Opracował: Romuald

Redzicki

MECHANIKA

MECHANIKA

Wykład Nr 7

DYNAMIKA

Temat

MASOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu

materialnego względem płaszczyzny, osi

lub bieguna nazywamy iloczyn masy

punktu przez kwadrat odległości tego

punktu od danej płaszczyzny, osi lub

bieguna:

2

mr



I

(1)

W odróżnieniu od momentu statycznego, który
może być dodatni, ujemny lub równy zeru,

moment bezwładności jest zawsze dodatni

. W

wyjątkowych przypadkach może być równy
zeru, gdy punkt materialny leży na obranej
płaszczyźnie, osi lub w obranym biegunie
momentu.

 

2

m

k

1

1

g



I

Momentem bezwładności układu punktów
materialnych względem płaszczyzny, osi lub
bieguna

nazywamy

sumę

momentów

bezwładności

wszystkich

punktów

materialnych względem tej płaszczyzny, osi
lub bieguna (rys. 1):

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Rys. 1





2

i

i

r

m

I

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Momentem bezwładności układu ciągłego

(linii, powierzchni lub bryły materialnej)

względem przyjętej płaszczyzny, osi lub

bieguna nazywamy całkę





dm

r

2

I

rozciągniętą na całą masę

układu.

(2)

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Każdy

moment

bezwładności

można

przedstawić w postaci iloczynu masy układu
m przez kwadrat odległości i

2

od przyjętej

płaszczyzny, osi lub bieguna, i -
jest promieniem bezwładności.
Będzie więc

2

mi



I

czyli

m

i

I



Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Również każdy moment bezwładności możemy
przedstawić w postaci iloczynu pewnej masy
m

red

przez kwadrat przyjętej odległości k

2

.

Masę m

red

, którą należy skupić w odległości k

od danej płaszczyzny, osi lub bieguna, aby jej
moment bezwładności był równy I, nazywamy
masą zredukowaną na daną odległość k.

Tak więc

2

red

k

m



I

czyli

2

red

k

m

I



Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Po podstawieniu do równania





dm

r

2

I

l

dm

l

d





dS

S

dm





lub

V

dm

d





w zależności od tego, czy układ ciągły jest
linią, powierzchnią czy bryłą materialną,
otrzymujemy





l

I

l

d

r

2







S

I

S

d

r

2







V

I

d

r

2



(3)

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Sumy występujące po prawej stronie równań
(3) nazywamy

geometrycznymi momentami

bezwładności J.

Masowy moment bezwładności

(dla ciał

jednorodnych) jest iloczynem gęstości przez
geometryczny moment bezwładności:

J





I

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

W układzie współrzędnych dany jest
układ punktów materialnych o masach
. Współrzędne masy oznaczymy
.

z

y

x

,

,

n

m

m

m

,

,

,

2

1



i

m

i

i

i

z

y

x

,

,

Dany układ punktów materialnych ma
względem trzech płaszczyzn współrzędnych,
trzech osi współrzędnych i bieguna O
(początku układu) następujące momenty
bezwładności



































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,

,

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

y

x

m

y

x

m

z

x

m

z

y

m

y

m

x

m

z

m

O

z

y

x

zx

yz

xy

I

I

I

I

I

I

I

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Związki zachodzące pomiędzy tymi momentami.

a)

z

zx

yz

y

xy

yz

x

xy

zx

I

I

I

I

I

I

I

I

I













,

,

Suma momentów bezwładności względem
dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych
jest

równa

momentowi

bezwładności

względem osi pokrywającej się z krawędzią
przecięcia się tych płaszczyzn.

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

b)

Również

momenty

bezwładności

względem płaszczyzn można wyrazić
przez momenty osiowe:

















































zx

y

z

x

yz

x

z

y

xy

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

2

1

2

1

2

1

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

Wreszcie biegunowy moment
bezwładności można wyrazić przez
momenty osiowe

c)





O

z

y

x

I

I

I

I







2

1

Biegunowy moment bezwładności jest równy
połowie

sumy

osiowych

momentów

bezwładności

względem

trzech

prostopadłych osi przechodzących przez ten
biegun.

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

d)

Biegunowy moment bezwładności możemy

również wyrazić przez momenty względem
płaszczyzn

O

zx

yz

xy

I

I

I

I







Moment biegunowy jest sumą momentów
względem trzech prostopadłych płaszczyzn
przechodzących przez dany biegun.

