METODY i narzędzia WD

Wykład nr 2

Prognozowanie na podstawie modeli

szeregów czasowych

Modele szeregów czasowych (1)



Metoda analizy i prognozowania szeregów

Metoda analizy i prognozowania szeregów

czasowych

czasowych

Do prognozowania przyszłych wartości

Do prognozowania przyszłych wartości

zmiennej wykorzystuje się jedynie przeszłe

zmiennej wykorzystuje się jedynie przeszłe

wartości zmiennej prognozowanej i czas.

wartości zmiennej prognozowanej i czas.

Model szeregu czasowego można zapisać

Model szeregu czasowego można zapisać

ogólnie następująco

ogólnie następująco

)

,

,...,

,

,

(

2

1

t

p

t

t

t

t

Y

Y

Y

t

F

Y











gdzie:

gdzie:



t

cza

cza

s

s,



p

wielkość

wielkość

opóźnienia,

opóźnienia,



t



czynnik

czynnik

losowy,

losowy,

Zakłada się, że powyższa zależność będzie trwała

Zakłada się, że powyższa zależność będzie trwała

również w okresie prognozowania.

również w okresie prognozowania.

Modele szeregów czasowych (2)

f(t)

f(t)

– funkcja trendu (tendencja rozwojowa)

– funkcja trendu (tendencja rozwojowa)

g(t)

g(t)

– funkcja reprezentująca wahania sezonowe

– funkcja reprezentująca wahania sezonowe

h(t)

h(t)

– funkcja odpowiadająca wahaniom

– funkcja odpowiadająca wahaniom

cyklicznym

cyklicznym





t

t

- składnik losowy

- składnik losowy



Model multiplikatywny

Model multiplikatywny

t

t

t

h

t

g

t

f

y











)

(

)

(

)

(



Model addytywny

Model addytywny

t

t

t

h

t

g

t

f

y











)

(

)

(

)

(

W powyższych zapisach przyjmuje się, że

W powyższych zapisach przyjmuje się, że

jedyną zmienną objaśniającą jest czas.

jedyną zmienną objaśniającą jest czas.

Modele szeregów czasowych (3)



Tendencja rozwojowa

Tendencja rozwojowa

, zwana trendem,

, zwana trendem,

odzwierciedla długookresową skłonność do

odzwierciedla długookresową skłonność do

jednokierunkowych zmian (wzrostu lub spadku)

jednokierunkowych zmian (wzrostu lub spadku)

wartości badanej zmiennej. Jest rozpatrywana jako

wartości badanej zmiennej. Jest rozpatrywana jako

konsekwencja stałego zestawu czynników.

konsekwencja stałego zestawu czynników.



Wahania sezonowe

Wahania sezonowe

są wahaniami wartości

są wahaniami wartości

obserwowanej zmiennej wokół tendencji

obserwowanej zmiennej wokół tendencji

rozwojowej. Wahania te powtarzają się w przedziale

rozwojowej. Wahania te powtarzają się w przedziale

czasu nie przekraczającym jednego roku. Powstają

czasu nie przekraczającym jednego roku. Powstają

na skutek zmian pór roku, powtarzających się

na skutek zmian pór roku, powtarzających się

miesięcy urlopowych, wzmożonych zakupów

miesięcy urlopowych, wzmożonych zakupów

świątecznych itp.

świątecznych itp.



Wahania cykliczne

Wahania cykliczne

wyrażają się w postaci

wyrażają się w postaci

długookresowych, powtarzających się rytmicznie w

długookresowych, powtarzających się rytmicznie w

przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahań

przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahań

wartości zmiennej wokół tendencji rozwojowej.

wartości zmiennej wokół tendencji rozwojowej.

Związane np. z cyklami koniunkturalnymi

Związane np. z cyklami koniunkturalnymi

gospodarki.

gospodarki.

Modele trendu (1)

Rozpatrywane będą modele szeregów czasowych

Rozpatrywane będą modele szeregów czasowych

postaci:

postaci:

lub

lub



Zmienna czasowa nie jest bezpośrednia

Zmienna czasowa nie jest bezpośrednia

przyczyna zmian zachodzących w wartościach

przyczyna zmian zachodzących w wartościach

zmiennej prognozowanej, ale syntetyzuje wpływ

zmiennej prognozowanej, ale syntetyzuje wpływ

bliżej nie znanych czynników.

bliżej nie znanych czynników.



Zadanie wyznaczenia funkcji

Zadanie wyznaczenia funkcji

f(t)

f(t)

wygładzaniem

wygładzaniem

(wyrównywaniem) szeregu czasowego.

(wyrównywaniem) szeregu czasowego.



Zakładamy, że spełnia warunki:

Zakładamy, że spełnia warunki:

t

t

t

f

y







)

(

t

t

t

f

y







)

(

t



























t

dla

E

E

E

t

t

t

0

}

{

,

}

{

,

0

}

{

2

2

Modele trendu (2)



Podstawowe metody wygładzania:

Podstawowe metody wygładzania:



Metoda graficzna,

Metoda graficzna,



Metoda krzywych wzrostu.

Metoda krzywych wzrostu.



Metoda średnich ruchomych,

Metoda średnich ruchomych,



Metoda

Metoda

graficzna polega na obserwacji położenia na

graficzna polega na obserwacji położenia na

wykresie punktów zarejestrowanego szeregu

wykresie punktów zarejestrowanego szeregu

czasowego i ocenie jaka postać funkcji trendu

czasowego i ocenie jaka postać funkcji trendu

najlepiej do niego pasuje. Po wyborze określonej

najlepiej do niego pasuje. Po wyborze określonej

postaci funkcji, dokonujemy estymacji parametrów, a

postaci funkcji, dokonujemy estymacji parametrów, a

następnie możemy dokonać statystycznej weryfikacji

następnie możemy dokonać statystycznej weryfikacji

jakości (dopasowania do danych historycznych)

jakości (dopasowania do danych historycznych)

wybranego modelu.

wybranego modelu.



Metoda krzywych wzrostu polega na wyznaczeniu

Metoda krzywych wzrostu polega na wyznaczeniu

analitycznej postaci funkcji trendu na podstawie

analitycznej postaci funkcji trendu na podstawie

budowy równania różnicowego (różniczkowego)

budowy równania różnicowego (różniczkowego)

wyrażającego naszą wiedzę o o mechanizmie rozwoju

wyrażającego naszą wiedzę o o mechanizmie rozwoju

interesującej nas zmiennej.

interesującej nas zmiennej.

