1

Niezawodność konstrukcji – część

2

Andrzej S. Nowak

University of Nebraska - Lincoln

Plan wykładów

• Część 1 Losowość w budownictwie

Zmienne losowe

• Część 2 Symulacje (metoda Monte Carlo)

Procedury analizy niezawodności

• Część 3 Opracowywanie norm projektowych

Modele obciążeń i nośności

• Część 4 Niezawodność układów

konstrukcyjnych

Aktualne badania i kierunki rozwoju

2

Techniki symulacyjne (metoda Monte Carlo)

wyniki
badań

histogram

specjalne

techniki

losowania

Losowe wybieranie wyników badań

3

Przykład

Dokonano pomiarów wytrzymałości na ściskanie betonu f’c
na

znormalizowanych

próbkach

cylindrycznych

i określono jej rozkład prawdopodobieństwa.

Rozważmy słup betonowy. Jego nośność ze względu
na ściskanie wynosi 0,85 f’

c

A

c

.

Przyjmijmy, że przyłożone do niego obciążenie Q
ma

rozkład

normalny

o

wartości

średniej



Q

i współczynniku zmienności V

Q

.

Jakie jest prawdopodobieństwo awarii słupa P

f

?

4

Przykład (c.d.)

Funkcja stanu granicznego:

gdzie:

Awaria:

Prawdopodobieństwo awarii:

Jeżeli przynajmniej jedna ze zmiennych, np. R, ma inny
rozkład niż normalny, n.p. logarytmiczno-normalny,
obliczenie prawdopodobieństwa awarii jest bardzo
trudne.

Można je jednak oszacować stosując symulacje Monte
Carlo.

Q

R

Y





c

'

c

A

f

85

,

0

R 

0

Y

czyli

Q

R













0

Y

P

0

Q

R

P

P

f











5

1. Losujemy wartość f’

c

oraz obliczamy wartość zmiennej R

2. Losujemy wartość zmiennej Q zgodnie z jej rozkładem

prawdopodobieństwa.

3. Obliczamy wartość zmiennej Y

4. Zapamiętujemy obliczoną wartość zmiennej Y.

5. Powtarzamy kroki 14 tak długo, aż liczba wylosowanych

wartości zmiennej Y będzie dostatecznie duża.

c

'

c

A

f

85

,

0

R 

Q

R

Y





Procedura Monte Carlo

6

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie jednostajnym

Aby wylosować wartość x

zmiennej losowej X

o rozkładze jednostajnym w przedziale (a, b),
należy wylosować wartość u zmiennej losowej U
o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0, 1),
wtedy:





u

a

b

a

x









Wartość całkowitą i

zmiennej losowej I

o rozkładze jednostajnym w przedziale (a, b),
gdzie a, b – liczby całkowite
można wygenerować następująco:









u

a

b

int

a

x









7

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie normalnym standaryzowanym

Aby wylosować wartość z

i

zmiennej losowej Z o rozkładzie
normalnym standaryzowanym,
należy wylosować wartość u

i

zmiennej losowej U o rozkładzie
równomiernym w przedziale (0, 1)
a następnie obliczyć wartość z

i

następująco:

gdzie 

-1

– odwrotność dystrybuanty

rozkladu normalnego standaryzowanego

 

i

1

i

u

z







 

z

u 



u

i

z

i

 

u

z

1







1

0

8

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie normalnym

Podstawowy związek między zmienną losową X o rozkładzie
normalnym o wartości średniej 

X

i odchyleniu standardowym 

X

.

a zmienną losową standaryzowaną Z jest następujący:

Zatem, danej wartości z

i

odpowiada wartość x

i

, którą

można obliczyć następująco:

X

X

Z

X









X

i

X

i

z

x









9

Przykład

Obciążenie stałe konstrukcji D jest zmienną losową
o rozkładzie normalnym, o parametrach 

D

= 20 kN/m, V

D

= 10%.

Wylosowaś 10 wartości zmiennej losowej D.

u

i

z

i

D

i

-------------------------------------------
0,050203

-1,642888 16,71

0,619129

0,303194 20,61

0,872402

1,137819 22,28

0,376568

-0,314508 19,37

0,139927

-1,080648 17,84

0,318491

-0,471923 19,06

0,987671

2,246725 24,49

0,033265

-1,834833 16,33

0,234626

-0,723696 18,55

0,623157

0,313782 20,63

f

D

10

30

20

10

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie logarytmiczno-normalnym

Aby wylosować wartość x

i

zmiennej losowej X

o rozkładzie logarytmiczno-normalnym o parametrach 

X

i



X

,

należy wylosować wartość u

i

zmiennej U o rozkładzie

jednostajnym w przedziale (0, 1)

obliczyć:

następnie obliczyć:

gdzie:

 

i

1

i

u

z











X

ln

i

X

ln

i

z

exp

x













)

0,20

V

(

V

1

V

ln

X

2

X

2

X

2

X

ln

dla











)

0,20

V

(

)

ln(

2

1

)

ln(

X

X

2

X

ln

X

X

ln

dla

















czyli w przybliżeniu:





X

i

X

i

V

z

exp

x





11

Ogólna procedura generowania

liczb losowych o dowolnym rozkładzie

Aby wylosować wartość x

i

zmiennej losowej X
o dowolnym rozkładze
o dystrybuancie F

X

(x),

należy:

1. wylosować wartość u

i

zmiennej losowej U

o rozkładzie jednostajnym
w przedziale (0, 1)

2. odwrócić dystrybuantę

zmiennej losowej X:

 

i

1

X

i

u

F

x





 

u

F

x

1

X





 

x

F

u

X



i

u

i

x

12

l = 1,5 m

Przykład

Stosując metodę Monte Carlo, wyznaczyć wartość średnią
i odchylenie standardowe momentu zginającego M
występującego w odległości 1,5 m od swobodnego końca
drewnianego wspornika.
Obciążenia P i w są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach normalnych i następujących parametrach:


p

= 20 kN, 

w

= 1 kN/m



P

= 2 kN, 

w

= 0,1 kN/m

13

Przykład (c.d.)

Moment zginający M w rozpatrywanym przekroju wynosi:

Ponieważ P i w są zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
a moment M jest ich funkcją liniową, zatem moment M także jest
zmienną losową o rozkładzie normalnym, o parametrach:

w

125

,

1

P

5

,

1

2

wl

Pl

M

2









kNm

9

,

28

125

,

1

5

,

1

w

P

M















 



kNm

0

,

3

125

,

1

5

,

1

2

w

2

P

M













14

Przykład (c.d.)

Wylosowano po 5 wartości każdej zmiennej losowej:

u

i

z

i

P

i

= 20 +

2z

i

------------------------------------------------
-----
0,050203

-1,642888 16,71

0,619129

0,303194 20,61

0,872402

1,137819 22,28

0,376568

-0,314508 19,37

0,139927

-1,080648 17,84

u

i

z

i

w

i

= 1 + 0,1z

i

-----------------------------------------------------
0,318491

-0,471923 0,95

0,987671

2,246725 1,22

0,033265

-1,834833 0,82

0,234626

-0,723696 0,93

0,623157

0,313782 1,03

15

Przykład (c.d.)

