PODSTAWY MECHANIKI

TECHNICZNEJ

Politechnika Łódzka, Wydział
Elektroniki
i Elektrotechniki
Mieczysław JARONIEK, Wydział
Mechaniczny
Katedra Wytrzymałości Materiałów

Literatura podstawowa

M. Jaroniek „Podstawy Mechaniki Technicznej dla
Studentów Wydziału Elektroniki i Elektrotechniki” -
Skrypt - Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2004
J. Leyko „Mechanika Ogólna” - PWN, Warszawa 1999
T. Niezgodziński, „Mechanika Ogólna” - PWN,
Warszawa 2000
M.E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Wytrzymałość
materiałów, PWN, Warszawa 2000
M.E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Zadania z
wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1997
Cwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów,
Praca zbiorowa pod red. M. Banasiaka, PWN,
Warszawa 2000
literatura uzupełniająca

A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość Materiałów, WNT, 1984
M. Banasiak, K. Grossman, M. Trombski: Zbiór zadań z
wytrzymałości materiałów, PWN, Warszawa 1998
M.E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Wzory wykresy i tablice
wytrzymałościowe, WNT Warszawa 1996

Literatura podstawowa

M. Jaroniek „Podstawy Mechaniki Technicznej dla
Studentów Wydziału Elektroniki i Elektrotechniki” -
Skrypt - Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2004
J. Leyko „Mechanika Ogólna” - PWN, Warszawa 1999
T. Niezgodziński, „Mechanika Ogólna” - PWN,
Warszawa 2000
M.E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Wytrzymałość
materiałów, PWN, Warszawa 2000
M.E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Zadania z
wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1997
Cwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów,
Praca zbiorowa pod red. M. Banasiaka, PWN,
Warszawa 2000
literatura uzupełniająca

A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość Materiałów, WNT, 1984
M. Banasiak, K. Grossman, M. Trombski: Zbiór zadań z
wytrzymałości materiałów, PWN, Warszawa 1998
M.E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Wzory wykresy i tablice
wytrzymałościowe, WNT Warszawa 1996

Prawa mechaniki Newtona.
Zasady statyki. WiĘzy i ich reakcje

Prawa mechaniki Newtona.
Zasady statyki. WiĘzy i ich reakcje

1. Punkt materialny na który nie działa żadna siła

pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem

jednostajnym po linii prostej....

2. Przyspieszenie punktu materialnego jest wprost prop.

do siły działającej na ten punkt i ma kierunek

siły..... P=mp.

3. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów

materialnych są równe co do wartości bezwzględnej,

lecz przeciwnie skierowane i działają wzdłuż prostej

łączącej te punkty

Zasady statyki.



Z. równoległoboku

2.

Zasada równowagi „=” P = P



Zasada układu zerowego „0”



Zasada zesztywnienia



Zasada działania i przeciwdziałania (A i R )



Zasada oswobodzenia od więzów reakcji

 

P

2

P

1

R





A

R



cos

2

2

1

2

2

2

1

P

P

P

P

R







Q

S

S

P

y

x

R

AY

R

AX

-S

S

P

-P

Układ zerowy

Zasada równowagi

-S

S

S

+S

S

b)

Więzy i ich reakcje

  Więzami nazywamy sposób połączenia elementów konstrukcji, tak aby nie stawały się
mechanizmami.
Rozróżniamy następujące rodzaje więzów – sposobów połączenia lub zamocowania
elementów konstrukcji:
1.      Przegub kulisty – posiada trzy składowe reakcji Rx, Ry, Rz
2.      Przegub walcowy – nazywany podporą przegubową nieprzesuwną - posiada dwie
składowe reakcji Rx, Ry
3.      Podpora przesuwna – oparta na podporach rolkowych – jedna reakcja Ry skierowana jest
prostopadle do płaszczyzny przesuwu rolek
4.      Utwierdzenie - posiada trzy składowe reakcji Rx, Ry, Mu

R

y

R

y

R

x

R

z

R

R

x

R

y

R

y

R

x

R

y

R

y

P

M

u

R

x

Podpory przegubowo – przesuwne oraz podpory
przegubowe
( nieprzesuwne ) mostu na rzece Warcie w Konopnicy

Podpory przegubowo – przesuwne oraz podpory
przegubowe
( nieprzesuwne ) mostu na rzece Warcie w Konopnicy

Podpory przegubowo – przesuwne

Podpory przegubowe – nieprzesuwne

Płaski układ sił zbieżnych - warunki
równowagi.