Modele trendu (3)



Najczęstszą postacią funkcji trendu jest funkcja

Najczęstszą postacią funkcji trendu jest funkcja

liniowa:

liniowa:

która reprezentuje stały kierunek rozwoju danego

która reprezentuje stały kierunek rozwoju danego

zjawiska, wyznaczony przez współczynnik

zjawiska, wyznaczony przez współczynnik

kierunkowy prostej (

kierunkowy prostej (





). Parametr ten jest

). Parametr ten jest

współczynnikiem stałego przyrostu wartości

współczynnikiem stałego przyrostu wartości

zmiennej w jednostce czasu:

zmiennej w jednostce czasu:

t

t

f











)

(









)

1

(

)

(

t

f

t

f

Modele trendu (4)



Funkcja liniowa nie odpowiada sytuacji

Funkcja liniowa nie odpowiada sytuacji

zmieniającej się szybkości wzrostu. Dla

zmieniającej się szybkości wzrostu. Dla

szybkości wzrastających właściwsze może być

szybkości wzrastających właściwsze może być

zastosowanie funkcji wykładniczej postaci:

zastosowanie funkcji wykładniczej postaci:

(a)

(a)

lub w postaci:

lub w postaci:

(b)

(b)

Przykładowy wykres funkcji wykładniczej typu (b):

Przykładowy wykres funkcji wykładniczej typu (b):

0

,

)

(













t

e

t

f

1

,

0

,

)

(













t

t

f

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

12

14

5

.

1

2









Modele trendu (5)

Własnością tych funkcji trendu jest stałe tempo

Własnością tych funkcji trendu jest stałe tempo

wzrostu:

wzrostu:

(a)

(a)

oraz

oraz

(b)

(b)





100

1

100

1

100

1

)

1

(

1





























































wz

t

t

t

t

wz

t

y

y

t





100

1

100

1

100

1

)

1

(

1





























































e

t

e

e

y

y

t

wz

t

t

t

t

wz

Modele trendu (6)

Omówione wyżej funkcje wykładnicze można

Omówione wyżej funkcje wykładnicze można

zidentyfikować graficznie. Jeśli dane empiryczne

zidentyfikować graficznie. Jeśli dane empiryczne

naniesione na wykres o współrzędnych (

naniesione na wykres o współrzędnych (

t

t

, ln

, ln

f(t)

f(t)

)

)

będą układać się wokół prostej, to można do ich

będą układać się wokół prostej, to można do ich

opisu zastosować jedną z funkcji wykładniczych.

opisu zastosować jedną z funkcji wykładniczych.

Wynika to z następujących przekształceń:

Wynika to z następujących przekształceń:

Przyjmując oznaczenia:

Przyjmując oznaczenia:

ostatecznie otrzymujemy:

ostatecznie otrzymujemy:

'

'

)

(











t

t

g









ln

ln

)

(

ln

,

)

(











t

t

f

t

f

t









ln

,

ln

),

(

ln

)

(

'

'







t

f

t

g

Modele trendu (7)

(c) funkcji potęgowej

(c) funkcji potęgowej

Funkcje potęgową można zastosować wówczas,

Funkcje potęgową można zastosować wówczas,

gdy dane empiryczne układają się wokół prostej

gdy dane empiryczne układają się wokół prostej

dla układu współrzędnych (ln

dla układu współrzędnych (ln

t

t

, ln

, ln

f(t)

f(t)

).

).

0

,

1

,

)

(

















t

t

f

2

4

6

8

10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

5

,

1

5

,

0









5

,

1

5

,

0









5

,

1

5

,

0









Modele trendu (8)

(d) wielomian drugiego stopnia:

(d) wielomian drugiego stopnia:

którego zaleta jest większa elastyczność w

którego zaleta jest większa elastyczność w

dopasowaniu do danych, dzięki posiadaniu

dopasowaniu do danych, dzięki posiadaniu

trzech parametrów.

trzech parametrów.



W przypadku zjawiska dla których tempo

W przypadku zjawiska dla których tempo

wzrostu jest coraz wolniejsze, stosuje się jako

wzrostu jest coraz wolniejsze, stosuje się jako

modele trendu funkcje:

modele trendu funkcje:



(a) logarytmiczną:

(a) logarytmiczną:

0

,

)

(

2

2

2

1

0





















t

t

t

f

0

),

1

ln(

)

(

















t

t

f

Modele trendu (9)

Jej wykresem w układzie współrzędnych (ln

Jej wykresem w układzie współrzędnych (ln

t

t

,

,

f(t)

f(t)

) jest linia prosta.

) jest linia prosta.

(b) potęgową, ale ze zmienionym zakresem

(b) potęgową, ale ze zmienionym zakresem

parametru

parametru





:

:

© ilorazową:

© ilorazową:

0

,

1

0

,

)

(



















t

t

f

0

,

,

)

(

















t

t

t

f

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

5

,

1

2









Modele trendu (10)



Często przebieg zjawisk obserwowanych w długim

Często przebieg zjawisk obserwowanych w długim

okresie czasu charakteryzuje się występowaniem

okresie czasu charakteryzuje się występowaniem

kilku faz rozwoju. Może to dotyczyć np. popytu na

kilku faz rozwoju. Może to dotyczyć np. popytu na

nowy produkt. W fazie początkowej tempo wzrostu

nowy produkt. W fazie początkowej tempo wzrostu

popytu rośnie, w fazie drugiej tempo wzrostu maleje

popytu rośnie, w fazie drugiej tempo wzrostu maleje

aż do uzyskania przez popyt stałego poziomu. W

aż do uzyskania przez popyt stałego poziomu. W

ostatniej fazie popyt na produkt spada. Poszczególne

ostatniej fazie popyt na produkt spada. Poszczególne

fazy życia produktu można modelować różnymi

fazy życia produktu można modelować różnymi

funkcjami. Istnieje jednak funkcja, która pozwala

funkcjami. Istnieje jednak funkcja, która pozwala

opisać trzy pierwsze fazy ewolucji popytu. Jest to

opisać trzy pierwsze fazy ewolucji popytu. Jest to

funkcja logistyczna:

funkcja logistyczna:

Inne zastosowania f.log.:liczność populacji organizmów

Inne zastosowania f.log.:liczność populacji organizmów

w ograniczonej przestrzeni, rozwój nowych gałęzi

w ograniczonej przestrzeni, rozwój nowych gałęzi

przemysłu.

przemysłu.

1

,

0

,

,

1

)

(























t

e

t

f

Modele trendu (11)

2

4

6

8

10

12

14

t

0.5

1

1.5

2

f

5

,

0

8

2













1

,

0

,

,

1

)

(























t

e

t

f

Modele trendu (12)



Funkcje postaci

Funkcje postaci

nazywa się funkcjami liniowymi względem

nazywa się funkcjami liniowymi względem

parametrów. Dla funkcji tej postaci, albo do niej

parametrów. Dla funkcji tej postaci, albo do niej

sprowadzalnych, można metodą najmniejszych

sprowadzalnych, można metodą najmniejszych

kwadratów (najmniejszej sumy kwadratów)

kwadratów (najmniejszej sumy kwadratów)

wyznaczyć estymatory parametrów oraz

wyznaczyć estymatory parametrów oraz

wyznaczyć wartości wskaźników

wyznaczyć wartości wskaźników

ex ante

ex ante

błędów prognoz uzyskiwanych za ich pomocą.

błędów prognoz uzyskiwanych za ich pomocą.

