Rachunek 

prawdopodobieństwa 2

uczelnia: PJWSTK
przedmiot: Matematyka Dyskretna 2
wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
data: styczeń 2009

Materiały pomocnicze do wykładu

Zmienna losowa

Definicja

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń 
elementarnych. Każdą funkcję określoną 
na zbiorze  i o wartościach w zbiorze liczb 
rzeczywistych nazywać będziemy 

zmienną

losową

. 

Jeśli zmienna przyjmuje co najwyżej przeliczalną 
liczbę wartości, to będziemy ją nazywali 

zmienną 

losową dyskretną

.

Przykład

(a) Rozpatrzymy doświadczenie polegające na 

rzucie monetą. Wówczas możemy przyjąć 
następującą zmienną losową:
X(orzeł)=0, X(reszka)=1

(b) Rozpatrzmy doświadczenie polegające na 

rzucie kostką do gry. Wówczas mamy 
następującą zmienna losową:
X(1)=1, X(2)=2, X(3)=3,...,X(6)=6

Definicja

Powiemy, że dwie zmienne losowe X i Y są 

niezależne

 wttw dla dowolnych przedziałów I, J 

zbioru liczb rzeczywistych

P(XI i YJ) = P(XI)P(YJ)

Jeśli zmienne X i Y są zmiennymi dyskretnymi, to 
niezależność zmiennych wyraża się warunkiem: 

P(X=x i Y=y)=P(X=x)P(Y=y) 

dla dowolnych x,y  R.

Rozkład prawdopodobieństwa

Definicja

Funkcję f

X

 określoną na zbiorze liczb 

rzeczywistych R i o wartościach w zbiorze 
[0,1] taką, że f

X

(x)=P(X=x) dla xR 

nazywamy 

rozkładem prawdopodobieństwa

 

zmiennej losowej X.

Przykład

Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Każdemu 
z rzutów przypisujemy wartość bezwzględną różnicy liczby 
oczek wyrzuconej na jednej i drugiej kostce. Podaj rozkład 
zmiennej losowej.

UWAGA! p

0

+p

1 

+

 

p

2 

+... + p

5

=1

x

i

0

1

2

3

4

5

p

i

6/36 10/3

6

8/36 6/36 4/36 2/36

Przykład













































x

innych

dla

0

5

x

dla

36

2

4

x

dla

36

4

2

x

dla

36

8

1

x

dla

36

10

3

x

i

0

x

dla

36

6

)

x

(

f

X

Przykład

{(0,6/36), (1,10/36), (2,8/36), (3,6/36), (4,4/36), (5,2/36)}

0       1     2     3     4  
    5

10/36

8/36

6/36

4/36
2/36

Definicja

Rozkładem dwumianowym 

(Bernoulliego) 

Nazywamy rozkład prawdopodobieństwa 
określony wzorem



























0

p)

(1

p

k

n

f(k)

k

n

k

dla k=0,1,...,n

dla pozostałych wartości k

Przykład

Wiadomo, że szansa poprawnego oznaczenia próbki 
w jednokrotnym badaniu mikroskopijnym wynosi 3:4. 
Poddano badaniu 3 próbki. Niech X oznacza liczbę próbek, 
które zostały poprawnie oznaczone. Wyznaczyć te 
prawdopodobieństwa.

Przykład

64

27

4

1

4

3

3

3

p

64

27

4

1

4

3

2

3

p

64

9

4

1

4

3

1

3

p

64

1

4

1

4

3

0

3

p

0

3

3

1

2

2

2

1

1

3

0

0

































































































































































x

i

0

1

2

3

p

i

1/64 9/64 27/6

4

27/6

4

p

0

+p

1 

+

 

p

2 

+p

3

=

1/64+9/64+27/64+27/64=1

Definicja

Rozkład prawdopodobieństwa określony 
wzorem f(k) = p(1-p)

k-1

 nazywamy 

rozkładem geometrycznym

.

Przykład

Rozważmy doświadczenie polegające na serii niezależnych 

rzutów 

symetryczną monetą powtarzanych dopóty dopóki nie 

wypadnie 

orzeł. Niech X będzie zmienną  losową, której wartością jest 

liczba 

wykonanych prób do chwili uzyskania orła. Wyznacz rozkład 
prawdopodobieństwa.

p=1/2, (1-p)=1/2,

p(1-p)

i-1

=(1/2)(1/2)

i-1

=(1/2)

i

x

i

1

2

3

....

i

....

p

i

1/2

(1/2)

2

(1/2)

3

....

(1/2)

i

....

Definicja

Rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej 
zmiennej losowej nazywamy 

jednostajnym (jednorodnym)

, 

jeśli przybiera ona wszystkie swoje 
wartości z takim samym
prawdopodobieństwem.

Przykład

Dwaj gracze grają w orła i reszkę. Jeśli wypadnie orzeł gracz 

G

1

 

płaci graczowi G

2

 złotówkę. Jeśli wypadnie reszka, to gracz 

G

2

 płaci 

graczowi G

1

 złotówkę. Niech X będzie zmienną losową 

opisującą 

wygraną gracza G

1

. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa.

x

i

-1

1

p

i

1/2

1/2

Dystrybuanta 

zmiennej losowej

Definicja

Niech X będzie zmienną losową określoną na 
dowolnej przestrzeni zdarzeń losowych . 

