AM1 - wykład 1.
AM1 - wykład 1.
Ciągi liczbowe
AM1 - wykład 1.
AM1 - wykład 1.
Ciągi liczbowe
20
0,6
0,8
1,0
a
n
=n
/(
n+
1)
n
5
10
15
20
25
30
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
a
n
=1
/n
n
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
0
40
80
-0,2
0,0
0,2
n
a
n
1
1
n
2
n
1
2
a
a
n
n
a
a
n
N
n
N
n
n
n
)
(
lim
0
0
0
Granica
Granica
właściw
właściw
a
a
5
10
15
20
25
30
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
a
n
=(
(-
1)
n-
1
)/
n
n
20
0,6
0,8
1,0
a
n
=n
/(
n+
1)
n
20
40
60
80
100
0,6
0,8
1,0
a
n
=n
/(
n+
1)
n
5
10
15
20
25
30
0,0
0,2
0,4
n
a
n
=(
n^
2-
1)
/(
n^
2+
n+
1)
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
b
b
b
c
a
n
n
c
b
a
n
n
n
n
n
n
N
n
n
n
n
lim
to
,
lim
lim
.
2
.
1
0
Twierdzenie o trzech ciągach: Jeżeli
Twierdzenie o trzech ciągach: Jeżeli
ciągi
ciągi
(a
(a
n
n
), (b
), (b
n
n
) i (c
) i (c
n
n
) spełniają warunki
) spełniają warunki
(c
n
)
(b
n
)
(a
n
)
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
2
5
10
1
2
5
10
)
log
2
!
(
sin
2
5
10
0
2
2
5
10
)
log
2
!
(
sin
lim
3
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
n
a
n
1
n
2
n
1
M
2
M
0
40
80
120
0
20
40
60
80
100
M
a
n
n
a
n
N
n
N
n
M
n
n
)
(
lim
0
0
0
Granica
Granica
niewłaściw
niewłaściw
a
a
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
M
a
n
n
a
n
N
n
N
n
M
n
n
)
(
lim
0
0
0
Granica
Granica
niewłaściw
niewłaściw
a
a
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
1
1
1
1
1
0
lim
q
dla
brak
q
dla
q
dla
q
dla
q
n
n
Granice
Granice
ciągu
ciągu
geometrycznego
geometrycznego
0
2
1
lim
n
n
n
n
2
3
lim
n
n
2
3
lim
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
n
n
n
n
N
n
n
n
b
a
n
n
b
a
lim
to
,
lim
.
2
.
1
0
Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli
Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli
ciągi
ciągi
(a
(a
n
n
) i (b
) i (b
n
n
) spełniają warunki
) spełniają warunki
(a
n
)
(b
n
)
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
n
n
n
n
N
n
n
n
b
a
n
n
b
a
lim
to
,
lim
.
2
.
1
0
Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli ciągi
Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli ciągi
(a
(a
n
n
) i (b
) i (b
n
n
) spełniają warunki
) spełniają warunki
)
!
sin(
1
lim
1
1
1
)
!
sin(
1
2
2
2
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
b
n
n
n
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
Jeżeli ciąg (a
Jeżeli ciąg (a
n
n
) jest
) jest
niemalejący
niemalejący
(nierosnący) dla n
(nierosnący) dla n
n
n
0
0
oraz
oraz
ograniczony
ograniczony
z
z
góry (z dołu) to jest
góry (z dołu) to jest
zbieżny
zbieżny
do granicy
do granicy
właściwej
właściwej
sup{a
sup{a
n
n
: n
: n
n
n
0
0
} (inf{a
} (inf{a
n
n
: n
: n
n
n
0
0
})
})
0
!
2
lim
n
n
n
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
0
0
1
2
lim
lim
1
a
a
a
n
a
a
n
n
n
n
1
1
1
2
2
!
)!
1
(
2
!
2
)!
1
(
2
1
1
1
n
dla
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
Wynika stąd, że ciąg (a
Wynika stąd, że ciąg (a
n
n
) jest nierosnący. Jest on też
) jest nierosnący. Jest on też
ograniczony z dołu, bo a
ograniczony z dołu, bo a
n
n
>0. A zatem na mocy poprzedniego
>0. A zatem na mocy poprzedniego
twierdzenia jest on zbieżny
twierdzenia jest on zbieżny
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
0
0
0
,
,
1
,
0
0
,
0
,
Wyrażenia
Wyrażenia
nieoznaczone
nieoznaczone
0
1
lim
n
n
n
n
a
a
n
n
n
lim
istnieje
nie
n
n
n
n
)
1
(
3
lim
n
n
n
n
lim
1
lim
0
,
1
lim
1
1
1
1
0
lim
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
dla
p
dla
p
dla
p
?
5
10
15
20
25
30
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
(1
/3
)^
(1
/i)
3^
(1
/i)
i
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest
zbieżny do tej samej granicy.
zbieżny do tej samej granicy.
0
2
1
1
lim
n
n
Bo jest to podciąg
Bo jest to podciąg
ciągu 1/n
ciągu 1/n
GRANICE CIĄGÓW
GRANICE CIĄGÓW
n
n
n
e
1
1
lim
Określenie liczby
Określenie liczby
e
e
0
0
lim
,
1
lim
1
n
n
n
a
n
n
a
i
a
dla
a
n
n
n
a
n
n
a
dla
a
n
lim
,
1
1
lim