Wszystkie, poza logistyczną, funkcje wymienione

Wszystkie, poza logistyczną, funkcje wymienione

wcześniej są sprowadzalne do postaci funkcji

wcześniej są sprowadzalne do postaci funkcji

liniowej względem parametrów.

liniowej względem parametrów.

R

m

R

j

h

a

a

x

x

h

x

x

f

j

k

j

m

j

m













:

:

gdzie

)

,..,

(

)

,..,

(

0

1

1

1

Estymacja parametrów modelu
trendu (1)



Rozpatrujemy model postaci:

Rozpatrujemy model postaci:

Dla oszacowania parametrów modelu na podstawie

Dla oszacowania parametrów modelu na podstawie

zaobserwowanego szeregu czasowego (

zaobserwowanego szeregu czasowego (

t, y

t, y

t

t

)

)

dla

dla

t=1,..,n

t=1,..,n

będziemy wykorzystywali metodę

będziemy wykorzystywali metodę

najmniejszych kwadratów (MNK) polegającą na

najmniejszych kwadratów (MNK) polegającą na

rozwiązaniu następującego zadania optymalizacji:

rozwiązaniu następującego zadania optymalizacji:

gdzie: , a

gdzie: , a

y

y

t

t

realizacja zmiennej

realizacja zmiennej

Y

Y

t,

t,

a

a

wartość teoretyczna (modelowa) zmiennej.

wartość teoretyczna (modelowa) zmiennej.

2

1

,

1

2

,

)

(

(

min

)

ˆ

(

min

t

y

e

n

t

t

n

t

t





























t

t

t

Y















t

t

t

y

y

e

ˆ





t

yˆ

t

y

t











ˆ

Estymacja parametrów modelu
trendu (2)

0

ˆ

)

(

,

0

ˆ

)

(

1

2

1

2

























n

t

n

t

t

t

e

e

W celu

W celu

wyznaczenia rozwiązania zadania (*)

wyznaczenia rozwiązania zadania (*)

wykonujemy następujące obliczenia:

wykonujemy następujące obliczenia:

czyli:

czyli:

zatem

zatem

)

ˆ

ˆ

(

2

ˆ

)

ˆ

ˆ

(

ˆ

)

(

1

2

1

1

2

t

y

t

y

e

n

t

t

n

t

t

n

t

t



























































0

czyli

0

)

ˆ

ˆ

(

1

1

















n

t

t

n

t

t

e

t

y





Estymacja parametrów modelu
trendu (3)

Dalej:

Dalej:

)

ˆ

ˆ

(

2

ˆ

)

(

1

1

2

t

y

t

e

n

t

t

n

t

t



























stąd

stąd

0

czyli

0

)

ˆ

ˆ

(

1

1

















n

t

t

n

t

t

te

t

y

t





Ostatecznie otrzymujemy tzw. układ

Ostatecznie otrzymujemy tzw. układ

równań normalnych:

równań normalnych:

Estymacja parametrów modelu
trendu (4)









ˆ

ˆ

n

|:

ˆ

ˆ

1

2

1

1

1

1

































































n

t

n

t

n

t

t

n

t

n

t

t

t

t

ty

t

n

y

stąd

t

y

t

n

t

y

n

y

t

n

y

n

n

t

n

t

t

n

t

n

t

t









ˆ

ˆ

1

,

1

1

ˆ

ˆ

1

1

1

1

1





























zatem

t

y





ˆ

ˆ





Estymacja parametrów modelu
trendu (5)

































n

t

n

t

t

n

t

t

n

t

y

t

n

ty

t

n

t

1

2

2

1

1

ˆ



stąd

stąd

2

1

1

1

2

2

1

)

(

/

)

)(

(

/

ˆ

t

t

y

y

t

t

t

n

t

y

t

n

ty

n

t

t

n

t

n

t

n

t

t







































































Prognozy punktowe – liniowy model
trendu



Budując prognozy przy użyciu wyznaczonego

Budując prognozy przy użyciu wyznaczonego

modelu trendu należy przyjąć następujące

modelu trendu należy przyjąć następujące

założenia:

założenia:



Dla okresu prognozy, postać funkcji nie ulegnie

Dla okresu prognozy, postać funkcji nie ulegnie

zmianie,

zmianie,



Występuje stabilność rozkładu składnika losowego .

Występuje stabilność rozkładu składnika losowego .

Wykorzystujemy model postaci:

Wykorzystujemy model postaci:

Prognozę wartości zmiennej

Prognozę wartości zmiennej

Y

Y

t

t

dla przyszłej chwili

dla przyszłej chwili





> t

> t

wyznaczamy według reguły podstawowej:

wyznaczamy według reguły podstawowej:

t



t

t

t

Y



























































*

*

}

|

{

}

|

{

y

E

X

Y

E

y

Prognozy punktowe – liniowy model
trendu

Ponieważ

Ponieważ





i

i





nie są znane, posługujemy się ich

nie są znane, posługujemy się ich

estymatorami, wyznaczonymi wcześniej metodą

estymatorami, wyznaczonymi wcześniej metodą

MNK . Oznacza to, że uzyskujemy prognozę postaci:

MNK . Oznacza to, że uzyskujemy prognozę postaci:

Duża litera

Duża litera

Y

Y

oznacza, że jest to zmienna losowa.

oznacza, że jest to zmienna losowa.

Wynika to z faktu, że posługujemy się estymatorami

Wynika to z faktu, że posługujemy się estymatorami

, a nie dokładnymi wartościami tych parametrów.

, a nie dokładnymi wartościami tych parametrów.

Powyższa prognoza jest prognozą punktową. Do oceny

Powyższa prognoza jest prognozą punktową. Do oceny

jej dokładności można wykorzystać błąd prognozy ex

jej dokładności można wykorzystać błąd prognozy ex

ante:

ante:

Biorąc pod uwagę liniową funkcję trendu otrzymujemy:

Biorąc pod uwagę liniową funkcję trendu otrzymujemy:















ˆ

ˆ

*

Y





ˆ

,

ˆ

*

'







Y

Y

U





Prognozy punktowe – liniowy model
trendu





























































)

ˆ

(

)

ˆ

(

ˆ

ˆ

'

'

U

U

Zatem:

Zatem:

ponieważ, estymatory parametrów

ponieważ, estymatory parametrów





wyznaczone MNK są nieobciążone, czyli:

wyznaczone MNK są nieobciążone, czyli:

Wariancja błędu wynosi:

Wariancja błędu wynosi:

0

}

{

)

ˆ

(

)

ˆ

(

}

{

'































E

E

E

U

E













}

ˆ

{

,

}

ˆ

{

E

E

'



U

Prognozy punktowe – liniowy model
trendu

}

{

)