Dystrybuantą

 zmiennej X nazywamy 

funkcję F:R  [0,1] taką, że 

F

X

(x) = P(X  x) dla xR.

Definicja

W  przypadku  zmiennej  losowej  dyskretnej 
powyższy wzór przyjmuje postać 

F

X

(x) = 

yx

 f

X

(y)

gdzie f

X

 jest rozkładem 

prawdopodobieństwa zmiennej X. 

Przykład

Do tarczy oddaje się w sposób niezależny 3 strzały. P-d trafienia 
do tarczy wynosi ½ dla każdego strzału. Niech zmienna losowa 
X oznacza liczbę trafień w tarczę. Wyznaczyć dystrybuantę 
zmiennej losowej.

X

(-,0) [0,1)

(1,2]

(2,3]

(3,+

)

F(x)

0

1/8

4/8

7/8

1

x

i

0

1

2

3

p

i

1/8

3/8

3/8

1/8

Przykład







































3

x

dla

1

3

x

2

dla

8

7

2

x

1

dla

2

1

1

x

0

dla

8

1

0

x

dla

0

)

x

(

F

F(2)=P(X2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=3/8+3/8+1/8=7/8

 1    2     3

1

7/8

1/2

1/8

Lemat

Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej 
jest funkcją niemalejącą. Co więcej, 
dystrybuanta zmiennej losowej rośnie 
skokowo w punktach należących do zbioru 
wartości tej zmiennej.

PARAMETRY ROZKŁADU

Wartość oczekiwana 

zmiennej losowej

Definicja

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń
elementarnych, a X zmienną losową 
określoną w . 

Wartością oczekiwaną 

zmiennej X nazywamy liczbę 

E(X) = 

w 

X(w) P({w})

 

Stwierdzenie

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są 
jednakowo prawdopodobne, a przestrzeń  
jest skończona, to P({w}) = 1/||, a 
wtedy 
 

Ω

X(w)

E(X)

Ω

w







Lemat

Niech X będzie zmienną losową dyskretną 
określoną w pewnej przestrzeni zdarzeń 
elementarnych  oraz niech (x

i

)

iI

 będzie 

ciągiem wszystkich różnych wartości jakie 
przyjmuje ta zmienna. Jeżeli suma 


i 

(x

i

  P(X=x

i

))

 

jest określona, to 









I

i

i

X

i

))

(x

f

(x

E(X)

Przykład

Zakładając, że liczba wezwań górskiego pogotowia
ratunkowego w ciągu doby ma następujący rozkład

(a) Obliczyć p-d, że w ciągu doby liczba wezwań będzie wynosić od 2 do 

4

P(2X4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,18+0,15+0,12=0,45

(b) Obliczyć oczekiwaną liczbę wezwań w ciągu doby

E(X)=00,12+10,32+20,18+30,15+40,12+50,08+60,003=2,19

X=x

i

0

1

2

3

4

5

6

P(X=x

i

)

0,12

0,32

0,18

0,15

0,12

0,08

0,003

Suma zmiennych losowych

Niech będzie ustaloną przestrzenią zdarzeń, 
w której mamy określone dwie zmienne losowe 
dyskretne X i Y. 

Suma zmiennych losowych

 

X i Y jest zmienną losową Z, określoną dla 
dowolnego zdarzenia elementarnego w tej 
przestrzeni jako 

Z(w) = X(w)+Y(w). 

Jeśli zmienna X przyjmuje wartości x

i

 dla iI, a 

zmienna Y przyjmuje wartości y

j

 dla jJ, to 

zmienna Z przyjmuje jako swoje wartości liczby 
(x

i

+y

j

) dla dowolnych iI i jJ. 

Twierdzenie

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń, 
w której określone są zmienne losowe X i Y. 
Jeśli wartości oczekiwane zmiennych X i Y istnieją, 
to dla dowolnego c zachodzą równości

(1) E(cX) = cE(X),
(2) E(X+Y) = E(X)+E(Y), 
(3) E(X - E(X)) = 0.

Iloczyn zmiennych losowych

Analogicznie jak sumę zmiennych, można 
zdefiniować 

iloczyn zmiennych losowych 

X i Y 

określonych w tej samej przestrzeni . 
Przyjmujemy 

Z(w) = X(w)  Y(w) dla w. 

Zmienna Z przyjmuje jako swoje wartości iloczyny 
x

i

y

j

 dla i I i j J, jeśli x

i

 i y

j

 są wartościami 

zmiennych X i Y odpowiednio. 

Twierdzenie

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi 
losowymi, to

E(XY) = E(X)E(Y).

Wariancja 

zmiennej losowej

Definicja

Wariancją

 zmiennej losowej X, oznaczaną przez 

V(X), nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej 
losowej (X-EX)

2

, tzn.

