METODY i narzędzia WD
Wykład nr 2
Prognozowanie na podstawie modeli
szeregów czasowych
METODY i narzędzia WD
Wykład nr 2
Prognozowanie na podstawie modeli
szeregów czasowych
Modele szeregów czasowych (1)
Metoda analizy i prognozowania szeregów
Metoda analizy i prognozowania szeregów
czasowych
czasowych
Do prognozowania przyszłych wartości
Do prognozowania przyszłych wartości
zmiennej wykorzystuje się jedynie przeszłe
zmiennej wykorzystuje się jedynie przeszłe
wartości zmiennej prognozowanej i czas.
wartości zmiennej prognozowanej i czas.
Model szeregu czasowego można zapisać
Model szeregu czasowego można zapisać
ogólnie następująco
ogólnie następująco
)
,
,...,
,
,
(
2
1
t
p
t
t
t
t
Y
Y
Y
t
F
Y
gdzie:
gdzie:
t
cza
cza
s
s,
p
wielkość
wielkość
opóźnienia,
opóźnienia,
t
czynnik
czynnik
losowy,
losowy,
Zakłada się, że powyższa zależność będzie trwała
Zakłada się, że powyższa zależność będzie trwała
również w okresie prognozowania.
również w okresie prognozowania.
Modele szeregów czasowych (2)
f(t)
f(t)
– funkcja trendu (tendencja rozwojowa)
– funkcja trendu (tendencja rozwojowa)
g(t)
g(t)
– funkcja reprezentująca wahania sezonowe
– funkcja reprezentująca wahania sezonowe
h(t)
h(t)
– funkcja odpowiadająca wahaniom
– funkcja odpowiadająca wahaniom
cyklicznym
cyklicznym
t
t
- składnik losowy
- składnik losowy
Model multiplikatywny
Model multiplikatywny
t
t
t
h
t
g
t
f
y
)
(
)
(
)
(
Model addytywny
Model addytywny
t
t
t
h
t
g
t
f
y
)
(
)
(
)
(
W powyższych zapisach przyjmuje się, że
W powyższych zapisach przyjmuje się, że
jedyną zmienną objaśniającą jest czas.
jedyną zmienną objaśniającą jest czas.
Modele szeregów czasowych (3)
Tendencja rozwojowa
Tendencja rozwojowa
, zwana trendem,
, zwana trendem,
odzwierciedla długookresową skłonność do
odzwierciedla długookresową skłonność do
jednokierunkowych zmian (wzrostu lub spadku)
jednokierunkowych zmian (wzrostu lub spadku)
wartości badanej zmiennej. Jest rozpatrywana jako
wartości badanej zmiennej. Jest rozpatrywana jako
konsekwencja stałego zestawu czynników.
konsekwencja stałego zestawu czynników.
Wahania sezonowe
Wahania sezonowe
są wahaniami wartości
są wahaniami wartości
obserwowanej zmiennej wokół tendencji
obserwowanej zmiennej wokół tendencji
rozwojowej. Wahania te powtarzają się w przedziale
rozwojowej. Wahania te powtarzają się w przedziale
czasu nie przekraczającym jednego roku. Powstają
czasu nie przekraczającym jednego roku. Powstają
na skutek zmian pór roku, powtarzających się
na skutek zmian pór roku, powtarzających się
miesięcy urlopowych, wzmożonych zakupów
miesięcy urlopowych, wzmożonych zakupów
świątecznych itp.
świątecznych itp.
Wahania cykliczne
Wahania cykliczne
wyrażają się w postaci
wyrażają się w postaci
długookresowych, powtarzających się rytmicznie w
długookresowych, powtarzających się rytmicznie w
przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahań
przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahań
wartości zmiennej wokół tendencji rozwojowej.
wartości zmiennej wokół tendencji rozwojowej.
Związane np. z cyklami koniunkturalnymi
Związane np. z cyklami koniunkturalnymi
gospodarki.
gospodarki.
Modele trendu (1)
Rozpatrywane będą modele szeregów czasowych
Rozpatrywane będą modele szeregów czasowych
postaci:
postaci:
lub
lub
Zmienna czasowa nie jest bezpośrednia
Zmienna czasowa nie jest bezpośrednia
przyczyna zmian zachodzących w wartościach
przyczyna zmian zachodzących w wartościach
zmiennej prognozowanej, ale syntetyzuje wpływ
zmiennej prognozowanej, ale syntetyzuje wpływ
bliżej nie znanych czynników.
bliżej nie znanych czynników.
Zadanie wyznaczenia funkcji
Zadanie wyznaczenia funkcji
f(t)
f(t)
wygładzaniem
wygładzaniem
(wyrównywaniem) szeregu czasowego.
(wyrównywaniem) szeregu czasowego.
Zakładamy, że spełnia warunki:
Zakładamy, że spełnia warunki:
t
t
t
f
y
)
(
t
t
t
f
y
)
(
t
t
dla
E
E
E
t
t
t
0
}
{
,
}
{
,
0
}
{
2
2
Modele trendu (2)
Podstawowe metody wygładzania:
Podstawowe metody wygładzania:
Metoda graficzna,
Metoda graficzna,
Metoda krzywych wzrostu.
Metoda krzywych wzrostu.
Metoda średnich ruchomych,
Metoda średnich ruchomych,
Metoda
Metoda
graficzna polega na obserwacji położenia na
graficzna polega na obserwacji położenia na
wykresie punktów zarejestrowanego szeregu
wykresie punktów zarejestrowanego szeregu
czasowego i ocenie jaka postać funkcji trendu
czasowego i ocenie jaka postać funkcji trendu
najlepiej do niego pasuje. Po wyborze określonej
najlepiej do niego pasuje. Po wyborze określonej
postaci funkcji, dokonujemy estymacji parametrów, a
postaci funkcji, dokonujemy estymacji parametrów, a
następnie możemy dokonać statystycznej weryfikacji
następnie możemy dokonać statystycznej weryfikacji
jakości (dopasowania do danych historycznych)
jakości (dopasowania do danych historycznych)
wybranego modelu.
wybranego modelu.
Metoda krzywych wzrostu polega na wyznaczeniu
Metoda krzywych wzrostu polega na wyznaczeniu
analitycznej postaci funkcji trendu na podstawie
analitycznej postaci funkcji trendu na podstawie
budowy równania różnicowego (różniczkowego)
budowy równania różnicowego (różniczkowego)
wyrażającego naszą wiedzę o o mechanizmie rozwoju
wyrażającego naszą wiedzę o o mechanizmie rozwoju
interesującej nas zmiennej.
interesującej nas zmiennej.
