ZAKŁAD OCHRONY I KSZTAŁTOWANIA
ŚRODOWISKA

WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA

PRZEDMIOT:

HYDROLOGIA

PROWADZĄCY:

dr inż. Bogdan Ozga-Zieliński

Dla:

Inżynieria Środowiska sem. III

ĆWICZENIA AUDYTORYJNE:

7

TEMAT :

Przepływy maksymalne roczne o określonym
prawdopodobieństwie przewyższenia.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
w ciągu N lat obserwacji.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
w ciągu N lat obserwacji.

Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
w ciągu N lat obserwacji.

Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5

Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
w ciągu N lat obserwacji.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
w ciągu N lat obserwacji.

Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5

Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
w ciągu N lat obserwacji.

Informacja ta jest niewystarczająca – szczególnie w odniesieniu do WWQ
Nie ma żadnej pewności co do możliwości wystąpienia takiego (lub bardziej
katastrofalnego) zdarzenia w przyszłości.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
w ciągu N lat obserwacji.

Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5

Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
w ciągu N lat obserwacji.

Najprostsze oszacowanie: Pr(WQ

N+1

>= WWQ) = 1/(N+1)

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych

Przepływy główne II rzędu

WWQ

SWQ

ZWQ

NWQ

Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
w ciągu N lat obserwacji.

Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
w ciągu N lat obserwacji.

Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5

Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
w ciągu N lat obserwacji.

Najprostsze oszacowanie: Pr(WQ

N+1

>= WWQ) = 1/(N+1)

Wniosek: Trzeba zastosować metody statystyczne do analizy własności losowych
przepływów maksymalnych rocznych WQ

i

(i =1, 2, …, N)

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Niejednorodność ciągów pomiarowych

Wykrywana metodami

genetycznymi

Wykrywana metodami

statystycznymi

Aprioryczna

Pomiarowa

(eksperymentu)

Czasowa

P

s

P

Wezbranie roztopowe

Wezbranie deszczowe

Q

Q

t

t

Zima

Lato

t

0

H

Zbudowanie zapory

t

Q

max

Q

max

t

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Ciągi przepływów maksymalnych rocznych pory zimowej i pory letniej

Rzeka: WISŁOK Wodowskaz: RZESZÓW

1953-2006 (54 lata obserwacji)

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Analiza własności losowych przepływów maksymalnych rocznych

pory zimowej

Dla przepływów maksymalnych rocznych pory letniej analiza przeprowadzona będzie
w ten sam sposób.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Analiza własności losowych przepływów maksymalnych rocznych

pory zimowej (zmienna losowa X)

Konwencja oznaczeń

-

Przepływ maksymalny roczny pory zimowej zaobserwowany w roku i

(i = 1, 2, …, N)

i

x

m

x

-

Przepływ maksymalny roczny pory zimowej jako element o numerze

m (m = 1, 2, …, N) w uporządkowanym nierosnąco ciągu

N

m

x

x

x

x











...

...

2

1

Dla przepływów maksymalnych rocznych pory letniej będą to odpowiednio
symbole oraz

i

y

m

y

Dla przepływów maksymalnych rocznych bez względu na genezę będą to
odpowiednio symbole oraz

m

z

i

z

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Analiza własności losowych przepływy maksymalnych rocznych

pory zimowej (zmienna losowa X)

54



N

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Histogram gęstości przepływów maksymalnych rocznych

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Histogram gęstości przepływów maksymalnych rocznych

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

)

(

0

x

f

g

x

N



 











Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

)

(

0

x

f

g

x

N



 











x

)

(x

f

0 100 200 300 400 500

Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

x

)

(x

f

0 100 200 300 400 500

Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X

Model teoretyczny dla wszystkich

możliwych wartości przepływów

maksymalnych rocznych

(populacji generalnej)

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

x

)

(x

f

0 100 200 300 400 500

)

200

100

Pr(











X

N

n

x

g

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

x

)

(x

f

0 100 200 300 400 500

)

200

100

Pr(











X

N

n

x

g













200

100

)

(

)

200

100

Pr(

x

x

dx

x

f

X

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

x

)

(x

f

0 100 200 300 400 500

)

100

Pr( 







X

x

g











100

)

(

)

100

Pr(

x

dx

x

f

X











x

dx

x

f

x

p

x

X

)

(

)

(

)

Pr(

Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia
zmiennej losowej X

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia

xN

n

g





x

0 100 200 300 400 500

54



N

x

)

(x

f

0 100 200 300 400 500

)

100

Pr( 







X

x

g











100

)

(

)

100

Pr(

x

dx

x

f

X

UWAGA!