Na ich podstawie obliczono 5 wartości momentu M:

otrzymując następujące wyniki:

i

i

i

w

125

,

1

P

5

,

1

M





kNm

9

,

27

M

5

1

M

5

1

i

i









kNm

3

,

3

1

5

)

M

(

5

M

2

5

1

i

2

i

M



























M

i

[kNm]

------------

24,00
29,53
32,49
28,01
25,60

16

Metoda „Latin Hypercube”





k

1

X

,

,

X

f

Y





• Podzielić przedział każdej zmiennej X

i

na N podprzedziałów,

tak aby prawdopodobieństwo trafienia w każdy z nich
wynosił 1/N.

• Dla każdego podprzedziału każdej ze zmiennych X

i

wybrać wartość reprezentatywną - wartość środkową.

• Dla każdej zmiennej X

i

wybrać losowo jedną

z N wartości reprezentatywnych x

i

; można to zrobić

na N

k

sposobów.

• Wykonać N takich losowań, tak aby każda z wartości

reprezentatywnych została wybrana tylko raz i obliczyć:





k

1

i

x

,

,

x

f

y





17

Metoda „Latin Hypercube”

Powstanie N kombinacji ( x

1

, x

2

, ... x

k

).

• wartość średnia Y

• m-ty moment Y

• dystrybuanta

N

y

Y

N

1

i

i







 

N

y

Y

N

1

i

m

i

m







  



N

y

y

y

F

i

Y

razy

ile





18

Metoda „Rosenblueth’a 2n+1”





n

1

X

,

,

X

f

Y





• Dla każdej zmiennej X

i

obliczyć 

Xi

i 

Xi

• Obliczyć:

• Dla każdej zmiennej X

i

obliczyć:





n

2

1

X

X

X

0

,

,

f

y















n

X

i

i

1

,

,

,

,

f

y

X

X

X

i























n

X

i

i

1

,

,

,

,

f

y

X

X

X

i



















19

Metoda „Rosenblueth’a 2n+1”

• Dla każdej zmiennej X

i

obliczyć

• Obliczyć wartość średnią i wskaźnik zmienności

zmiennej Y:

2

y

y

y

i

i

i























i

i

i

i

y

y

y

y

y

V

i



















n

1

i

0

i

0

y

y

y

Y





1

V

1

y

V

n

1

i

2

Y

0

Y

i



















20

Analiza bezpieczeństwa konstrukcji

• Stan graniczny

• Przypadek podstawowy analizy niezawodności

• Wskaźnik niezawodności

• Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

• Procedura Rackwitza-Fiesslera

• Podsumowanie procedur analizy niezawodności

21

Stany graniczne

Definicja awarii

Konstrukcja ulega awarii, jeżeli nie jest w stanie
spełniać swojej funkcji. Jaka jest ta funkcja ?

Przykład:

• Konstrukcja ulega awarii, gdy naprężenia

przekraczają wytrzymałość
(ale nie zawsze jest to prawdą).

• Konstrukcja ulega awarii, jeżeli M > Z

x

F

y

(chociaż nadal istnieje pewien zapas bezpieczeństwa).

22

Definicja awarii

Awaria powinna być jasno zdefiniowana.

Przykład:

belka stalowa swobodnie podparta

przegub plastyczny

Belka stalowa może ulec awarii, jeżeli ugięcia
przekroczą wartość krytyczną.

23

Definicja awarii

Belka stalowa może ulec awarii na skutek:

• powstania przegubu plastycznego

• globalnej utraty stateczności

• lokalnego wyboczenia.

M

krytyczny



max



max

naprężenia

odkształcenia

24

Stany graniczne

Wyróżnia się trzy stany graniczne:

•stan graniczny nośności

•stan graniczny użytkowalności

•stan graniczny zmęczenia

25

Stany graniczne nośności

Utrata przez konstrukcję zdolności przenoszenia obciążeń:

• przekroczenie maksymalnego momentu zginającego
• powstanie przegubu plastycznego
• zgniecenie betonu ściskanego
• przekroczenie nośności na ścinanie środnika belki stalowej
• globalna utrata stateczności
• wyboczenie środnika lub półki
• zerwanie spoiny

26

Stany graniczne użytkowalności

Utrata przez konstrukcję zdolności spełniania jej funkcji:

• zarysowanie betonu
• ugięcie
• drgania
• trwałe odkształcenia

27

Stany graniczne użytkowalności

•Zarysowanie

Jakie zarysowanie jest dopuszczalne:
o określonych rozmiarach ?
o określonej długości ?
o określonej szerokości ?

pręt zbrojeniowy

Zarysowanie w belce żelbetowej.

28

Stany graniczne użytkowalności

•Ugięcia

•Przyjęcie ograniczeń na ugięcia jest subiektywne,

zależne od ludzkiej percepcji.

•W przypadku budynków, widoczne ugięcia

są niedopuszczalne - nawet wtedy, gdy konstrukcja
jest bezpieczna pod względem wytrzymałości.

•W przypadku mostów, jako ugięcia dopuszczalne

przyjmuje się L/800, gdzie L - rozpiętość przęsła.

29

Stany graniczne użytkowalności

•Drgania

• Trudne do oceny ilościowej.
• Silne drgania nie są dopuszczalne w budynkach.
• Dopuszcza się je w mostach nie użytkowanych

przez pieszych.

30

Stany graniczne użytkowalności

• Jakie drgania i ugięcia są dopuszczalne ?
• Jak często mogą być przekraczane

ich wartości dopuszczalne ?

• Jak je mierzyć ?

31

Stany graniczne użytkowalności

• Odkształcenia trwałe

• Kumulacja ugięć trwałych może doprowadzić

do problemów użytkowania

Powstanie zagięcia w ciągłej belce stalowej

zagięcie

Stalowy dźwigar mostu – belka ciągła

32

Stany graniczne zmęczenia

•Dotyczą kumulacji zniszczenia lub awarii konstrukcji

na skutek powtarzających się obciążeń

•Element konstrukcyjny może ulec awarii pod wpływem

obciążeń niższych niż dopuszczalne

•Należy:

•zdefiniować stan graniczny dla konstrukcji

stalowych i żelbetowych

•przyjąć kryteria dopuszczalności
•przyjąć praktyczne kryteria projektowania i oceny.

33

Funkcja stanu granicznego

Konstrukcja może znajdować się w jednym z dwóch stanów:

• w stanie bezawaryjnym

( efekt obciążenia  nośność )

• w stanie awarii

( efekt obciążenia > nośność )

34

Funkcja stanu granicznego

• Stan konstrukcji można opisać za pomocą parametrów

opisujących obciążenie i nośność: X

1

, ..., X

n

• Funkcja stanu granicznego g( X

1

, ..., X

n

) jest funkcją

tych parametrów, taką że:

• w stanie bezawaryjnym

• w stanie awarii

• Każda taka funkcja związana jest z danym

stanem granicznym.