Modele trendu (3)
Najczęstszą postacią funkcji trendu jest funkcja
Najczęstszą postacią funkcji trendu jest funkcja
liniowa:
liniowa:
która reprezentuje stały kierunek rozwoju danego
która reprezentuje stały kierunek rozwoju danego
zjawiska, wyznaczony przez współczynnik
zjawiska, wyznaczony przez współczynnik
kierunkowy prostej (
kierunkowy prostej (
). Parametr ten jest
). Parametr ten jest
współczynnikiem stałego przyrostu wartości
współczynnikiem stałego przyrostu wartości
zmiennej w jednostce czasu:
zmiennej w jednostce czasu:
t
t
f
)
(
)
1
(
)
(
t
f
t
f
Modele trendu (4)
Funkcja liniowa nie odpowiada sytuacji
Funkcja liniowa nie odpowiada sytuacji
zmieniającej się szybkości wzrostu. Dla
zmieniającej się szybkości wzrostu. Dla
szybkości wzrastających właściwsze może być
szybkości wzrastających właściwsze może być
zastosowanie funkcji wykładniczej postaci:
zastosowanie funkcji wykładniczej postaci:
(a)
(a)
lub w postaci:
lub w postaci:
(b)
(b)
Przykładowy wykres funkcji wykładniczej typu (b):
Przykładowy wykres funkcji wykładniczej typu (b):
0
,
)
(
t
e
t
f
1
,
0
,
)
(
t
t
f
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
12
14
5
.
1
2
Modele trendu (5)
Własnością tych funkcji trendu jest stałe tempo
Własnością tych funkcji trendu jest stałe tempo
wzrostu:
wzrostu:
(a)
(a)
oraz
oraz
(b)
(b)
100
1
100
1
100
1
)
1
(
1
wz
t
t
t
t
wz
t
y
y
t
100
1
100
1
100
1
)
1
(
1
e
t
e
e
y
y
t
wz
t
t
t
t
wz
Modele trendu (6)
Omówione wyżej funkcje wykładnicze można
Omówione wyżej funkcje wykładnicze można
zidentyfikować graficznie. Jeśli dane empiryczne
zidentyfikować graficznie. Jeśli dane empiryczne
naniesione na wykres o współrzędnych (
naniesione na wykres o współrzędnych (
t
t
, ln
, ln
f(t)
f(t)
)
)
będą układać się wokół prostej, to można do ich
będą układać się wokół prostej, to można do ich
opisu zastosować jedną z funkcji wykładniczych.
opisu zastosować jedną z funkcji wykładniczych.
Wynika to z następujących przekształceń:
Wynika to z następujących przekształceń:
Przyjmując oznaczenia:
Przyjmując oznaczenia:
ostatecznie otrzymujemy:
ostatecznie otrzymujemy:
'
'
)
(
t
t
g
ln
ln
)
(
ln
,
)
(
t
t
f
t
f
t
ln
,
ln
),
(
ln
)
(
'
'
t
f
t
g
Modele trendu (7)
(c) funkcji potęgowej
(c) funkcji potęgowej
Funkcje potęgową można zastosować wówczas,
Funkcje potęgową można zastosować wówczas,
gdy dane empiryczne układają się wokół prostej
gdy dane empiryczne układają się wokół prostej
dla układu współrzędnych (ln
dla układu współrzędnych (ln
t
t
, ln
, ln
f(t)
f(t)
).
).
0
,
1
,
)
(
t
t
f
2
4
6
8
10
2.5
5
7.5
10
12.5
15
5
,
1
5
,
0
5
,
1
5
,
0
5
,
1
5
,
0
Modele trendu (8)
(d) wielomian drugiego stopnia:
(d) wielomian drugiego stopnia:
którego zaleta jest większa elastyczność w
którego zaleta jest większa elastyczność w
dopasowaniu do danych, dzięki posiadaniu
dopasowaniu do danych, dzięki posiadaniu
trzech parametrów.
trzech parametrów.
W przypadku zjawiska dla których tempo
W przypadku zjawiska dla których tempo
wzrostu jest coraz wolniejsze, stosuje się jako
wzrostu jest coraz wolniejsze, stosuje się jako
modele trendu funkcje:
modele trendu funkcje:
(a) logarytmiczną:
(a) logarytmiczną:
0
,
)
(
2
2
2
1
0
t
t
t
f
0
),
1
ln(
)
(
t
t
f
Modele trendu (9)
Jej wykresem w układzie współrzędnych (ln
Jej wykresem w układzie współrzędnych (ln
t
t
,
,
f(t)
f(t)
) jest linia prosta.
) jest linia prosta.
(b) potęgową, ale ze zmienionym zakresem
(b) potęgową, ale ze zmienionym zakresem
parametru
parametru
:
:
© ilorazową:
© ilorazową:
0
,
1
0
,
)
(
t
t
f
0
,
,
)
(
t
t
t
f
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
,
1
2
Modele trendu (10)
Często przebieg zjawisk obserwowanych w długim
Często przebieg zjawisk obserwowanych w długim
okresie czasu charakteryzuje się występowaniem
okresie czasu charakteryzuje się występowaniem
kilku faz rozwoju. Może to dotyczyć np. popytu na
kilku faz rozwoju. Może to dotyczyć np. popytu na
nowy produkt. W fazie początkowej tempo wzrostu
nowy produkt. W fazie początkowej tempo wzrostu
popytu rośnie, w fazie drugiej tempo wzrostu maleje
popytu rośnie, w fazie drugiej tempo wzrostu maleje
aż do uzyskania przez popyt stałego poziomu. W
aż do uzyskania przez popyt stałego poziomu. W
ostatniej fazie popyt na produkt spada. Poszczególne
ostatniej fazie popyt na produkt spada. Poszczególne
fazy życia produktu można modelować różnymi
fazy życia produktu można modelować różnymi
funkcjami. Istnieje jednak funkcja, która pozwala
funkcjami. Istnieje jednak funkcja, która pozwala
opisać trzy pierwsze fazy ewolucji popytu. Jest to
opisać trzy pierwsze fazy ewolucji popytu. Jest to
funkcja logistyczna:
funkcja logistyczna:
Inne zastosowania f.log.:liczność populacji organizmów
Inne zastosowania f.log.:liczność populacji organizmów
w ograniczonej przestrzeni, rozwój nowych gałęzi
w ograniczonej przestrzeni, rozwój nowych gałęzi
przemysłu.
przemysłu.
1
,
0
,
,
1
)
(
t
e
t
f
Modele trendu (11)
2
4
6
8
10
12
14
t
0.5
1
1.5
2
f
5
,
0
8
2
1
,
0
,
,
1
)
(
t
e
t
f
Modele trendu (12)
Funkcje postaci
Funkcje postaci
nazywa się funkcjami liniowymi względem
nazywa się funkcjami liniowymi względem
parametrów. Dla funkcji tej postaci, albo do niej
parametrów. Dla funkcji tej postaci, albo do niej
sprowadzalnych, można metodą najmniejszych
sprowadzalnych, można metodą najmniejszych
kwadratów (najmniejszej sumy kwadratów)
kwadratów (najmniejszej sumy kwadratów)
wyznaczyć estymatory parametrów oraz
wyznaczyć estymatory parametrów oraz
wyznaczyć wartości wskaźników
wyznaczyć wartości wskaźników
ex ante
ex ante
błędów prognoz uzyskiwanych za ich pomocą.
błędów prognoz uzyskiwanych za ich pomocą.