Dla zmiennej losowej typu ciągłego

ale zdarzenie to nie jest niemożliwe!

0

)

Pr(



x

X

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa

x

)

(x

f

Rozkład gamma

GA

(Pearsona III typ)



































d

x

d

x

x

f

exp

)

(

)

(

)

(

1

Parametry:

Zakres zmienności:

d

X 

0





0





)

(





- funkcja gamma Eulera

d



λ

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa

x

)

(x

f

Rozkład Weibulla

WE

(Fishera-Tippetta III typ min.)

d



β

]

)

(

exp[

)

(

)

(

1













d

x

d

x

x

f















Parametry: ,

Zakres zmienności:

d

X 

0





0





Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa

x

)

(x

f

Rozkład log-normalny

LN

d











































2

)

ln(

2

1

exp

)

(

2

1

)

(









d

x

d

x

x

f

Parametry: ,

Zakres zmienności:

d

X 

0





0





Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa

x

)

(x

f

Rozkład log-gamma

LG

(log-Pearsona III typ)

d

d, α

λ, 



































d

x

x

d

x

x

f

ln

ln

exp

)

(

)

ln

(ln

)

(

1

Parametry:

Zakres zmienności:

d

X 

0





0





- funkcja gamma
Eulera )

(





Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Podziałka prawdopodobieństwa

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E

G A

L N

L G

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych

rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Podziałka prawdopodobieństwa

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E

G A

L N

L G

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych

rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie

Punkty empirycznego rozkładu
prawdopodobieństwa przewyższenia.
Uporządkowanym w ciąg nierosnący
przepływom maksymalnym rocznym
przyporządkowuje się empiryczne
prawdopodobieństwo przewyższenia

1

ˆ

,





N

m

p

N

m

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Podziałka prawdopodobieństwa

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E

G A

L N

L G

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych

rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie

Zakres obserwacji
i interpolacji

Zakres ekstrapolacji

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Podziałka prawdopodobieństwa

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E

G A

L N

L G

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych

rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie

Najbardziej wiarygodna funkcja
prawdopodobieństwa przewyższenia
wybrana na podstawie trzech kryteriów:

1. Test zgodności χ

2

Pearsona

2. Minimalna odległość Kołmogorowa
3. Kryterium informacyjne Akaike

0

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E

G A

L N

L G

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Podziałka prawdopodobieństwa

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych

rocznych pory letniej w przekroju Sucha na Skawie

0

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E

G A

L N

L G

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Podziałka prawdopodobieństwa

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych

rocznych pory letniej w przekroju Sucha na Skawie

Najbardziej wiarygodna funkcja
prawdopodobieństwa przewyższenia
wybrana na podstawie trzech kryteriów:

1. Test zgodności χ

2

Pearsona

2. Minimalna odległość Kołmogorowa
3. Kryterium informacyjne Akaike

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Przepływy miarodajne

Zasady projektowania i eksploatacji urządzeń wodnych w randze
Rozporządzeń Ministra zalecają stosowanie przepływów miarodajnych Q

m

jako przepływów maksymalnych rocznych Q

max,p

o określonym

prawdopodobieństwie przewyższenia p bez względu na ich genezę.

Rozporządzenie Ministra Środowiska

z dn. 20 kwietna 2007 r.

w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać budowle

hydrotechniczne i ich usytuowanie.

Dz.U. Nr 86 poz. 579, z 2007 r.

http://www.abc.com.pl/serwis/du/2007/0579.htm

Rozporządzenie Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej

z dn. 30 maja 2000 r.

w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać drogowe obiekty

inżynierskie i ich usytuowanie.

Dz.U. Nr 63 poz. 735, z 2000 r.

http://www.abc.com.pl/serwis/du/2000/0735.htm

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Metoda obliczeń (wprowadzenie)

PROBLEM

Jak obliczyć funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych p

R

(z) (bez względu na ich genezę) mając

określoną funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych pory zimowej p

Z

(x) i funkcję

prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory letniej p

L

(y)?