0

X

,

X

g

n

1









0

X

,

X

g

n

1





35

Funkcja stanu granicznego

Niech Q oznacza całkowity efekt obciążenia

natomiast R niech oznacza nośność.
Funkcję stanu granicznego można zdefiniować jako:

Q

R

g





Prawdopodobieństwo

awarii

R-Q

margines

bezpieczeństwa

Q

efekt

obciążenia

R

nośność

f

Q

, f

R

, f

R-Q

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa

efeku obciążenia Q, nośności R i marginesu bezpieczeństwa R-Q

36

Przypadek podstawowy

Prawdopodobieństwo awarii P

f

można wyrazić za pomocą

funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuant
zmiennych losowych R i Q.

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa efektu obciążenia Q i nośności R

X

dx

f

Q

, f

R

f

Q

f

R

1-F

Q

(x)

37

Przypadek podstawowy

Konstrukcja ulega awarii, gdy obciążenie Q przekracza nośność R,
wtedy prawdopodobieństwo awarii równe jest prawdopodobieństwu
tego, że Q > R i wynosi:

Wzory te są zbyt trudne do stosowania.



 

























i

i

i

i

i

i

f

r

R

P

r

R

|

R

Q

P

)

r

Q

r

R

(

P

P





i

i

R

i

Q

i

i

R

i

Q

f

dr

)

r

(

f

)

r

(

F

1

dr

)

r

(

f

)

r

(

F

1

P

























i

i

Q

i

R

f

dq

)

q

(

f

)

q

(

F

P











lub:



 

























i

i

i

i

i

i

f

q

Q

P

q

Q

|

Q

R

P

)

q

R

q

Q

(

P

P

38

Przypadek podstawowy

Przestrzeń zmiennych losowych opisujących stan konstrukcji

Obszar bezawaryjny i obszar awarii w 2-wymiarowej przestrzeni zmiennych losowych

Q

R

R - Q = 0

granica awarii

( funkcja stanu granicznego = 0 )

R > Q

obszar

bezawaryjny

R < Q

obszar

awarii



R



Q

39

Przypadek podstawowy

Przestrzeń zmiennych losowych opisujących stan konstrukcji

Łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa f

R,Q



R



Q

R

Q

f

R,Q

( 

R

, 

Q

)

R - Q = 0

granica awarii

( funkcja stanu granicznego = 0 )

40

Wskaźnik niezawodności, 

•W przypadku funkcji stanu granicznego postaci:

• Wskaźnik niezawodności można obliczyć następująco:

• Związek między wskaźnikiem niezawodności

a prawdopodobieństwem awarii jest następujący:

2

Q

2

R

Q

R

















 

f

1

P











 









f

P

lub

Q

R

g





41

Wskaźnik niezawodności – przestrzeń n-

wymiarowa

• W przypadku liniowej funkcji stanu granicznego

gdzie: X

i

- zmienne losowe nieskorelowane o

nieznanych typach rozkładów ale znanych
parametrach 

Xi

, 

Xi

wskaźnik niezawodności można obliczyć następująco:

n

n

1

1

0

n

1

X

a

...

X

a

a

)

X

,...,

X

(

g































n

1

i

2

X

i

n

1

i

X

i

0

i

i

a

a

a

42

Wskaźnik niezawodności „drugiego momentu”

Wskaźnik niezawodności:

nosi nazwę wskaźnika niezawodności „drugiego
momentu”, ponieważ tylko dwa pierwsze momenty
zmiennych losowych
- wartości średnie 

Xi

oraz odchylenia standardowe 

Xi

-potrzebne są do jego wyznaczenia.

Pozwala on dokładne obliczyć prawdopodobieństwo
awarii,
w przypadku zmiennych losowych o rozkładach
normalnych;
w innych przypadkach – jedynie w przybliżeniu.























n

1

i

2

X

i

n

1

i

X

i

0

i

i

a

a

a

43

Wskaźnik niezawodności

Związek między wskaźnikiem niezawodności 

a prawdopodobieństwem awarii P

f

:

P

f



10

-1

1,28

10

-2

2,33

10

-3

3,09

10

-4

3,71

10

-5

4,26

10

-6

4,75

10

-7

5,19

10

-8

5,62

10

-9

5,99

44

Wskaźnik niezawodności

dla nieliniowej funkcji stanu granicznego

• Nieliniową funkcję stanu granicznego:

gdzie: X

i

- zmienne losowe nieskorelowane, o

nieznanych typach rozkładów

ale znanych

parametrach 

Xi

, 

Xi

rozwija się w szereg Taylora w punkcie

)

X

,...,

X

(

g

n

1



























n

1

i

*

X

i

*

i

i

*

n

*

1

n

2

1

X

g

x

X

x

,

x

g

X

,

X

,

X

g









*

n

*
2

*

1

x

,

,

x

,

x



45

Wskaźnik niezawodności

„pierwszego rzędu, drugiego momentu”

wtedy wskaźnik niezawodności wyniesie:

gdzie a

i

- pierwsza pochodna cząstkowa funkcji

stanu granicznego względem zmiennej X

i

w

punkcie

Jak wyznaczyć ten punkt ?























n

1

i

2

X

i

n

1

i

X

i

0

i

i

a

a

a





*

n

*

2

*

1

x

,

,

x

,

x

i

i

X

g

a













*

n

*
2

*

1

x

,

,

x

,

x















n

1

i

*

i

i

*

n

*

1

0

x

a

x

,

x

g

a



46

Wskaźnik niezawodności

„pierwszego rzędu, drugiego momentu, wartości średniej”

Jeżeli za punkt rozwinięcia funkcji stanu granicznego w
szereg
przyjąć wartości średnie zmiennych losowych:

























n

1

i

2

X

i

X

X

X

i

n

2

1

a

,

,

,

g







n

X

2

X

1

X

,

,

i

i

X

g

a















gdzie:

47

Wskaźnik niezawodności

•Wskaźnik ten nazywa się wskaźnikiem niezawodności

„pierwszego rzędu, drugiego momentu, wartości średniej”.

•pierwszego rzędu

ponieważ występują w nim wyrazy pierwszego rzędu
rozwinięcia w szereg Taylora funkcji stanu granicznego

•drugiego momentu

ponieważ występują w nim jedynie momenty drugiego rzędu
tj. wartości średnie i wariancje zmiennych losowych
(nie uwzględnia się typu rozkładu zmiennych losowych)

•wartości średniej

ponieważ rozwinięcie funkcji stanu granicznego
w szereg Taylora następuje w punkcie odpowiadającym
wartościom średnim zmiennych losowych

48

Przykład

Rozważmy następującą belkę:

q

l

49

Przykład

Na belkę swobodnie podpartą o długości l = 4 m działają

następujące obciążenia losowe równomiernie rozłożone:

obciążenia stałe D
obciążenia zmienne L
obciążenia wiatrem W.

