MIEJSCA ZEROWE 

FUNKCJI 

KWADRATOWEJ

Miejsce zerowe 

funkcji to argument, dla którego funkcja 

przyjmuje wartość zero. Graficznie szukamy punktów 

przecięcia wykresu funkcji z osią x – wtedy pierwsza 

współrzędna tego punktu (odcięta) to miejsce zerowe 

funkcji.

Funkcja kwadratowa może mieć dwa miejsca zerowe, 

jedno miejsce zerowe lub może nie mieć wcale miejsc 

zerowych.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od 

wyróżnika trójmianu kwadratowego – od delty liczonej ze 

wzoru:

Δ=b

2

-4ac

Rozpatrzymy przypadki:

1))  Jeżeli Δ>0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca 

zerowe:

2)) Jeżeli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe:

3)) Jeżeli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych.

x

2

x

1

x

1

x

2

x

0

x

0

Zadanie1: Określ liczbę miejsc zerowych funkcji   
            kwadratowej:

a)  

f(x)=x

2

+8x

  
  a=1  b=8  c=0

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 8

2

 - 4·1·0 = 64

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

b)  

f(x)=-2x

2

+2

  
  a=-2  b=0  c=2

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 0

2

 - 4·(-2)·2 = 16

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

c)  

h(x)=x

2

-8x+16

  
  a=1  b=-8  c=16

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-8)

2

 - 4·1·16 = 64 – 64 = 0

   Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

d)  

g(x)=x

2

+2x+10

  
  a=1  b=2  c=10

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 2

2

 - 4·1·10 = 4 - 40 = -36 

   Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych  

Zadanie2: Oblicz miejsca zerowe funkcji 
kwadratowej:

a)  

y=x

2

+x-2

  
  a=1  b=1  c=-2

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 1

2

 - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

   Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -2 i 1.

b)  

y=x

2

-6x+9

  
  a=1  b=-6  c=9

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-6)

2

 - 4·1·9 = 36 -36 = 0

   Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

   

     Miejscem zerowym funkcji jest argument 3.

c)  

y=-x

2

-4x-4

  
  a=-1  b=-4  c=-4

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-4)

2

 - 4·(-1)·(-4) = 16 - 16 = 0

   Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

   

     Miejscem zerowym funkcji jest argument -2.

d)  

y=x

2

+4x+3

  
  a=1  b=4  c=3

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 4

2

 - 4·1·3 = 16 - 12 = 4

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

   Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i -1.

e)  

y=-x

2

-5x-4

  
  a=-1  b=-5  c=-4

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-5)

2

 - 4·(-1)·(-4) = 25 - 16 = 9

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

   Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -4 i -1.

f)  

y=-x

2

-4

  
  a=-1  b=0  c=-4

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 0

2

 - 4·(-1)·(-4) = 0 - 16 = -16

   Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

           x

0

 ∈ 

∅

g)  

y=-x

2

-x-4

  
  a=-1  b=-1  c=-4

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-1)

2

 - 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15

   Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

            x

0

 ∈ 

∅

h)  

y=x

2

+6x

  
  a=1  b=6  c=0

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 6

2

 – 4·1·0 = 36 - 0 = 36

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

   Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -6 i 0.

i)  

y=-2x

2

-10x

  
  a=-2  b=-10  c=0

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-10)

2

 – 4·(-2)·0 = 100 - 0 = 100

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

   Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -5 i 0.

j)  

y=x

2

-9

  
  a=1  b=0  c=-9

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 0

2

 – 4·1·(-9) = 0 + 36 = 36

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

   Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i 3.

Zadanie3: Która z liczb: -4, 0, 1, 2, 5, 10 jest 
miejscem zerowym funkcji kwadratowej: 

f(x)=2x

2

-x-1

  

f(-4) = 2·(-4)

2

-(-1)-1 = 2·16+1-1=32

f(0) = 2·0

2

-0-1 = 2·0-1=-1

f(1) = 2·1

2

-1-1 = 2-1-1=0

f(2) = 2·2

2

-2-1 = 2·4-2-1=8-2-1=5

f(5) = 2·5

2

-5-1 = 2·25-5-1=50-5-1=44

f(10) = 2·10

2

-10-1 = 2·100-10-1=200-10-1=189

Spośród podanych liczb miejscem zerowym jest 

liczba 1.