ˆ

,

ˆ

cov(

2

}

ˆ

{

}

ˆ

{

}

{

'

















V

V

V

U

V









Można pokazać, że:

Można pokazać, że:

Wariancję

Wariancję





2

2

szacuje się za pomocą następującego

szacuje się za pomocą następującego

estymatora:

estymatora:

2

2

1

2

2

2

'

)

(

)

(

1

}

{

























































n

t

t

t

t

n

U

V











n

t

t

e

n

S

1

2

2

2

1

Prognozy punktowe – liniowy model
trendu

Zatem, estymator wariancji błędu (błędu

Zatem, estymator wariancji błędu (błędu

średniego prognozy) ma postać:

średniego prognozy) ma postać:

Wyznaczony estymator jest nieobciążony i

Wyznaczony estymator jest nieobciążony i

zgodny. Przyjmując oznaczenia:

zgodny. Przyjmując oznaczenia:

otrzymujemy zależność na estymator względnego

otrzymujemy zależność na estymator względnego

błędu średniego predykcji.

błędu średniego predykcji.

2

1

2

2

2

'

2

)

(

)

(

1

}

{

ˆ

ˆ

S

t

t

t

n

S

U

V

n

t





















































*

*

2

ˆ

ˆ

ˆ

















Y

Y





Prognozy punktowe – liniowy model
trendu

Jego wartość

Jego wartość

(realizacja ) może być wykorzystana

(realizacja ) może być wykorzystana

do określenia dopuszczalności prognozy.

do określenia dopuszczalności prognozy.

Przyjmując, że mamy daną z góry (przyjęta na

Przyjmując, że mamy daną z góry (przyjęta na

pierwszym etapie procesu prognostycznego)

pierwszym etapie procesu prognostycznego)

wartość

wartość





> 0, prognozę uznamy za dopuszczalną,

> 0, prognozę uznamy za dopuszczalną,

jeśli spełniony będzie warunek:

jeśli spełniony będzie warunek:









ˆ

Prognozy – nieliniowy model trendu
(1)



Kolejnym zagadnieniem jest wyznaczanie

Kolejnym zagadnieniem jest wyznaczanie

prognozy punktowej oraz jej dokładności dla

prognozy punktowej oraz jej dokładności dla

nieliniowych funkcji trendu. Rozpatrywaliśmy

nieliniowych funkcji trendu. Rozpatrywaliśmy

model zmiennej

model zmiennej

Y

Y

t

t

postaci:

postaci:



addytywnej

addytywnej



multiplikatywnej

multiplikatywnej

Zatem prognoza dla chwili ma postać:

Zatem prognoza dla chwili ma postać:

dla obu modeli. Na postawie danych

dla obu modeli. Na postawie danych

historycznych, estymujemy parametry funkcji

historycznych, estymujemy parametry funkcji

trendu i postać prognozy jest następująca:

trendu i postać prognozy jest następująca:

t

t

t

f

Y







)

(































t

dla

E

V

E

t

f

Y

t

t

t

t

t

t

,

0

}

{

,

}

{

,

1

}

{

,

)

(

t





)

(

}

|

{

*









f

X

Y

E

y

t







)

(

ˆ

*





f

Y 

Prognozy – nieliniowy model trendu
(2)

gdzie: - funkcja trendu z estymatorami

gdzie: - funkcja trendu z estymatorami

parametrów, w

parametrów, w

modelu liniowym

modelu liniowym

Estymacja parametrów modelu nieliniowego i

Estymacja parametrów modelu nieliniowego i

prognoza przy jego zastosowaniu odbywa się

prognoza przy jego zastosowaniu odbywa się

według następującego schematu:

według następującego schematu:

•

linearyzacja funkcji trendu,

linearyzacja funkcji trendu,

•

przekształcenie szeregu czasowego,

przekształcenie szeregu czasowego,

•

estymacja parametrów zlinearyzowanej funkcji

estymacja parametrów zlinearyzowanej funkcji

trendu,

trendu,

•

wyznaczenie wartości estymatorów parametrów

wyznaczenie wartości estymatorów parametrów

nieliniowej funkcji trendu,

nieliniowej funkcji trendu,

•

wyznaczenie prognozy dla modelu

wyznaczenie prognozy dla modelu

zlinearyzowanego,

zlinearyzowanego,

•

wyznaczenie prognozy dla modelu nieliniowego.

wyznaczenie prognozy dla modelu nieliniowego.

fˆ















ˆ

ˆ

)

(

ˆf

Prognozy – nieliniowy model trendu
(3)

Wykładniczy model trendu (a)

Wykładniczy model trendu (a)

Model:

Model:

Linearyzacja:

Linearyzacja:

Transformacja zmiennych:

Transformacja zmiennych:

Przekształcenie szeregu czasowego:

Przekształcenie szeregu czasowego:

Estymacja MNK parametrów modelu

Estymacja MNK parametrów modelu

zlinearyzowanego, na podstawie

zlinearyzowanego, na podstawie

przekształconego szeregu czasowego.

przekształconego szeregu czasowego.

0

, 

















t

e

e

Y

t

t

t

t

t

Y















ln

)

ln

,

(

)

~

,

(

t

t

y

t

y

t



t

t

Y

Y ln

~







ˆ

,

ˆ

Prognozy – nieliniowy model trendu
(4)

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej

Prognoza zmiennej

Y

Y

t

t

:

:

Wykładniczy model trendu (b)

Wykładniczy model trendu (b)

Model:

Model:

Linearyzacja:

Linearyzacja:















ˆ

ˆ

~

*

Y



















ˆ

ˆ

~

*

*

e

e

Y

Y

t

e

Y

t

t













t

t

t

Y















ln

ln

ln

Prognozy – nieliniowy model trendu
(5)

Transformacja zmiennych:

Transformacja zmiennych:

Model zlinearyzowany:

Model zlinearyzowany:

Przekształcenie szeregu czasowego:

Przekształcenie szeregu czasowego:

Estymacja MNK parametrów modelu

Estymacja MNK parametrów modelu

zlinearyzowanego, na podstawie

zlinearyzowanego, na podstawie

przekształconego szeregu czasowego.

przekształconego szeregu czasowego.

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej

Prognoza zmiennej

Y

Y

t

t

:

:















ˆ

~

ˆ

~

~

*

Y



















ˆ

~

ˆ

~

~

*

*

e

e

Y

Y









ln

~

,

ln

~

,

ln

~







t

t

Y

Y

t

t

t

Y















~

~

~

)

ln

,

(

)

~

,

(

t

t

y

t

y

t







ˆ

~

,

ˆ

~

Prognozy – nieliniowy model trendu
(6)

Potęgowy model trendu

Potęgowy model trendu

Model:

Model:

Linearyzacja:

Linearyzacja:

Transformacja zmiennych:

Transformacja zmiennych:

Model zlinearyzowany:

Model zlinearyzowany:

Przekształcenie szeregu czasowego:

Przekształcenie szeregu czasowego:

0

,

,



















t

e

t

Y

t

t

t

t

Y















ln

ln

ln

)

ln

,

(ln

)

~

,

~

(

t

t

y

t

y

t



,

ln

~

,

ln

~

,

ln

~

t

t

Y

Y

t

t











t

t

t

Y















~

~

~

Prognozy – nieliniowy model trendu
(7)

Estymacja MNK parametrów modelu

Estymacja MNK parametrów modelu

zlinearyzowanego, na podstawie

zlinearyzowanego, na podstawie

przekształconego szeregu czasowego.

przekształconego szeregu czasowego.

