Ruch drgający

 

 

Rozwiązanie równania oscylatora 

harmonicznego

 

 

Prędkość i przyspieszenie w ruchu 

harmonicznym

 

 

x, v, a w ruchu harmonicznym

 

 

Energia oscylatora harmonicznego

 

 

Energia oscylatora harmonicznego

 

 

Wahadło matematyczne

 

 

Drgania tłumione

(równanie oscylatora harmonicznego 
tłumionego)

0

2

2

0

2

2







x

dt

dx

dt

x

d





 

 

Drgania tłumione – cd.

Dla małych 
tłumień 





2

0

2



 

 





  



,

  

sin

sin

0

0

0





















t

t

A

t

e

A

t

x

t

gdzi
e 

2

2

0











jest częstością drgań 
tłumionych.

Amplituda A(t) = A

0

exp(-

t)

maleje wykładniczo z 
upływem czasu.
Logarytmiczny dekrement 
tłumienia:

 

 





T

e

A

e

A

t

A

t

A

T

t

t

n

n























0

0

1

ln

ln

Całkowita energia oscylatora 
tłumionego:





t

t

t

kA

e

kA

e

A

m

e

A

m

E











2

2

0

2

1

2

2

0

2

2

1

2

0

2

2

1

2

2

















maleje wykładniczo z 
upływem czasu,
bo oscylator wykonuje pracę 
przeciwko sile oporu.

drgania tłumione

drgania 

nietłumione

        (

 < 

0

)

 

 

Drgania wymuszone

















m

k

m

r

2

0

   

,

  

2





 

 

Drgania wymuszone – cd.

Rozwiązanie: 

 













t

A

t

x

cos

Amplituda drgań wymuszonych:









2

2

2

2

0

0

2 













m

F

A

jest maksymalna, gdy 

0





d

dA

co daje częstość, dla której
amplituda drgań wymuszonych
jest maksymalna:

2

2

0

0

max

2

2

0

max

2

  

; 

2





















m

F

A

Gdy 

  0 (małe tłumienie), 

to:  









max

0

max

  

a

    A



Zjawisko rezonansu mechanicznego
Przykłady: rezonans obudów maszyn, rezonans konstrukcji budowlanych



2

 > 



1

 > 



0

 

= 0

0