Wszystkie, poza logistyczną, funkcje wymienione
Wszystkie, poza logistyczną, funkcje wymienione
wcześniej są sprowadzalne do postaci funkcji
wcześniej są sprowadzalne do postaci funkcji
liniowej względem parametrów.
liniowej względem parametrów.
R
m
R
j
h
a
a
x
x
h
x
x
f
j
k
j
m
j
m
:
:
gdzie
)
,..,
(
)
,..,
(
0
1
1
1
Estymacja parametrów modelu
trendu (1)
Rozpatrujemy model postaci:
Rozpatrujemy model postaci:
Dla oszacowania parametrów modelu na podstawie
Dla oszacowania parametrów modelu na podstawie
zaobserwowanego szeregu czasowego (
zaobserwowanego szeregu czasowego (
t, y
t, y
t
t
)
)
dla
dla
t=1,..,n
t=1,..,n
będziemy wykorzystywali metodę
będziemy wykorzystywali metodę
najmniejszych kwadratów (MNK) polegającą na
najmniejszych kwadratów (MNK) polegającą na
rozwiązaniu następującego zadania optymalizacji:
rozwiązaniu następującego zadania optymalizacji:
gdzie: , a
gdzie: , a
y
y
t
t
realizacja zmiennej
realizacja zmiennej
Y
Y
t,
t,
a
a
wartość teoretyczna (modelowa) zmiennej.
wartość teoretyczna (modelowa) zmiennej.
2
1
,
1
2
,
)
(
(
min
)
ˆ
(
min
t
y
e
n
t
t
n
t
t
t
t
t
Y
t
t
t
y
y
e
ˆ
t
yˆ
t
y
t
ˆ
Estymacja parametrów modelu
trendu (2)
0
ˆ
)
(
,
0
ˆ
)
(
1
2
1
2
n
t
n
t
t
t
e
e
W celu
W celu
wyznaczenia rozwiązania zadania (*)
wyznaczenia rozwiązania zadania (*)
wykonujemy następujące obliczenia:
wykonujemy następujące obliczenia:
czyli:
czyli:
zatem
zatem
)
ˆ
ˆ
(
2
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
ˆ
)
(
1
2
1
1
2
t
y
t
y
e
n
t
t
n
t
t
n
t
t
0
czyli
0
)
ˆ
ˆ
(
1
1
n
t
t
n
t
t
e
t
y
Estymacja parametrów modelu
trendu (3)
Dalej:
Dalej:
)
ˆ
ˆ
(
2
ˆ
)
(
1
1
2
t
y
t
e
n
t
t
n
t
t
stąd
stąd
0
czyli
0
)
ˆ
ˆ
(
1
1
n
t
t
n
t
t
te
t
y
t
Ostatecznie otrzymujemy tzw. układ
Ostatecznie otrzymujemy tzw. układ
równań normalnych:
równań normalnych:
Estymacja parametrów modelu
trendu (4)
ˆ
ˆ
n
|:
ˆ
ˆ
1
2
1
1
1
1
n
t
n
t
n
t
t
n
t
n
t
t
t
t
ty
t
n
y
stąd
t
y
t
n
t
y
n
y
t
n
y
n
n
t
n
t
t
n
t
n
t
t
ˆ
ˆ
1
,
1
1
ˆ
ˆ
1
1
1
1
1
zatem
t
y
ˆ
ˆ
Estymacja parametrów modelu
trendu (5)
n
t
n
t
t
n
t
t
n
t
y
t
n
ty
t
n
t
1
2
2
1
1
ˆ
stąd
stąd
2
1
1
1
2
2
1
)
(
/
)
)(
(
/
ˆ
t
t
y
y
t
t
t
n
t
y
t
n
ty
n
t
t
n
t
n
t
n
t
t
Prognozy punktowe – liniowy model
trendu
Budując prognozy przy użyciu wyznaczonego
Budując prognozy przy użyciu wyznaczonego
modelu trendu należy przyjąć następujące
modelu trendu należy przyjąć następujące
założenia:
założenia:
Dla okresu prognozy, postać funkcji nie ulegnie
Dla okresu prognozy, postać funkcji nie ulegnie
zmianie,
zmianie,
Występuje stabilność rozkładu składnika losowego .
Występuje stabilność rozkładu składnika losowego .
Wykorzystujemy model postaci:
Wykorzystujemy model postaci:
Prognozę wartości zmiennej
Prognozę wartości zmiennej
Y
Y
t
t
dla przyszłej chwili
dla przyszłej chwili
> t
> t
wyznaczamy według reguły podstawowej:
wyznaczamy według reguły podstawowej:
t
t
t
t
Y
*
*
}
|
{
}
|
{
y
E
X
Y
E
y
Prognozy punktowe – liniowy model
trendu
Ponieważ
Ponieważ
i
i
nie są znane, posługujemy się ich
nie są znane, posługujemy się ich
estymatorami, wyznaczonymi wcześniej metodą
estymatorami, wyznaczonymi wcześniej metodą
MNK . Oznacza to, że uzyskujemy prognozę postaci:
MNK . Oznacza to, że uzyskujemy prognozę postaci:
Duża litera
Duża litera
Y
Y
oznacza, że jest to zmienna losowa.
oznacza, że jest to zmienna losowa.
Wynika to z faktu, że posługujemy się estymatorami
Wynika to z faktu, że posługujemy się estymatorami
, a nie dokładnymi wartościami tych parametrów.
, a nie dokładnymi wartościami tych parametrów.
