Reguły dotyczące

kolejności wykonywania

działań

Paulina Sołoch

Plan prezentacji

Omówienie programu nauczania,
Definicja reguły wg Słownika PWN,
Wprowadzanie nawiasów i ich rola,
Reguły kolejności wykonywania

działań,

Przykładowe zadania,

wprowadzające dzieci w nowy temat.

PROGRAM NAUCZANIA DLA I ETAPU EDUKACJI

WCZESNOSZKOLNEJ

POD RED. PROF. DR HAB. KRYSTYNY CHAŁAS, NOWA ERA

KLASA I

• Umie zastosować prawo

przemienności mnożenia

• Sprawnie dodaje i odejmuje z w

zakresie 100, bez przekroczenia

progu dziesiątkowego

• Układa zdania tekstowe do formuły

matematycznej

• Rozumie istotę mnożenia i dzielenia

w zakresie 20

KLASA II

• Dodaje i odejmuje różnymi sposobami w zakresie

1000 z przekroczeniem progu dziesiątkowego

• Rozwiązuje nietrudne zadania tekstowe i

dwudziałaniowe

• Rozwiązuje proste zadania na porównywanie

różnicowe

• Biegle mnoży i dzieli w zakresie 30
• Rozwiązuje nietrudne zadania tekstowe

jednodziałaniowe lub dwudziałaniowe na

mnożenie i dzielenie

• Zna prawo przemienności.

KLASA III

• Stosuje własności dodawania i odejmowania
• Rozwiązuje nietrudne, złożone zadania

tekstowe

• Biegle mnoży i dzieli w zakresie 100
• Rozumie i nazywa własności czterech działań

matematycznych i związków miedzy nimi

• Zna kolejność wykonywania działań
• Rozwiązuje nietrudne, złożone zadania

tekstowe

REGUŁA

definicja według Słownika PWN

1. «zasada postępowania ustalona przez

kogoś lub przyjęta na mocy zwyczaju»

2. «formuła wyjaśniająca jakieś zjawiska»
3. «zbiór norm postępowania, ustalonych

dla zakonników przez założyciela zakonu
i potwierdzonych przez papieża lub
biskupa»

ROLA NAWIASÓW

Nawiasy służą do wskazywanie

kolejności wykonywania działań
(najpierw obliczamy to co jest w
nawisie). Pozwalają one na zapisanie
rozgałęzionych schematów
wykonywania obliczeń w postaci
linowej, w której symbole następują
kolejno po sobie.

Wprowadzając pojecie nawiasu

specjalny nacisk nauczyciel powinien
położyć na to, że nawias składa się
zawsze z pary łuków
wyodrębniających to, co leży
wewnątrz nich. Jeżeli zaczynamy
jedna część nawiasu – „otworzymy
nawias”, to musimy go „zamknąć”
przez zaznaczenie drugiego łuku.

Warto robić z dziećmi ćwiczenia

polegające na dobraniu formuł z
nawiasami do danego drzewa.

Uczeń ma dobrać do każdego z nich odpowiednią formułę nawiasową:

(8 ∙ 7) + 5 oraz 8 ∙ (7 + 5)

8

7

56

5

61

8

7

5

12

96

Kształcące jest też układanie zadań

tekstowych o treści zgodnej z danym
drzewem

Temu drzewku odpowiada zadanie o

kupowaniu 8 książeczek po 7 zł i jednej za 5
zł,

8

7

56

5

61

Natomiast tu będzie zadanie o kupowaniu

dla 8 dzieci po 2 książeczki: jednej za 7 zł i

drugiej za 5 zł.

Zestawienie dwóch takich zadań ze sobą

pozwala lepiej zrozumieć, czym się różnią

rozpatrywane formuły.

8

7

5

12

96

Zdarza się nieraz, że trzeba użyć kilku nawiasów.

Wolno wówczas użyć wyłącznie nawiasów
okrągłych, bądź zastosować nawiasy różne. Na
przykład formuła odpowiadająca drzewu

poniżej

może być napisana w postaci
(20 – (4 + 5)) ∙ 7 lub [20 – (4 + 5)] ∙ 7

20

4

5

7

W szkole pierwszego z tych napisów

nie stosuje się. Tradycyjnie przyjmuje
się w Polsce następującą hierarchię
nawiasów:

- Najpierw piszemy nawiasy okrągłe ( )
- na zewnątrz okrągłych kwadratowe

[ ]

- potem klamrowe { }

WPROWADZANIE NAWIASU W

KLASIE I

Przy opracowywaniu nowego programu

pojawiła się kwestia taka czy nawias powinien
pojawić się po raz pierwszy w sytuacji
„konfliktowej” czyli takiej, w której
opuszczenie nawiasu zmieni wynik obliczenia,
czy też – by nie kumulować trudności – w
sytuacji niekonfliktowej typu (8 + 2) +
3. W tym ostatnim przypadku nawias sugeruje
kolejność wykonywania rachunku (np. przy
przekroczeniu progu dziesiątkowego), ale nie
wpływa na jego wynik.