R

y

R

x

R

y

P

M

u

R

x

P

q

[N/m]

R

x

R

y

R

P

1

P

2

P

2y

P

1x

P

i

P

ix

= P

i

cos



i

P

iy

=Pisin



i



i

P

2x

2

1

2

1





































n

i

iy

n

i

ix

P

P

R







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

h

R

O

R

R

R

x

= Rcos



R

y

=Rsin





M=Rh

R

R

Dowolny płaski układ sił.
Redukcja wypadkowej układu sił do wektora głównego i
momentu głównego

x

y

P

1

P

2

P

3

P

i

P

n

O

Zasady algebry wektorów

 

Wektorami nazywamy wielkości definiowane przez kierunek (linię działania),

wartość bezwzględną (moduł) oraz zwrot (np. siła, przyspieszenie,
prędkość).

a) Geometryczna interpretacja wektora, b) wektor we

współrzędnych

kartezjańskich na

płaszczyźnie.

A

B

P

i

a)

x

y



b )

j

P

y





i



P



i

P

x





j



2

2

y

x

P

P

P







j

P

i

P

P

y

x















Suma i różnica wektorów

 

Sumę i różnicę dwóch wektorów na płaszczyźnie zapisujemy następująco

x

y

A

A

x



i

C



i

j

B

x



i

A

y



j

B

y



j

B

x



i

B

x

y

A

A

x



i

C

-

i

j

B

x



i

A

y



j

B

y



j

- B

j

B

i

B

j

A

i

A

B

A

y

x

y

x































j

B

A

i

B

A

B

A

C

y

y

x

x



























)

(

)

(

j

C

i

C

B

A

C

y

x























Iloczyn skalarny Iloczyn
wektorowy

 

Geometryczna interpretacja iloczynu skalarnego Wartość iloczynu
wektorowego można
obliczyć na podstawie
wyznacznika

A

B



|B| cos 

S = |A| |B| cos 

C

A

B

C

=

A

x

B



i



j



k





sin

B

A

C





z

y

x

z

y

x

B

B

B

A

A

A

k

j

i

C











Moment siły względem punktu Moment siły
względem osi

 

Moment siły P jest iloczynem wektora r oraz siły P Moment siły P
względem osi z jest równy
rzutowi na tę oś
momentu M

o

.

O

P

M=  P r sin



h=r sin





M=

r

 P

r

A

B

z

y

x

z

y

x

P

P

P

r

r

r

k

j

i

P

r

M



















M

0

P

M

z

=  P h





A

B

B

A

P

h

r

O

z

M

z

=

r

 P

r

h

i

O

P

i

P

ix

= P

i

cos



i

P

iy

=Pisin



i



i

h

i

O

P

i

P

i

P

ix

= P

i

cos



i

P

iy

=Pisin



i



i

M=P

i

h

i

P

i







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

0

1







n

i

iA

M

Przesunięcie siły P

i

z punktu A do dowolnego punktu O

Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił.

h

i

O

P

i

P

ix

P

iy



i

M=P

i

h

i

A

h

i

O

P

i

P

ix

P

iy



i

M=P

i

h

i

A

h

i

O

P

i

P

i

P

ix

= P

i

cos

i

P

iy

=Pisin

i



i

M=P

i

h

i

P

i

Przesunięcie siły Pi z punktu A do dowolnego
punktu O

h

i

O

P

i

P

ix

= P

i

cos



i

P

iy

=Pisin



i



i

h

i

O

P

i

P

ix

P

iy



i

M=P

i

h

i

A

h

i

O

P

i

P

i

P

ix

= P

i

cos



i

P

iy

=Pisin



i



i

M=P

i

h

i

P

i







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

0

1







n

i

iA

M

h

R

O

R

R

R

x

= Rcos



R

y

=Rsin





M=Rh

R

R

Redukcja układu sił do wektora głównego R i momentu
głównego M. Przesunięcie wektora R do dowolnego
punktu O