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej

Prognoza zmiennej

Y

Y

t

t

:

:









~

ˆ

ˆ

~

~

*







Y



















ˆ

ˆ

~

~

*

*

e

e

Y

Y





ˆ

,

ˆ

~

Prognozy – nieliniowy model trendu
(8)

Ilorazowy model trendu

Ilorazowy model trendu

Model:

Model:

Linearyzacja:

Linearyzacja:

Transformacja zmiennych:

Transformacja zmiennych:

Model zlinearyzowany:

Model zlinearyzowany:

Przekształcenie szeregu czasowego:

Przekształcenie szeregu czasowego:

0

,

,





















t

t

t

t

Y

t

t

t

Y

t























1

1

)

/

1

,

/

1

(

)

~

,

~

(

t

t

y

t

y

t



t

t

Y

Y

t

t

1

~

,

~

,

1

~

,

1

~



















t

t

t

Y















~

~

~

Prognozy – nieliniowy model trendu
(9)

Estymacja MNK parametrów modelu

Estymacja MNK parametrów modelu

zlinearyzowanego, na podstawie

zlinearyzowanego, na podstawie

przekształconego szeregu czasowego.

przekształconego szeregu czasowego.

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej zmodyfikowanej:

Prognoza zmiennej

Prognoza zmiennej

Y

Y

t

t

:

:









~

ˆ

~

ˆ

~

~

*







Y

*

*

~

1





Y

Y 





ˆ

~

,

ˆ

~

Oszacowanie błędu średniego
prognozy (wariancji) dla nieliniowej
funkcji trendu

Linearyzacja modelu trendu polega na dokonaniu

Linearyzacja modelu trendu polega na dokonaniu

pewnego przekształcenia typu:

pewnego przekształcenia typu:

Przekształcenie to wykorzystujemy do określenia

Przekształcenie to wykorzystujemy do określenia

zależności na błąd średni prognozy (wariancję

zależności na błąd średni prognozy (wariancję

prognozy):

prognozy):

wariancja prognozy dla trendu liniowego

wariancja prognozy dla trendu liniowego

(zlinearyzowanego)

(zlinearyzowanego)

)

ln

~

:.

(

)

(

~

t

t

t

t

y

y

np

y

g

y





2

'

'

2

*

|

~

)

~

(

ˆ

)

(

ˆ

ˆ

































y

dy

y

d

U

V

U

V



)

~

(

ˆ

'



U

V

*

ln

1

|

1

|

ln

|

)

(

|

~

*

*

*

*

























y

y

dy

y

d

dy

y

dg

dy

y

d

y

y

g

y

y











Prognoza przedziałowa (1)

Prognoza przedziałowa polega na wyznaczeniu

Prognoza przedziałowa polega na wyznaczeniu

takiego przedziału, do którego z zadanym

takiego przedziału, do którego z zadanym

prawdopodobieństwem będzie należała przyszła

prawdopodobieństwem będzie należała przyszła

wartość zmiennej prognozowanej. Formalnie

wartość zmiennej prognozowanej. Formalnie

można zapisać to następująco:

można zapisać to następująco:

I

I

p

p

– prognozowany przedział,

– prognozowany przedział,





-

-

prawdopodobieństwo znalezienia się przyszłej

prawdopodobieństwo znalezienia się przyszłej

wartości zmiennej

wartości zmiennej

Y

Y

w przedziale

w przedziale

I

I

p

p

.

.

Do konstrukcji prognozy przedziałowej

Do konstrukcji prognozy przedziałowej

konieczna jest znajomość rozkładu zmiennej

konieczna jest znajomość rozkładu zmiennej

Y

Y

w

w

chwili

chwili





.

.

Rozpatrzmy model addytywny z liniową funkcją

Rozpatrzmy model addytywny z liniową funkcją

trendu:

trendu:







 }

{

p

I

Y

P

t

t

t

Y















Prognoza przedziałowa (2)

Oprócz dotychczasowych założeń o składniku

Oprócz dotychczasowych założeń o składniku

losowym:

losowym:

przyjmujemy dodatkowo, że:

przyjmujemy dodatkowo, że:

Przy powyższych założeniach można wykazać, że:

Przy powyższych założeniach można wykazać, że:

oraz

oraz

rozkład t-Studenta z n-2

rozkład t-Studenta z n-2

stopniami

stopniami

swobody (n- liczba

swobody (n- liczba

elementów szeregu

elementów szeregu

czasowego)

czasowego)

Zatem, prognozę przedziałową można wyznaczyć

Zatem, prognozę przedziałową można wyznaczyć

według opisanej dalej procedury.

według opisanej dalej procedury.

























t

dla

E

E

E

t

t

t

0

}

{

,

}

{

,

0

}

{

2

2

)

,

0

(

~







N

)

ˆ

,

0

(

~

*

'











N

Y

Y

U







 2

'

~

ˆ

n

t

U







Prognoza przedziałowa (3)

Z tablic rozkładu t-Studenta można odczytać

Z tablic rozkładu t-Studenta można odczytać

wartość taką, że:

wartość taką, że:

Powyższą zależność można zapisać w postaci:

Powyższą zależność można zapisać w postaci:

dalej:

dalej:

czyli:

czyli:

2

,

1





n

t

































2

,

1

'

ˆ

n

t

U

P









































2

,

1

'

2

,

1

ˆ

n

n

t

U

t

P













































2

,

1

*

2

,

1

ˆ

n

n

t

Y

Y

t

P















































2

,

1

*

2

,

1

*

ˆ

ˆ

n

n

t

Y

Y

t

Y

P

Prognoza przedziałowa (4)

Zatem ostatecznie:

Zatem ostatecznie:

Jeśli założenie, że

Jeśli założenie, że

nie jest adekwatne

nie jest adekwatne

do posiadanych danych rzeczywistych, to do

do posiadanych danych rzeczywistych, to do

wyznaczenia prognozy przedziałowej można

wyznaczenia prognozy przedziałowej można

wykorzystać znaną z rachunku

wykorzystać znaną z rachunku

prawdopodobieństwa nierówność Czebyszewa:

prawdopodobieństwa nierówność Czebyszewa:

W naszym modelu można zapisać to następująco:

W naszym modelu można zapisać to następująco:





