Całki i ich zastosowania
Całki i ich zastosowania
Całka nieoznaczona
• Niech dana będzie funkcja f(x) określona w (a,b).
• Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f ,
jeżeli dla x (a,b).
• Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór
funkcji { F(x) + C : C R }.
• Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy
przez f(x)dx.
)
(
)
(
x
f
x
F
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
Podstawowe wzory
C
x
xdx
C
x
xdx
C
e
dx
e
C
a
a
dx
a
C
x
dx
x
p
C
p
x
dx
x
x
x
x
x
p
p
sin
cos
;
cos
sin
;
ln
|
|
ln
1
;
1
,
1
1
•
C
x
C
x
dx
x
C
arcctgx
C
arctgx
dx
x
C
ctgx
dx
x
C
tgx
dx
x
arccos
arcsin
1
1
;
1
1
;
sin
1
;
cos
1
2
2
2
2
Twierdzenia o całkach
)
(
)
(
)
(
))
(
(
|
)
(
|
ln
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
)
(
(
x
u
t
dla
dt
t
f
dx
x
u
x
u
f
C
x
f
dx
x
f
x
f
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
dx
x
f
A
dx
x
Af
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
Obliczyć całki
1.
2.
3.
C
e
x
dx
e
x
x
x
2
2
)
2
(
2
C
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
2
3
2
5
2
1
2
2
1
2
1
2
3
2
C
x
x
x
xdx
x
x
x
x
v
x
x
u
x
x
v
x
x
u
xdx
x
4
ln
2
2
1
ln
2
2
)
(
,
1
)
(
)
(
,
ln
)
(
ln
2
2
2
2
C
b
ax
a
dx
b
ax
C
e
a
dx
e
C
n
b
ax
a
dx
b
ax
C
b
ax
a
dx
b
ax
b
ax
b
ax
n
n
|
|
ln
1
1
1
1
)
(
1
)
(
)
cos(
1
)
sin(
1
Całkowanie funkcji
wymiernych
• Weźmy całkę . Jeżeli n
m, dzielimy licznik przez
mianownik i otrzymujemy
gdzie p < m.
dx
x
W
x
W
m
n
)
(
)
(
dx
x
W
x
R
dx
x
W
dx
x
W
x
W
m
p
m
n
m
n
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Rozkład na ułamki proste
• Funkcję wymierną właściwą postaci
, gdzie n N oraz a,
A R,
nazywamy ułamkiem prostym
pierwszego rodzaju.
n
a
x
A
)
(
• Funkcję wymierną właściwą
postaci
, gdzie n N oraz
p,q,B,C R, przy czym
nazywamy ułamkiem prostym
drugiego rodzaju.
n
q
px
x
C
Bx
)
(
2
0
4
2
q
p
Przykład
• Obliczyć: 1)
• 2)
• 3)
dx
x
x
x
2
2
3
2
4
8x
x
dx
dx
x
x
1
1
4
4
Całkowanie funkcji
trygonometrycznych
• W całce typu
najogólniejszym podstawieniem jest:
dx
x
x
F
)
cos
,
(sin
.
1
1
cos
,
1
2
sin
,
1
2
,
2
,
2
2
2
2
2
t
t
x
t
t
x
dt
t
dx
arctgt
x
t
x
tg
Przykład
• Obliczyć całkę
x
x
dx
cos
sin
1
• Znajdź tę funkcję pierwotną
funkcji
f(x) = x sinx, której wykres
przechodzi przez punkt (
/2 , 1 ).
Suma całkowa funkcji
n
j
j
j
n
j
j
j
j
n
x
c
f
x
x
c
f
S
1
1
1
)
(
)
(
)
(
a x
1
x
2
x
3
x
4
b
c
1
c
5
x
y
c
2
c
3
c
4
Całka oznaczona
• Niech funkcja f będzie
ograniczona na przedziale <a, b>.
Całkę oznaczoną Riemanna z
funkcji f na przedziale <a, b>
definiujemy wzorem
n
j
j
j
n
b
a
x
c
f
dx
x
f
1
)
(
lim
)
(
Twierdzenie Newtona -
Leibniza
• Jeżeli funkcja f jest ciągła na
przedziale
<a, b>, to
gdzie F jest funkcją pierwotną
funkcji f.
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
Własności całki
oznaczonej
)
,
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
b
a
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
c
c
a
b
a
b
a
a
b
a
a
Całka oznaczona z funkcji f na
przedziale
<a, b> jest równa polu obszaru
ograniczonego wykresem funkcji
f, prostymi x = a, x = b oraz osią
Ox ( prostą y = 0 ).
a
b
y=f(x)
x
y
b
a
dx
x
f
S
)
(
O
Pole obszaru płaskiego
• D ={ (x,y): a x b; g(x) y
f(x) }
b
a
dx
x
g
x
f
D
)]
(
)
(
[
|
|
• Oblicz pole obszaru ograniczonego
krzywymi
6
5
2
2
x
y
i
x
y
• Oblicz pole ograniczone elipsą
1
2
2
2
2
b
y
a
x
Objętość bryły obrotowej
• Niech V oznacza bryłę
ograniczoną powierzchnią
powstałą z obrotu wykresu funkcji
nieujemnej y = f(x), gdzie a x
b, wokół osi Ox oraz
płaszczyznami x = a,
x = b. Objętość |V| bryły jest
granicą sumy objętości walców
aproksymujących tę bryłę:
b
a
n
j
j
j
n
n
j
j
n
dx
x
f
x
c
f
V
V
)
(
)
(
lim
|
|
lim
|
|
2
1
2
1
• Oblicz objętość bryły powstałej w
wyniku obrotu wokół osi Ox
krzywej
w przedziale <
0,
>.
2
sin
x
y
Długość łuku krzywej
• Niech L będzie wykresem funkcji
y = f(x), gdzie a x b. Długość |
L| łuku L jest granicą sum
odcinków aproksymujących ten
łuk.
dx
x
f
x
c
f
x
x
y
y
x
L
b
a
n
j
j
j
n
n
j
j
j
j
n
n
j
j
j
n
2
1
2
1
2
1
2
2
)]
(
[
1
))
(
(
1
lim
1
lim
lim
|
|
• Oblicz długość krzywej
od x = 0 do x
= 2.
2
x
y
Obliczyć całki
1.
2.
3.
86
,
0
)
(
0
2
2
0
2
0
e
e
e
dx
e
x
x
2
2
4
1
4
1
2
1
4
1
x
dx
x
x
dx
7854
,
0
4
0
1
1
1
1
0
1
0
2
arctg
arctg
arctgx
dx
x
Wartość średnia funkcji
• Wartością średnią funkcji f na
przedziale <a, b> nazywamy
liczbę
b
a
śr
dx
x
f
a
b
f
)
(
1
Obliczyć wartość średnią
funkcji
1.
2.
.
64
,
0
2
)
cos
(
1
sin
1
,
0
,
sin
)
(
0
0
x
xdx
f
x
x
f
śr
.
33
,
0
3
1
6
1
2
1
1
,
1
,
)
(
1
1
3
1
1
2
2
x
dx
x
f
x
x
f
śr
Całki niewłaściwe
• Całki niewłaściwe I rodzaju:
.
)
(
)
(
)
(
,
)
(
lim
)
(
,
)
(
lim
)
(
b
b
b
c
c
b
c
a
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
• Całki niewłaściwe II rodzaju
.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
,
)
(
lim
)
(
,
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f