PRZYBLIŻONE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ

• Odnalezienie „z grubsza” przybliżonej

wartości pierwiastków.

• Uściślenie odnalezionych przybliżeń.
 
 

1

SZACOWANIE PIERWIASTKÓW
”Z GRUBSZA”

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b]
i wartości funkcji f(x) na końcach przedziału [a,b] mają
różne znaki, tzn. f(a) f(b)<0
to między a i b leży przynajmniej jeden pierwiastek
równania f(x)=0

Biorąc różne wartości a i b można zawsze otrzymać
przedział dostatecznie wąski, w którym leżeć będzie
tylko jeden pierwiastek

2

SZACOWANIE PIERWIASTKÓW

METODA GRAFICZNA

Stosowana gdy równanie można przedstawić

w postaci: 

1

(x)= 

2

(x),

przy czym wykresy 

1

i 

2

mogą być łatwo

sporządzone.

Wtedy pierwiastki równania równe są odciętym

punktów przecięcia krzywych y=

1

(x) i y=

2

.

METODA PODSTAWIANIA

3

UŚCIŚLANIE PRZYBLIŻEŃ

WYZNACZANIE JEDYNEGO PIERWIASTKA
RÓWNANIA ALGEBRAICZNEGO NIELINIOWEGO W
ZADANYM PRZEDZIALE

Dane równanie f(x)=0
funkcja f(x) ciągła i ściśle monotoniczna
w przedziale [a,b],
tzn. f’(x) i f”(x) mają stały znak
wtedy w przedziale [a,b] istnieje dokładnie jeden
pierwiastek x* równania f(x)=0

4

UŚCIŚLANIE PRZYBLIŻEŃ

•METODA ITERACJI
•METODA STYCZNYCH (Metoda Newtona)
•METODA CIĘCIW (Interpolacja liniowa)

Rozpoczynamy od znanej wartości
przybliżonej rozwiązania i krok po kroku
wyznaczamy ciąg kolejnych przybliżeń, który
jest możliwie szybko zbieżny do
poszukiwanego rozwiązania

5

METODA ITERACJI

Rozważane równanie przekształcamy do postaci x=



(x)

Mając „grube” przybliżenie x

0

obliczamy jak najbardziej

dokładne przybliżenie pierwiastka x, posługując się
wzorami

x

1

=(x

0

)

x

2

=(x

1

)

.....

x

n+1

=(x

n

)

 

6

METODA ITERACJI

TWIERDZENIE
Niech [a,b] będzie przedziałem izolacji pierwiastka

równania x=(x) i we wszystkich punktach tego

przedziału jest spełniona nierówność

k=const

Jeżeli przy tym zachodzi warunek
to
proces iteracyjny jest zbieżny, przy czym za zerowe

przybliżenie można przyjąć dowolny punkt z
przedziału [a,b]

1

k

x

x

)

x

(

)

x

(

*

*













b

)

x

(

a







7

METODA ITERACJI

WARUNEK DOSTATECZNY ZBIEŻNOŚCI
procesu iteracji

w rozpatrywanym przedziale

Gdy ten warunek nie jest spełniony, to równanie
należy przekształcić (np. funkcja odwrotna)

1

)

x

(





8

METODA STYCZNYCH (Metoda Newtona)

Wyznaczanie kolejnych przybliżeń x

0

, x

1

, x

2

,...,x

n

pierwiastka równania f(x)=0 w przedziale [a,b]

Zakładamy, że funkcja y=f(x) ma pierwszą i drugą
pochodną różną od zera w przedziale

Jeżeli x

0

jest przybliżoną wartością pierwiastka x*

równania f(x)=0 to za przybliżenie dokładniejsze
przyjmuje się

b

x

a





9

METODA STYCZNYCH

.......

(n=0,1,2,…., x

o

– zadane)

)

x

(

f

)

x

(

f

x

x

1

1

1

2







)

x

(

f

)

x

(

f

x

x

n

n

n

1

n









)

x

(

f

)

x

(

f

x

x

0

0

0

1







10

METODA STYCZNYCH

WARUNEK KONIECZNY zbieżności metody
pierwiastek x* jest jednokrotny,
tzn.

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY

k=const

0

)

x

(

f





1

k

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

2

''







11

METODA STYCZNYCH

Warunki zbieżności muszą być spełnione
w otoczeniu rozwiązania x* zawierającym
wszystkie punkty x

n

oraz x*

Jeżeli procedura Newtona jest zbieżna, to
zbieżność jest tak dobra, że w każdym
kolejnym kroku liczba dokładnych miejsc
dziesiętnych ulega w przybliżeniu podwojeniu
– mówimy o tzw. zbieżności kwadratowej

12

METODA STYCZNYCH

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Idea: lokalna aproksymacja krzywej y=f(x)
za pomocą stycznej.
Styczną do krzywej wyprowadzamy z końcowego
punktu przedziału [a,b], za x

0

należy wziąć tę

z liczb a i b, dla której f(x

0

) i f”(x

0

) mają taki sam

znak, czyli

0

)

x

(

"

f

)

x

(

f

0

0



13

METODA STYCZNYCH

Przybliżona wartość pierwiastka to odcięta x

1

punktu, w którym styczna przecina oś OX

Równanie stycznej w punkcie (a, f(a))

Punkt przecięcia z osią OX: y=0 x=x

1

czyli:

