Treść dzisiejszego wykładu
Treść dzisiejszego wykładu
Klasyfikacja zmiennych modelu
wielorównaniowego
Klasyfikacja modeli wielorównaniowych
Postać strukturalna i zredukowana
Identyfikacja modelu
Estymacja parametrów modelu
Treść dzisiejszego wykładu
Treść dzisiejszego wykładu
Klasyfikacja zmiennych modelu
wielorównaniowego
Klasyfikacja modeli wielorównaniowych
Postać strukturalna i zredukowana
Identyfikacja modelu
Estymacja parametrów modelu
Przykład
Przykład
Model M1:
C
t
=
0
+
1
Y
t
+
1t
Y
t
=
0
+
1
C
t-1
+
2
I
t-1
+
2t
Model M2:
C
t
=
0
+
1
Y
t
+
1t
Y
t
=
0
+
1
C
t
+
2
I
t-1
+
2t
gdzie:
C
t
- konsumpcja w okresie t,
Y
t
- dochód narodowy w okresie t.
Klasyfikacja zmiennych w
Klasyfikacja zmiennych w
modelu
modelu
1. Zmienne endogeniczne - zmienne wyjaśniane
przez model (odpowiadają im określone równania).
2. Zmienne egzogeniczne - zmienne niewyjaśniane
przez model; oddziałują na kształtowanie
zmiennych endogenicznych.
Zmienne z góry ustalone:
– zmienne endogeniczne opóźnione,
– zmienne egzogeniczne.
Klasyfikacja zmiennych w
Klasyfikacja zmiennych w
modelu
modelu
ZMIENNE
Bieżące
Opóźnione
Endogeniczne
bieżące zmienne
egzogeniczne
Egzogeniczne
zmienne z góry
ustalone
Klasyfikacja zmiennych - M1
Klasyfikacja zmiennych - M1
ZMIENNE
Bieżące
Opóźnione
Endogeniczne
C
t
, Y
t
C
t-1
Egzogeniczne
1
I
t-1
Klasyfikacja zmiennych - M2
Klasyfikacja zmiennych - M2
ZMIENNE
Bieżące
Opóźnione
Endogeniczne
C
t
, Y
t
-
Egzogeniczne
1
I
t-1
Klasyfikacja modeli
Klasyfikacja modeli
wielorównaniowych
wielorównaniowych
Modele proste
Modele rekurencyjne
Modele o równaniach współzależnych
Klasyfikacja modeli
Klasyfikacja modeli
wielorównaniowych
wielorównaniowych
M1
- model rekurencyjny
M2
- model o równaniach
współzależnych
Model Kleina
- model o równaniach
współzależnych
Postać strukturalna modelu
Postać strukturalna modelu
wielorównaniowego
wielorównaniowego
m - liczba bieżących zmiennych endogenicznych
występujących w modelu,
k
- liczba zmiennych z góry ustalonych
występujących w modelu,
Y
j
- j-ta zmienna bieżąca endogeniczna,
Z
j
- j-ta zmienna z góry ustalona.
11
Y
1t
+ ... +
1m
Y
mt
+
10
+
11
Z
1t
+ ... +
1k
Z
kt
=
1t
21
Y
1t
+ ... +
2m
Y
mt
+
20
+
21
Z
1t
+ ... +
2k
Z
kt
=
2t
...
m1
Y
1t
+ ... +
mm
Y
mt
+
m0
+
m1
Z
1t
+ ... +
mk
Z
kt
=
mt
Postać strukturalna modelu
Postać strukturalna modelu
wielorównaniowego
wielorównaniowego
11
12
1
21
22
2
1
2
1
2
10
11
12
1
20
21
22
2
0
1
2
1
2
1
2
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
m
m
m
m
mm
m
k
k
m
m
m
mk
k
Y
Y
Y
Z
Z
Z
...
k
BY + Z =
Przykład - model M1
Przykład - model M1
C
t
+ b
12
Y
t
+ g
10
= e
1t
Y
t
+ g
20
+ g
21
C
t-1
+ g
22
I
t-1
= e
2t
1
0 1
0
0
1
12
10
20
21
22
1
1
1
2
C
Y
C
I
t
t
t
t
t
t
Postać zredukowana modelu
Postać zredukowana modelu
wielorównaniowego
wielorównaniowego
BY + Z =
BY = -Z +
Y = -B
-1
Z + B
-1
podstawienie
v = B
-1
= -B
-1
B = -
postać zredukowana
Y = Z + v
Problem identyfikacji modelu
Problem identyfikacji modelu
Czy istnieje jakikolwiek sposób na to, aby otrzymać
oszacowania parametrów strukturalnych modelu?
