Granica funkcji. 

Punkt skupienia

 

 

Granica funkcji.

Otoczenie, sąsiedztwo

 

 

Granica funkcji

Granica właściwa funkcji w punkcie

 

 

Granica funkcji

Granica właściwa funkcji w punkcie

 

 

Granica funkcji

Granica właściwa funkcji w punkcie

 

 

Granica funkcji

Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

DEFINICJA

 HEINEGO

 

 

 





 













































n

n

n

n

n

x

def

x

x

x

f

x

x

N

n

x

S

x

x

f

n

lim

lim

,

lim

0

0

0

 

 

Granica funkcji

Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

 

 

Granica funkcji

Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

DEFINICJA CAUCHY’EGO

 

 















































M

x

f

x

x

x

f

x

M

def

x

x





0

0

0

lim

0

 

 

Granica funkcji

Granica jednostronna

 

 

 





 

















































n

n

n

n

n

x

def

x

x

x

f

x

x

N

n

x

S

x

x

f

n

lim

lim

,

lim

0

0

0

DEFINICJA HEINEGO

 

 

 





 

















































n

n

n

n

n

x

def

x

x

x

f

x

x

N

n

x

S

x

x

f

n

lim

lim

,

lim

0

0

0

 

 

Granica funkcji

Granica jednostronna

DEFINICJA CAUCHY’EGO

 

 

















































M

x

f

x

x

x

x

f

x

M

def

x

x

0

0

0

0

lim





 

 

















































M

x

f

x

x

x

x

f

x

M

def

x

x





0

0

0

0

lim

 

 

Granica funkcji

Granica jednostronna

 

 

 





 

















































n

n

n

n

n

x

def

x

x

x

f

x

x

N

n

x

S

x

x

f

n

lim

lim

,

lim

0

0

0

 

 

















































M

x

f

x

x

x

x

f

x

M

def

x

x

0

0

0

0

lim





 

 

 





 

















































n

n

n

n

n

x

def

x

x

x

f

x

x

N

n

x

S

x

x

f

n

lim

lim

,

lim

0

0

0

 

 

















































M

x

f

x

x

x

x

f

x

M

def

x

x





0

0

0

0

lim

 

 

Granica funkcji

Granica jednostronna

 

 

 





 









g

x

f

x

x

N

n

x

S

x

g

x

f

n

n

n

n

n

x

def

x

x

n









































lim

lim

,

lim

0

0

0

 

 

 





 









g

x

f

x

x

N

n

x

S

x

g

x

f

n

n

n

n

n

x

def

x

x

n









































lim

lim

,

lim

0

0

0

 

 



























































g

x

f

x

x

x

g

x

f

x

def

x

x

0

0

0

0

0

lim

 

 



























































g

x

f

x

x

x

g

x

f

x

def

x

x

0

0

0

0

0

lim

 

 

Granica funkcji

Granica jednostronna

 

 

Granica funkcji

 

 

 

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

x

x















0

0

0

lim

lim

lim

 

 

Granica funkcji

Granica funkcji w nieskończoności

 

 

Granica funkcji

 





 

 





 

















































n

n

n

n

n

x

def

x

x

f

x

N

n

S

x

x

f

n

lim

lim

,

lim

 

 

Granica funkcji

Granica funkcji w nieskończoności

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Twierdzenia o granicach

 

 

Asymptoty

 

 

Asymptota pionowa

 

 

Asymptota pionowa prawostronna

 

 

Asymptoty

 

 

Asymptota pozioma

 

 

Asymptota ukośna