Nośność belki na zginanie R jest zmienną losową
o wartości średniej 180 kNm i wskaźniku zmienności 15%.

Obliczyć prawdopodobieństwo awarii zakładając,
że wszystkie zmienne losowe są nieskorelowane
i mają rozkłady normalne.

50

Przykład (c.d.)

•Obciążenia

rodzaj
obciążenia:





--------------------------------------------------------
q

D

- stałe

14 kN/m

1,4 kN/m

q

L

- zmienne

22 kN/m

3,0 kN/m

q

w

- wiatrem

8 kN/m

1,8 kN/m

51

Przykład (c.d.)

•Nośność ze względu na moment zginający



R

= 

M

= 180 kNm

V

R

= V

M

= 0,15



R

= V

R



R

= (180)(0,15) = 27 kNm

52

Przykład (c.d.)

•Funkcja stanu granicznego:

gdzie:
M

D

, M

L

i M

w

– momenty zginające środku rozpiętości

wywołane obciążeniem stałym, zmiennym i wiatrem:





w

L

D

M

M

M

R

g









53

Przykład (c.d.)





w

L

D

q

q

q

2

R

g









8

l

q

M

2

D

D



8

l

q

M

2

L

L



8

L

q

M

2

w

w



m

4

l 

Równanie stanu granicznego:

54

Przykład (c.d.)

•Ponieważ funkcja stanu granicznego jest liniowa

a zmienne losowe mają rozkłady normalne
i są nieskorelowane,  obliczamy następująco:





  





 

 





 



 

  





  





  





28

,

3

8

,

1

2

0

,

3

2

4

,

1

2

27

8

22

14

2

180

1

0

2

2

2

2

1

0

a

a

a

2

2

2

2

2

w

2

L

2

D

2

R

w

L

D

R

n

1

i

2

X

i

n

1

i

X

i

0

i

i

















































































 





4

f

10

16

,

5

28

,

3

P





















Stąd prawdopodobieństwo awarii:

55

Przykład

• Dana jest belka żelbetowa o przekroju poprzecznym:

d = 50 cm

b = 30 cm

A

s

56

Przykład (c.d.)

• Nośność przekroju ze względu na zginanie:

 

b

f

f

A

59

,

0

d

f

A

b

f

f

A

59

,

0

d

f

A

M

'

c

2

y

s

y

s

'

c

y

s

y

s





















57

Przykład (c.d.)

• Funkcja stanu granicznego:





 

Q

b

f

f

A

59

,

0

d

f

A

Q

,

f

,

f

,

A

g

'

c

2

y

s

y

s

'

c

y

s







gdzie Q - moment zginający (efekt obciążenia).
Zmiennymi losowymi są Q, f

y

, f

c

’ i A

s

.

58

•Parametry rozkładów prawdopodobieństwa

zmiennych losowych i parametry projektowe:

Współczynnik odchylenia  jest stosunkiem

wartości średniej do wartości nominalnej.
Zakładamy, że d i b są stałymi deterministycznymi.
Obliczyć wskaźnik niezawodności .

Przykład (c.d.)



wartość





V

nominalna

-----------------------------------------------------------------------------------
A

s

26 cm

2

25,5 cm

3

1,02 0,5 cm

2

0,02

f

y

3000 MPa 273,0 MPa 1,10 31,5 MPa 0,105

f’

c

21 MPa 20,2 MPa 1,04 2,9 MPa 0,14

Q

235 kNm 247,0 kNm 0,95 28,2 kNm 0,12

-----------------------------------------------------------------------------------

59

Przykład (c.d.)

•Funkcja stanu granicznego jest nieliniowa.

Jej rozwinięcie w szereg w punkcie odpowiadającym
wartościom

średnim

zmienych

losowych

prowadzi do następującej funkcji liniowej:

















srednie

wartosci

Q

srednie

wartosci

'

c

f

'

c

srednie

wartosci

y

f

y

srednie

wartosci

s

A

s

Q

f

2

f

A

f

A

'

c

y

s

Q

g

Q

f

g

f

f

g

f

A

g

A

b

)

(

59

,

0

d

)

Q

,

f

,

f

,

A

(

g

'

c

y

s

'

c

y

s

y

s









































































60

Przykład (c.d.)

Wartość funkcji stanu granicznego i jej pierwszych pochodnych

dla wartości średnich zmiennych losowych:









 

1

1

Q

g

a

m

10

2713

b

)

f

(

f

A

59

,

0

f

g

a

m

10

920

b

f

A

f

2

59

,

0

d

A

f

g

a

m

/

kN

106171

b

f

f

A

2

59

,

0

d

f

A

g

a

srednie

wartosci

srednie

wartosci

4

3

6

srednie

wartosci

2

'

c

2

y

s

srednie

wartosci

'

c

3

3

6

srednie

wartosci

'

c

2
s

y

s

srednie

wartosci

y

2

srednie

wartosci

'

c

2

y

s

y

srednie

wartosci

s

1









































































































kNm

98

b

)

(

59

,

0

d

)

,

,

,

(

g

Q

f

2

f

A

f

A

Q

f

f

A

'

c

y

s

y

s

'

c

y

s





























61

Przykład (c.d.)

•Podstawiając je do wzoru na , otrzymujemy:



















 

 







36

,

2

6

,

41

0

,

98

2

,

28

1

2940

10

2713

31500

10

920

10

52

,

0

106171

0

,

98

1

10

2713

10

920

106171

)

,

,

,

(

g

2

2

6

2

6

2

4

2

Q

2

f

6

2

f

6

2

A

Q

f

f

A

'

c

y

s

'

c

y

s















































































62

Wskaźnik niezawodności

„wartości średniej, pierwszego rzędu, drugiego momentu”

•Stosuje się go w przypadku liniowej funkcji stanu

garnicznego:

g(R, Q) R – Q

przybliżając rozkłady zmiennych losowych
inne niż normalne - rozkładami normalnymi.

•łatwy w użyciu
•nie wymaga znajomości rozkładów zmiennych

losowych

Ale

•daje niedokładne wyniki, w przypadku, gdy

„końce” dystrybuant odbiegają od rozkładów
normalnych

•wartość wskaźnika  zależy od przyjętej postaci

funkcji stanu granicznego.

63

Wskaźnik niezawodności

„wartości średniej, pierwszego rzędu, drugiego momentu”

arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego



Q



R



Q



R

R, Q

aproksymujący
rozkład
normalny

aproksymujący
rozkład
normalny

F

Q

F

R

64

Wskaźnik niezawodności

„wartości średniej, pierwszego rzędu, drugiego momentu”

• Wartość wskaźnika niezawodności

„wartości średniej, pierwszego rzędu,
drugiego momentu” zależy od sposobu
sformułowania zadania
- postaci funkcji stanu granicznego.

65

Przykład

L

• Dana jest belka stalowa o krępym przekroju,

o wskaźniku przekroju Z i granicy plastyczności F

y

.

