Logika:

∨  −    
 

∧  −  
 

⇒  − 
  ż 
 

⇔  − ó  ż 
ó  ż 

Prawa de Morgana:

1.

~
∧  ⇔ ~
∨ ~

2.

~
∨  ⇔ ~
∧ ~

Kwantyfikatory:

!
"

#∈%

− &ż  ' & ż& ( " ∈ )

*
"

#∈%

− ł  ' ,  " ∈ )

Reguła (prawo) de Morgana dla kwantyfikatorów:

1. ∼ !
"

#∈%

⇔ * ~
"

#∈%

2. ~ *
"

#∈%

⇔ ! ∼
"

#∈%

! ! "

.

< 

0∈1

#∈1

− 'ł,2

* ! "

.

< 

0∈1

#∈1

− 'ł,2

! * "

.

< 

0∈1

#∈1

−
 &2

* * "

.

< 

0∈1

#∈1

−
 &2

Zbiory:

3 ⊂ 5 −   ,
&2  2  5, 3 2    , 5

3 ∪ 8 ≝ , & óℎ 2 ó , , 2 ó 2 & '

3 ∪ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∨ " ∈ 8=

3 − 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∉ 8= = ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧∼ " ∈ 8= − óż 2 ó

3 ∩ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∈ 8= − 2 2 ó

Def. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami, wtedy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór:

3 × 8 ≝ ;, :  ∈ 3 ∧  ∈ 8=

Def. Parą elementów a i b nazywamy zbiór

,  = B;=, ;, =C

UWAGA:

3 × 8 ≠ 8 × 3

Wartość bezwzględna:

Def. Wartością bezwzględna nazywamy:

|"| = F " (& " ≥ 0

−" (& " < 0

I

Tw, Wartość bezwzględna spełnia warunki:

1. ! |" ∗ |

#,0∈1

= |"| ∗ ||

2. ! K

"

K

#,0∈1

=

|"|

||

3. ! M"

.

#∈1

= |"|

Wzory skróconego mnożenia:

1.  + 

.

= 

.

+ 2 + 

.

−  &  ,

2.  − 

.

= 

.

− 2 + 

.

−  &  óż

3. 

.

− 

.

=  −  +  − óż  & ó

4.  + 

P

= 

P

+ 3

.

 + 3

.

+ 

P

− ,2 ś ,

5.  − 

P

= 

P

− 3

.

 + 3

.

− 

P

− ,2 ś óż

6. 

P

− 

P

=  − 

.

+  + 

.

 − óż ,2 śó

7. 

P

+ 

P

=  + 

.

−  + 

.

 − , ,2 śó

Prawo trychotomii:

!  <  ∨  =  ∨  > 

V,W∈1

! *  <  ⇒  <  < 

X∈1

V,W∈1

Def. Niech

3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba  ∈ 5 taka, że  ≤ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że zbiór 3 jest ograniczony z

dołu, a o takiej liczbie

, że jest liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu.

* !  ≤ "

#∈Z

[∈1

Def. Niech

3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba \ ∈ 5 taka, że \ ≥ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że jest liczbą ograniczającą ten

zbiór z dołu.

* ! " ≤ \

#∈Z

]∈1

Tw. Na to aby zbiór

3 ⊂ 5 był ograniczony potrzeba i wystarcza aby istniała stała  > 0 taka, że dla każdego " ∈ 3

zachodziła nierówność:

|"| ≤ 

* !|"| < 

#∈Z

^_`

|"| ≤ 5 ⇔ − ≤ " ≤ , " ∈ a−, b

Def. Niech

3 ⊂ 5. Mówimy, że liczba  jest kresem dolnym zbioru 3 jeżeli  jest najmniejszą liczbą zbioru lub

(jeżeli najmniejszej liczby zbiór

3 nie posiada) największą liczbę ograniczającą ten zbiór z dołu.

 = '3

Def. Mówimy, że liczba

\ jest kresem górnym zbioru 3 ⊂ 5 jeżeli \ jest największą liczbą zbioru 3, bądź (gdy

zbiór

3 nie ma największej liczby) najmniejszą liczba ograniczającą ten zbiór z góry.

