ/g

Energia wydzielona z uwzględnieniem pochłaniania:

= E* f/(f+c)  70*10

MJ/g

E/E

= 1,17

Zadanie 3

Masa uranu U-235: M

= 0,04*80t= 3200kg

Liczba jąder w 1 kg: N

= N

/A = 6,023*10

/235 = 2,56*10

-1

Prędkość neutronów: w=(2E

)^0,5

gdzie: E

– energia neutronu termicznego, M

– masa neutronu (1,00867u)

W=((2*0,025*1,602*10

-19

)/(1,00867*1,66044*10

-27

))^0,5 = = 2187 m/s

Strumień neutronów: F= n*w = 9*10

*2187 = 1,97*10

1/ms

Liczba reakcji rozszczepienia na 1 kg i s

= 

*F*N

= 577*10

-28

*1,97*10

*2,56*10

= 2,91*10

1/kgs

W reaktorze jądrowym znajduje się wsad w ilości 80t paliwa uranowego,
wzbogaconego do 4% U-235.
Gęstość neutronów w rdzeniu n=9*10

-3

neutr

= 0,025 eV).

Oblicz moc reaktora pochodzącą od rozszczepień U-235 oraz energię i czas wypalania
paliwa, jeżeli przekrój czynny U-235 na rozszczepienie =577*10

-28

, a

współczynnik wykorzystania paliwa r

= 3,25%. Przyjąć, że energia z jednego

rozszczepienia E

=200MeV.

=? E

=? T=?

c.d.

Moc reaktora

= E

= 200*1,602*10

-19

*2,91*10

*3200 = 298,4 MW

Masa uranu, która ulega efektywnemu rozszczepieniu:

= r

= 0,0352*3200 = 112,6 kg

Energia uzyskana z rozszczepienia

= E

= 200*1,602*10

-19

*2,56*10

*112,6 = 9,236*10

Czas pracy (czas wypalania paliwa):

= E

= 9,236*10

/298,4 = 8597 h

Zadanie 4

Dla reaktora badawczego strumień neutronów wynosi

F= 1*10

neutronów/cm

a objętość V= 64 000 cm

Jaka będzie moc reaktora jeśli makroskopowy przekrój czynny w reaktorze
= 0,1cm

-1

Moc może być wyliczona z pomnożenia energii rozszczepienia pojedynczej
reakcji (E

) przez liczbę reakcji w jednostce objętosci (R):

Q [MW] = 1,602*10

-19

J * 200MeV*10

* 10

-6

*R = 3,2*10

-11

*10

-6

*R [MW]

R=  *F = 0,1*10

reakcji/ cm

s R= *F *N*F bo =



Moc reaktora na jednostkę objętości /cm

Q= 3,2*10

-17

*10

= 3,2*10

-5

MW/cm

Moc całkowita: Q

= Q * V = 3,2*10

-5

MW/cm

* 64000 cm

= 2 MW

V= 64000 cm

, dla r= 10,8 g/cm

m=691 kg

Zadanie 5

Uran naturalny składa się z izotopów

234

235

238

Oblicz jego masę atomową wg składu:

234

U: udział 0,0057 A=234,0409

235

U: udział 0,72 A=235,0439

238

U: udział 99,27 A=238,0508

= 5,7*10

-5

*234,0409 + 7,2*10

-3

*235,0439 + 0,9927*238,0508 =

= 238,0187u

Zadanie 6

Jeżeli wybrany węgiel brunatny wykorzystamy do produkcji energii w kotle pyłowym

Jak dużo węgla brunatnego musimy spalić w kotle pyłowym aby uzyskać tyle samo

energii co 10.8 g paliwa w postaci UO

(o gęstości 10,8 g/cm

) przy założeniu

wzbogacenia paliwa do reaktora do udziału U235 wynoszącego 3,5% (resztę uranu
stanowi U238).

Skład węgla (%): C=62,8; H=4,73; N=0,75; S=0,35; O=28,1; Ca=1,7; Fe=0,46;
Mg=0,28; Si=0,39.

Jak dużo CO

zostanie wyprodukowane podczas spalenia tego paliwa?

Rozwiązanie 6

Skład węgla (%): C=62,8, H=4,73, N=0,75, S=0,35, O=28,1, Ca=1,7, Fe=0,46,
Mg=0,28, Si=0,39.

Wartość opałowa: LHV = 33829C + 144000(H - O/8) + 10467S - 2441(9H+W) =

= 21995 kJ/kg (dla węgla suchego)

Określenie energii rozszczepienia jąder U-235:

E= Ef * N

, N

- liczba jąder U235 w materiale paliwowym (UO

)

W skład paliwa wchodzi U235 i U238: udział U235=3,5%

Określenie ilości atomów U235:

N=r*N

/M N- ilośc atomów, M-masa atomowa N=N

= w

*r/100 - gęstość elementu mieszaniny o gęstości r, w- udział procentowy

elementu

Ilość atomów pojedynczego elementu mieszaniny: N

= w

*r*N

/(100*M

)

c.d.

W UO

uran występuje jako mieszanina U235 i U238

Ogólnie dla związku X

masę molową możemy zapisać jako: mM

+ nM

Stąd: udział % X= mM

/(mM

+nM

)*100

Czyli % U = M

/(M

+2M

)*100

N=n

i N=r*N

/M stąd 1/M=1/100* w

1/M

= 1/100 * (3,5/235,0439 + 96,5/238,0508) = 0,0042027

stąd M

= 237,9423u

Udział uranu w UO

: %U= 237,9423/(237,9423 + 2*16)*100 = 9,51 g/cm

U235

= (0,035*9,51*0,06022*10

) / 235,0439 = 8,45*10

atomów/cm

U238

= (0,965*9,51*0,06022*10

) / 238,0508 = 2,32*10

atomów/cm

c.d.

Określenie energii rozszczepienia jąder U-235:

E= Ef * N

, N

- liczba jąder U-235 w materiale paliwowym (UO

)

E = 200 MeV * 8,45*10

= 1,69 * 10

MeV

= 1,69*10

* 1,602*10

-19

* 10

J = 2,7 * 10

1 eV = 1,602·10

-19

;

c.d.

Obliczenie masy węgla potrzebnej do wytworzenia takiej energii:

= E/LHV = 2,7*10

kJ / 21995 kJ/kg = 1228 kg

Ilość węgla spalonego: m

= m

* C = 1228kg * 0,628 = 771 kg

W kilomolach: n

= m

= 771kg/12kg/kmol = 64 kmole

Ilość wyemitowanego CO

podczas spalenia takiej ilości węgla:

C + O

= CO

= n

CO2

(1kmol+1kmol=1kmol)

CO2

= n

CO2

= 64 kmole * 44 kg/kmol = 2827 kg

Zadanie 7

Rozpatrujemy jako paliwo węglik uranu (UC). Paliwo jest wzbogacone

do udziału urany wynoszącego 25%. Gęstość UC = 13,6 g/cm

Jaka jest masa atomowa uranu?

Jaka jest gęstość atomów U235? (ilość atomów)

1/M

= 0,25/235,0439 + 0,75/238,0508 stąd M

= 237,2919 u

Udział wagowy uranu w UC

= M

/(M

) = 237,2919/(237,2919+12) = 0,95

Gęstość uranu r

= w

= 0,95 * 13,6 g/cm

= 12,92 g/cm

U235

= w

U235

/ M

U235

= 0,25*12,92*6,022*10

/ 235,0439 =

= 8,28*10

atomów/cm

N=r*N