2

,

1

*

2

,

1

*

ˆ

,

ˆ



















n

n

p

t

Y

t

Y

I

















)

,

0

(

~







N





2

1

1

u

u

EY

Y

P

Y









































































2

*

*

*

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

u

u

Y

Y

u

Y

P

u

Y

Y

P

Prognoza przedziałowa (5)

Dla zadanej wartości

Dla zadanej wartości





trzeba wyznaczyć u>0

trzeba wyznaczyć u>0

spełniające zależność:

spełniające zależność:















1

1

1

1

2

u

u

Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (1)

Jakość modelu, rozumianą jako dopasowanie do

Jakość modelu, rozumianą jako dopasowanie do

danych empirycznych (historycznych) w postaci

danych empirycznych (historycznych) w postaci

szeregu czasowego, można mierzyć za pomocą

szeregu czasowego, można mierzyć za pomocą

następujących wskaźników:

następujących wskaźników:

1. Wariancja resztowa:

1. Wariancja resztowa:

2. Odchylenie standardowe:

2. Odchylenie standardowe:

3. Współczynnik wyrazistości:

3. Współczynnik wyrazistości:

2

1

2

)

ˆ

(

2

1

t

n

t

t

y

y

n

s











2

s

s 

100





y

s

w

Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (2)

Współczynnik ten określa, jaką część średniej

Współczynnik ten określa, jaką część średniej

wartości zmiennej

wartości zmiennej

Y

Y

t

t

stanowi odchylenie

stanowi odchylenie

standardowe składnika resztowego. Im lepszy

standardowe składnika resztowego. Im lepszy

model, tym mniejsza wartość

model, tym mniejsza wartość

w

w

.

.

4. Współczynnik determinacji

4. Współczynnik determinacji

Interpretację tego współczynnika można określić

Interpretację tego współczynnika można określić

rozpatrując następujące przekształcenia i

rozpatrując następujące przekształcenia i

określenia:

określenia:

określmy jako całkowitą zmienność sumę

określmy jako całkowitą zmienność sumę

kwadratów odchyleń:

kwadratów odchyleń:

(total sum of squares)

(total sum of squares)















n

t

t

n

t

t

y

y

y

y

R

1

2

1

2

2

)

(

)

ˆ

(











SST

y

y

n

t

t

1

2

)

(

Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (3)

Zależność na SST można przekształcić przez

Zależność na SST można przekształcić przez

następujące podstawienie:

następujące podstawienie:

do

do

(

(

error sum of squares

error sum of squares

,

,

zmienność

zmienność

nieobjaśniona)

nieobjaśniona)

(

(

regression sum of

regression sum of

squares

squares

,

,

zmienność objaśniona)

zmienność objaśniona)

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

(

y

y

y

y

y

y

t

t

t

t



































n

t

t

n

t

t

t

n

t

t

y

y

y

y

y

y

SST

1

2

1

2

1

2

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

(



























n

t

t

n

t

t

n

t

t

t

SSR

y

y

SSE

e

y

y

1

2

1

2

1

2

)

ˆ

(

)

ˆ

(

Ocena dokładności dopasowania
modeli do szeregu czasowego (4)

Czyli:

Czyli:

Dla liniowego modelu trendu i MNK do estymacji

Dla liniowego modelu trendu i MNK do estymacji

parametrów zachodzi własność:

parametrów zachodzi własność:

Im wyższa wartość

Im wyższa wartość

R

R

2

2

tym lepsze dopasowanie

tym lepsze dopasowanie

modelu do danych. Jeśli

modelu do danych. Jeśli

R

R

2

2

=1

=1

to wszystkie punkty

to wszystkie punkty

szeregu leżą na prostej:

szeregu leżą na prostej:

Jeżeli

Jeżeli

R

R

2

2

=0

=0

to

to

i powyższa prosta jest

i powyższa prosta jest

równoległa do osi odciętych.

równoległa do osi odciętych.















2

2

,

1



SST

SSE

R

SST

SSR

SST

SSR

SST

SSE

SSR

SSE

SST

współczynnik
zbieżności

]

1

,

0

[

2



R

t

y

t











ˆ

ˆ

ˆ

y

y

t



ˆ

Przykład 1 (1)

Rozpatrzmy problem predykcji liczby noclegów

Rozpatrzmy problem predykcji liczby noclegów

udzielonych w hotelach na obszarze Polski. Dane

udzielonych w hotelach na obszarze Polski. Dane

za lata 1990-1998 umieszczone w tabeli:

za lata 1990-1998 umieszczone w tabeli:

Zadanie

Zadanie

Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe

Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe

liczby noclegów udzielonych w hotelach na lata

liczby noclegów udzielonych w hotelach na lata

1999, 2000, 2001. Prognozy zostaną uznane za

1999, 2000, 2001. Prognozy zostaną uznane za

dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym

dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym

błędem średnim nie większym niż

błędem średnim nie większym niż

4%,

4%,

a

a

wiarygodność prognoz przedziałowych powinna

wiarygodność prognoz przedziałowych powinna

wynosić

wynosić

0,95

0,95

.

.

Rok

Rok

90

90

91

91

92

92

93

93

94

94

95

95

96

96

97

97

98

98

Liczba

Liczba

noclegów

noclegów

(w mln)

(w mln)

6,1

6,1

1

1

6,5

6,5

0

0

6,7

6,7

7

7

7,1

7,1

5

5

7,52

7,52

8,05

8,05

8,5

8,5

3

3

8,8

8,8

9

9

9,2

9,2

8

8

Przykład 1 (2)

Procedura

Procedura

1.

1.

Graficzna reprezentacja szeregu

Graficzna reprezentacja szeregu

2.

2.

Dobór modelu trendu

Dobór modelu trendu

3.

3.

Estymacja parametrów

Estymacja parametrów

4.

4.

Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

•

Odchylenie standardowe składnika

Odchylenie standardowe składnika

resztowego

resztowego

•

Współczynnik wyrazistości

Współczynnik wyrazistości

•

Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji

5.

5.

Prognozy punktowe (względne średnie błędy

Prognozy punktowe (względne średnie błędy

prognozy, dopuszczalność prognozy)

prognozy, dopuszczalność prognozy)

6.

6.

Prognozy przedziałowe

Prognozy przedziałowe

Przykład 2

Wyposażenie gospodarstw domowych w

Wyposażenie gospodarstw domowych w

samochody osobowe w Polsce (w szt. na 100

samochody osobowe w Polsce (w szt. na 100

gospodarstw domowych) przedstawione jest w

gospodarstw domowych) przedstawione jest w

poniższej tabeli:

poniższej tabeli:

Zadanie

Zadanie

Na podstawie powyższych danych, wyznaczyć

Na podstawie powyższych danych, wyznaczyć

prognozy punktowe wyposażenia gospodarstw

prognozy punktowe wyposażenia gospodarstw

domowych w samochody osobowe na lata: 2000,

domowych w samochody osobowe na lata: 2000,

2001, 2002. Prognozy zostaną uznane za

2001, 2002. Prognozy zostaną uznane za

dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym

dopuszczalne, jeżeli będą obarczone względnym

błędem nie większym niż 3% (0,03).

błędem nie większym niż 3% (0,03).