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

W płaskim układzie współrzędnych (np. masa
rozłożona w płaszczyźnie ), zamiast
siedmiu równań

y

x,



































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,

,

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

y

x

m

y

x

m

z

x

m

z

y

m

y

m

x

m

z

m

O

z

y

x

zx

yz

xy

I

I

I

I

I

I

I

będziemy mieli trzy momenty bezwładności



























2

2

2

2

,

,

i

i

i

i

i

i

i

y

x

m

x

m

y

m

O

y

x

I

I

I

Określenie momentu bezwładności

Określenie momentu bezwładności

O

y

x

I

I

I





W płaskim układzie współrzędnych moment
biegunowy jest sumą dwóch momentów
osiowych

względem

osi

prostopadłych

przechodzących przez ten biegun.

Pomiędzy tymi momentami zachodzi jeden związek

MOMENTY DEWIACJI

CZYLI ZBOCZENIA

MOMENTY DEWIACJI, CZYLI ZBOCZENIA

MOMENTY DEWIACJI, CZYLI ZBOCZENIA

Weźmy

pod

uwagę

dwie

wzajemnie

prostopadłe płaszczyzny a i b oraz punkt
materialny i w odległości r

1

i



l

od tych

płaszczyzn.

Momentem zboczenia punktu materialnego
względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych
nazywamy

iloczyn

masy

punktu

przez

odległości od danych płaszczyzn:

1

1





r

m



D

Jednostki momentu zboczenia są takie same
jak i momentu bezwładności. Momenty
zboczenia mogą być dodatnie, ujemne i, w
szczególności, równe zeru.

MOMENTY DEWIACJI, CZYLI ZBOCZENIA

MOMENTY DEWIACJI, CZYLI ZBOCZENIA

Momentem

zboczenia

układu

punktów

materialnych względem dwóch wzajemnie
prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy
sumę momentów zboczenia poszczególnych
punktów

materialnych

względem

tych

płaszczyzn (rys. 2).





i

i

i

r

m





D

Moment

zboczenia

układu

ciągłego

przedstawia całka

dm

r









D

rozciągnięta, na całą masę.

MOMENTY DEWIACJI, CZYLI ZBOCZENIA

MOMENTY DEWIACJI, CZYLI ZBOCZENIA

W przestrzennym układzie współrzędnych układ
punktów materialnych ma trzy momenty
zboczenia:













i

i

i

yz

i

i

i

zx

i

i

i

xy

z

y

m

x

z

m

y

x

m

D

D

D

,

,

W płaskim układzie współrzędnych (masa
rozłożona np. w płaszczyźnie ) układ
materialny ma jeden moment zboczenia

y

x,







i

i

i

xy

y

x

m

D

D

Analogicznie do równania

geom

mas

D

D





czyli masowy moment zboczenia jest równy
iloczynowi

gęstości

przez

geometryczny

moment zboczenia.

J





I

Transformacja równoległa

momentów bezwładności

Transformacja równoległa momentów

bezwładności

Weźmy

pod

uwagę

układ

punktów

materialnych i dwie równoległe osie l, s. Na
rysunku pokazano ślady tych osi.

Moment
bezwładności
względem osi l







2

i

i

r

m

l

I

a względem osi s





2

i

i

r

m

s

I

Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność

i

r

i

r

i

i

i

i

i

i

dx

d

r

dr

d

r

r

2

cos

2

2

2

2

2

2

















Transformacja równoległa momentów

bezwładności

Po podstawieniu otrzymujemy













i

i

i

i

i

x

dm

d

m

r

m

2

2

2

l

I

czyli









i

i

x

m

d

md

2

2

s

l

I

I

Założymy, że oś s przechodzi przez środek
ciężkości układu materialnego, wtedy moment
statyczny , moment zaś bezwładności
względem osi l równoległej do osi
przechodzącej przez środek ciężkości wyrazi
się wzorem

0





i

i

x

m

2

md





s

l

I

I

Transformacja równoległa momentów

bezwładności

2

md





s

l

I

I

Moment bezwładności względem dowolnej osi

jest równy momentowi względem osi

równoległej przechodzącej przez środek

ciężkości powiększonemu o iloczyn masy

całkowitej układu przez kwadrat odległości

obu osi.

Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek,
że moment bezwładności względem prostej
przechodzącej przez środek ciężkości układu
jest najmniejszym ze wszystkich momentów
względem prostych do niej równoległych.