 

V(X) = E((X-EX)

2

)

Jeśli X jest zmienną dyskretną o rozkładzie 
prawdopodobieństwa {(x

i

,p

i

)}

i=1,...n

, oraz 

E(X) = m, to 

V(X) = (x

1

- m)

2 



 

p

1

 +...+ (x

n

- m)

2

  p

n

Twierdzenie

Dla dowolnej zmiennej losowej dyskretnej 

(1) 

V(X) = E(X

2

) - (E(X))

2

  

(2) dla dowolnego cE(X), V(X)<E((X-c)

2

)

Twierdzenie

Jeżeli V(X) jest wariancją zmiennej losowej 
dyskretnej X, a V(Y) jest wariancją 
zmiennej losowej dyskretnej Y, to dla 
dowolnej stałej rzeczywistej c, 

(1) V(cX) = c

2

V(X),

(2) Jeśli zmienne losowe X i Y są

  niezależne, to V(X+Y)= V(X) + V(Y).

 

Definicja

Liczbę         nazywamy 

odchyleniem standardowym 

zmiennej X.

 

   

V(X)

Przykład

Zakładając, że liczba wezwań górskiego pogotowia
ratunkowego w ciągu doby ma następujący rozkład

Obliczyć wariancje i odchylenie standardowe.

Wiemy, że E(X)=2,19,

E(X

2

)=00,12+10,32+40,18+90,15+160,12+250,08+360,003=

                                                                                       6,418.
Stąd V(X)=6,418-(2,19)

2

=1,6219 oraz 

27

,

1

)

X

(

V



X=x

i

0

1

2

3

4

5

6

P(X=x

i

)

0,12

0,32

0,18

0,15

0,12

0,08

0,003

Parametry

znanych rozkładów

prawdopodobieństwa

Lemat

Niech X będzie zmienną losową o 

rozkładzie zerojedynkowym

 

P(X=1) = p i P(X=0) = 1-p.

Wtedy 

E(X)=p

 oraz 

V(X)=p(1-p)

.

 

Przykład

Rozważmy następującą grę. Gracz rzuca monetą, jeśli 
wypadnie reszka otrzymuje 1 zł jeśli wypadnie orzeł o 
trzymuje 0 zł. Niech X będzie zmienną  losową, której 
wartością jest otrzymana kwota pieniędzy. Wyznacz wartość 
oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Przykład

Rozważmy następującą grę. Gracz rzuca monetą, jeśli 
wypadnie reszka otrzymuje 1 zł jeśli wypadnie orzeł o 
trzymuje 0 zł. Niech X będzie zmienną  losową, której 
wartością jest otrzymana kwota pieniędzy. Wyznacz wartość 
oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

x

i

0

1

p

i

1/2

1/2

E(X)=p=1/2

 

V(X)=p(1-p)=1/21/2=1/4

(V(X))=1/2

p=1/2

Lemat

Niech zmienna losowa X opisuje liczbę 
sukcesów w 

schemacie Bernoulliego

 z 

parametrami n i p (n – ilość prób, 
p- prawdopodobieństwo sukcesu). 

Wtedy 

E(X)=np

 oraz 

V(X)=np(1-p)

. 

Przykład

Wiadomo, że szansa poprawnego oznaczenia próbki 
w jednokrotnym badaniu mikroskopijnym wynosi 3:4. 
Poddano badaniu 3 próbki. Niech X oznacza liczbę próbek, 
które zostały poprawnie oznaczone. Wyznaczyć wartość 
oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Przykład

Wiadomo, że szansa poprawnego oznaczenia próbki 
w jednokrotnym badaniu mikroskopijnym wynosi 3:4. 
Poddano badaniu 3 próbki. Niech X oznacza liczbę próbek, 
które zostały poprawnie oznaczone. Wyznaczyć wartość 
oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

x

i

0

1

2

3

p

i

1/64 9/64 27/6

4

27/6

4

E(X)=np=33/4=9/4=2,25

 

V(X)=np(1-p)= 33/41/4=9/16

(V(X))=3/4=0,75

n=3, p=3/4

Lemat

Niech zmienna X ma 

rozkład 

geometryczny

, tzn. rozkład określony 

następująco:

f

X

(k)=P(X=k)=p(1-p)

k-1 

dla k=1,2,3,...

Wtedy wartość oczekiwana zmiennej X, 

EX=1/p

.

Przykład

Rozważmy doświadczenie polegające na serii niezależnych 

rzutów 

symetryczną monetą powtarzanych dopóty dopóki nie 

wypadnie 

orzeł. Niech X będzie zmienną  losową, której wartością jest 

liczba 

wykonanych prób do chwili uzyskania orła. Wyznacz wartość 
oczekiwaną.

Przykład

Rozważmy doświadczenie polegające na serii niezależnych 

rzutów 

symetryczną monetą powtarzanych dopóty dopóki nie 

wypadnie 

orzeł. Niech X będzie zmienną  losową, której wartością jest 

liczba 

wykonanych prób do chwili uzyskania orła. Wyznacz wartość 
oczekiwaną.

p=1/2, (1-p)=1/2,

x

i

1

2

3

....

i

....

p

i

1/2

(1/2)

2

(1/2)

3

....

(1/2)

i

....

EX=1/p=1/(1/2)=2