Powyższa prognoza jest prognozą punktową. Do oceny
Powyższa prognoza jest prognozą punktową. Do oceny
jej dokładności można wykorzystać błąd prognozy ex
jej dokładności można wykorzystać błąd prognozy ex
ante:
ante:
Biorąc pod uwagę liniową funkcję trendu otrzymujemy:
Biorąc pod uwagę liniową funkcję trendu otrzymujemy:
ˆ
ˆ
*
Y
ˆ
,
ˆ
*
'
Y
Y
U
Prognozy punktowe – liniowy model
trendu
)
ˆ
(
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
'
'
U
U
Zatem:
Zatem:
ponieważ, estymatory parametrów
ponieważ, estymatory parametrów
wyznaczone MNK są nieobciążone, czyli:
wyznaczone MNK są nieobciążone, czyli:
Wariancja błędu wynosi:
Wariancja błędu wynosi:
0
}
{
)
ˆ
(
)
ˆ
(
}
{
'
E
E
E
U
E
}
ˆ
{
,
}
ˆ
{
E
E
'
U
Prognozy punktowe – liniowy model
trendu
}
{
)
ˆ
,
ˆ
cov(
2
}
ˆ
{
}
ˆ
{
}
{
'
V
V
V
U
V
Można pokazać, że:
Można pokazać, że:
Wariancję
Wariancję
2
2
szacuje się za pomocą następującego
szacuje się za pomocą następującego
estymatora:
estymatora:
2
2
1
2
2
2
'
)
(
)
(
1
}
{
n
t
t
t
t
n
U
V
n
t
t
e
n
S
1
2
2
2
1
Prognozy punktowe – liniowy model
trendu
Zatem, estymator wariancji błędu (błędu
Zatem, estymator wariancji błędu (błędu
średniego prognozy) ma postać:
średniego prognozy) ma postać:
Wyznaczony estymator jest nieobciążony i
Wyznaczony estymator jest nieobciążony i
zgodny. Przyjmując oznaczenia:
zgodny. Przyjmując oznaczenia:
otrzymujemy zależność na estymator względnego
otrzymujemy zależność na estymator względnego
błędu średniego predykcji.
błędu średniego predykcji.
2
1
2
2
2
'
2
)
(
)
(
1
}
{
ˆ
ˆ
S
t
t
t
n
S
U
V
n
t
*
*
2
ˆ
ˆ
ˆ
Y
Y
Prognozy punktowe – liniowy model
trendu
Jego wartość
Jego wartość
(realizacja ) może być wykorzystana
(realizacja ) może być wykorzystana
do określenia dopuszczalności prognozy.
do określenia dopuszczalności prognozy.
Przyjmując, że mamy daną z góry (przyjęta na
Przyjmując, że mamy daną z góry (przyjęta na
pierwszym etapie procesu prognostycznego)
pierwszym etapie procesu prognostycznego)
wartość
wartość
> 0, prognozę uznamy za dopuszczalną,
> 0, prognozę uznamy za dopuszczalną,
jeśli spełniony będzie warunek:
jeśli spełniony będzie warunek:
ˆ
Prognozy – nieliniowy model trendu
(1)
Kolejnym zagadnieniem jest wyznaczanie
Kolejnym zagadnieniem jest wyznaczanie
prognozy punktowej oraz jej dokładności dla
prognozy punktowej oraz jej dokładności dla
nieliniowych funkcji trendu. Rozpatrywaliśmy
nieliniowych funkcji trendu. Rozpatrywaliśmy
model zmiennej
model zmiennej
Y
Y
t
t
postaci:
postaci:
addytywnej
addytywnej
multiplikatywnej
multiplikatywnej
Zatem prognoza dla chwili ma postać:
Zatem prognoza dla chwili ma postać:
dla obu modeli. Na postawie danych
dla obu modeli. Na postawie danych
historycznych, estymujemy parametry funkcji
historycznych, estymujemy parametry funkcji
trendu i postać prognozy jest następująca:
trendu i postać prognozy jest następująca:
t
t
t
f
Y
)
(
t
dla
E
V
E
t
f
Y
t
t
t
t
t
t
,
0
}
{
,
}
{
,
1
}
{
,
)
(
t
)
(
}
|
{
*
f
X
Y
E
y
t
)
(
ˆ
*
f
Y
Prognozy – nieliniowy model trendu
(2)
gdzie: - funkcja trendu z estymatorami
gdzie: - funkcja trendu z estymatorami
parametrów, w
parametrów, w
modelu liniowym
modelu liniowym
Estymacja parametrów modelu nieliniowego i
Estymacja parametrów modelu nieliniowego i
prognoza przy jego zastosowaniu odbywa się
prognoza przy jego zastosowaniu odbywa się
według następującego schematu:
według następującego schematu:
•
linearyzacja funkcji trendu,
linearyzacja funkcji trendu,
•
przekształcenie szeregu czasowego,
przekształcenie szeregu czasowego,
•
estymacja parametrów zlinearyzowanej funkcji
estymacja parametrów zlinearyzowanej funkcji
trendu,
trendu,
•
wyznaczenie wartości estymatorów parametrów
wyznaczenie wartości estymatorów parametrów
nieliniowej funkcji trendu,
nieliniowej funkcji trendu,
•
wyznaczenie prognozy dla modelu
wyznaczenie prognozy dla modelu
zlinearyzowanego,
zlinearyzowanego,
•
wyznaczenie prognozy dla modelu nieliniowego.
wyznaczenie prognozy dla modelu nieliniowego.
fˆ
ˆ
ˆ
)
(
ˆf
Prognozy – nieliniowy model trendu
(3)
Wykładniczy model trendu (a)
Wykładniczy model trendu (a)
Model:
Model:
Linearyzacja:
Linearyzacja:
Transformacja zmiennych:
Transformacja zmiennych:
Przekształcenie szeregu czasowego:
Przekształcenie szeregu czasowego:
Estymacja MNK parametrów modelu
Estymacja MNK parametrów modelu
zlinearyzowanego, na podstawie
zlinearyzowanego, na podstawie
przekształconego szeregu czasowego.
przekształconego szeregu czasowego.
0
,
t
e
e
Y
t
t
t
t
t
Y
ln
)
ln
,
(
)
~
,
(
t
t
y
t
y
t
t
t
Y
Y ln
~
ˆ
,
ˆ
Prognozy – nieliniowy model trendu
(4)
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej
Prognoza zmiennej
Y
Y
t
t
:
:
Wykładniczy model trendu (b)
Wykładniczy model trendu (b)
Model:
Model:
Linearyzacja:
Linearyzacja:
ˆ
ˆ
~
*
Y
ˆ
ˆ
~
*
*
e
e
Y
Y
t
e
Y
t
t
t
t
t
Y
ln
ln
ln
Prognozy – nieliniowy model trendu
(5)
Transformacja zmiennych:
Transformacja zmiennych:
Model zlinearyzowany:
Model zlinearyzowany:
Przekształcenie szeregu czasowego:
Przekształcenie szeregu czasowego:
Estymacja MNK parametrów modelu
Estymacja MNK parametrów modelu
zlinearyzowanego, na podstawie
zlinearyzowanego, na podstawie
przekształconego szeregu czasowego.
przekształconego szeregu czasowego.
