AM1 - wykład 1.

AM1 - wykład 1.

Ciągi liczbowe

20

0,6

0,8

1,0

a

n

=n

/(

n+

1)

n

5

10

15

20

25

30

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

a

n

=1

/n

n

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

0

40

80

-0,2

0,0

0,2

n

a

n

1



1

n

2

n

1



2





































a

a

n

n

a

a

n

N

n

N

n

n

n

)

(

lim

0

0

0

Granica

Granica

właściw

właściw

a

a

5

10

15

20

25

30

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

a

n

=(

(-

1)

n-

1

)/

n

n

20

0,6

0,8

1,0

a

n

=n

/(

n+

1)

n

20

40

60

80

100

0,6

0,8

1,0

a

n

=n

/(

n+

1)

n

5

10

15

20

25

30

0,0

0,2

0,4

n

a

n

=(

n^

2-

1)

/(

n^

2+

n+

1)

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

 

 

b

b

b

c

a

n

n

c

b

a

n

n

n

n

n

n

N

n

n

n

n





























lim

to

,

lim

lim

.

2

.

1

0

Twierdzenie o trzech ciągach: Jeżeli

Twierdzenie o trzech ciągach: Jeżeli

ciągi

ciągi

(a

(a

n

n

), (b

), (b

n

n

) i (c

) i (c

n

n

) spełniają warunki

) spełniają warunki

(c

n

)

(b

n

)

(a

n

)

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

2

5

10

1

2

5

10

)

log

2

!

(

sin

2

5

10

0

2

2

5

10

)

log

2

!

(

sin

lim

3

2

3

2































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

n

a

n



1

n

2

n

1

M

2

M

0

40

80

120

0

20

40

60

80

100





M

a

n

n

a

n

N

n

N

n

M

n

n



























)

(

lim

0

0

0

Granica

Granica

niewłaściw

niewłaściw

a

a

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW





M

a

n

n

a

n

N

n

N

n

M

n

n



























)

(

lim

0

0

0

Granica

Granica

niewłaściw

niewłaściw

a

a

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW































1

1

1

1

1

0

lim

q

dla

brak

q

dla

q

dla

q

dla

q

n

n

Granice

Granice

ciągu

ciągu

geometrycznego

geometrycznego

0

2

1

lim



















n

n





















n

n

2

3

lim

n

n











 





2

3

lim

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

 

 

























n

n

n

n

N

n

n

n

b

a

n

n

b

a

lim

to

,

lim

.

2

.

1

0

Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli

Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli

ciągi

ciągi

(a

(a

n

n

) i (b

) i (b

n

n

) spełniają warunki

) spełniają warunki

(a

n

)

(b

n

)

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

 

 

























n

n

n

n

N

n

n

n

b

a

n

n

b

a

lim

to

,

lim

.

2

.

1

0

Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli ciągi

Twierdzenie o dwóch ciągach: Jeżeli ciągi

(a

(a

n

n

) i (b

) i (b

n

n

) spełniają warunki

) spełniają warunki



































)

!

sin(

1

lim

1

1

1

)

!

sin(

1

2

2

2

n

n

n

a

n

n

n

n

n

n

b

n

n

n

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

Jeżeli ciąg (a

Jeżeli ciąg (a

n

n

) jest

) jest

niemalejący

niemalejący

(nierosnący) dla n

(nierosnący) dla n





n

n

0

0

oraz

oraz

ograniczony

ograniczony

z

z

góry (z dołu) to jest

góry (z dołu) to jest

zbieżny

zbieżny

do granicy

do granicy

właściwej

właściwej

sup{a

sup{a

n

n

: n

: n





n

n

0

0

} (inf{a

} (inf{a

n

n

: n

: n





n

n

0

0

})

})

0

!

2

lim







n

n

n

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

0

0

1

2

lim

lim

1





































a

a

a

n

a

a

n

n

n

n

1

1

1

2

2

!

)!

1

(

2

!

2

)!

1

(

2

1

1

1

























n

dla

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

Wynika stąd, że ciąg (a

Wynika stąd, że ciąg (a

n

n

) jest nierosnący. Jest on też

) jest nierosnący. Jest on też

ograniczony z dołu, bo a

ograniczony z dołu, bo a

n

n

>0. A zatem na mocy poprzedniego

>0. A zatem na mocy poprzedniego

twierdzenia jest on zbieżny

twierdzenia jest on zbieżny

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

0

0

0

,

,

1

,

0

0

,

0

,















Wyrażenia

Wyrażenia

nieoznaczone

nieoznaczone

0

1

lim



















n

n

n

n

 

a

a

n

n

n







lim





istnieje

nie

n

n

n

n

)

1

(

3

lim









 









n

n

n

n

lim

1

lim

0

,

1

lim

1

1

1

1

0

lim









































n

n

n

n

n

n

n

p

p

p

dla

p

dla

p

dla

p

?

5

10

15

20

25

30

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

(1

/3

)^

(1

/i)

3^

(1

/i)

i

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest

zbieżny do tej samej granicy.

zbieżny do tej samej granicy.

0

2

1

1

lim









n

n

Bo jest to podciąg

Bo jest to podciąg

ciągu 1/n

ciągu 1/n

GRANICE CIĄGÓW

GRANICE CIĄGÓW

n

n

n

e











 







1

1

lim

Określenie liczby

Określenie liczby

e

e





0

0

lim

,

1

lim

1















n

n

n

a

n

n

a

i

a

dla

a

n



























n

n

a

n

n

a

dla

a

n

lim

,

1

1

lim