)

a

x

)(

a

(

f

)

a

(

f

y









14

)

a

x

)(

a

(

f

)

a

(

f

1









METODA STYCZNYCH

)

a

(

f

)

a

(

f

a

x

)

a

(

f

)

a

(

f

a

)

a

(

f

x

)

a

(

f

)

a

(

f

a

)

a

(

f

x

)

a

(

f

a

)

a

(

f

x

)

a

(

f

1

1

1

1







































15

METODA CIĘCIW (Interpolacja liniowa)

Dane jest równanie f(x)=0
Niech f(x) jest funkcją ciągłą, która na

krańcach przedziału [a,b] przybiera
wartości różniące się znakiem

Zakładamy:
1. Niech f’(x

0

) ma stały znak dla

wtedy f(x) jest ściśle monotoniczna i
przecina oś OX dokładnie jeden raz

2. Niech f”(x

0

)≠0 dla

wtedy linia y=f(x) nie ma punktów
przegięcia w tym przedziale

 

b

,

a

x

0



 

b

,

a

x

0



16

METODA CIĘCIW

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Za przybliżoną wartość pierwiastka zawartego
w przedziale [a,b] przyjmujemy odciętą punktu

przecięcia cięciwy AB z osią OX

17

METODA CIĘCIW

Równanie cięciwy:
prosta przechodząca przez 2 punkty A i B
A(a, f(a)),

B(b, f(b))

Dla y=0 obliczamy x

1

– odciętą punktu

przecięcia cięciwy AB z osią OX

To jest przybliżona wartość pierwiastka x*

)

a

x

(

a

b

)

a

(

f

)

b

(

f

)

a

(

f

y











)

a

(

f

)

b

(

f

a

b

)

a

(

f

a

x

1









18

METODA CIĘCIW

Ten proces powtarzamy, szukając kolejnych
przybliżeń x

2

, x

3

, …, x

n

z następujących

zależności

1. Gdy: f’(x) f”(x)<0 dla x[a,b]

x

n

– ciąg malejący

     

a

f

b

f

a

b

b

f

b

x

0









     

a

f

x

f

a

x

x

f

x

x

n

n

n

n

1

n











     

a

f

x

f

a

x

x

f

x

x

0

0

0

0

1









19

METODA CIĘCIW

2. Gdy: f’(x) f”(x)>0 dla x[a,b]
 

……

x

n

– ciąg rosnący

     

a

f

b

f

a

b

a

f

a

x

0









     

n

n

n

n

1

n

x

f

b

f

x

b

x

f

x

x











     

0

0

0

0

1

x

f

b

f

x

b

x

f

x

x









20

BŁĄD otrzymanego przybliżenia to
moduł różnicy pomiędzy przybliżoną
wartością pierwiastka x

n

a dokładną

wartością pierwiastka x*

gdzie k – kres dolny modułu pochodnej f’(x) w
rozpatrywanym przedziale

k

)

x

(

f

*

x

x

n

n





21

PRZYKŁAD 1

Znaleźć dodatnie rozwiązanie równania
x-sin(2x)=0 metodą stycznych

22

PRZYKŁAD 1

f x

( )

x sin 2x

( )





4



2



0

2

4

4



2



0

2

4

f x

( )

x

23

PRZYKŁAD 1

„Grube” przybliżenie
Metoda podstawiania
f(0,5)=0,5-sin1=-0,3415
f(1)=1-sin2=0,0907

Metoda graficzna
f(x)=x
g(x)=sin(2x)

24

PRZYKŁAD 1

f x

( )

x



g x

( )

sin 2x

( )



10



5



0

5

10

2



0

2

f x

( )

g x

( )

x

25

PRZYKŁAD 1

f x

( )

x



g x

( )

sin 2x

( )



0.5



0

0.5

1

1.5

1



0

1

2

f x

( )

g x

( )

x

26

PRZYKŁAD 1

f x

( )

x



g x

( )

sin 2x

( )



0.5

0.75

1

1.25

1.5

0

0.5

1

1.5

f x

( )

g x

( )

x

27

PRZYKŁAD 1

[a,b]=[0,5; 1]

styczna z punktu x

o

=1

6372

,

3

)

1

(

f

0907

,

0

)

1

(

f

56

,

0

)

5

,

0

(

f

34

,

0

)

5

,

0

(

f

)

x

2

sin(

4

)

x

(

f

)

x

2

cos(

2

1

)

x

(

f



























28

PRZYKŁAD 1

x

0

=1

)

x

2

cos(

2

1

)

x

(

f

)

x

2

sin(

x

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

x

x

0

0

0

1

















0907

,

0

)

1

(

f



8323

,

1

2

cos

2

1

)

1

(

f









9504

,

0

8323

,

1

0907

,

0

1

x

1







29

PRZYKŁAD 1

00008

,

0

8954

,

1

sin

9477

,

0

)

x

(

f

9477

,

0

6481

,

1

0044

,

0

9504

,

0

x

2

2













0044

,

0

)

9008

,

1

sin(

9504

,

0

)

x

(

f

1







6481

,

1

)

9008

,

1

cos(

2

1

)

x

(

f

1









30

PRZYKŁAD 2
Znaleźć dodatnie rozwiązanie równania
4x-5lnx-5=0 metodą iteracji

PRZYKŁAD 3
Znaleźć dodatnie rozwiązanie równania
x

2

+5-e

x

=0 metodą cięciw

31