Zmiennymi losowymi są: P, L, Z, F

y

.

Przyjęto, że są one nieskorelowane.

• Obliczyć wskaźnik niezawodności

66

Przykład (c.d.)

 









































































3

3

3

4

F

Z

L

P

X

m

/

kN

10

600

m

10

100

m

8

kN

10

y

Wektor wartości średnich:

67

Przykład (c.d.)

Macierz kowariancji:

 













































2

2

9

6

12

2

3

2

X

m

/

kN

10

10

0

0

0

0

m

10

400

0

0

0

0

m

10

10

0

0

0

0

kN

4

C

68

Przykład (c.d.)

•Funkcja stanu granicznego w jednostkach

momentów zginających.





4

PL

ZF

L

,

P

,

F

,

Z

g

y

y

1





69

Przykład (c.d.)

•Rówanie stanu granicznego g = 0 określa granicę między

obszarem awarii (g<0) i obszarem bezawaryjnym (g>0)
Jeżeli funkcję g

1

podzielimy przez wielkość dodatnią (n.p. Z),

granica między tymi obszarami nie zmieni się.

•Otrzymamy wtedy inną postać funkcji stanu granicznego

- w jednostkach naprężeń:









Z

L

,

P

,

F

,

Z

g

Z

4

PL

F

L

,

P

,

F

,

Z

g

y

1

y

y

2







• Obliczmy wskaźnik niezawodności dla każdej z nich.

70

Przykład (c.d.)

• Ponieważ funkcja g

1

jest nieliniowa, należy ją

zlinearyzować rozwijając w szereg Taylora
w punkcie odpowiadającym wartościom średnim
zmiennych losowych.

















L

P

P

L

F

y

Z

Z

F

L

P

F

Z

1

L

4

P

4

F

Z

4

g

y

y

y





















































48

,

2





71

Przykład (c.d.)

• Podobnie należy postąpić z funkcją g

2

:

 



  













L

Z

P

P

Z

L

F

y

Z

2

Z

L

P

Z

L

P

F

2

L

4

P

4

F

1

Z

4

4

g

y

y































































48

,

3





72

Przykład -
wnioski

• Przykład ten wyraźnie obrazuje problem

zależności wskaźnika niezawodności
od postaci funkcji stanu granicznego.

• Funkcje g

1

i g

2

opisują ten sam stan graniczny.

W obu przypadkach prawdopodobieństwa awarii
a więc także i wskaźniki niezawodności
powinny być jednakowe.

• Hasofer i Lind wprowadzili nową definicję

wskaźnika niezawodności, który nie zależy
od postaci funkcji stanu granicznego.

73

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

• Rozważmy funkcję stanu granicznego

g(X

1

,...,

X

n

),

w której zmienne losowe X

i

są nieskorelowane;

jeżeli są skorelowane, można je zastąpić
zmiennymi niesorelowanymi stosując
odpowiednią transformację.

• Funkcję stanu granicznego można przedstawić

za pomocą standaryzowanej postaci zmiennych
losowych (zmiennych zredukowanych).

i

i

X

X

i

i

X

Z









74

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

• Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda definiuje

się jako najkrótsza odległość od początku układu
przestrzeni zmiennych losowych
standaryzowanych do granicy
między obszarem awarii a obszarem
bezawaryjnym, opisanej równaniem stanu
granicznego g = 0

• Jeżeli funkcja stanu granicznego jest linowa,

wskaźnik niezawodności oblicza się następująco:























n

1

i

2

X

i

n

1

i

X

i

0

i

i

a

a

a









n

1

i

i

i

0

X

a

a

g

gdzie:

75

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

• Jeżeli funkcja stanu granicznego jest nieliniowa,

należy znaleźć – metodami iteracyjnymi –
na garnicy obszaru awarii i obszaru
bezawaryjnego
w przestrzeni zmiennych losowych
standaryzowanych
punkt (z

1

*,..., z

n

*) najbliższy początkowi układu

- punkt projektowy

• Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda 

jest odległością tego punktu od początku układu.

76

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

Z

2

Z

1

z

2

*

z

1

*



punkt projektowy

styczna

g’( Z

1

,... Z

n

) = 0

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

77

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

Punkt projektowy w przypadku liniowej funkcji stanu granicznego g = R - Q



R



Q

R

Q

f

R,Q

( 

R

, 

Q

)

R - Q = 0

q*

r*

( r*, q* )

78

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

Z

1

Z

2

z

1

*

z

2

*



g’( Z

1

,... Z

n

) =0

Punkt projektowy i wskaźnik niezawodności w przypadku
nieliniowej funkcji stanu granicznego

79

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

W celu obliczenia wskaźnika niezawodności stosuje
się
procedury iteracyjne polegające na rozwiązaniu
układu (2n+1) równań z (2n+1) niewiadomymi:
, 

1

, 

2

, ..., 

n

, z

1

*, z

2

*, ..., z

n

*



































n

1

i

2

projektowy

punkt

i

projektowy

punkt

i

i

Z

'

g

Z

'

g

i

X

i

i

i

i

i

X

g

Z

X

X

g

Z

'

g























 

1

n

1

i

2

i









i

*

i

z









0

z

,

,

z

'

g

*

n

*

1





80

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

• Procedury iteracyjne:

• rozwiązywanie układu równań
• procedura macierzowa.

81

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

Układ równań:

1. Sformułować funkcję stanu granicznego

i określić parametry statystyczne rozkładów
zmiennych losowych X

i

.

2. Wyrazić funkcję stanu granicznego za pomocą

zmiennych losowych standaryzowanych Z

i

.

3. Wyrazić funkcję stanu granicznego za pomocą  i 

i

4. Obliczyć n wartości 

i

wyrażając każdą z nich

jako funkcję wszystkich 

i

oraz .

82

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

5. Początek cyklu obliczeń:

przyjąć początkowe wartości liczbowe
 i wszystkich 

i

.

6. Podstawić je do prawych stron równań

sformułowanych w krokach 3 i 4.

7. Rozwiązać układ n+1 równań otrzymanych

w kroku 6 ze względu na  i 

i

.

8. Wrócić do kroku 6. Powtarzać iteracje,

aż do uzyskania zbieżności  i 

i

.

83

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

Procedura macierzowa:

1. Sformułować funkcję stanu granicznego

i określić parametry statystyczne rozkładów
zmiennych losowych X

i

.

2. Znaleźć początkowy punkt projektowy [x

i

*]

przyjmując wartości początkowe n-1 zmiennych X

i

- na przykład wartości średnie.
Rozwiązać równanie stanu granicznego g = 0
względem n-tej zmiennej losowej,
dzięki czemu punkt początkowy będzie leżał
na granicy obszaru awarii.

3. Obliczyć współrzędne punktu projektowego

w układzie zmiennych standaryzowanych [z

i

*].

i

i

X

X

*

i

*

i

x

z









84

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

4. Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji stanu granicznego

względem zmiennych losowych standaryzowanych Z

i

.