Redukcja układu sił do wektora głównego R i momentu
głównego M. Przesunięcie wektora R do dowolnego
punktu O







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

0

1







n

i

iA

M

P

M

c

=2Pl

=30

0

l

l

l



A

B

C

D





R

AY

R

AX

R

D

Przykład dowolnego płaskiego układu sił.

Sztywna belka AD jest podparta przegubowo w
punkcie A oraz na podporze rolkowej D
położonej na płaszczyźnie nachylonej pod kątem
 do poziomu.

Przykład dowolnego płaskiego układu sił.

Sztywna belka AD jest podparta przegubowo w
punkcie A oraz na podporze rolkowej D
położonej na płaszczyźnie nachylonej pod kątem
 do poziomu.

R

x

R

y

R

P

1

P

2

P

3

P

1

P

2

P

3

x

y

P

1

P

2

P

3

R

y

R

R

x

P

1

+P

2

R=P

1

+P

2

+P

3

2

1

2

1





































n

i

iy

n

i

ix

P

P

R

2

2

y

x

R

R

R











n

i

iy

P

1

0







n

i

ix

P

1

0

0

1







n

i

iA

M

Płaski układ sił - warunki
równowagi.

Obliczyć reakcje

Obliczyć reakcje

P

45

0

a

b

a



A

B

C

R

AX

R

AY

R

CX

R

CY

x

y

Przykład dowolnego płaskiego układu sił

.

Obliczyć reakcje

Przykład dowolnego płaskiego układu sił

.

Obliczyć reakcje

P

45

0

a

b

a



A

B

C

P

45

0

a

b

a



A

B

C

R

AX

R

AY

R

CX

R

CY

x

y

P



C

R

BX

R

BY

R

CX

R

CY

P



C

R

CX

R

CY

S

B

B

45

S

45

0

a

S=R2



A

B

R

AX

R

AY

R

BX

R

BY

x

y

S=R2

P

45

0

a

b

a



A

B

C

R

AX

R

AY

R

CX

R

CY

x

y

P

45

0



C

S

R

CX

R

CY

x

y

S

A

B

Przykłady zastosowania płaskiego układu sił
zbieżnych do wyznaczenia reakcji.

Przykłady zastosowania płaskiego układu sił
zbieżnych do wyznaczenia reakcji.

Obliczyć reakcje na podporze C oraz siłę S w pręcie BD,
mając dane: a, b, l, , E, Rm , n, P

Obliczyć reakcje na podporze C oraz siłę S w pręcie BD,
mając dane: a, b, l, , E, Rm , n, P

P

E, F

=30

0

a

b

l



S

R

CY

R

CX

B

A

C

D

S

S

P

E, F

=30

0

a

b

l



A

B

C

D

P

E, F

=30

0

a

b

l



S

R

CY

R

CX

B

A

C

D

S

S

Aby rozwiązać zadanie, należy rozwiązać układ 3 równań
równowagi przy czym siłę S należy obliczyć z warunku
sumy momentów względem
punktu C, a następnie wykorzystując pozostałe równania
obliczyć reakcje

.







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

0

1







n

i

iC

M

0

sin







CX

R

S



0

cos











CY

R

S

P



0

cos

)

(













b

S

b

a

P





cos

)

(







b

b

a

P

S

P

E, F

=30

0

a

b

l



S

R

CY

R

CX

B

A

C

D

S

S

Aby rozwiązać zadanie, należy rozwiązać układ 3 równań
równowag przy czym obciążenie ciągłe zastępujemy siłą
wypadkową Q=q (2l )