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Metoda obliczeń (wprowadzenie)

PROBLEM

Jak obliczyć funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych p

R

(z) (bez względu na ich genezę) mając

określoną funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych pory zimowej p

Z

(x) i funkcję

prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory letniej p

L

(y)?

Aby to wyjaśnić skorzystamy z prostego przykładu w odniesieniu do
zmiennej losowej typu dyskretnego.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Metoda obliczeń (wprowadzenie)

Rzeka: Skawa Wodowskaz: Sucha Rok: 1995

Q

[m

3

/s]

Q

max,Z

Q

max,L

Z

Q

x

max,



L

Q

y

max,



R

Q

z

max,



)

,

max( y

x

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Metoda obliczeń (wprowadzenie)

Rzeka: Skawa Wodowskaz: Sucha Rok: 1995

Q

[m

3

/s]

Q

max,Z

Q

max,L

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut jedną kostką

Zbiór zdarzeń elementarnych

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

6 1/6 1/6
5 1/6 2/6
4 1/6 3/6
3 1/6 4/6
2 1/6 5/6
1 1/6 6/6

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

X 

k

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

Z 

)

(

P

k

Z 

k

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6
5
4
3
2
1

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

Z 

)

(

P

k

Z 

k

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1)

(6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2)

(6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3)

(6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4)

(6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5)

(6, 5)

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5
4
3
2
1

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

X 

k

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5)

(6, 5)

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4
3
2
1

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

X 

k

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(4, 1)

(5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(4, 2)

(5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

(4, 3)

(5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)

(5, 4) (6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
3
2
1

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

X 

k

(1, 1) (2, 1)

(3, 1)

(4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2)

(3, 2)

(4, 2) (5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

(4, 3) (5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
3 5/36 32/36
2
1

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

X 

k

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2)

(3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
3 5/36 32/36
2 3/36 35/36
1

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

X 

k

(1, 1)

(2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
3 5/36 32/36
2 3/36 35/36
1 1/36 36/36

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 6)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

36

/

18

)

4

(

1



p

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 6)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

36

/

18

)

4

(

2



p

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 6)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

1

36

/

18

36

/

18

)

4

(

)

4

(

2

1







 p

p

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 6)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

1

)

4

(

)

4

(

2

1



 p

p

Obszar podwojonego
prawdopodobieństw
a koniunkcji zdarzeń

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 6)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

36

/

27

36

/

9

36

/

18

36

/

18

)

4

Pr(











k

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)

)

(

P

k

X 

)

(

P

k

Z 

k

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
3 5/36 32/36
2 3/36 35/36
1 1/36 36/36

)

,

max(

2

1

k

k

z 

Sprawdź wynik!

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Rzut dwiema kostkami (uogólnienie)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 6)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

)

4

(

)

4

(

)

4

(

)

4

(

)

4

(

2

1

2

1

p

p

p

p

p







Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Prawdopodobieństwo przewyższenia przepływów maksymalnych rocznych

bez względu na ich genezę (metoda alternatywy zdarzeń)

Wniosek:

p

R

(z) = p

Z

(z)+p

L

(z)-p

Z

(z)p

L

(z)

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Wyniki obliczeń

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E - W E

P



= 8 4 %

Metoda alternatywy zdarzeń. Przekrój Sucha na Skawie.

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 0 0 9 9 . 9

9 8

9 0

8 0

7 0

6 0

5 0

4 0

3 0

2 0

1 0 8

6

4

2

1

0 . 5

0 . 2

0 . 1

0 . 0 5

0 . 0 1

0 . 0 2

p [% ]

W E - W E

P



= 8 4 %

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Interpretacja wyników obliczeń

Metoda alternatywy zdarzeń. Przekrój Sucha na Skawie.