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej
Prognoza zmiennej
Y
Y
t
t
:
:
ˆ
~
ˆ
~
~
*
Y
ˆ
~
ˆ
~
~
*
*
e
e
Y
Y
ln
~
,
ln
~
,
ln
~
t
t
Y
Y
t
t
t
Y
~
~
~
)
ln
,
(
)
~
,
(
t
t
y
t
y
t
ˆ
~
,
ˆ
~
Prognozy – nieliniowy model trendu
(6)
Potęgowy model trendu
Potęgowy model trendu
Model:
Model:
Linearyzacja:
Linearyzacja:
Transformacja zmiennych:
Transformacja zmiennych:
Model zlinearyzowany:
Model zlinearyzowany:
Przekształcenie szeregu czasowego:
Przekształcenie szeregu czasowego:
0
,
,
t
e
t
Y
t
t
t
t
Y
ln
ln
ln
)
ln
,
(ln
)
~
,
~
(
t
t
y
t
y
t
,
ln
~
,
ln
~
,
ln
~
t
t
Y
Y
t
t
t
t
t
Y
~
~
~
Prognozy – nieliniowy model trendu
(7)
Estymacja MNK parametrów modelu
Estymacja MNK parametrów modelu
zlinearyzowanego, na podstawie
zlinearyzowanego, na podstawie
przekształconego szeregu czasowego.
przekształconego szeregu czasowego.
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej
Prognoza zmiennej
Y
Y
t
t
:
:
~
ˆ
ˆ
~
~
*
Y
ˆ
ˆ
~
~
*
*
e
e
Y
Y
ˆ
,
ˆ
~
Prognozy – nieliniowy model trendu
(8)
Ilorazowy model trendu
Ilorazowy model trendu
Model:
Model:
Linearyzacja:
Linearyzacja:
Transformacja zmiennych:
Transformacja zmiennych:
Model zlinearyzowany:
Model zlinearyzowany:
Przekształcenie szeregu czasowego:
Przekształcenie szeregu czasowego:
0
,
,
t
t
t
t
Y
t
t
t
Y
t
1
1
)
/
1
,
/
1
(
)
~
,
~
(
t
t
y
t
y
t
t
t
Y
Y
t
t
1
~
,
~
,
1
~
,
1
~
t
t
t
Y
~
~
~
Prognozy – nieliniowy model trendu
(9)
Estymacja MNK parametrów modelu
Estymacja MNK parametrów modelu
zlinearyzowanego, na podstawie
zlinearyzowanego, na podstawie
przekształconego szeregu czasowego.
przekształconego szeregu czasowego.
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:
Prognoza zmiennej
Prognoza zmiennej
Y
Y
t
t
:
:
~
ˆ
~
ˆ
~
~
*
Y
*
*
~
1
Y
Y
ˆ
~
,
ˆ
~
Oszacowanie błędu średniego
prognozy (wariancji) dla nieliniowej
funkcji trendu
Linearyzacja modelu trendu polega na dokonaniu
Linearyzacja modelu trendu polega na dokonaniu
pewnego przekształcenia typu:
pewnego przekształcenia typu:
Przekształcenie to wykorzystujemy do określenia
Przekształcenie to wykorzystujemy do określenia
zależności na błąd średni prognozy (wariancję
zależności na błąd średni prognozy (wariancję
prognozy):
prognozy):
wariancja prognozy dla trendu liniowego
wariancja prognozy dla trendu liniowego
(zlinearyzowanego)
(zlinearyzowanego)
)
ln
~
:.
(
)
(
~
t
t
t
t
y
y
np
y
g
y
2
'
'
2
*
|
~
)
~
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
y
dy
y
d
U
V
U
V
)
~
(
ˆ
'
U
V
*
ln
1
|
1
|
ln
|
)
(
|
~
*
*
*
*
y
y
dy
y
d
dy
y
dg
dy
y
d
y
y
g
y
y
Prognoza przedziałowa (1)
Prognoza przedziałowa polega na wyznaczeniu
Prognoza przedziałowa polega na wyznaczeniu
takiego przedziału, do którego z zadanym
takiego przedziału, do którego z zadanym
prawdopodobieństwem będzie należała przyszła
prawdopodobieństwem będzie należała przyszła
wartość zmiennej prognozowanej. Formalnie
wartość zmiennej prognozowanej. Formalnie
można zapisać to następująco:
można zapisać to następująco:
I
I
p
p
– prognozowany przedział,
– prognozowany przedział,
-
-
prawdopodobieństwo znalezienia się przyszłej
prawdopodobieństwo znalezienia się przyszłej
wartości zmiennej
wartości zmiennej
Y
Y
w przedziale
w przedziale
I
I
p
p
.
.
Do konstrukcji prognozy przedziałowej
Do konstrukcji prognozy przedziałowej
konieczna jest znajomość rozkładu zmiennej
konieczna jest znajomość rozkładu zmiennej
Y
Y
w
w
chwili
chwili
.
.
Rozpatrzmy model addytywny z liniową funkcją
Rozpatrzmy model addytywny z liniową funkcją
trendu:
trendu:
}
{
p
I
Y
P
t
t
t
Y
Prognoza przedziałowa (2)
Oprócz dotychczasowych założeń o składniku
Oprócz dotychczasowych założeń o składniku
losowym:
losowym:
przyjmujemy dodatkowo, że:
przyjmujemy dodatkowo, że:
Przy powyższych założeniach można wykazać, że:
Przy powyższych założeniach można wykazać, że:
oraz
oraz
rozkład t-Studenta z n-2
rozkład t-Studenta z n-2
stopniami
stopniami
swobody (n- liczba
swobody (n- liczba
elementów szeregu
elementów szeregu
czasowego)
czasowego)
Zatem, prognozę przedziałową można wyznaczyć
Zatem, prognozę przedziałową można wyznaczyć
według opisanej dalej procedury.
według opisanej dalej procedury.
