MIEJSCA ZEROWE

FUNKCJI

KWADRATOWEJ

Miejsce zerowe

funkcji to argument, dla którego funkcja

przyjmuje wartość zero. Graficznie szukamy punktów

przecięcia wykresu funkcji z osią x – wtedy pierwsza

współrzędna tego punktu (odcięta) to miejsce zerowe

funkcji.

Funkcja kwadratowa może mieć dwa miejsca zerowe,

jedno miejsce zerowe lub może nie mieć wcale miejsc

zerowych.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od

wyróżnika trójmianu kwadratowego – od delty liczonej ze

wzoru:

Δ=b

2

-4ac

Rozpatrzymy przypadki:

1)) Jeżeli Δ>0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca

zerowe:

2)) Jeżeli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe:

3)) Jeżeli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych.

x

2

x

1

x

1

x

2

x

0

x

0

Zadanie1: Określ liczbę miejsc zerowych funkcji
kwadratowej:

a)

f(x)=x

2

+8x

a=1 b=8 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 8

2

- 4·1·0 = 64

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

b)

f(x)=-2x

2

+2

a=-2 b=0 c=2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-2)·2 = 16

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

c)

h(x)=x

2

-8x+16

a=1 b=-8 c=16

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-8)

2

- 4·1·16 = 64 – 64 = 0

Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

d)

g(x)=x

2

+2x+10

a=1 b=2 c=10

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 2

2

- 4·1·10 = 4 - 40 = -36

Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

Zadanie2: Oblicz miejsca zerowe funkcji
kwadratowej:

a)

y=x

2

+x-2

a=1 b=1 c=-2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -2 i 1.

b)

y=x

2

-6x+9

a=1 b=-6 c=9

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-6)

2

- 4·1·9 = 36 -36 = 0

Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji jest argument 3.

c)

y=-x

2

-4x-4

a=-1 b=-4 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-4)

2

- 4·(-1)·(-4) = 16 - 16 = 0

Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji jest argument -2.

d)

y=x

2

+4x+3

a=1 b=4 c=3

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 4

2

- 4·1·3 = 16 - 12 = 4

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i -1.

e)

y=-x

2

-5x-4

a=-1 b=-5 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-5)

2

- 4·(-1)·(-4) = 25 - 16 = 9

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -4 i -1.

f)

y=-x

2

-4

a=-1 b=0 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-1)·(-4) = 0 - 16 = -16

Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

x

0

∈

∅

g)

y=-x

2

-x-4

a=-1 b=-1 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-1)

2

- 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15

Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

x

0

∈

∅

h)

y=x

2

+6x

a=1 b=6 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 6

2

– 4·1·0 = 36 - 0 = 36

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -6 i 0.

i)

y=-2x

2

-10x

a=-2 b=-10 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-10)

2

– 4·(-2)·0 = 100 - 0 = 100

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -5 i 0.

j)

y=x

2

-9

a=1 b=0 c=-9

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

– 4·1·(-9) = 0 + 36 = 36

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i 3.

Zadanie3: Która z liczb: -4, 0, 1, 2, 5, 10 jest
miejscem zerowym funkcji kwadratowej:

f(x)=2x

2

-x-1

f(-4) = 2·(-4)

2

-(-1)-1 = 2·16+1-1=32

f(0) = 2·0

2

-0-1 = 2·0-1=-1

f(1) = 2·1

2

-1-1 = 2-1-1=0

f(2) = 2·2

2

-2-1 = 2·4-2-1=8-2-1=5

f(5) = 2·5

2

-5-1 = 2·25-5-1=50-5-1=44

f(10) = 2·10

2

-10-1 = 2·100-10-1=200-10-1=189

Spośród podanych liczb miejscem zerowym jest

liczba 1.