\ = ,
8

Tw.

3 ⊂ 8 ⊂ 5 to:

 '3 ≥ '8

 ,3 ≤ ,8

Funkcje:

Def.

), c − &  2 . Funkcją określoną na zbiorze ) o wartościach w zbiorze c nazywamy

przyporządkowanie takie, które każdemu elementowi zbioru

) przyporządkowuje jeden i tylko jeden element ze

zbioru

c.

': ) → c - funkcja ' jest określona na ) i wartość na w zbiorze c

) = e

f

- dziedzina funkcji,

g

f

- zbiór wartości funkcji,

f

– wykres funkcji

g

f

= ; ∈ c: ! "

f

→ = = ; ∈ c: *  = '"

#∈%

#∈%

"

f

→  ⇔  = '"

g

f

⊂ c, e

f

≠ c

h

f

≝ ;",  ∈ ) × c: *  = '"

#∈i

j

Wykres istnieje tylko wtedy gdy dowolna linia prostopadła do osi X przecina linię wykresu tylko w jednym miejscu.

Def. Mówimy, że funkcja

': ) → c jest iniekcją (różnowartościową) jeżeli:

!

#

k

,#

l

∈%

"

m

≠ "

.

⇒ '"

m

 ≠ '"

.



Def. Mówimy, że funkcja

': ) → c jest surjekcją („na”) jeżeli:

g

f

= c,

!

0∈n

*

#∈%

 = '"

Def. Funkcję, która jest iniekcją i surjekcją nazywany bijekcją.

Sposoby zadawania funkcji:

I.

Tabelka, jeżeli zbiory są skończone,

) = ;"

m

, "

.

, "

P

, … "

p

=, c ⊂ 5

x

1

x

2

x

3

… x

n

y

1

y

2

y

3

… y

n

II.

Wzór funkcyjny

III.

Wykres funkcji

Funkcja jest injiekcją jeśli dowolna prosta prostopadła do osi Y może przecinać wykres w najwięcej jednym punkcie.

Rzut wykresu na oś X daje

e

f

, na oś Y daje

g

f

.

Def. Jeżeli

': ) → c jest bijekcją to funkcja '

qm

: ) → c taka, że gdy  = '"to '

qm

 = ". Nazywamy taką

funkcję funkcją odwrotną do

'

) → "

f

→  ∈ c ⇔ 

f

rk

stu "

Złożenie funkcji

Dane:

': " → 

(:  → 2

" → )

f

→  → c

 → c

v

→ 2 → w

ℎ: ) → w

2 = ℎ" ⇔  = '" ∧ 2 = (

xy = z{|y} ⇒ ℎ" = (,  = '"

ℎ = ' ∘ (

ℎ" = ' ∘ (" = ({'"}

Tw. Własności złożenia funkcji i funkcji odwrotnych.

Jeżeli

': ) → c, (: c → w są bijekcjami to:

a)

' ∘ (

qm

= (

qm

∘ '

qm

b)

'

qm

{'"} = "

c)

'{'

qm

"} = "

I.

Funkcje liniowe

'" = " + , ,  ∈ 5

 = 0, '" =  (funkcja stała) e

f

= 5, g

f

= 5 Zbiór wartości funkcji =

przeciwdziedzina.

 = (
Przecięcie z

€c0, , z €) −

W
V

, 0‚

II.

Funkcja kwadratowa

'" = "

.

+ " + , , ,  ∈ 5,  ≠ 0

e

f

= 5,

g

f

= a

qƒ

„V

; I I∞,  > 0, g

f

= −∞;

qƒ

„V

‚ ,  < 0

h 

qW

.V

;

qƒ

„V

‚ - wierzchołek paraboli

"

‡

=

qW

.V

, Δ = 0

III.

Wielomiany

h

p

" = 

p

" + 

pqm

"

pqm

+ ⋯ + 

m

" + 

`

,



`

, 

m

, 

.