t
dla
E
E
E
t
t
t
0
}
{
,
}
{
,
0
}
{
2
2
)
,
0
(
~
N
)
ˆ
,
0
(
~
*
'
N
Y
Y
U
2
'
~
ˆ
n
t
U
Prognoza przedziałowa (3)
Z tablic rozkładu t-Studenta można odczytać
Z tablic rozkładu t-Studenta można odczytać
wartość taką, że:
wartość taką, że:
Powyższą zależność można zapisać w postaci:
Powyższą zależność można zapisać w postaci:
dalej:
dalej:
czyli:
czyli:
2
,
1
n
t
2
,
1
'
ˆ
n
t
U
P
2
,
1
'
2
,
1
ˆ
n
n
t
U
t
P
2
,
1
*
2
,
1
ˆ
n
n
t
Y
Y
t
P
2
,
1
*
2
,
1
*
ˆ
ˆ
n
n
t
Y
Y
t
Y
P
Prognoza przedziałowa (4)
Zatem ostatecznie:
Zatem ostatecznie:
Jeśli założenie, że
Jeśli założenie, że
nie jest adekwatne
nie jest adekwatne
do posiadanych danych rzeczywistych, to do
do posiadanych danych rzeczywistych, to do
wyznaczenia prognozy przedziałowej można
wyznaczenia prognozy przedziałowej można
wykorzystać znaną z rachunku
wykorzystać znaną z rachunku
prawdopodobieństwa nierówność Czebyszewa:
prawdopodobieństwa nierówność Czebyszewa:
W naszym modelu można zapisać to następująco:
W naszym modelu można zapisać to następująco:
2
,
1
*
2
,
1
*
ˆ
,
ˆ
n
n
p
t
Y
t
Y
I
)
,
0
(
~
N
2
1
1
u
u
EY
Y
P
Y
2
*
*
*
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
u
u
Y
Y
u
Y
P
u
Y
Y
P
Prognoza przedziałowa (5)
Dla zadanej wartości
Dla zadanej wartości
trzeba wyznaczyć u>0
trzeba wyznaczyć u>0
spełniające zależność:
spełniające zależność:
1
1
1
1
2
u
u
Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (1)
Jakość modelu, rozumianą jako dopasowanie do
Jakość modelu, rozumianą jako dopasowanie do
danych empirycznych (historycznych) w postaci
danych empirycznych (historycznych) w postaci
szeregu czasowego, można mierzyć za pomocą
szeregu czasowego, można mierzyć za pomocą
następujących wskaźników:
następujących wskaźników:
1. Wariancja resztowa:
1. Wariancja resztowa:
2. Odchylenie standardowe:
2. Odchylenie standardowe:
3. Współczynnik wyrazistości:
3. Współczynnik wyrazistości:
2
1
2
)
ˆ
(
2
1
t
n
t
t
y
y
n
s
2
s
s
100
y
s
w
Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (2)
Współczynnik ten określa, jaką część średniej
Współczynnik ten określa, jaką część średniej
wartości zmiennej
wartości zmiennej
Y
Y
t
t
stanowi odchylenie
stanowi odchylenie
standardowe składnika resztowego. Im lepszy
standardowe składnika resztowego. Im lepszy
model, tym mniejsza wartość
model, tym mniejsza wartość
w
w
.
.
4. Współczynnik determinacji
4. Współczynnik determinacji
Interpretację tego współczynnika można określić
Interpretację tego współczynnika można określić
rozpatrując następujące przekształcenia i
rozpatrując następujące przekształcenia i
określenia:
określenia:
określmy jako całkowitą zmienność sumę
określmy jako całkowitą zmienność sumę
kwadratów odchyleń:
kwadratów odchyleń:
(total sum of squares)
(total sum of squares)
n
t
t
n
t
t
y
y
y
y
R
1
2
1
2
2
)
(
)
ˆ
(
SST
y
y
n
t
t
1
2
)
(
Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (3)
Zależność na SST można przekształcić przez
Zależność na SST można przekształcić przez
następujące podstawienie:
następujące podstawienie:
do
do
(
(
error sum of squares
error sum of squares
,
,
zmienność
zmienność
nieobjaśniona)
nieobjaśniona)
(
(
regression sum of
regression sum of
squares
squares
,
,
zmienność objaśniona)
zmienność objaśniona)
)
ˆ
(
)
ˆ
(
)
(
y
y
y
y
y
y
t
t
t
t
n
t
t
n
t
t
t
n
t
t
y
y
y
y
y
y
SST
1
2
1
2
1
2
)
ˆ
(
)
ˆ
(
)
(
n
t
t
n
t
t
n
t
t
t
SSR
y
y
SSE
e
y
y
1
2
1
2
1
2
)
ˆ
(
)
ˆ
(
Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (4)
Czyli:
Czyli:
Dla liniowego modelu trendu i MNK do estymacji
Dla liniowego modelu trendu i MNK do estymacji
parametrów zachodzi własność:
parametrów zachodzi własność:
Im wyższa wartość
Im wyższa wartość
R
R
2
2
tym lepsze dopasowanie
tym lepsze dopasowanie
modelu do danych. Jeśli
modelu do danych. Jeśli
R
R
2
2
=1
=1
to wszystkie punkty
to wszystkie punkty
szeregu leżą na prostej:
szeregu leżą na prostej:
Jeżeli
Jeżeli
R
R
2
2
=0
=0
to
to
i powyższa prosta jest
i powyższa prosta jest
równoległa do osi odciętych.
równoległa do osi odciętych.
2
2
,
1
SST
SSE
R
SST
SSR
SST
SSR
SST
SSE
SSR
SSE
SST
współczynnik
zbieżności
]
1
,
0
[
2
R
t
y
t
ˆ
ˆ
ˆ
y
y
t
ˆ
Przykład 1 (1)
Rozpatrzmy problem predykcji liczby noclegów
Rozpatrzmy problem predykcji liczby noclegów
udzielonych w hotelach na obszarze Polski. Dane
udzielonych w hotelach na obszarze Polski. Dane
za lata 1990-1998 umieszczone w tabeli:
za lata 1990-1998 umieszczone w tabeli:
Zadanie
Zadanie
Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe
Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe
liczby noclegów udzielonych w hotelach na lata
liczby noclegów udzielonych w hotelach na lata
1999, 2000, 2001. Prognozy zostaną uznane za
1999, 2000, 2001. Prognozy zostaną uznane za
dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym
dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym
błędem średnim nie większym niż
błędem średnim nie większym niż
4%,
4%,
a
a
wiarygodność prognoz przedziałowych powinna
wiarygodność prognoz przedziałowych powinna
wynosić
wynosić
0,95
0,95
.
.
Rok
Rok
90
90
91
91
92
92
93
93
94
94
95
95
96
96
97
97
98
98
Liczba
Liczba
noclegów
noclegów
(w mln)
(w mln)
6,1
6,1
1
1
6,5
6,5
0
0
6,7
6,7
7
7
7,1
7,1
5
5
7,52
7,52
8,05
8,05
8,5
8,5
3
3
8,8
8,8
9
9
9,2
9,2
8
8
Przykład 1 (2)
Procedura
Procedura
1.
1.
Graficzna reprezentacja szeregu
Graficzna reprezentacja szeregu
2.
2.
Dobór modelu trendu
Dobór modelu trendu
3.
3.
Estymacja parametrów
Estymacja parametrów
4.
4.
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
•
Odchylenie standardowe składnika
Odchylenie standardowe składnika
resztowego
resztowego
•
Współczynnik wyrazistości
Współczynnik wyrazistości
•
Współczynnik determinacji
Współczynnik determinacji
5.
5.
Prognozy punktowe (względne średnie błędy
Prognozy punktowe (względne średnie błędy
prognozy, dopuszczalność prognozy)
prognozy, dopuszczalność prognozy)
6.
6.
Prognozy przedziałowe
Prognozy przedziałowe
Przykład 2
Wyposażenie gospodarstw domowych w
Wyposażenie gospodarstw domowych w
samochody osobowe w Polsce (w szt. na 100
samochody osobowe w Polsce (w szt. na 100
gospodarstw domowych) przedstawione jest w
gospodarstw domowych) przedstawione jest w
poniższej tabeli:
poniższej tabeli:
Zadanie
Zadanie
Na podstawie powyższych danych, wyznaczyć
Na podstawie powyższych danych, wyznaczyć
prognozy punktowe wyposażenia gospodarstw
prognozy punktowe wyposażenia gospodarstw
domowych w samochody osobowe na lata: 2000,
domowych w samochody osobowe na lata: 2000,
2001, 2002. Prognozy zostaną uznane za
2001, 2002. Prognozy zostaną uznane za
dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym
dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym
błędem nie większym niż 3% (0,03).
błędem nie większym niż 3% (0,03).