R

BY

R

A

P=ql

x

2 l

q [“a” kN/m ]

l/2

R

BX

y

R

BY

R

A

P=ql

x

2 l

q [“a” kN/m ]

l/2

R

BX

y

Prawa tarcia
 
1. Wartość siły tarcia nie zleży od wielkości stykających się
powierzchni, ale od ich rodzaju (rodzaj powierzchni, stan
chropowatości i tp.)
2. Wartość siły tarcia zleży od nacisku normalnego i zawiera się
w granicach 0TT

max

=N

3.Zwrot (kierunek) siły tarcia jest przeciwny do kierunku ruchu

Q

S
=
Q

N = Q

T= N



Q

Q sin

R = Q

T= N



Q cos

N





Q

Q sin

R = Q

T= N



Q cos

N





e

C



h/2

x

y

W obliczeniach należy uwzględniać wymiary ciała i wówczas siły
działające na element muszą spełniać warunki równowagi
płaskiego układu sił

Równania równowagi dla ciała, leżącego na równi nachylonej pod
kątem  mają postać



oraz



sin

0

1













Q

T

P

n

i

ix



cos

0

1













Q

N

P

n

i

iy





























2

sin

0

1

h

Q

e

N

M

n

i

iC





tg

h

e

















2









cos

sin















Q

Q

N

T





tg



h

b

a

r



M



c

S

S

Obliczyć siłę S potrzebną do zahamowania koła o promieniu r
obciążonego momentem M. Dane : M, a, b, c, r, h, .

h

b

a



M

c

S

N

T

N

N

T

T

r



N

T

S

Sposób oswobodzenia od więzów reakcji oraz podział konstrukcji
hamulca na podstawowe elementy

Obliczyć siłę S potrzebną do zahamowania koła o promieniu r
obciążonego momentem M. Dane : M, a, b, c, r, h, .

h

S

S

b

a

a

r



M



c

S

S

S

S

Sposób oswobodzenia od więzów reakcji oraz podział konstrukcji
hamulca na podstawowe elementy

h

b

a



M

c

S

S

N

1

T

1

N

1

N

2

T

2

T

1

r



N

2

T

2

S

a

Q

S
=

Q

N = Q

T= N



Q

Q sin

R = Q

T= N



Q cos

N





 P

ix

=0 T=Q sin   P

iy

=0 N=Q cos 

T= N zatem  Q cos  = Q sin  

= tg 

S

2

S

1

S

2

S

S

1

S+dS

dN

dT

dT=dN

d

d/2

d/2

d/2



d









e

S

S

e

C

S









1

2











d

S

dS

Sd

dN

dT

dS













S

2

 S

1

S

2

S

S

1

S+dS

dN

dT

dT=dN

d

d/2

d/2

d/2



d







 

 





 

 



0

2

/

sin

2

/

sin

0

2

/

cos

2

/

cos





























d

dS

S

d

S

dN

dT

d

dS

S

d

S

Rozpatrując warunki równowagi elementu cięgna otrzymujemy zależności
między elementarną siłą tarcia dT i przyrostem siły dS. Dla elementarnych
kątów d  0  cos (d

/2)  1 oraz sin(d/2)  0 otrzymujemy zależności

między siłą tarcia dT oraz przyrostem siły dS.
dla  = 0 siła S = S

1

skąd C = S

1

oraz dla  =  S = S

2

otrzymujemy

wartość siły S

2

dla kąta opasania walca  oraz współczynnika tarcia .











d

S

dS

Sd

dN

dT

dS



















Sd

dN

dN

dT

dS

dT













d

S

dS









A

S











ln

S

e

A













e

C

S







e

S

S





1

2

Kratownice

Kratownice



Kratownicami
nazywamy konstrukcje
składające się z
prętów połączonych ze
sobą w taki sposób,
który zapewnia
geometryczną
niezmienność
struktury, przy
założeniu, że pręty są
nieodkształcalne.
Klasycznym
przykładem kratownic
są konstrukcje
mostowe, słupy trakcji
wysokiego napięcia,
konstrukcje dźwigów,
suwnic i tym podobne.