Dla wygody zdefiniować wektor kolumnowy [G]
tj. wektor tych pochodnych ze znakiem „-”

5. Obliczyć przybliżenie :

 



























n

2

1

G

G

G

G



projektowy

punkt

i

i

Z

'

g

G









 

 

   

G

G

z

G

T

*

T





 



























*

n

*
2

*

1

*

z

z

z

z



gdzie

gdzie

85

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

6. Obliczyć współrzędne wektora kolumnowego

tzw. współczynników wrażliwości:

7. Wyznaczyć nowy punkt projektowy w przestrzeni

zmiennych losowych standaryzowanych dla n-1 zmiennych.

8. Określić odpowiadający mu punkt projektowy

we współrzędnych początkowych dla n-1 zmiennych
określonych w kroku 7.

 

 

   

G

G

G

T





i

*

i

z





i

i

X

*

i

X

*

i

z

x









86

Wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda

9. Obliczyć wartość n-tej zmiennej losowej

( tj. zmiennej nie określonej w krokach 7 i 8 )
rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0.

10. Powtarzać kroki 3  9 aż do uzyskania zbieżności

 oraz współrzędnych punktu projektowego [x

i

*].

87

• Obliczyć wskaźnik niezawodności Hasofera-Linda, 

dla belki ciągłej 3-przęsłowej.

Zastosujemy metodę rozwiązywania układu równań.

Przykład

88

Przykład (c.d.)

• Zmiennymi losowymi są:

• obciążenie ciągłe (w)

• rozpiętość przęsła (L)

• moduł sprężystości podłużnej (E)

• moment bezwładności przekroju (I).

Rozważamy stan graniczny ugięcia,

przyjmując ugięcie dopuszczalne = L/360.
Maksymalne ugięcie wynosi 0,0069 wL

4

/EI

i występuje w odległości 0,446 L od końca belki
(wg AISC, 1986).

Funkcja stanu granicznego jest następująca:





EI

wL

0069

,

0

360

L

I,

E

,

L

,

w

g

4





89

Przykład (c.d.)

• Parametry statystyczne zmiennych losowych:

Zmienna

wartość

odchylenie

losowa

średnia

standardowe

-----------------------------------------------------------------------
w

10

kN/m

0,4

kN/m

L

5

m

 0

E

210

7

kN/m

2

0,510

7

kN/m

2

I

610

-4

m

4

1,510

-4

m

4

90

Przykład (c.d.)

• Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy

równanie stanu granicznego:

• Wprowadzamy zmienne losowe standaryzowane:

 

0

w

5

,

310

EI

0

w

5

0069

,

0

EI

360

5

0

g

4















E

E

2

E

Z









w

w

3

w

Z









I

I

1

I

Z









I

1

I

Z

I









w

3

w

Z

w









E

2

E

Z

E









91

Przykład (c.d.)

• Podstawiamy je do równania stanu granicznego g = 0:

• Wyrażamy g jako funkcję

 i 

i

:











0

Z

5

,

310

Z

Z

w

3

w

I

1

I

E

2

E







































 





0

4

,

0

Z

10

5

,

310

10

5

,

1

Z

10

8

10

5

,

0

Z

10

2

3

4

1

4

7

2

7























0

12895

Z

2

,

124

Z

Z

750

Z

4000

Z

3000

3

2

1

2

1











i

*

i

z





0

12895

2

,

124

750

4000

3000

3

2

1

2

2

1

























92

Przykład (c.d.)

• Obliczamy wartości

 i 

i

:

3

2

1

2

1

2

,

124

750

4000

3000

12895





























 

 



2

2

1

2

2

2

1

2

,

124

750

4000

750

3000

750

3000































 

 



2

2

1

2

2

1

2

2

,

124

750

4000

750

3000

750

4000































 

 



2

2

1

2

2

3

2

,

124

750

4000

750

3000

2

,

124























93

Przykład (c.d.)

• Rozpoczynamy iteracje zgadując wartości

, 

1

, 

2

, 

3

,

na przykład:

58

,

0

333

,

0

2

1















58

,

0

333

,

0

3







3





94

Przykład (c.d.)

• Wyniki iteracji zestawiono poniżej. Zmiany wartości otrzymanych

w iteracjach 5 i 6 są niewielkie, co oznacza zbieżność wyniku.
Zbieżność ta jest szybsza, jeżeli przyjmie się właściwe znaki 

i

( + dla obciążeń, - dla nośności ).

0.034

0.034

0.034

0.037

0.047

0.039

+0.58



3

-0.983

-0.983

-0.985

-0.988

-0.965

-0.846

-0.58



2

-0.182

-0.179

-0.168

-0.153

-0.257

-0.532

-0.58



1

3.173

3.173

3.175

3.213

3.429

3.664

3



6

5

4

3

2

1

 

iteracje

wartości

początkowe

Wskaźnik niezawodności wynosi w przybliżeniu 3,17

95

Procedura Rackwitza-Fiesslera

• Procedura wyznaczania wskaźnika niezawodności

w przypadku, znanych rozkładów zmiennych
losowych.

• Jej główna idea jest następująca:

rozkłady zmiennych losowych inne niż normalne
zastępuje się zastępczymi rozkładami
normalnymi.

96

Procedura Rackwitza-Fiesslera

• Rozkład miennej losowej X o parametrach



X

i 

X

opisany jest dystrybuantą F

X

(x) oraz funkcją

gęstości prawdopodobieństwa f

X

(x).

• Parametry zastępczego rozkładu normalnego,



X

e

i 

X

e

, wyznacza się zakładając, że wartości

dystrybuant i funkcji gęstości prawdopodobieństwa
obu rozkładów – rzeczywistego i zastępczego -
są sobie równe w punkcie projektowym x*.

• Można to zapisać następująco:

 























e

X

e

X

*

*

X

x

x

F

 

























e

X

e

X

*

e

X

*

X

x

1

x

f

97









)

x

(

F

x

*

X

1

e

X

*

e

X





















)

x

(

F

)

x

(

f

1

x

)

x

(

f

1

*

X

1

*

X

e

X

e

X

*

*

X

e

X

































• po odpowiednich przekształceniach:

Procedura Rackwitza-Fiesslera

98

Procedura Rackwitza-Fiesslera

Dwie zmienne nieskorelowane

1. Dana jest funkcja stanu granicznego: g = R – Q

Ponieważ punkt projektowy (R*, Q*) znajduje się
na granicy obszaru awarii, więc R* = Q*.

2. Przyjmujemy pierwsze przybliżenie R*, między



R

i 

Q

.

Wtedy R* = Q*.