Autorzy podręczników dla klasy I wybrali

drogę następującą:

nawias pojawia się po raz pierwszy w sytuacji

niekonfliktowej, w formułach tupu:

10 + (3 + 2), (4 + 2) + 1, 10 + (5 – 1), (8 +

10) – 1

ale wkrótce potem użyty jest również w

sytuacji konfliktowej, np.:

14 – (3 + 1) = 10
Przeciwstawione jest analogicznemu

wyrażeniu bez nawiasów

14 – 3 + 1 = 12

Wprowadzając nawiasy możemy

zacząć od bardzo sugestywnego
układu rąk aby dzieci lepiej
zrozumiały nowe zagadnienie, można
również obrysować na tablicy te
składniki, które chcemy najpierw
dodać, a następnie ściereczką
zetrzeć dolna i górna część owalu
tak, by pozostał nawias, pomoże to
dzieciom zrozumieć, że lewy i prawy
łuk nawiasu stanowią jedną całość.

Kolejność wykonywania

działań

Zbyt duża liczba nawiasów w zapisie

obliczenia jest niewygodna, toteż w
praktyce korzysta się z pewnych REGUŁ
OPUSZCZANIA NAWIASÓW czyli inaczej
mówić REGUŁY OKREŚLAJĄCE KOLEJNOŚĆ
WYKONYWANIA DZIAŁAŃ, gdy nie jest ona
wyznaczona przez nawiasy.

A oto reguły jakich powinno się

przestrzegać wykonując działania:

1. W wyrażeniu, w którym są tylko znaki dodawania

i odejmowania, działania wykonuje się od lewej

strony do prawej.

Tak więc :
a – b + c oznacza (a – b) + c, a nie a – (b + c) !
a – b – c oznacza (a – b) – c, a nie a – (b – c)!
np.:
9 – 5 + 2 = (9 – 5) + 2, 9 – 5 + 2 ≠ 9 – (5 + 2)
9 – 5 – 2 = (9 – 5) – 2 , 9 – 5 – 2 ≠ 9 – (5 – 2)
Powyższa reguła wynika z łączności dodawania i reguły algebraicznej

mówiącej, że a – b + c oznacza a + ( - b) + c, a – b – c oznacza a + ( - b ) +

( - c) itd.

W nauczaniu początkowym regułę tę i następne objaśniamy poglądowo, na

konkretnych przykładach liczbowych. W przypadku dwóch znaków „+”

nawiasy możemy ustawić dowolnie ( z uwagi na łączność dodawania) :

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
podobnie zachodzi równość algebraiczna: a + b – c = (a + b) – c = a + (b –

c);

z dydaktycznego natomiast punktu widzenia nawias może być tu istotny,

gdyż wprawdzie np.:

(7 + 5) – 8 = 7 + (5 – 8), jednakże w wyrażeniu po prawej stronie pojawia

się liczba ujemna 5 – 8 , lewą zaś stronę może obliczyć już uczeń klasy I.

2. mnożenie wykonuje się przed dodawaniem

i odejmowaniem – „najpierw mnóż potem

dodawaj i odejmuj”

Tak więc:
a ∙ b + c oznacza (a ∙ b) + c, a nie a ∙ (b + c) !
a + b ∙ c oznacza a + (b ∙ c), a nie (a + b) ∙ c !
a ∙ b – c oznacza (a ∙ b) – c, a nie a ∙ (b – c) !
a – b ∙ c oznacza a – (b ∙ c), a nie (a – b) ∙ c !

Warto podkreślić, że napisanie np. (2 ∙ 3) + 5 nie jest

błędem. Nawias jest tu niepotrzebny, można się bez

niego obejść, ale nie jest błędny. Co więcej, taki nawias

może być czasem użyteczny. Uczniom należy zwrócić

czasem uwagę, że

2 ∙ 3 + 5 = (2 ∙ 3) + 5 oraz 5 + 2 ∙ 3 = 5 + (2 ∙ 3)
i, że nawiasy te na ogół opuszczamy dla zaoszczędzenia

czasu i miejsca.

2 ∙ 3 + 5 = (2 ∙ 3) + 5 oraz 5 + 2 ∙ 3 = 5 + (2 ∙ 3)

Powyższe równości nie są jednak równoważne z

psychologicznego punktu widzenia.

Lewa równość jest łatwa i naturalna, bo zapis działań od

lewej do prawej jest zgodny z kolejnością ich wykonywania,
a tok obliczeń da się przedstawić w postaci ciągu
pojedynczych działań następujących kolejno po sobie

2

3

6

5

11

Prawa natomiast równość jest istotnie

trudniejsza, gdyż uczeń ma skłonność do
(błędnego w tym przypadku) liczenia od lewej do
prawej: 5 + 2 = 7, 7 ∙ 3 = 21; obliczenia 5 + 2 ∙
3 nie da się przedstawić w postaci łańcuchowej,
konieczny jest schemat drzewa

5

2

3

6

11

3. dzielenie wykonuje się przed dodawaniem

i odejmowaniem

a :b + c = (a : b) + c,
a + b : c = a + (b : c)
Powyższe reguły poznaje uczeń przez

kilka lat, stopniowo, w miarę
potrzeby, na konkretnych
przykładach.