Rok

Rok

90

90

91

91

92

92

93

93

94

94

95

95

96

96

97

97

98

98

99

99

l.

l.

Sam./100g.

Sam./100g.

d.

d.

33,

33,

2

2

38,

38,

3

3

41,

41,

4

4

43,

43,

9

9

45,

45,

7

7

45,

45,

8

8

47,

47,

9

9

49,

49,

2

2

50,

50,

3

3

51,

51,

8

8

Model trendu z wahaniami
okresowymi (1)

Przez wahania okresowe będziemy rozumieli

Przez wahania okresowe będziemy rozumieli

pewien cykl zmian, powtarzających się w tych

pewien cykl zmian, powtarzających się w tych

samych mniej więcej rozmiarach co jakiś, w

samych mniej więcej rozmiarach co jakiś, w

przybliżeniu stały, czas. Zjawisko znajduje się w tej

przybliżeniu stały, czas. Zjawisko znajduje się w tej

samej fazie zmian w momentach odległych od

samej fazie zmian w momentach odległych od

siebie o stały odstęp czasu lub jego wielokrotność.

siebie o stały odstęp czasu lub jego wielokrotność.

Okres, w którym występują wszystkie fazy wahań,

Okres, w którym występują wszystkie fazy wahań,

nazywamy okresem lub cyklem (cykl tygodniowy,

nazywamy okresem lub cyklem (cykl tygodniowy,

miesięczny , kwartalny).

miesięczny , kwartalny).

Aby analizować wahania o określonym cyklu,

Aby analizować wahania o określonym cyklu,

musimy posiadać dane statystyczne adekwatne do

musimy posiadać dane statystyczne adekwatne do

długości cyklu. Dla cyklu tygodniowego będą to

długości cyklu. Dla cyklu tygodniowego będą to

dane dla poszczególnych dni. Badane zjawisko

dane dla poszczególnych dni. Badane zjawisko

może podlegać różnym wahaniom o różnych

może podlegać różnym wahaniom o różnych

okresach. To, które wahania należy w modelu

okresach. To, które wahania należy w modelu

uwzględnić,a które pominąć, wynika z momentów

uwzględnić,a które pominąć, wynika z momentów

dla których będziemy wyznaczać prognozę. Dla

dla których będziemy wyznaczać prognozę. Dla

prognoz miesięcznych nie będą istotne wahania

prognoz miesięcznych nie będą istotne wahania

tygodniowe, czy dobowe.

tygodniowe, czy dobowe.

Model trendu z wahaniami
okresowymi (2)

Rozpatrujemy dwa typy modeli:

Rozpatrujemy dwa typy modeli:

-

addytywny:

addytywny:

-

multiplikatywny:

multiplikatywny:

gdzie

znaczenia

poszczególnych

wielkości

gdzie

znaczenia

poszczególnych

wielkości

występujących

w

powyższych

wzorach

są

występujących

w

powyższych

wzorach

są

następujące:

następujące:

y

y

ti

ti

– rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej

– rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej

Y

Y

w momencie

w momencie

t

t

i w

i w

i

i

-tej fazie cyklu;

-tej fazie cyklu;

–

–

wartość teoretyczna zmiennej

wartość teoretyczna zmiennej

prognozowanej

prognozowanej

Y

Y

obliczona z modelu tendencji

obliczona z modelu tendencji

rozwojowej w momencie

rozwojowej w momencie

t

t

i w

i w

i

i

-tej fazie

-tej fazie

cyklu;

cyklu;

r

i

n

t

c

y

y

i

i

ti

ti

,

1

,

,

1

,

ˆ













r

i

n

t

c

y

y

i

i

ti

ti

, 1

,

, 1

,

ˆ













ti

y

ˆ

Model trendu z wahaniami
okresowymi (3)

c

c

i

i

– wskaźnik sezonowości dla

– wskaźnik sezonowości dla

i

i

-tej fazy cyklu

-tej fazy cyklu

;

;





t

t

- składnik losowy

- składnik losowy

;

;

r – liczba faz (długość cyklu).

r – liczba faz (długość cyklu).

Model addytywny stosujemy wtedy, gdy amplitudy

Model addytywny stosujemy wtedy, gdy amplitudy

wahań w analogicznych fazach cyklu są w

wahań w analogicznych fazach cyklu są w

przybliżeniu takie same (

przybliżeniu takie same (

wahania bezwzględne

wahania bezwzględne

stałe

stałe

– Wykres

– Wykres

1

1

).

).

Natomiast zmiana amplitudy wahań w tym samym

Natomiast zmiana amplitudy wahań w tym samym

stosunku uprawnia nas do stosowania modelu

stosunku uprawnia nas do stosowania modelu

multiplikatywnego

multiplikatywnego

(

(

wahania względne stałe

wahania względne stałe

– Wykres

– Wykres

2

2

).

).

Model trendu z wahaniami
okresowymi (4)

model addytywny

0

10

20

30

40

50

60

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

model multiplikatywny

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

Wykres 1.

Wykres 1.

Wykres 2.

Wykres 2.

Model trendu z wahaniami
okresowymi (5)

Istnieje szereg metod analizy i predykcji zjawisk

Istnieje szereg metod analizy i predykcji zjawisk

ze składową okresową (periodyczną). Omówione

ze składową okresową (periodyczną). Omówione

zostaną dwie z nich:

zostaną dwie z nich:

–

metodę wskaźników,

metodę wskaźników,

–

metodę analizy harmonicznej.

metodę analizy harmonicznej.

Metoda wskaźników (sezonowości)

Metoda wskaźników (sezonowości)

Metoda ta składa się z następujących etapów

Metoda ta składa się z następujących etapów

:

:

1.

1.

wyodrębnienie trendu;

wyodrębnienie trendu;

2.

2.

usunięcia trendu z szeregu czasowego,

usunięcia trendu z szeregu czasowego,

3.

3.

usunięcia wahań przypadkowych,

usunięcia wahań przypadkowych,

4.

4.

wyznaczenia

czystych

wskaźników

wyznaczenia

czystych

wskaźników

sezonowości.

sezonowości.

Model trendu z wahaniami
okresowymi (6)

Etap 1

Etap 1

Wyznaczenie trendu w szeregu czasowym

Wyznaczenie trendu w szeregu czasowym

Tendencję rozwojową zjawiska można wyznaczyć

Tendencję rozwojową zjawiska można wyznaczyć

wykorzystując

np.

metodę

najmniejszych

wykorzystując

np.

metodę

najmniejszych

kwadratów).

kwadratów).