Teorie ekwiwalentne ze względu na obserwacje.
Nie jest to problem próby danych.
Ekwiwalentność teorii
Ekwiwalentność teorii
Q
P
Q
P
Q
P
Założenia o składniku
Założenia o składniku
losowym
losowym
Postać strukturalna
E(e
t
) = 0
E(e
t
e
tT
) =
Postać zredukowana
E(v
t
) = 0
E(v
t
v
tT
) = B
-1
(B
-1
)
T
=
Dostępne informacje
Dostępne informacje
Postać zredukowana
Y = Z + v
może być oszacowana MNK.
Wniosek: zgodne estymatory i .
Czy na tej podstawie można oszacować
parametry strukturalne B i oraz ?
Dostępne informacje
Dostępne informacje
Nieznane parametry strukturalne:
B - nieosobliwa macierz (m m)
- macierz parametrów (m k)
- symetryczna macierz (m m)
Znane parametry formy zredukowanej
- macierz współczynników (m k)
- macierz kowariancji (m m)
Niedobór parametrów
z m
mk
m m
mk
m m
m
2
2
1
2
1
2
Dodatkowa informacja
Dodatkowa informacja
Normalizacja: m(m - 1) nieznanych parametrów
Tożsamości:
wszystkie parametry w równaniu
są znane
Wyłączenie:
w części równań pewne zmienne
nie występują
Ograniczenia liniowe:
ograniczenia nałożone na parametry
strukturalne
Restrykcje nakładane na parametry struktury
stochastycznej
Oznaczenia
Oznaczenia
liczba równań: m = m
1
+ m
2
+1
liczba zmiennych endogen.:
k = k
1
+ k
2
współczynnik przy zmiennej y
j
w j-tym równaniu
jest równy jeden
B
j
Y +
j
Z =
j
B
j
- j-ty wiersz macierzy B,
G
j
- j-ty wiersz macierzy .
zmienne
endogeniczne
zmienne
egzogeniczne
występują w równaniu
Y
j
1
- m
1
Z
j
1
- k
1
brak w równaniu
Y
j
2
- m
2
Z
j
2
- k
2
Przykład - model M1
Przykład - model M1
1
0 0
1
12
10
1
1
1
C
Y
C
I
t
t
t
t
t
Oznaczenia
Oznaczenia
j1
- wektor parametrów strukturalnych przy
zmiennych endogenicznych uwzględnionych w
równaniu,
j2
- wektor parametrów strukturalnych przy
zmiennych endogenicznych nieuwzględnionych w
równaniu,
j1
- wektor parametrów strukturalnych przy
zmiennych egzogenicznych uwzględnionych w
równaniu,
j1
- wektor parametrów strukturalnych przy
zmiennych egzogenicznych nieuwzględnionych w
równaniu.
Oznaczenia
Oznaczenia
postać strukturalna j-tego równania:
y
j
= (
j1
)
T
Y
j1
+ (
j2
)
T
Y
j2
+ (
j1
)
T
Z
j1
+ (
j2
)
T
Z
j2
+
j
oraz
j2
= 0
j2
= 0
więc
B
j
= [1 -
j1
0]
j
= [-
j1
0]
Postać zredukowana
Postać zredukowana
y
Y
Y
Z
Z
v
V
V
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
1
2
1
2
11
12
21
22
1
2
1
2
k
1
k
2
1
m
1
m
2
Postać strukturalna i
Postać strukturalna i
zredukowana
zredukowana
B = -
j-ty wiersz odnosi się do j-tego równania:
B
j
= -
j
dwa układy równań:
1
1
1
2
11
12
21
22
1
j
j
j
j
0
0
j
j
j
j
j
1
1
11
1
2
1
12
k równań
k równań
1
2
0
Warunek wymiaru
Warunek wymiaru
j1
12
=
j2
– k
2
równań,
– m
1
niewiadomych
Warunek wymiaru (warunek konieczny):
k
2
m
1
liczba zmiennych endogenicznych nieobecnych w
j-tym równaniu musi być co najmniej równa
liczbie
zmiennych
endogenicznych
występujących w j-tym równaniu.
