Pole grawitacyjne

 
 
 

2

B

A

Mm

F G

r

F

F

=

>

gdzie:

M – ciało o masie M, źródło pola
m – ciało próbne o masie m, nie deformuje pola wytworzonego przez źródło

W  otoczeniu  każdego  ciała  przestrzeń  posiada  tę  właściwość,  że  w  każdym  jej 
punkcie  na  ciało  próbne  działa  siła  grawitacyjna.  Mówimy,  że  każde  ciało 
wytwarza 

pole grawitacyjne.

 
W  celu  scharakteryzowania  pola  grawitacyjnego  wprowadzamy  wielkość,  która 
nie zależy od ciała próbnego, tzw. 

natężenie pola grawitacyjnego

.

 

   

def

F

m

g =

r

r

- definicja wielkości fizycznej

 

 

Wartość liczbowa 

  jest równa wartości siły działającej na punkt materialny o 

masie m = 1 kg umieszczony w danym miejscu pola.
Kierunek       jest taki, jak kierunek siły     . W przypadku masy punktowej M 
(lub ciała w kształcie kuli)      ma kierunek radialny.

g

r

g

r

F

r

2

Mm

G

r

m

g =

2

M

G

r

g =

- prawo fizyczne

M

g

r

g

r

Pole centralne

linie sił pola

g

r

 

 

Zasada superpozycji pól

 
 

M

1

, M

2

 – źródła pola

 
Natężenie pola 
grawitacyjnego
w punkcie P jest równe:
 

1

2

g g g

= +

r r

r

Przy powierzchni Ziemi:

 



k

 =3,4 x 10

-5

  m/s

2

 



s

 =5,6 x 10

-3

  

m/s

2

 



z

 = 9,8 m/s

2

 

 

 

Dla niewielkich wysokości ponad Ziemią oraz dla niewielkiego 
obszaru powierzchni Ziemi możemy przyjąć, że linie pola 
grawitacyjnego przebiegają równolegle.

 

 

pole jednorodne

 

const

g =

uuuuur

r

W dużych odległościach od Ziemi (h duże 
względem R)

W pobliżu Ziemi dla h << R

2

(

)

M

G

R h

g =

+

2

M

G

R

g =

 

 

Pojęcie pracy

{

{

 

 

,

     

dl tak małe

elementarna

prace

żeF const

dW

F

dl

=

= �

r

uuuuuur

r

r

r

   

def

AB

W

F dl

=

�

�

r

r

cos

W Fs

a

= �

 

 

Jeśli: 

 

.

1

 = 0

W F s

= �

[ ] [

]

J

N m

=

�

3.     = 90

o

W

F s

=- �

- jednostka pracy (def.)

2.      = 180

o

 

- praca ujemna

W = 0

4.  Jeśli na ciało działa wiele sił, to praca wykonana nad ciałem równa 
się sumie prac poszczególnych sił.

1

2

1

2

...

...

n

n

dW F dl F dl

F dl

F F F

F

dW F dl

= � + � + + �

= + + +

= �

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

2

,  , ... , 

n

F F

F

r r

r

 

 

Praca siły grawitacyjnej

 
 

B

A

r

A B

g

r

W

F dl

dl

dr

�

=

�

=-

�

r

r

r

r

2

 

B

A

B

A

r

A B

r

r

A B

r

Mm

W

G

dr

r

Mm

W

G

r

�

�

=-

=

�

    0

A B

B

A

Mm

Mm

W

G

G

r

r

�

=

-

>

 

 

Obliczymy  pracę  siły  zewnętrznej                  przy  przeniesieniu  ciała  z 
punktu 
A do B.

z

g

F

F

=-

r

r

dl

dr

=-

1 8

0

a

=

o

dl

r

 elementarne przesunięcie

 

 

2

( 1)

 

(

) (

 ) 

     0 

B

A

B

A

B

A

r

A B

z

r

r

A B

r

r

A B

r

A B

B

A

A B

A

B

W

F dl

Mm

W

G

dr

r

Mm

W

G

r

Mm

Mm

W

G

G

r

r

Mm

Mm

W

G

G

r

r

�

�

�

�

�

=

�

=-

-

=-

= -

- -

=

-

<

�

�

r

r

Jeśli              to
 

A

r � �

B

B

Mm

W

G

r

��

=-

Praca siły zewnętrznej przy przenoszeniu ciała m z nieskończoności do 
dowolnego punktu pola centralnego P wynosi:

P

P

Mm

W

G

r

��

=-

energia potencjalna ciała m w punkcie B pola

 

 

Obliczmy  wartość  tej  pracy  przy  przeniesieniu  masy 
próbnej m = 1 kg.