Warto zapamiętać

W szkole nie powinno się wprowadzać reguł dotyczących

interpretowania wyrażeń typu:

48 : 8 · 2 lub 48 : 8 : 2,

Gdyż byłby to zupełnie zbędny balast pamięciowy.

Wyrażenie takie występuje na tyle rzadko, że lepiej

każdorazowo stawiać nawiasy niż starać się przypomnieć

odpowiednią regułę. W razie napotkania takiego wyrażenia

bez nawiasów najrozsądniejsze wydaje się wykonanie

działań od lewej do prawej (w sposób analogiczny do reguły

1 dotyczącej dodawania i odejmowania), nie należy jednak

uczyć tego jako obowiązującej reguły.

Warto dodać, że wartość wyrażenia np. 4 ∙ 5 : 2 nie zależy

od sposobu napisania nawiasów, gdyż

(4 · 5) : 2 = 4 · (5 : 2),
Jednakże obliczając lewą stronę nie wychodzimy poza

liczby całkowite, a po prawej stronie w trakcie obliczania

pojawia się ułamek.

KLASA II

Zadanie 1
Marek miał 1 monetę 2zł i 4 monety po 5zł. Ile złotych ma

Marek?

Marek liczył tak:
2zł + 5zł + 5zł + 5zł + 5zł = 22zł
Ola liczyła tak:

1 · 2 + 4 · 5 = 2 + 20 = 22

2

20

Ewa wykonała tak:

TAK LICZYSZ GDY NIE

MA NAWIASÓW

NAJPIERW MNÓŻ

POTEM DODAWAJ

LUB ODEJMUJ!

1

2

4

5

2

20

22

Zad. 2
Dorotka miała 6 monet po 5 gr, ale zgubiła 10 gr. Ile

gorszy zostało Dorotce?

6 · 5 – 2 · 5 = 4 · 5 = 20

Odpowiedź: Dorotce zostało 20 groszy.

Zadanie 3
W … bukietach było po … różowe i …

białe tulipany. Ile tulipanów było we
wszystkich bukietach?

We wszystkich bukietach było __ tulipanów.

Odpowied

ź:

4

3

3

KLASA III

Zad. 1
Kasia i Marta odrabiały razem lekcje. Jak to obliczyć? – pyta

Kasia Martę.

4· 5 – 2 · 3 + 6 · 3
Kasiu! Najpierw mnóż, potem odejmuj i dodawaj.
Kasia obliczyła tak
4 · 5 – 2 · 3 + 6 · 3 = 20 – 6 + 18 = 14 + 18 = 32

Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym nie ma nawiasów,

to działania wykonujemy w następującej kolejności:

1. mnożenie
2. dodawanie lub odejmowanie w kolejności od

strony lewej do prawej .

Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym są nawiasy, to

najpierw wykonujemy działania w nawiasach.

Zad. 2

Grześ wymyślił wyrażenia dla swojej siostry i patrzył jak obliczała:
16 + 5 – 7 + 3 – 11
Siostra zrobiła tak

Wynik równa się 6.
18 + 4 · 5 – 6 · 2

Asia woła:

Widzisz jak pomaga drzewko. Teraz policzmy bez drzewka
18 + 4 · 5 – 6 · 2 = 18 + 20 – 12 = 38 – 12 = 26
Wynik równa się 26.

16

21

5

7

14

3

17

11

6

4

5

18

20

6

2

38

12

26

15 : 3 · 2

Wynik równa się 10.

Jeśli nie ma nawiasów, to mnożenie i dzielenie wykonujemy
po kolei tak, jak są napisane w wyrażeniu arytmetycznym, od
lewej do prawej strony.

15

3

5

2

10

Zad. 3
Do budowy jednego z ogrodów zgłosiło się 9 chłopców i 12

dziewczynek. Pani poprosiła 4 dziewczynki o przejście do
innej grupy. Ile dzieci zostało w tej grupie?

• 1 sposób:

Ile było dziewczynek?

Ile było chłopców ?

To obliczamy najpierw.

Ile było dziewczynek i

chłopców na

początku?

Ile dzieci zostało w tej grupie?

Ile dziewczynek odeszło?

To obliczamy potem.

9

12

4

17

9

12

4

21

17

• 2 sposób

9

12

4

8

17

9

12

4

17

W tej grupie zostało 17 dzieci.

Ile było dziewczynek?

Ilu było chłopców?

Ile dziewczynek odeszło?

To obliczamy najpierw.

To obliczamy potem.

Ile dzieci zostało w tej grupie?

Ile dziewczynek zostało?

BIBLIOGRAFIA:

Z. Semadeni „ Nauczanie początkowe

matematyki ” - tom 3, Warszawa 1985

E. Stucki „Metodyka nauczania

matematyki w klasach niższych”-
część I Bydgoszcz 1992

„ Ja i moja szkoła” część 2, 3

Podręcznik z ćwiczeniami

Matematyka 2, 3 „Myślę i liczę”