Liczby w Komputerze

Zajęcia 3

Liczby naturalne – postać binarna liczby

Każdą liczbę naturalną x

z przedziału

[0,2

n

-1]

zapisaną w systemie dziesiętnym możemy

zapisać na

n-bitach

w systemie dwójkowym.

Dla przykładu, każdą liczbę naturalną

x

z przedziału

[0,2

8

-1]=[0,255]

zapisaną w

systemie dziesiętnym możemy zapisać na

8-bitach

w systemie dwójkowym.

Np.

0

10

= 0000 0000

2

17

10

= 0001 0001

2

123

10

= 0111 1011

2

255

10

= 1111 1111

2

Zadanie 1

Ile potrzeba najmniej bitów do zapisania liczby 1232

10

?

Zadanie2

Jaką największą liczbę dziesiętną możemy zapisać używając 16 bitów?

Zadanie 3

11001100

2

= …

10

?

Arytmetyka binarna

Liczby całkowite – system Znak-Moduł (ZM)

Liczbę całkowitą x zapisaną w systemie

Znak-Moduł

interpretujemy następująco:

1. Najstarszy bit (liczony od lewej) przeznaczamy na znak liczby, przy czym, jeśli jest to

0

,

to mamy do czynienia z liczbą

dodatnią

, a jeśli

1

, to z liczbą

ujemną

.

2. Pozostałe bity przeznaczamy na moduł (wartość bezwzględną) liczby.

Wówczas na

n-bitach

możemy zapisać

2

n

-1

liczb z przedziału

[-2

n-1

+1,2

n-1

-1]

.

A zatem na

8-bitach

możemy zapisać każdą liczbę całkowitą z przedziału

[-2

8-1

+1,2

8-1

-1]=[-127,127]

.

Np.

1

0001001

ZM

=

-

(0*2

6

+0*2

5

+0*2

4

+1*2

3

+0*2

2

+0*2

1

+1*2

0

)

10

=

-

9

10

Z

M

0

1001001

ZM

=

+

(1*2

6

+0*2

5

+0*2

4

+1*2

3

+0*2

2

+0*2

1

+1*2

0

)

10

=

+

73

10

Z

M

Zadanie 1

Stosując dwójkową reprezentację Znak-Moduł, zapisać dziesiętne liczby całkowite na 8-
bitach lub jeśli to konieczne ich wielokrotności: +20

10

, -20

10

, -128

10

, -372

10

, 244

10

.

Zadanie 2

Rozkoduj liczby: 10111000

ZM

, 10101010

ZM

, 01110011

ZM

.

Liczby całkowite – System Uzupełnień do 2 (U2)

Liczbę całkowitą x zapisaną w systemie

U2

interpretujemy następująco:

1. Najstarszy bit (czyli od lewej) ma wagę

-2

n-1

. Wówczas łatwo zauważyć, że jeśli wynosi

on

0

, to mamy do czynienia z liczbą

dodatnią

, a jeśli

1

, to z liczbą

ujemną

.

2. Pozostałe bity przeznaczamy na moduł (wartość bezwzględną) liczby.

Wówczas na

n-bitach

możemy zapisać

2

n

liczb z przedziału

[-2

n-1

,2

n-1

-1]

.

A zatem na

8-bitach

możemy zapisać każdą liczbę całkowitą z przedziału

[-2

8-1

,2

8-1

-1]=[-128,127]

.

Np.

1

1001001

U2

=

1*(-2

7

)

+1*2

6

+0*2

5

+0*2

4

+1*2

3

+0*2

2

+0*2

1

+1*2

0

10

= -55

10

0

1001001

U2

=

0*(-2

7

)

+1*2

6

+0*2

5

+0*2

4

+1*2

3

+0*2

2

+0*2

1

+1*2

0

10

=

+73

10

Sposób na zamianę liczby z systemu dziesiętnego na U2:

1. Jeśli liczba

x

jest dodatnia, to zamień ją na postać ZM i koniec.

2. Jeśli liczba

x

jest ujemna, to weź jej wartość bezwzględną i zamień ją na postać ZM.

Następnie zbuduj liczbę według schematu: przepisuj od prawej wszystkie zera i pierwszą
napotkaną jedynkę. Następnie przepisuj kolejne cyfry zamieniając każdą na przeciwną, tj.
jedynkę na zero, a zero na jedynkę. Jeśli liczba przekracza długością zadaną liczbę bitów
na których powinna się zmieścić, to wykreśl najstarszy bit (czyli od lewej).
3. Otrzymana liczba, to szukana postać w systemie U2 liczby

x

.

Zadanie 1

Stosując dwójkową reprezentację U2, zapisać dziesiętne liczby całkowite na 8-bitach lub
jeśli to konieczne ich wielokrotności: +20

10

, -20

10

, -128

10

, -372

10

, 244

10

.

Zadanie 2

Rozkoduj liczby: 10111000

U2

, 10101010

U2

, 01110011

U2

.

Liczby rzeczywista – Postać Stałoprzecinkowa

(PS)

Liczba rzeczywista x

w systemie stałopozycyjnym ma postać:

x =

Znak

CzęśćCałkowita

,

CzęśćUłamkowa

Np.

+

123

,

125

I po zamianie binarnej:

+

1111011

,

001

Zadanie 1

Podane liczby dziesiętne zapisać w systemie stałoprzecinkowym w formacie: 0-4 bity na
część ułamkową, 5-14 bity na część całkowitą, 15 bit na znak: +0,03125, 13,75, -0,875,
-19,25.

Zadanie 2

Rozkoduj liczby zapisane w systemie stałoprzecinkowym w formacie: 0-4 bity na część
ułamkową, 5-14 bity na część całkowitą, 15 bit na znak: 0000010110011000,
1001000101101100, 0000000101101001.

Liczby rzeczywiste – Postać

Zmiennoprzecinkowa (PZ)

Liczba rzeczywista x

w systemie zmiennopozycyjnym ma postać:

x =

Znak

Wykładnik

Mantysa

a dokładniej:

x=

Z

*

M

*P

W

gdzie P - to podstawa systemu w którym jest zapis liczby.

Np.

Powiedzmy, że liczbę rzeczywistą x zapisujemy na 8 bitach, przy czym:

•

1 bit

na

znak

•

3 bity

na

wykładnik

•

4 bity

na

mantysę

.

Weźmy liczbę x=-60,345433. Przesuwamy najpierw przecinek: x=-
6,0345433.
Mamy teraz:

x=

-

6034

10

-2

Zadanie

Zakoduj liczby:

x=-123.34

oraz

x=34.675

na 8 bitach z przydziałem na Mantysę i

Wykładnik tak jak powyżej.

Praca domowa

Dokończ wszystkie nierozwiązane zadania.