B

P

W

M

G

m

r

��

=-

Tę  wielkość  fizyczną,  która  definiujemy  jako  stosunek  pracy 
wykonanej  przez  siłę  zewnętrzną                                        przy  przeniesieniu 
punktu materialnego o masie m = 1 kg z nieskończoności do danego 
punktu  P  pola,  nazywamy  potencjałem  w  danym  punkcie  pola  (lub 
potencjałem danego punktu pola).

z

g

F

F

=-

r

r

   

def

P

P

W

m

j

��

=

P

P

M

G

r

j =-

gdzie:
M – masa źródła pola
r

P

 

– 

odległość 

wybranego 
punktu P pola od źródła 
pola

 

 

W  przypadku  np.  dwóch  źródeł  pola  M

1

  i  M

2

  potencjał  w 

punkcie P pola 

1

2

j

j

j

= +

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

M

G

r

M

G

r

M

M

G

G

r

r

j

j

j

=-

=-

�

� �

�

= -

+ -

�

� �

�

�

� �

�

(

)

B

A

W m
W m

j

j

j

=

-

= �

D

 

 

Praca sił zachowawczych

 

'

'

'

'

A

A

B

B

A

A

B

B

r

r

r

r

j

j

j

j

=
=

=
=

'

'

0
0

B B

A A

W
W

�

�

=
=

' '

' '

0

AB

B A

ABA B

W

W

W

=-

=

 

 

             

Pole grawitacyjne jest polem sił zachowawczych. 

Praca sił zachowawczych po krzywej zamkniętej jest równa zero.

'

'

A

A

B

B

j

j

j

j

=
=

 

 

Związek między siłą grawitacji i potencjałem grawitacyjnym
 

Siły pola są 
prostopadłe do 
powierzchni 
ekwipotencjalny
ch i zwrócone 
są w stronę 
malejącego 
potencjału 

(

)

A

B

j

j

>

grad 

g

j

=-

r

Gradient  potencjału  (grad 

)  jest  to  wektor,  którego  wartość  jest 

równa szybkości wzrostu potencjału w kierunku linii sił pola.
Wartość wektora grad 

 w tym przypadku równa się 

d

dr

j

 

1

2

1

2

j

j

j

j

j

>

D = -

Wartość wektora grad 
 

w tym przypadku 
równa się 

d

dh

j

 

 

Praca siły ciężkości w polu 
jednorodnym

2

2

1

1

2

1

1

2

0

(

) (

)

     0

h

h

h

h

dl

dh

W

mg dh

mgh

mgh

mgh

W mgh mgh

a

=-

=

=-

� =-

= -

- -

=

-

>

�

Praca  równa  się  różnicy  dwóch 
wyrażeń,  które  są  funkcjami  wysokości 
(położenia).  Wyrażenie  mgh  nazywamy 
energią  potencjalną  ciężkości  układu: 
Ziemia-ciało.

p

mgh

e =

Potrafimy 

określić 

przyrost 
energii 

potencjalnej 

ciężkości

p

W

e

=D

 

 

Praca 

wykonana 

przy 

konstrukcji układu 
mas  punktowych  o  zadanej 
konfiguracji.

Obliczamy  pracę  siły  zewnętrznej  przy  przeniesieniu  masy  m

2

  z    na 

odległość r

12

 do masy m

1

.

1

2

12

12

mm

W

G

r

=-

Następnie obliczamy pracę przy przeniesieniu masy  m

3

 z  na odległość r

13

 

do masy m

1

.

1

3

13

13

mm

W

G

r

=-

Nie  uwzględniając  obecności  masy  m

1

  obliczamy  pracę  przy 

przesunięciu masy  m

3

 z  na odległość r

23

 do masy m

2

.

12

12

23

1

2

1

3

2

3

12

13

23

W W W W

mm

mm

mm

W

G

G

G

r

r

r

=

+

+

�

� �

�

�

�

= -

+ -

+ -

�

� �

�

�

�

�

� �

� �

�

23

3

2

23

r

m

m

G

W





 

 

Praca 

siły 

sprężystości

2

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

180 ;    cos

1

2

2

2

x

s

x

x

x

x

x

W

F dx

kx

W

kx dx

kx

kx

W

a

a

=

�

=

=-

=-

� =

=

-

�

�

o

r

r

r

Praca W równa jest różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami 
wychylenia ciała z położenia równowagi.

2

2

p

kx

e =

      energia potencjalna 
sprężystości 

p

W

e

=D

 

 

Praca  siły  F  przy  rozpędzaniu  ciała  o  masie  m  od  prędkości  o 
wartości v

1

 

do prędkości o wartości v

2

.

2

2

(

)

2

2

dW F dl

dp

F

dt

dp

dW

dl

dt

dl

dW dp

dt

dW d mv v

dW m dv v mv dv

v

dW m d

mv

dW d

= �

=

=

�

= �

=

�

= � �=

�

� �

= �� �

� �

�

�

= � �

�

�

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

r r

r r

2

2

2

cos0

(

)

2

( ) 2

2

v v v v

v

d v v

v dv dv v

v dv

d v

v dv

v

d

v dv

�= ��

=

� = � + �= �

= �

� �

= �

� �

� �

o

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Obliczenia pomocnicze:

 

 

 

Oznaczmy wyrażenie 

Wyrażenie to nazwijmy energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z 
prędkością v.

2

2

1

1

;    

;    

k

k

k

k

k

dW d

W

d

W

W

e

e

e

e

e

=

=

=

-

=D

�

2

2

2

1

2

2

mv

mv

W =

-

   

Praca W jest równa różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami prędkości.

Energia jest funkcją stanu

 

funkcją położenia

 energia grawitacyjna

funkcją wychylenia

 energia potencjalna sprężystości

funkcją prędkości

 energia kinetyczna

k

mv





2

2

 

 

Zasada zachowania energii

 

W przypadku układu odosobnionego                  suma energii potencjalnej i 
kinetycznej jest stała.

(

)

0

z

F =

�

r

p

k

const

e

e

+ =