P

E, F

a



P

a



a

=30

o



a

a

Obliczyć siły w prętach kratownicy przedstawionej na

rysunku - Warunek geometrycznej niezmienności układu

Obliczyć siły w prętach kratownicy przedstawionej na

rysunku - Warunek geometrycznej niezmienności układu

3

2 

 w

p

a)

b)

A

B

C

D

B

C

P

a



2P

a





a

=45

o

A

B

C

D

E

1

2

3

4

6

5

R

BX

R

CX

R

CY

R

BY

=0

Obliczyć siły w prętach kratownicy - najpierw należy obliczyć siły
w punktach podparcia B i C, następnie dla każdego węzła zapisać

układ 2 równań równowagi

Obliczyć siły w prętach kratownicy - najpierw należy obliczyć siły
w punktach podparcia B i C, następnie dla każdego węzła zapisać

układ 2 równań równowagi

P



2P





A

B

C

D

E

S

1

S

2

S

1

S

2

S

4

S

3

S

6

S

5

R

CX

R

CY

R

BX







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

P

E, F

a

a

l



2P

2a

a











Przykład kratownicy będącej konstrukcją nośną

pokrycia hangaru

Przykład kratownicy będącej konstrukcją nośną

pokrycia hangaru

Zagadnienia statycznie wyznaczalne







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0

0

1







n

i

iA

M

P

E, F

G

a

b

l



2P

a

a

A

B

D

C

P

S

G

a

b

l



2P

a

a

A

B

D

C

B

R

B

R

B

R

AY

R

DY

R

DX

R

AX

S

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne

Przykład konstrukcji statycznie niewyznaczalnej
– na podporach przesuwnych A i B wystąpią reakcje pionowe R

AY

i

R

BY

,

a na podporze C przegubowo - nieprzesuwnej dwie składowe
reakcji R

CX

i R

CY

, zatem mamy cztery niewiadome, a układu nie można

rozłożyć na prostsze elementy - układy statycznie niewyznaczalne
rozwiązujemy innymi metodami.

P

a

b

2P

a

a

A

B

C

R

AY

R

BY

R

CY

R

CX

2

1

2

1

2

1























































n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

P

P

P

R

2

2

2

z

y

x

R

R

R

R







2

1

2

1

2

1























































n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

M

M

M

M







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0







n

i

iz

P

1

0

0

1







n

i

ix

M

0

1







n

i

iy

M

0

1







n

i

iz

M

Dowolny przestrzenny układ sił - warunki
równowagi.

M

iy

P

i

P

ix

P

iz

P

iy

M

iz

M

ix

z

x

y

x

i

y

i

z

i

P

1

P

2

P

n

Obliczyć siły działające na łożyska p. A i B utrzymujące
wał, na którym zamocowano koła zamachowe (R

AY

, R

AZ

,

R

BX

, R

BY

, R

BZ

).

Dane do obliczeń: P, R, l.

2l

P

S

l

2R

A

B

R

l

S

R

P

2R

 d

2l

P

S

l

2R

A

B

R

l

S

R

P

2R

 d

z

x

z

y

y

R

Ay

R

Az

R

Bz

R

By

R

Bx

0

1







n

i

ix

M







n

i

ix

P

1

0







n

i

iy

P

1

0







n

i

iz

P

1

0

0

1







n

i

iy

M

0

1







n

i

iz

M

Aby rozwiązać zadanie, należy obliczyć siłę S na

podstawie sumy momentów względem osi x M

ix

=0, a

następnie wykorzystując

pozostałe równania równowag i obliczyć reakcje w

łożyskach.

Aby rozwiązać zadanie, należy obliczyć siłę S na

podstawie sumy momentów względem osi x M

ix

=0, a

następnie wykorzystując

pozostałe równania równowag i obliczyć reakcje w

łożyskach.

Obliczyć siły reakcji (RAY, RAZ, RBX, RBY, RBZ) w

łożyskach A i B utrzymujących wał, na którym

zamocowano koła.

Dane do obliczeń: P, R, l.

Obliczyć siły reakcji (RAY, RAZ, RBX, RBY, RBZ) w

łożyskach A i B utrzymujących wał, na którym

zamocowano koła.

Dane do obliczeń: P, R, l.