, … 

p

∈ 5 ⇔ 

Š

∈ 5,  = 0,1,2 … 

n – stopień wielomianu

Jeżeli n jest stopniem wielomianu to może on mieć co najwyżej n pierwiastków.

"

`

−
 , , '"

`

 = 0

Tw. Bezouta

Jeżeli

"

`

jest pierwiastkiem wielomianu

h

p

to

h

p

" = " − "

`

‹

pqm

". Jeżeli wielomian h

p

ma dokładnie n

pierwiastków to

h

p

" = 

p

" − "

m

" − "

.

 … " − "

p

, "

Š

– pierwiastki wielomianu.

'" = h

.

" = " − "

m

" − "

.

 – postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Tw. (Podstawowe algebry)

Każdy wielomian daje się zapisać w postaci iloczynu pewnej ilości czynników typu

" − "

`



^

"

.

+
" + 

Œ

gdzie suma wszytkich liczb

 i 2 jest równa  oraz

.

− 4 < 0

IV.

Funkcja potęgowa

'" = "



, Ž ∈ 5

V.

Funkcja wymierna

'" =





#

‘

’

#

- da się zapisać jako ułamek (liczby wymierne)

'" =

V#“W
X#“”

- funkcja homograficzna

VI.

Funkcja wykładnicza

'" = 

#

– zmienna jest wykładnikiem

1.

 = 1, '" = 1

2.

 > 1

3.

0 <  < 1

Własności funkcji wykładniczej:



#

k

“#

l

= 

#

k

∗ 

#

l



#

k

q#

l

=



#

k



#

l



#



^

= 

^#



q#

=

1



#



m

p

= √





[

p

= √

[



VII.

Funkcja logarytmiczna

log

V

 =  ⇔ 

X

= ,  > 0, logatrytm z liczb ujemnych nie istnieje!!

Własności logarytmu:

log

V

" ∗  = log

V

" + log

V



log

V

"

 = log

V

" − log

V



log

V

"

^

=  log

V

"

log

V

 =

1

log

W



Tw.

log

V



X

= 



™š›

œ

W

= 

log

V

 = 1

log

V

1 = 0

VIII.

Funkcje trygonometryczne

'" = sin ",   = 2¡, ¡ = 180°

'" + 2¡ = '"

  sin  =  ⇔ sin  = 

,: a−

¤

.

;

¤

.

b → a−1; 1b,   sin: a−1; 1b → a−

¤

.

;

¤

.

b

'" = cos ",   = 2¡

  cos  =  ⇔ cos  = 

cos: a0; ¡b → a−1; 1b

  cos: a−1; 1b → a0; ¡b

'" = (", (: 5 − ¦

¤

.

+ ¡§ → 5,   = ¡

  ( =  ⇔ ( = 

(: −

¤

.

;

¤

.

‚ → 5,   (: 5 → −

¤

.

;

¤

.

‚

'" = (", (: 5 − ;¡= → 5

  ( =  ⇔ ( = 

(: 0; ¡ → 5

  (: 5 → 0; ¡

Tw. (Własności funkcji trygonomertycznych)

!

#∈1

sin

.

" + cos

.

" = 1

!

,¨∈1

sinŽ + © = sin Ž cos © + sin © cos Ž

!

,¨∈1

sinŽ − © = sin Ž cos © − sin © cos Ž

!

,¨∈1

cosŽ + © = cos Ž cos © − sin Ž sin ©

!

,¨∈1

cosŽ − © = cos Ž cos © + sin Ž sin ©

sin 2Ž = 2 sin Ž cos Ž

cos 2Ž = cos

.

Ž − sin

.

Ž

(Ž =

ª«¬ 

­šª 

(Ž =

­šª 

ª«¬ 

(Ž =

m

®v

(Ž + © =

®v“®v¨

mq®v®v¨

¤

¯

¤

„

¤

P

sin

m
.

√.

.

√P

.

cos

√P

.

√.

.

m
.

tg

√P

P

1

√3

ctg

√3

1

√P

P

I

II

III

IV

sin

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

tg

+

-

+

-

ctg

+

-

+

-