3. Przybliżamy dystrybuanty F

R

i F

Q

dystrybuantami
zastępczych rozkładów normalnych, tak aby:

f

R

e

(R*) = f

R

(R*)

f

Q

e

(Q*) = f

Q

(Q*)

F

R

e

(R*) = F

R

(R*)

F

Q

e

(Q*) = F

Q

(Q*)

99









)

R

(

F

R

*

R

1

e

R

*

e

R





















)

R

(

F

)

R

(

f

1

*

R

1

*

R

e

R



















)

Q

(

F

)

Q

(

f

1

*

Q

1

*

Q

e
Q



















)

Q

(

F

Q

*

Q

1

e
Q

*

e
Q













Procedura Rackwitza-Fiesslera

4. Obliczamy parametry zastępczych rozkładów

normalnych:

100

5. Obliczmy  na podstawie parametrów

zastępczych rozkładów normalnych:

6. Obliczamy współrzędne nowego punktu

projektowego:

7. Powtarzamy obliczenia począwszy od kroku 2

aż do uzyskania zbieżności wyników.

   

2

e
Q

2

e

R

e
Q

e

R

















 

   

2

e
Q

2

e

R

2

e

R

e

R

*

R

















 

   

2

e
Q

2

e

R

2

e
Q

e
Q

*

Q

















Procedura Rackwitza-Fiesslera

101

Procedura Rackwitza-Fiesslera

Procedura macierzowa:

1. Sformułować funkcję stanu granicznego.

Dla poszczególnych zmiennych losowych X

i

określić rozkłady prawdopodobieństwa
oraz odpowiednie ich parametry.

2. Przyjąć n-1 wartości początkowych zmiennych X

i

uzyskując początkowy punkt projektowy [x

i

*]

(n.p. wybierając wartości średnie).
Rozwiązać równanie stanu granicznego g = 0
względem n-tej zmiennej, dzięki czemu
punkt ten będzie leżał na granicy awarii.

3. Dla każdej wartości x

i

* odpowiadającej zmiennej

o innym rozkładzie niż normalny wyznaczyć
wartość średnią i odchylenie standardowe
zastępczego rozkładu normalnego.

102

4. Określić współrzędne standaryzowane [z

i

*]

punktu projektowego [x

i

*]

5. Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji stanu granicznego

względem współrzędnych standaryzowanych

Procedura Rackwitza-Fiesslera

i

i

X

X

*

i

*

i

x

z









 



























n

2

1

G

G

G

G



projektowy

punkt

i

i

Z

'

g

G









gdzie

103

6. Obliczyć przybliżenie :

W przypadku linowej funkcji stanu granicznego:

Procedura Rackwitza-Fiesslera

 

 

   

G

G

z

G

T

*

T





 



























*

n

*
2

*

1

*

z

z

z

z



gdzie

 



















n

1

i

2

e

i

n

1

i

e

i

0

i

X

i

X

a

a

a

104

7. Wyznaczyć wektor kolumnowy wpółczynników wrażliwości:

8. Wyznaczyć n-1 współrzędnych nowego punktu projektowego

w układzie zmiennych standaryzowanych:

9. Wyznaczyć jego n-1 współrzędnych w układzie początkowym :

Procedura Rackwitza-Fiesslera

e

X

i

e

X

*

i

i

i

x

















i

*

i

z

 

 

   

G

G

G

T

T





105

10. Wyznaczyć wartość n-tej zmiennej losowej

(tj. tej, której nie wyznaczono w kroku 8 i 9)
rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0.

11. Powtarzać kroki 3-10 aż do uzyskania zbieżności

wskaźnika niezawodności  oraz wpółrzędnych

punktu projektowego [x

i

*

].

Procedura Rackwitza-Fiesslera

106

Przykład

• Zastosowanie procedury macierzowej Rackwitza-Fiesslera

w przypadku dwóch zmiennych nieskorelowanych.

Niech R i Q oznaczają nośność i efekt obciążenia.
Funkcja stanu granicznego jest następujaca:

g(R, Q) = R - Q

R - rozkład logarytmiczno-normalny,



R

= 200,



R

= 20

Q - rozkład ekstremalny typu I, 

Q

= 100,



Q

= 12

Obliczyć .

107

Przykład (c.d.)

1. Sformułowaliśmy funkcję stanu granicznego.

Określiliśmy rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych.

2. Punkt początkowy, przyjmujemy arbitralnie: r* = 150

Z równania stanu granicznego g = 0: q* = 150

3. Określamy parametry zastępczych rozkładów normalnych:

- dla zmiennej R, o rozkładzie logarytmiczno-normalnym

0998

,

0

10

95

,

9

1

ln

R

ln

3

2

R

2

R

2

R

ln



































 

29

,

5

5

,

0

ln

2

R

ln

R

R

ln













 

















192

29

,

5

150

ln

1

150

r

ln

1

r

R

ln

*

*

e

R

























0

,

15

0998

,

0

150

*

r

R

ln

e

R











108

Przykład (c.d.)

- dla zmiennej Q, o rozkładzie ekstremalnym typu I

gdzie:

po podstawieniu 

Q

i 

Q

:

a = 0,107 u = 94,6

 













u

q

a

exp

exp

q

F

Q









 

























u

q

a

exp

exp

u

q

a

exp

a

q

f

Q













a

5772

,

0

u

Q







2
Q

2
Q

282

.

1

6

a











 

997

,

0

q

F

*

Q



 

4

*

Q

10

86

,

2

q

f







109

Przykład (c.d.)









5

,

69

)

q

(

F

q

*

Q

1

e
q

*

e
Q































9

,

28

997

,

0

10

86

,

2

1

)

q

(

F

)

Q

(

f

1

1

4

*

Q

1

*

Q

e
Q

























4. Określamy wartości zmiennych standaryzowanych

z

1

* - wartość standaryzowana r*

z

2

* - wartość standaryzowana q*

83

,

2

r

z

*

R

*

R

*

*

1













78

,

2

q

z

*
Q

*
Q

*

*
2











110

Przykład (c.d.)

5. Wyznaczamy wektor [G]:

6. Obliczamy przybliżenie :

e

R

e

R

*

q

*,

r

*}

z

{

1

1

1

R

g

Z

'

g

G

i

























e
Q

e
Q

*

q

*,

r

*}

z

{

2

2

1

Q

g

Z

'

g

G

i

























 

 

   

78

.

3

G

G

z

G

T

*

T







111

Przykład (c.d.)

7. Wyznaczamy wektor {}:

8. Określamy nowe wartości z

i

* dla n-1 zmiennych losowych:

9. Określamy r* na podstawie nowego z

1

*:

10. Określamy q* rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0.

 

 

   















888

,

0

460

,

0

G

G

G

T







74

,

1

460

,

0

78

,

3

z

1

*

1













166

z

r

e

R

*

1

e

R

*











166

r

q

*

*





112

Przykład (c.d.)

11. Powtarzamy kroki iteracji aż do uzyskania zbieżności

wskaźnika  oraz współrzędnych punktu projektowego r* i q*.

168

168

166

q

*

168

168

166

r

*

3.76

3.76

3.78



168

166

150

q

*

168

166

150

r

*

3

2

1

iteracje

113

Metoda Rackwitza-Fiesslera

procedura graficzna

• Stosuje się ją w przypadku dowolnych rozkładów miennych

losowych,
gdy ich dystrybuanty są wykreślone na arkuszu
probabilistycznym.