]

/

[m

3

max,

s

Q

p

%

1

max,

Q





Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Średni okres powtarzalności zdarzenia

- potocznie „woda stuletnia”

%

1

max,

Q

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na osiągnięciu lub przekroczeniu
wartości wynosi p = 0.01

Zgodnie z częstotliwościową interpretacją prawdopodobieństwa, zdarzenie to
zachodzi jeden raz na sto zaobserwowanych zdarzeń przepływów maksymalnych
rocznych, a więc jeden raz na sto lat obserwacji

Średni okres powtarzalności zdarzenia wynosi więc

%

1

max,

Q

[lata]

1

p

T 

Jest to średni (przeciętny), a nie dokładny okres powtarzalności zdarzenia

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia

HYDROLOGIA

Średni okres powtarzalności zdarzenia – niektóre możliwe przypadki

%

1

max,

Q

100 lat

100 lat

100 lat

%

1

max,

Q

100 lat

100 lat

100 lat

%

1

max,

Q

100 lat

100 lat

100 lat

ĆWICZENIA AUDYTORYJNE:

8

TEMAT :

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady.

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływy konwencjonalne

Przepływy konwencjonalne są ustalane na różne potrzeby związane
z wykorzystaniem i ochroną zasobów wodnych bądź ograniczeniem
szkodliwego działania wód.

Nazwa, definicja, symbol oznaczenia oraz metoda wyznaczania
każdego z tych przepływów są przedmiotem konwencji (umowy).

Lista przepływów konwencjonalnych jest całkowicie otwarta.

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ dozwolony

Przykład nazwy, definicji i przyjętego symbolu oznaczenia:

Rozporządzenie Ministra Środowiska

z dn. 17 sierpnia 2006 r.

w sprawie zakresu instrukcji gospodarowania wodą.

Dz.U. Nr 150 poz. 1087, z 2006 r.

http://www.abc.com.pl/serwis/du/2006/1087.htm

§ 1. Ilekroć w rozporządzeniu jest mowa o:

17)  przepływie dozwolonym - rozumie się przez to przepływ poniżej
budowli piętrzącej, który nie powoduje szkód powodziowych na
terenach poniżej tej budowli;

§ 2. W instrukcji należy posługiwać się następującymi oznaczeniami:

   9)   dla przepływu dozwolonego - Q

doz

;

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ dozwolony

Wartość przepływu dozwolonego - w przypadku terenów
zagospodarowanych o bogatej infrastrukturze - ustala się w
zależności od warunków lokalnych za pomocą modelowania
matematycznego obszarów zalewu przy różnych wartościach
natężenia przepływu poniżej urządzenia wodnego.

Wartość przepływu dozwolonego - w przypadku terenów
niezagospodarowanych, pozbawionych infrastruktury - ustala się w
przybliżony sposób jako:

lub

Obszar zatapiany przy takiej wartości natężenia przepływu określa
się jako strefę stałego zagrożenia powodziowego.

SWQ

Q 

doz

%

50

max,

doz

Q

Q 

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny

Przykład rozszerzonej definicji:

Encyklopedia Ramowej Dyrektywy Wodnej.

http://www.rdw.org.pl/

Przepływ nienaruszalny - jest to umowny (w danym przekroju cieku i dla
danego okresu roku) właściwy dla założonego ekologicznego stanu cieku,
przepływ, którego wielkość i jakość, ze względu na zachowanie tego
stanu, nie mogą być, a ze względu na instytucję powszechnego
korzystania z wód, nie powinny być, z wyjątkiem okresów zagrożeń
nadzwyczajnych, obniżane poprzez działalność człowieka. Dla części
przepływu nienaruszalnego związanej z koniecznością zachowania
założonego ekologicznego stanu cieku przyjęto nazwę przepływ
nienaruszalny hydrobiologiczny (przepływ hydrobiologiczny).

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny

Przykład unormowania sposobu wyznaczania wartości:

Rozporządzenie Ministra Środowiska

z dnia 28 kwietnia 2004 r.

w sprawie zakresu i trybu opracowania planów gospodarowania wodami na obszarach

dorzeczy oraz warunków korzystania z wód regionu wodnego.

Dz. U. Nr 126 poz. 1318

2.5. Hydrograficzne charakterystyki obszaru dorzecza

9. Wielkością przepływu wód zabezpieczającą założony stan ekologiczny
cieku regionu wodnego jest przepływ nienaruszalny. Wielkość tego
przepływu jest wyznaczana wg metody Kostrzewy, z uwzględnieniem
kryterium hydrobiologicznego i rybacko-wędkarskiego (przeżywalności
ryb), lub wg metody małopolskiej. Wielkości przepływów nienaruszalnych
są określane na podstawie wielkości przepływów wody.