Warunek rzędu
Warunek rzędu
Warunek rzędu (identyfikowalności):
rz(P
12
) = m
1
równanie nieidentyfikowalne:
k
2
< m
1
lub niespełniony warunek rzędu
równanie jednoznacznie identyfikowalne:
k
2
= m
1
i spełniony warunek rzędu
równanie niejednoznacznie identyfikowalne:
k
2
> m
1
i spełniony warunek rzędu.
Identyfikowalność
Identyfikowalność
Twierdzenie: Warunkiem koniecznym i
dostatecznym na to, aby pewne równanie
modelu liniowego, składającego się z m równań
współzależnych było identyfikowalne, jest aby
macierz A
j
utworzona ze współczynników
występujących w pozostałych równaniach
modelu przy zmiennych nie występujących w
analizowanym równaniu była rzędu m - 1.
Przykład
Przykład
popyt:
q +
1
p +
0
+
2
z =
1
podaż:
q +
1
p +
0
+
2
z =
2
nie istnieją macierze A
1
i A
2
ich rzędy nie są równem - 1 = 2 - 1 = 1
oba równania nie są identyfikowalne
q
p
1
z
popyt
1
-
1
-
0
-
2
podaż
1
-
1
-
0
-
2
Przykład
Przykład
1)A
1
= [-
2
]; rz(A
1
) = 1 = m - 1 r. identyfikowalne
k
2
= 1; m
1
= 1
jednoznacznie
2)A
2
= [-
2
]; rz(A
2
) = 1 = m - 1
r. identyfikowalne
k
2
= 1; m
1
= 1
jednoznacznie
q
p
1
y
z
popyt
1
-
1
-
0
-
2
0
podaż
1
-
1
-
0
0
-
2
Przykład
Przykład
1)nie istnieje A
1
; rz(A
1
) m - 1 = 1
r. nieidentyfikowalne
2)A
2
= [-
2
-
3
]; rz(A
2
) = 1 = m - 1
r. identyfikowalne
k
2
= 2; m
1
= 1
niejednoznacznie
q
p
1
y
z
popyt
1
-
1
-
0
-
2
-
3
podaż
1
-
1
-
0
0
0
Przykład
Przykład
1)A
1
= [ x ]; rz(A
1
) = 1 = m - 1
r. identyfikowalne
k
2
= 1; m
1
= 1
jednoznacznie
2)A
2
= [ x x ]; rz(A
2
) = 1 = m - 1 r. identyfikowalne
k
2
= 2; m
1
= 1
niejednoznacznie
Y
1
Y
2
Z
1
Z
2
Z
3
I
1
x
x
0
x
II
x
1
0
x
0
Estymacja parametrów
Estymacja parametrów
modelu wielorównaniowego
modelu wielorównaniowego
Szacowanie równań MNK:
– oszacowania parametrów formy zredukowanej są
zgodne,
– oszacowania parametrów strukturalnych nie są
zgodne, gdyż zmienne endogeniczne występujące w
danym równaniu są skorelowane ze składnikiem
losowym.
Estymacja parametrów
Estymacja parametrów
modelu wielorównaniowego -
modelu wielorównaniowego -
2MNK
2MNK
Podwójna metoda najmniejszych kwadratów (2MNK)
– równania identyfikowalne (jednoznacznie lub
niejednoznacznie)
1)oszacowanie MNK równań regresji wszystkich
zmiennych endogenicznych występujących w danym
równaniu (Y
j1
) od wszystkich zmiennych
egzogenicznych (Z),
2)oszacowanie MNK danego równania regresji zmiennej
objaśnianej (y
j
) od wartości teoretycznych zmiennych
endogenicznych występujących w równaniu (Y
j1
-
teor.) oraz zmiennych egzogenicznych występujących
w równaniu (Z
j
).
Przykład
Przykład
pierwsze równanie:
Y
2
=
0
+
1
Z
1
+
2
Z
2
+
3
Z
3
+ v
2
Y
1
=
1
Y
2
+
2
Z
1
+
3
Z
3
+
1
drugie równanie:
Y
1
=
0
+
1
Z
1
+
2
Z
2
+
3
Z
3
+ v
1
Y
2
=
1
Y
1
+
2
Z
2
+
2