2l

P

2S

l

2R

A

B

R

l

R

P

2R

 d

S

S

2S

x

y

z

y

z

M

iy

G

1

G

2

G

i

G

n

M

iz

M

ix

z

x

y

x

i

y

i

z

i

G

3

M

iy

M

iz

M

ix

z

x

y

x

c

y

c

z

c

F

G=Fg

g

V

x

V

x

n

i

i

i

c











1

V

y

V

y

n

i

i

i

c











1

V

z

V

z

n

i

i

i

c











1

V

xdV

x

V

c





V

ydV

y

V

c





V

zdV

z

V

c





Środek sił równoległych - środki ciężkości
(G

i

=V

i



i

)



0

1







n

i

ix

M

c

n

i

i

i

n

n

x

G

x

G

x

G

x

G

x

G































1

2

2

1

1

....

G

x

G

x

n

i

i

i

c











1

 
 

1.

         

Współrzędna środka ciężkości łuku okręgu o promieniu r i

kącie 2

x

y

dl=r d



r sin



rcos



y=rcos





d





r

l

ydl

y

l

c

















sin

2

sin

2

cos

2

2

0

2

0

2

r

r

d

r

ydl

l

















sin

r

y

c







 r

l 2



r

y

c

2



1.

         

Współrzędna środka ciężkości wycinka koła o promieniu r

i kącie 2

x

y

F

r sin



rcos



2/3r



r





sin

3

2 r

y

c





r

y

c

3

4



 

Współrzędna środka ciężkości trójkąta o podstawie b
i wysokości h

x

y

dF=b(y) dy

b

h-y

h

y

b(y)

F

ydF

y

F

c





6

3

2

)

(

)

(

2

0

3

2

0

0

bh

y

h

b

y

b

dy

y

h

h

b

y

dy

y

b

y

ydF

h

h

h

F



































2

bh

F 

h

b

y

h

y

b





)

(

dy

y

h

h

b

dF







)

(

3

h

y

c



x

y

F

r sin



rcos



2/3r



r





sin

3

2 r

y

c





r

y

c

3

4



1.

           

Współrzędną środka ciężkości wycinka koła o

promieniu r i kącie 2 obliczamy wg tego samego wzoru

zakładając, że wycinek składa się nieskończonej liczby
trójkątów i zastępując linię o promieniu r linią o
promieniu r

s

=(2/3)r np. dla półkola =/2

Współrzędną środka ciężkości wycinka czaszy
kulistej (czaszy spadochronu) o promieniu r i kącie
2 obliczamy wg wzoru

x

z

dF=2



r sin



rd



r sin



rcos



z=rcos





d





r

h

z

c

h/2

C

dz

F

zdF

z

F

c

























2

3

0

2

3

0

3

sin

sin

cos

sin

2

r

r

d

r

zdF

F

















)

1

(cos

2

cos

2

sin

2

2

0

2

0

2







































r

r

d

r

dF

F

F

)

cos

1

(

2

1





 r

z

c

W przypadku powierzchni składającej się z kilku
elementów o znanych powierzchniach (F

i

) i znanych

współrzędnych środków ciężkości poszczególnych figur
(x

i

,y

i

) przy wyznaczaniu globalnych współrzędnych

należy korzystać ze wzorów













n

i

i

n

i

i

i

c

F

x

F

x

1

1













n

i

i

n

i

i

i

c

F

y

F

y

1

1

x

y

4a

3a

a

3a

3a

Twierdzenia Guldina - Papusa.

Powierzchnię bryły obrotowej jest iloczynem drogi środka ciężkości
linii (2x

c

), która jest tworzącą tej powierzchni pomnożoną przez

długość linii (l).
Objętość bryły obrotowej jest iloczynem drogi środka
ciężkości(2x

c

), powierzchni (F), która jest połową przekroju

poprzecznego pomnożoną przez tę powierzchnię.

l

x

F

c









2

F

x

V

c









2

x

c

=(4/3)(r/)

torus

V

t

=2X

c

S

r

S=r

2

r

x

c

V

k

=2x

c

S

p

=(4/3)r

3

S

p

=(1/2)

r

2

kula