 

 

Etap 2

Etap 2

Wyodrębnienie trendu

Wyodrębnienie trendu

Dla

modelu

addytywnego

Dla

modelu

addytywnego

,

,

tendencję

tendencję

rozwojową można usunąć z szeregu czasowego

rozwojową można usunąć z szeregu czasowego

dokonując odjęcia od zmiennej rzeczywistej

dokonując odjęcia od zmiennej rzeczywistej

wartości teoretycznej , czyli

wartości teoretycznej , czyli

Natomiast

dla

modelu

multiplikatywnego

Natomiast

dla

modelu

multiplikatywnego

,

,

usunięcie trendu związane jest z podzieleniem

usunięcie trendu związane jest z podzieleniem

wartości rzeczywistej przez wartość teoretyczną ,

wartości rzeczywistej przez wartość teoretyczną ,

czyli:

czyli:

ti

ti

ti

y

y

z

ˆ





ti

ti

ti

y

y

z

ˆ



Model trendu z wahaniami
okresowymi (7)

W wyniku powyższych operacji otrzymamy szereg

W wyniku powyższych operacji otrzymamy szereg

czasowy

czasowy

z

z

ti

ti

, (

, (

t

t

=1,...,

=1,...,

n

n

;

;

i

i

=1,...,

=1,...,

r

r

) zawierający jedynie wahania

) zawierający jedynie wahania

przypadkowe i sezonowe.

przypadkowe i sezonowe.

Etap 3

Etap 3

Usunięcie wahań przypadkowych

Usunięcie wahań przypadkowych

Otrzymany w

Otrzymany w

yżej

yżej

szereg zawiera składowe

szereg zawiera składowe

przypadkowe, które w prezentowanej metodzie

przypadkowe, które w prezentowanej metodzie

można usunąć wykorzystując tzw.

można usunąć wykorzystując tzw.

surowe

surowe

wskaźniki sezonowości

wskaźniki sezonowości

z

z

i

i

(

(

i

i

=1,...,

=1,...,

r

r

). Oblicza się

). Oblicza się

je w następujący sposób:

je w następujący sposób:

gdzie

gdzie

n

n

oznacza ilość takich samych faz w

oznacza ilość takich samych faz w

badanym szeregu

badanym szeregu

(np. dla wahań kwartalnych w

(np. dla wahań kwartalnych w

okresie 3 lat

okresie 3 lat

n

n

jest równe 3).

jest równe 3).













1

0

,

1

n

j

i

r

j

i

i

z

n

z

Model trendu z wahaniami
okresowymi (8)

Surowe wskaźniki

Surowe wskaźniki

z

z

i

i

oblicza się więc jako średnią

oblicza się więc jako średnią

arytmetyczną elementów szeregu

arytmetyczną elementów szeregu

z

z

ti

ti

, z tych

, z tych

samych faz wszystkich okresów wahań.

samych faz wszystkich okresów wahań.

Etap

4

Etap

4

Obliczenie

czystych

wskaźników

Obliczenie

czystych

wskaźników

sezonowości

sezonowości

Czyste wskaźniki sezonowości

Czyste wskaźniki sezonowości

, oznaczane

, oznaczane

dalej

przez

dalej

przez

c

c

i

i

,

(

,

(

i

i

=1,...,

=1,...,

r

r

),

obliczamy

z

),

obliczamy

z

następujących zależności:

następujących zależności:

-         dla modelu addytywnego:

-         dla modelu addytywnego:

-         dla modelu multiplikatywnego (3.8.2):

-         dla modelu multiplikatywnego (3.8.2):

gdzie

gdzie

q

q

jest średnią arytmetyczną wskaźników

jest średnią arytmetyczną wskaźników

surowych:

surowych:

q

z

c

i

i





q

z

c

i

i



Model trendu z wahaniami
okresowymi (9)







r

i

i

z

r

q

1

1

Można zauważyć, że suma czystych wskaźników

Można zauważyć, że suma czystych wskaźników

c

c

i

i

dla modelu addytywnego jest równa zeru:

dla modelu addytywnego jest równa zeru:

zaś dla modelu multiplikatywnego, suma

zaś dla modelu multiplikatywnego, suma

wskaźników

wskaźników

c

c

i

i

wynosi

wynosi

r

r

, czyli:

, czyli:





0

1

1

1

1

1

1





































r

i

i

r

i

i

r

i

r

i

i

i

r

i

i

z

r

r

z

q

r

z

q

z

c

r

c

r

i

i





1

Model trendu z wahaniami
okresowymi (10)

Prognozę zmiennej Y na chwilę przyszłą

Prognozę zmiennej Y na chwilę przyszłą





>n

>n

wyznacza się w następujący sposób:

wyznacza się w następujący sposób:

-  dla modelu addytywnego

-  dla modelu addytywnego

:

:

-  dla modelu multiplikatywnego:

-  dla modelu multiplikatywnego:

gdzie

gdzie

oznacza prognozę zmiennej Y na okres

oznacza prognozę zmiennej Y na okres





obliczoną na podstawie modelu tendencji

obliczoną na podstawie modelu tendencji

rozwojowej (czyli bez uwzględnienia wahań

rozwojowej (czyli bez uwzględnienia wahań

sezonowych).

sezonowych).

i

i

i

c

y

y





*

*

ˆ





i

i

i

c

y

y





*

*

ˆ





*

ˆ

i

y



Model trendu z wahaniami
okresowymi (11)

W badaniach rozwoju zjawisk podlegających

W badaniach rozwoju zjawisk podlegających

wahaniom sezonowym bardzo często wykorzystuje

wahaniom sezonowym bardzo często wykorzystuje

się modele budowane z zastosowaniem

się modele budowane z zastosowaniem

analizy

analizy

harmonicznej

harmonicznej

. Polega ona na tym, że funkcję

. Polega ona na tym, że funkcję

reprezentującą

zachowanie

się

zjawisk

z

reprezentującą

zachowanie

się

zjawisk

z

sezonowością można przedstawić w postaci sumy

sezonowością można przedstawić w postaci sumy

funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych. Funkcje

funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych. Funkcje

te o zadanym okresie nazywa się

te o zadanym okresie nazywa się

harmonikami

harmonikami

.

.

Przykładowa

postać

modelu

zjawiska

Przykładowa

postać

modelu

zjawiska

konstruowanego z wykorzystaniem harmonik jest

konstruowanego z wykorzystaniem harmonik jest

następująca

następująca

:

:

 

 

 

 

g

g

dzie

dzie

:

:

p

p

– liczba obserwacji;

– liczba obserwacji;

A

A

i

i

, B

, B

i

i

–

–

współczynniki

przy

harmonikach

szacowane

współczynniki

przy

harmonikach

szacowane

metodą najmniejszych kwadratów

metodą najmniejszych kwadratów

.

.















































2

/

1

0

2

cos

2

sin

p

i

i

i

t

it

p

B

it

p

A

a

y