2

md

Transformacja równoległa

momentów zboczenia

Transformacja równoległa momentów zboczenia

Transformacja równoległa momentów zboczenia

Wystawmy w dowolnym punkcie O układu
materialnego układ współrzędnych . W
środku

ciężkości

układu

materialnego

przyjmijmy drugi układ współrzędnych o
osiach odpowiednio równoległych do tamtego.
Przez
oznaczymy współrzędne punktu S
względem pierwszego układu.

z

y

x ,

,

z

y

x





 ,

,

s

s

s

z

y

x

,

,

Współrzędne dowolnej masy w układzie będą równe

Transformacja równoległa momentów zboczenia

Transformacja równoległa momentów zboczenia

i

m

z

y

x ,

,

s

i

i

x

x

x







s

i

i

y

y

y







s

i

i

z

z

z







Moment zboczenia względem jakichkolwiek
dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn i )
będzie równy

zy

xz







.











































i

s

s

i

i

s

i

i

s

i

i

i

s

i

s

i

i

i

i

i

xy

m

y

x

x

m

y

y

m

x

y

x

m

y

y

x

x

m

y

x

m

D

Transformacja równoległa momentów zboczenia

Transformacja równoległa momentów zboczenia

Ale

0







i

i

x

m

0







i

i

y

m

czyli ostatecznie (po przyjęciu analogicznych związków na
i otrzymamy

yz

D

zx

D



































.

,

,

s

s

x

z

zx

s

s

z

y

yz

s

s

y

x

xy

x

mz

D

D

z

my

D

D

y

mx

D

D

Za pomocą tych wzorów możemy łatwo wyznaczyć
momenty zboczenia
, , , względem dowolnego układu
współrzędnych, jeżeli mamy momenty zboczenia , ,
względem układu o osiach zgodnie równoległych,
przechodzących przez środek ciężkości ciała.

xy

D

yz

D

zx

D

y

x

D





z

y

D





x

z

D





Transformacja obrotowa osiowych

momentów bezwładności

Transformacja obrotowa osiowych momentów

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

bezwładności

Dany jest układ materialny o masach . W
dowolnym punkcie O przyjmiemy układ współrzędnych
. Zakładamy, że znane są momenty bezwładności
oraz momenty zboczenia , , , ,
danego układu materialnego. Będziemy się starać

n

m

m

m

,

,

,

2

1



z

y

x ,

,

z

y

x

I

I

I

,

,

xy

D

yz

D

zx

D

wyznaczyć

moment

bezwładności

układu

względem osi l przechodzącej
przez O i tworzącej z osiami
układu kąty a, b, g.

Odległość r

i

masy m

i

od osi

l określona jest równaniem
(rys. 5).

i

i

i

r





sin



Transformacja obrotowa osiowych momentów

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

bezwładności

lub

i

i

i

i

i

i

r











2

2

2

2

2

2

cos

sin







Rzut promienia na osi l jest równy sumie rzutów
składowych tego promienia ( ) na tę oś,
czyli

i



i

i

i

z

y

x

,

,











cos

cos

cos

cos

i

i

i

i

i

z

y

x







Uwzględniając to, że

2

2

2

2

i

i

i

i

z

y

x









oraz

1

cos

cos

cos

2

2

2













Transformacja obrotowa osiowych momentów

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

bezwładności

dochodzimy do równania:























































cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

z

z

y

y

x

z

y

x

x

z

z

y

y

x

z

y

x

z

y

x

r











































Grupując względem cosinusów otrzymamy













.

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



















i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

z

z

y

y

x

y

x

x

z

z

y

r





















Transformacja obrotowa osiowych momentów

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

bezwładności

Mnożymy powyższe równanie przez m

i

, a

otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając,
że





x

I







2

2

i

i

i

z

y

m





y

I







2

2

i

i

i

x

z

m





z

I







2

2

i

i

i

y

x

m

oraz

xy

i

i

i

D

y

x

m





yz

i

i

i

D

z

y

m





zx

i

i

i

D

x

z

m





otrzymujemy ostatecznie

.

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

2

2



















yz

zx

xy

D

D

D















z

y

x

l

I

I

I

I

Transformacja obrotowa osiowych momentów

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

bezwładności

.

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

2

2



















yz

zx

xy

D

D

D















z

y

x

l

I

I

I

I

Z wzoru tego możemy obliczyć moment
bezwładności

względem

dowolnej

osi

nachylonej pod danymi kątami do przyjętego
układu współrzędnych. W szczególności dla
układu

płaskiego

powyższe

równanie

przyjmuje postać













90









2

sin

cos

sin

cos

2

2

2

xy

D









z

y

x

l

I

I

I

I