Rok
Rok
90
90
91
91
92
92
93
93
94
94
95
95
96
96
97
97
98
98
99
99
l.
l.
Sam./100g.
Sam./100g.
d.
d.
33,
33,
2
2
38,
38,
3
3
41,
41,
4
4
43,
43,
9
9
45,
45,
7
7
45,
45,
8
8
47,
47,
9
9
49,
49,
2
2
50,
50,
3
3
51,
51,
8
8
Model trendu z wahaniami
okresowymi (1)
Przez wahania okresowe będziemy rozumieli
Przez wahania okresowe będziemy rozumieli
pewien cykl zmian, powtarzających się w tych
pewien cykl zmian, powtarzających się w tych
samych mniej więcej rozmiarach co jakiś, w
samych mniej więcej rozmiarach co jakiś, w
przybliżeniu stały, czas. Zjawisko znajduje się w tej
przybliżeniu stały, czas. Zjawisko znajduje się w tej
samej fazie zmian w momentach odległych od
samej fazie zmian w momentach odległych od
siebie o stały odstęp czasu lub jego wielokrotność.
siebie o stały odstęp czasu lub jego wielokrotność.
Okres, w którym występują wszystkie fazy wahań,
Okres, w którym występują wszystkie fazy wahań,
nazywamy okresem lub cyklem (cykl tygodniowy,
nazywamy okresem lub cyklem (cykl tygodniowy,
miesięczny , kwartalny).
miesięczny , kwartalny).
Aby analizować wahania o określonym cyklu,
Aby analizować wahania o określonym cyklu,
musimy posiadać dane statystyczne adekwatne do
musimy posiadać dane statystyczne adekwatne do
długości cyklu. Dla cyklu tygodniowego będą to
długości cyklu. Dla cyklu tygodniowego będą to
dane dla poszczególnych dni. Badane zjawisko
dane dla poszczególnych dni. Badane zjawisko
może podlegać różnym wahaniom o różnych
może podlegać różnym wahaniom o różnych
okresach. To, które wahania należy w modelu
okresach. To, które wahania należy w modelu
uwzględnić,a które pominąć, wynika z momentów
uwzględnić,a które pominąć, wynika z momentów
dla których będziemy wyznaczać prognozę. Dla
dla których będziemy wyznaczać prognozę. Dla
prognoz miesięcznych nie będą istotne wahania
prognoz miesięcznych nie będą istotne wahania
tygodniowe, czy dobowe.
tygodniowe, czy dobowe.
Model trendu z wahaniami
okresowymi (2)
Rozpatrujemy dwa typy modeli:
Rozpatrujemy dwa typy modeli:
-
addytywny:
addytywny:
-
multiplikatywny:
multiplikatywny:
gdzie
znaczenia
poszczególnych
wielkości
gdzie
znaczenia
poszczególnych
wielkości
występujących
w
powyższych
wzorach
są
występujących
w
powyższych
wzorach
są
następujące:
następujące:
y
y
ti
ti
– rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej
– rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej
Y
Y
w momencie
w momencie
t
t
i w
i w
i
i
-tej fazie cyklu;
-tej fazie cyklu;
–
–
wartość teoretyczna zmiennej
wartość teoretyczna zmiennej
prognozowanej
prognozowanej
Y
Y
obliczona z modelu tendencji
obliczona z modelu tendencji
rozwojowej w momencie
rozwojowej w momencie
t
t
i w
i w
i
i
-tej fazie
-tej fazie
cyklu;
cyklu;
r
i
n
t
c
y
y
i
i
ti
ti
,
1
,
,
1
,
ˆ
r
i
n
t
c
y
y
i
i
ti
ti
, 1
,
, 1
,
ˆ
ti
y
ˆ
Model trendu z wahaniami
okresowymi (3)
c
c
i
i
– wskaźnik sezonowości dla
– wskaźnik sezonowości dla
i
i
-tej fazy cyklu
-tej fazy cyklu
;
;
t
t
- składnik losowy
- składnik losowy
;
;
r – liczba faz (długość cyklu).
r – liczba faz (długość cyklu).
Model addytywny stosujemy wtedy, gdy amplitudy
Model addytywny stosujemy wtedy, gdy amplitudy
wahań w analogicznych fazach cyklu są w
wahań w analogicznych fazach cyklu są w
przybliżeniu takie same (
przybliżeniu takie same (
wahania bezwzględne
wahania bezwzględne
stałe
stałe
– Wykres
– Wykres
1
1
).
).
Natomiast zmiana amplitudy wahań w tym samym
Natomiast zmiana amplitudy wahań w tym samym
stosunku uprawnia nas do stosowania modelu
stosunku uprawnia nas do stosowania modelu
multiplikatywnego
multiplikatywnego
(
(
wahania względne stałe
wahania względne stałe
– Wykres
– Wykres
2
2
).
).
Model trendu z wahaniami
okresowymi (4)
model addytywny
0
10
20
30
40
50
60
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
model multiplikatywny
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
Wykres 1.
Wykres 1.
Wykres 2.
Wykres 2.
Model trendu z wahaniami
okresowymi (5)
Istnieje szereg metod analizy i predykcji zjawisk
Istnieje szereg metod analizy i predykcji zjawisk
ze składową okresową (periodyczną). Omówione
ze składową okresową (periodyczną). Omówione
zostaną dwie z nich:
zostaną dwie z nich:
–
metodę wskaźników,
metodę wskaźników,
–
metodę analizy harmonicznej.
metodę analizy harmonicznej.
Metoda wskaźników (sezonowości)
Metoda wskaźników (sezonowości)
Metoda ta składa się z następujących etapów
Metoda ta składa się z następujących etapów
:
:
1.
1.
wyodrębnienie trendu;
wyodrębnienie trendu;
2.
2.
usunięcia trendu z szeregu czasowego,
usunięcia trendu z szeregu czasowego,
3.
3.
usunięcia wahań przypadkowych,
usunięcia wahań przypadkowych,
4.
4.
wyznaczenia
czystych
wskaźników
wyznaczenia
czystych
wskaźników
sezonowości.
sezonowości.
Model trendu z wahaniami
okresowymi (6)
Etap 1
Etap 1
Wyznaczenie trendu w szeregu czasowym
Wyznaczenie trendu w szeregu czasowym
Tendencję rozwojową zjawiska można wyznaczyć
Tendencję rozwojową zjawiska można wyznaczyć
wykorzystując
np.
metodę
najmniejszych
wykorzystując
np.
metodę
najmniejszych
kwadratów).
kwadratów).
