Ruch drgający

Rozwiązanie równania oscylatora

harmonicznego

Prędkość i przyspieszenie w ruchu

harmonicznym

x, v, a w ruchu harmonicznym

Energia oscylatora harmonicznego

Energia oscylatora harmonicznego

Wahadło matematyczne

Drgania tłumione

(równanie oscylatora harmonicznego
tłumionego)

0

2

2

0

2

2







x

dt

dx

dt

x

d





Drgania tłumione – cd.

Dla małych
tłumień





2

0

2



 

 





  



,

sin

sin

0

0

0





















t

t

A

t

e

A

t

x

t

gdzi
e

2

2

0











jest częstością drgań
tłumionych.

Amplituda A(t) = A

0

exp(-

t)

maleje wykładniczo z
upływem czasu.
Logarytmiczny dekrement
tłumienia:

 

 





T

e

A

e

A

t

A

t

A

T

t

t

n

n























0

0

1

ln

ln

Całkowita energia oscylatora
tłumionego:





t

t

t

kA

e

kA

e

A

m

e

A

m

E











2

2

0

2

1

2

2

0

2

2

1

2

0

2

2

1

2

2

















maleje wykładniczo z
upływem czasu,
bo oscylator wykonuje pracę
przeciwko sile oporu.

drgania tłumione

drgania

nietłumione

(

 < 

0

)

Drgania wymuszone

















m

k

m

r

2

0

,

2





Drgania wymuszone – cd.

Rozwiązanie:

 













t

A

t

x

cos

Amplituda drgań wymuszonych:









2

2

2

2

0

0

2 













m

F

A

jest maksymalna, gdy

0





d

dA

co daje częstość, dla której
amplituda drgań wymuszonych
jest maksymalna:

2

2

0

0

max

2

2

0

max

2

;

2





















m

F

A

Gdy

  0 (małe tłumienie),

to:









max

0

max

a

A



Zjawisko rezonansu mechanicznego
Przykłady: rezonans obudów maszyn, rezonans konstrukcji budowlanych



2

>



1

>



0

= 0

0