1

Arytmetyka w systemie
binarnym

2

Reguły dodawania binarnego

dodawane

bity

suma

przeniesienie

0 + 0

0

0

0 + 1

1

0

1 + 0

1

0

1 + 1

0

1

3

Przykład

1 1 1 0 0 0

+

1 0 0 0 1

---------------------

1 0 0 1 0 0 1

4

Odejmowanie

1 1 1 0 0 1

- 1 1 0 1
---------------

1 0 1 1 0 0

5

Mnożenie

1 1 1 1

* 1 0 1

----------------

1 1 1 1
+ 0 0 0 0
1 1 1 1

-----------------
1 0 0 1 0 1 1

6

Dzielenie

1 1 0

----------------

1 0 0 1 0 : 11

1 1
----------
1 1
1 1
--------------
0

7

Liczby ujemne

8

W systemie binarnym nie ma

możliwości zapisu liczb ujemnych.

Konieczna jest jego modyfikacja.

9

System kodowania znaku i
modułu

Skrajny lewy bit - bit znaku

0 – liczba dodatnia
1 – liczba ujemna

10

System kodowania znaku i
modułu

np. przy użyciu 8 bitów zapis liczb 20

10

i

-5

10

20

10

= 00010100

2

–5

10

= 10000101

2

11

System kodowania znaku i
modułu

n

zero może być reprezentowane na
dwa sposoby:

00000000

oraz

10000000

12

System kodowania znaku i
modułu

wada:

skomplikowany sposób operacji
dodawania i odejmowania

13

System uzupełnień do
dwóch

n

tylko jedna liczba służy do oznaczania
zera

n

operacje binarnego dodawania i
odejmowania mogą być wykonywane w ten
sam sposób

n

znak nie jest oddzielony od wartości
liczby

n

każda liczba, której najbardziej znaczący
bit jest jedynką musi być liczbą ujemną

14

System uzupełnień do
dwóch

Najbardziej znaczący bit jest

wykorzystywany zarówno jako bit
znaku, jak i bit wpływający na
wartość liczby.

15

System uzupełnień do
dwóch

n

Kodowanie liczby ujemnej

n

Kodujemy moduł tej liczby

n

Negujemy wszystkie bity

n

Dodajemy 1 do najmniej znaczącego
bitu

16

System uzupełnień do
dwóch

Używając 8 bitów możemy

zakodować liczby z przedziału
-128

10

do 127

10

1000000 -128
0111111 +127

17

Kod BCD

n

ang.

B

inary

C

oded

D

ecimal

n

Kod binarny zwany systemem
dziesiętnym kodowanym dwójkowo

n

Każdą cyfrę dziesiętną kodujemy za
pomocą czterech bitów

9 1 6 4

1001 0001 0110 0100

18

Kod BCD

Nie można na nim stosować w
prosty sposób operacji
arytmetycznych.

19

Arytmetyka w systemie
uzupełnień do dwóch

20

Przepełnienie
arytmetyczne

n

Powstaje gdy suma wykracza poza
zakres reprezentowanych liczb.

n

Może powstać tylko wtedy, gdy są
dodawane liczby o tym samym
znaku

n

Powstaje, gdy bit znaku sumy jest
różny od bitów znaku dodawanych
liczb

21

Zapis liczby rzeczywistej
w systemie binarnym

22

Liczba zapisana w systemie
dwójkowym
w postaci:

(

c

k

… c

0

,

c

-1

c

-2

… c

-n

)

2

jest równa liczbie w systemie

dziesiątkowym:

(

c

k

*2

k

+… +c

0

*2

0

+

c

-1

*2

-1

+… + c

-n

*2

-n

)

10

23

11

.

101

= 1*2

1*2

1

1

+1*2

+1*2

0

0

+

+ 1*2

1*2

-1

-1

+0*2

+0*2

-2

-2

+ 1*2

+ 1*2

-3

-3

=

=

część całkowita

część całkowita

część ułamkowa

część ułamkowa

=

= 2 + 1

2 + 1

+

+

1/2

1/2

+ 0

+ 0

+

+

1/8

1/8

=

=

= 3 +

= 3 +

4

4

/

/

8

8

+

+

1

1

/

/

8

8

=

=

= 3

= 3

5

5

/

/

8

8

24

Zamiana ułamka
dziesiętnego na ułamek
dwójkowy

0.625 2 * 0.625 =

1

.25

0.25 2 * 0.25 =

0

.5

0.5 2 * 0.5 =

1

.0

0.0 koniec

0.625

10

= 0.101

2

spr. 0.101

2

= 0.5 + 0.125 = 0.625

25

Nie każdą liczbę zapisaną w

postaci ułamka dziesiętnego da się
dokładnie przedstawić

w postaci ułamka dwójkowego.

26

0.3 2 * 0.3 =

0

.6

0.6 2 * 0.6 =

1

.2

0.2 2 * 0.2 =

0

.4

0.4 2 * 0.4 =

0

.8

0.8 2 * 0.8 =

1

.6

0.6 ….

otrzymany ułamek dwójkowy jest okresowy
0.01001

2

= 0.25 + 0.03125 = 0.28125

10

duży błąd zaokrąglenia