• Każda zmienna losowa o innym rozkładzie niż normalny

aproksymowana jest rozkładem normalnym, reprezentowanym
na arkuszu probabilistycznym przez linię prostą.

• Wartość dystrybuanty aproksymującego rozkładu normalnego

równa jest
wartości dystrybuanty rozkładu oryginalnego w punkcie
projektowym.

• Zatem, na arkuszu probabilistycznym linia prosta przecina

oryginalną
dystrybuantę w punkcie projektowym.

• Skoro funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest styczna do

dystrybuanty (jako jej pierwsza pochodna), to linia prosta
(aproksymująca) jest styczna do oryginalnej dystrybuanty w
punkcie projektowym.

• Parametry aproksymującego rozkładu normalnego (wartość

średnia
i odchylenie standardowe) mogą być odczytane bezpośrednio z
wykresu.

114

Metoda Rackwitza-Fiesslera

procedura graficzna

Ilustracja graficzna procedury Rackwitza-Fiesslera

R, Q

F

R

F

Q

F

Q

e

F

R

e

styczna do F

R

w punkcie r*

q* = r*



R

e



Q

e



R

e



Q

e

styczna do F

Q

w punkcie q*

115

Przykład

• Przykład zastosowania procedury graficznej

do wyznaczenia wskaźnika niezawodności
dla funkcji stanu granicznego:

g(R, Q) = R - Q

R - nośność
Q - efekt obciążenia

Dystrybuantę zmiennych R i Q wykreślono

na arkuszu probabilistycznym rozkładu normalnego.

116

Ilustracja graficzna zadania

nowy punkt

projektowy

117

Przykład (c.d.)

1. Przyjmujemy wartość początkową

współrzędnej punktu projektowego
na przykład r* = 50 MPa.
Zaznaczamy na wykresach F

Q

i F

R

punkty A i B.

2. Prowadzimy styczne do F

Q

i F

R

w punktach A i B.

3. Bezpośrednio z wykresu odczytujemy:

MPa

56

e

R





MPa

14

e
Q





MPa

5

,

3

e

R





MPa

5

,

14

e
Q





Podstawowe kroki procedury graficznej:

118

Przykład (c.d.)

4. Obliczamy .

5. Wyznaczamy nowy punkt projektowy.

Z równania g = 0 wynika: q* = r*

   

  



82

,

2

6

,

14

5

,

3

14

56

2

2

2

e
Q

2

e

R

e
Q

e

R

























 

   

  



  



MPa

7

,

53

6

,

14

5

,

3

82

,

2

5

,

3

56

r

2

2

2

2

e
Q

2

e

R

2

e

R

e

R

*

























119

Przykład (c.d.)

6. Prowadzimy styczne do F

Q

i F

R

w punktach C i D odpowiadających
nowemu punktowi projektowemu.

7. Bezpośrednio z wykresu odczytujemy :

8. Obliczamy nowy  i współrzędne

nowego punktu projektowego.

9. Powtarzamy iteracje, aż do uzyskania

zbieżności wyników.

MPa

61

e

R





MPa

5

,

11

e
Q





MPa

5

,

6

e

R





MPa

5

,

15

e
Q





94

,

2





MPa

6

,

53

q

r

*

*





120

Procedura Rackwitza-Fiesslera

zmienne losowe skorelowane

• Dotychczas rozważane były funkcje stanów granicznych

o zmiennych losowych nieskorelowanych.

• Jednak w wielu zastosowaniach praktycznych

niektóre zmienne losowe mogą być skorelowane
i korelacja ta może mieć poważny wpływ
na wartość obliczonego wskaźnika niezawodności.

• Problem zmiennych losowych skorelowanych

można rozwiązać dwojako:

121

Procedura Rackwitza-Fiesslera

zmienne losowe skorelowane

1. Zastosować transformację współrzędnych, co może być kłopotliwe

w przypadku iteracji Rackwitza-Fiesslera wykorzystującej
parametry zastępczych rozkładów normalnych.

2. Zmodyfikować procedurę macierzową, wprowadzając

macierz macierz współczynników korelacji []

zmiennych losowych równania stanu granicznego.
Zmodyfikowane wzory przyjmują postać:

 

 

   

G

G

z

G

T

*

T





 

 

    

G

G

z

G

T

*

T







staje się:

staje się:

 

 

   

G

G

G

T





 

  

    

G

G

G

T









122

Przykład

Obliczyć wskaźnik  dla funkcji stanu granicznego:





2

1

2

1

X

2

X

3

X

,

X

g





6

,

16

1

X





8

,

18

2

X





45

,

2

1

X





85

,

2

2

X









0

,

2

X

,

X

Cov

2

1



Skoro brak informacji o rozkładach zmiennych losowych X

1

i X

2

,

należy przyjąć, że są one normalne.

123

1. Sformułowalismy funkcję stanu granicznego.

Określiliśmy rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych.

2. Przyjmujemy początkowy punkt projektowy: X

1

* = 17.

Z równania g = 0 wynika, że: X

2

* = 25,5

3. Określanie parametrów zastępczych rozkładów normalnych

nie jest potrzebne, ponieważ obie zmienne losowe
mają rozkłady normalne.

4. Współrzędne standaryzowane punktu projektowego.

5. Wektor [G]

Przykład (c.d.)

163

,

0

z

*

1



37

,

2

z

*
2



1

1

i

i

X

X

*}

x

{

1

*}

z

{

1

1

3

X

g

Z

'

g

G

























1

1

i

i

X

X

*}

x

{

2

*}

z

{

2

2

2

X

g

Z

'

g

G























124

Przykład (c.d.)

6. Przybliżenie wskaźnika niezawodności 

7. Wektor {}

 































































1

288

,

0

288

,

0

1

1

83

,

2

48

,

2

83

,

2

48

,

2

1

1

1

2

X

,

1

X

Cov

2

X

,

1

X

Cov

1

 

 

    

55

,

1

G

G

z

G

T

*

T









 

  

    



















449

,

0

726

,

0

G

G

G

T

125

Przykład (c.d.)

8. Nowe wartości z

i

* dla n-1 zmiennych losowych:

9. Nowe wartości x

1

* na podstawie nowych z

1

*:

10. Rozwiązując równanie stanu granicznego g = 0.

11. Powtarzamy iteracje, aż do uzyskania zbieżności wyników.







3

,

1

55

,

1

726

,

0

z

1

*

1













8

,

13

z

x

1

1

X

*

i

X

*

1











7

,

20

x

*
2



126

Przykład (c.d.)

Wyniki iteracji (poprawne rozwiązanie uzyskano po jednej iteracji).

20.7

20.7

x

2

*

13.8

13.8

x

1

*

1.55

1.55



20.7

25.5

x

2

*

13.8

17

x

1

*

2

1

iteracje