Etap 2
Etap 2
Wyodrębnienie trendu
Wyodrębnienie trendu
Dla
modelu
addytywnego
Dla
modelu
addytywnego
,
,
tendencję
tendencję
rozwojową można usunąć z szeregu czasowego
rozwojową można usunąć z szeregu czasowego
dokonując odjęcia od zmiennej rzeczywistej
dokonując odjęcia od zmiennej rzeczywistej
wartości teoretycznej , czyli
wartości teoretycznej , czyli
Natomiast
dla
modelu
multiplikatywnego
Natomiast
dla
modelu
multiplikatywnego
,
,
usunięcie trendu związane jest z podzieleniem
usunięcie trendu związane jest z podzieleniem
wartości rzeczywistej przez wartość teoretyczną ,
wartości rzeczywistej przez wartość teoretyczną ,
czyli:
czyli:
ti
ti
ti
y
y
z
ˆ
ti
ti
ti
y
y
z
ˆ
Model trendu z wahaniami
okresowymi (7)
W wyniku powyższych operacji otrzymamy szereg
W wyniku powyższych operacji otrzymamy szereg
czasowy
czasowy
z
z
ti
ti
, (
, (
t
t
=1,...,
=1,...,
n
n
;
;
i
i
=1,...,
=1,...,
r
r
) zawierający jedynie wahania
) zawierający jedynie wahania
przypadkowe i sezonowe.
przypadkowe i sezonowe.
Etap 3
Etap 3
Usunięcie wahań przypadkowych
Usunięcie wahań przypadkowych
Otrzymany w
Otrzymany w
yżej
yżej
szereg zawiera składowe
szereg zawiera składowe
przypadkowe, które w prezentowanej metodzie
przypadkowe, które w prezentowanej metodzie
można usunąć wykorzystując tzw.
można usunąć wykorzystując tzw.
surowe
surowe
wskaźniki sezonowości
wskaźniki sezonowości
z
z
i
i
(
(
i
i
=1,...,
=1,...,
r
r
). Oblicza się
). Oblicza się
je w następujący sposób:
je w następujący sposób:
gdzie
gdzie
n
n
oznacza ilość takich samych faz w
oznacza ilość takich samych faz w
badanym szeregu
badanym szeregu
(np. dla wahań kwartalnych w
(np. dla wahań kwartalnych w
okresie 3 lat
okresie 3 lat
n
n
jest równe 3).
jest równe 3).
1
0
,
1
n
j
i
r
j
i
i
z
n
z
Model trendu z wahaniami
okresowymi (8)
Surowe wskaźniki
Surowe wskaźniki
z
z
i
i
oblicza się więc jako średnią
oblicza się więc jako średnią
arytmetyczną elementów szeregu
arytmetyczną elementów szeregu
z
z
ti
ti
, z tych
, z tych
samych faz wszystkich okresów wahań.
samych faz wszystkich okresów wahań.
Etap
4
Etap
4
Obliczenie
czystych
wskaźników
Obliczenie
czystych
wskaźników
sezonowości
sezonowości
Czyste wskaźniki sezonowości
Czyste wskaźniki sezonowości
, oznaczane
, oznaczane
dalej
przez
dalej
przez
c
c
i
i
,
(
,
(
i
i
=1,...,
=1,...,
r
r
),
obliczamy
z
),
obliczamy
z
następujących zależności:
następujących zależności:
- dla modelu addytywnego:
- dla modelu addytywnego:
- dla modelu multiplikatywnego (3.8.2):
- dla modelu multiplikatywnego (3.8.2):
gdzie
gdzie
q
q
jest średnią arytmetyczną wskaźników
jest średnią arytmetyczną wskaźników
surowych:
surowych:
q
z
c
i
i
q
z
c
i
i
Model trendu z wahaniami
okresowymi (9)
r
i
i
z
r
q
1
1
Można zauważyć, że suma czystych wskaźników
Można zauważyć, że suma czystych wskaźników
c
c
i
i
dla modelu addytywnego jest równa zeru:
dla modelu addytywnego jest równa zeru:
zaś dla modelu multiplikatywnego, suma
zaś dla modelu multiplikatywnego, suma
wskaźników
wskaźników
c
c
i
i
wynosi
wynosi
r
r
, czyli:
, czyli:
0
1
1
1
1
1
1
r
i
i
r
i
i
r
i
r
i
i
i
r
i
i
z
r
r
z
q
r
z
q
z
c
r
c
r
i
i
1
Model trendu z wahaniami
okresowymi (10)
Prognozę zmiennej Y na chwilę przyszłą
Prognozę zmiennej Y na chwilę przyszłą
>n
>n
wyznacza się w następujący sposób:
wyznacza się w następujący sposób:
- dla modelu addytywnego
- dla modelu addytywnego
:
:
- dla modelu multiplikatywnego:
- dla modelu multiplikatywnego:
gdzie
gdzie
oznacza prognozę zmiennej Y na okres
oznacza prognozę zmiennej Y na okres
obliczoną na podstawie modelu tendencji
obliczoną na podstawie modelu tendencji
rozwojowej (czyli bez uwzględnienia wahań
rozwojowej (czyli bez uwzględnienia wahań
sezonowych).
sezonowych).
i
i
i
c
y
y
*
*
ˆ
i
i
i
c
y
y
*
*
ˆ
*
ˆ
i
y
Model trendu z wahaniami
okresowymi (11)
W badaniach rozwoju zjawisk podlegających
W badaniach rozwoju zjawisk podlegających
wahaniom sezonowym bardzo często wykorzystuje
wahaniom sezonowym bardzo często wykorzystuje
się modele budowane z zastosowaniem
się modele budowane z zastosowaniem
analizy
analizy
harmonicznej
harmonicznej
. Polega ona na tym, że funkcję
. Polega ona na tym, że funkcję
reprezentującą
zachowanie
się
zjawisk
z
reprezentującą
zachowanie
się
zjawisk
z
sezonowością można przedstawić w postaci sumy
sezonowością można przedstawić w postaci sumy
funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych. Funkcje
funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych. Funkcje
te o zadanym okresie nazywa się
te o zadanym okresie nazywa się
harmonikami
harmonikami
.
.
Przykładowa
postać
modelu
zjawiska
Przykładowa
postać
modelu
zjawiska
konstruowanego z wykorzystaniem harmonik jest
konstruowanego z wykorzystaniem harmonik jest
następująca
następująca
:
:
g
g
dzie
dzie
:
:
p
p
– liczba obserwacji;
– liczba obserwacji;
A
A
i
i
, B
, B
i
i
–
–
współczynniki
przy
harmonikach
szacowane
współczynniki
przy
harmonikach
szacowane
metodą najmniejszych kwadratów
metodą najmniejszych kwadratów
.
.
2
/
1
0
2
cos
2
sin
p
i
i
i
t
it
p
B
it
p
A
a
y