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny metoda Kostrzewy

Kostrzewa H., 1977. Weryfikacja kryteriów i wielkości przepływu nienaruszalnego dla
rzek Polski. Materiały Badawcze IMGW, Warszawa

Podstawowymi kryteriami określania przepływu nienaruszalnego, któremu
jakościowo odpowiadają wody pierwszej i drugiej klasy czystości są:

• przesłanki hydrobiologiczne warunkujące zachowanie

podstawowych form flory i fauny, charakterystycznych dla
środowiska wodnego rzek Q

nh

,

• wymagania rybacko wędkarskie (kryterium przeżywalności ryb) Q

nr

,

• ochrona obiektów przyrodniczych o charakterze parków narodowych

i rezerwatów oraz zachowanie piękna krajobrazu Q

nop

,

• wymagania rzecznej turystyki wodnej Q

nt

.

Najistotniejsze znaczenie dla większości rzek w Polsce mają dwa pierwsze
kryteria.

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny hydrobiologiczny

(uproszczona metoda Kostrzewy – parametryczna)

Ustalenie typu hydrologicznego rzeki na podstawie wartości średniego
spływu jednostkowego

]

km

[ls

1000

2

-

1

-

A

SSQ

q

SSQ



Średni spływ jednostkowy

Typ hydrologiczny rzeki

q

SSQ

< 4.15

N - nizinny

4.15 ≤ q

SSQ

< 13.15

Pr,Pg – przejściowy i podgórski

q

SSQ

≥ 13.15

G - górski

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny hydrobiologiczny

(uproszczona metoda Kostrzewy – parametryczna)

Wyznaczanie wartości parametru k

Typ hydrologiczny

rzeki

Prędkość

miarodajna [ms

-1

]

Powierzchnia

zlewni A [km

2

]

Parametr

k

N

0.2

A < 1000

1.00

1000 ≤ A < 2500

0.58

A ≥ 2500

0.50

Pr,Pg

0.25

A < 500

1.27

500 ≤ A < 1500

0.77

1500 ≤ A < 2500

0.52

A ≥ 2500

0.50

G

0.30

300 ≤ A < 750

1.17

750 ≤ A < 1500

0.76

1500 ≤ A < 2500

0.55

A ≥ 2500

0.5

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny hydrobiologiczny

(uproszczona metoda Kostrzewy – parametryczna)













NNQ

kSNQ

NNQ

NNQ

kSNQ

kSNQ

Q

nh

gdy

gdy

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny Q

nr

(kryterium rybacko-wędkarskie w metodzie Kostrzewy)

Rzeki ryb łososiowatych

• Faza wędrówek tarłowych i rozrodu Q

nr

= SNQ

III-IV

, Q

nr

= SNQ

IX-XI

• Faza wzrostu Q

nr

= SNQ

V-VIII

• Faza przezimowania Q

nr

= SNQ

XII-II

Rzeki ryb nizinnych

• Faza wędrówek tarłowych i rozrodu Q

nr

= SNQ

III-VI

• Faza wzrostu Q

nr

= SNQ

VII-XI

• Faza przezimowania Q

nr

= SNQ

XII-II

Przepływy konwencjonalne – wybrane przykłady

HYDROLOGIA

Przepływ nienaruszalny

(metoda Kostrzewy)

Przykład dla wodowskazu Sól na Sole (typ hydrologiczny górski, A = 54.2 km

2

)

Q

nr

dla ryb nizinnych

XI

XII

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

0.122

0.040

0.040

0.040

0.148

0.148

0.148

0.148

0.122

0.122

0.122

0.122

Q

nr

dla ryb łososiowatych

XI

XII

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

0.123

0.040

0.040

0.040

0.359

0.359

0.122

0.122

0.122

0.122

0.123

0.123

Q

nh

= 0.122

SSQ

1974-93

= 1.02 m

3

/s SNQ

1974-93

= 0.076 m

3

/s NNQ

1974-93

= 0.030 m

3

/s

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